高考数学压轴题专项训练：双曲线（解答题压轴题）含答案及解析

专题23双曲线（解答题压轴题）

目录

①双曲线的弦长问题..................................................1

②双曲线的中点弦问题...............................................2

③双曲线中的参数及范围问题.........................................4

④双曲线中的最值问题...............................................6

⑤双曲线中面积问题.................................................8

⑥双曲线中定点、定值、定直线问题..................................10

⑦双曲线中向量问题.................................................12

⑧双曲线综合问题...................................................13

①双曲线的弦长问题

22

1.（2023秋・山东青岛•高二校考期末）已知双曲线C:3-2=1（°>0,6>0）.请从①②③中选取两个作为

ab

条件补充到题中，并完成下列问题.①b=6；②离心率为2；③与椭圆:+丁=1的焦点相同.

⑴求C的方程；

（2）直线/：y=x-3与C交于A,B两点,求|明的值.

22

2.（2023秋・广西柳州•高二校考期末）已知双曲线C：=-与=1（。>0,。>0）经过点P（20,石），焦点产到

ab

渐近线的距离为6.

（1）求双曲线C的方程；

⑵若斜率为1的直线/与双曲线C相交于A,8两点，当/过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值.

3.（2023・全国二专题练习）已知中心在原点的双曲线。的右焦点为（2,0）,右顶点为（百，0）.

⑴求双曲线。的方程；

⑵若直线/：y=x+2与双曲线交于A,5两点，求弦长|AB|.

22

4.（2023春•四川遂宁•高二射洪中学校考阶段练习）己知双曲线5-5的焦距为6,且虚

ab

轴长是实轴长的0倍.

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线的右焦点厂且倾斜角为:的直线/与双曲线交于A,B两点,求

②双曲线的中点弦问题

1.（2023•全国•高三专题练习）已知A（-2,0）,3（2,0）,直线A",8M相交于点M,且它们的斜率之积是3.

（1）求点加的轨迹C的方程；

⑵过点N（2,3）能否作一条直线机与轨迹C交于两点尸，Q,且点N是线段P。的中点？若能，求出直线机

的方程；若不能，说明理由.

2.(2023秋•内蒙古包头•高二统考期末)如图1、2,已知圆A方程为(X+2)2+;/=12,点3(2,0).M是

圆A上动点，线段MB的垂直平分线交直线于点N.

图1图2

⑴求点N的轨迹方程；

(2)记点N的轨迹为曲线r,过点是否存在一条直线/，使得直线/与曲线「交于两点C、D,且尸是

线段8中点.

3.(2023秋•高二课时练习)已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2,其一条渐近线斜率为

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点4(1,1)能否作直线/,使直线/与所给双曲线交于P、。两点，且点A是弦尸。的中点？如果直线/存

在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

4.(2023•全国•高二专题练习)中心在原点的双曲线C的焦点在X轴上，且焦距为4,请从下面3个条件中

选择1个补全条件，并完成后面问题：

①该曲线经过点尸(-2,3)；

②该曲线的渐近线与圆(》-4)2+^=12相切；

③点M在该双曲线上，K，工为该双曲线的左、右焦点，当点M的纵坐标为3时，以匕，F?为直径的圆

经过点M.

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵过定点2(1,1)能否作直线/，使/与此双曲线相交于48两点，且。是弦的中点?若存在，求出I的方程；

若不存在，说明理由.

5.（2023•全国•高二专题练习）双曲线C:二-4=1,>0力>0）的渐近线方程为，=2x,一个焦点到该渐

近线的距离为2.

⑴求C的方程；

⑵是否存在直线/,经过点加（1,4）且与双曲线C于A,8两点，M为线段A8的中点，若存在，求/的方程：

若不存在，说明理由.

③双曲线中的参数及范围问题

2

1.（2023春・上海长宁•高二上海市第三女子中学校考期中）己知双曲线C：尤2一方=1仅>o）的离心率为72；

⑴求此双曲线的渐近线方程；

⑵若经过点尸（0,-1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点"，N,求线段的中垂线/在y轴上的截距

f的取值范围；

2.（2023秋•浙江杭州•高二校考期末）已知点AF分别为双曲线C:/一V=/5>0）的左顶点和右焦点，

过F且垂直于x轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B,AABF的面积为2（0+1）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线与双曲线的左、右两支分别交于M,N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于

P,。两点，记△MON,△APQ的面积分别为H，S2（。为坐标原点）.若。=4邑，求实数2的取值范

围.

3.（2023春•贵州黔西•高二校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线

22

E:三-七=1（。>0*>0）的左顶点4过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于8,C两点，若ABC的面

cib

积为忘+1.

（1）求双曲线E的方程；

（2）若直线/：丫=履-1与双曲线E的左，右两支分别交于M,N两点,与双曲线E的两条渐近线分别交于

\MN\

P,Q两点，求扃的取值范围.

2

4.（2023•广西南宁•南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知椭圆/+匕=1的左、右两个顶点分别为A、

4

B,曲线C是以A、B两点为顶点，焦距为2斯的双曲线，设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭

圆相交于另一点T.

（1）求曲线C的方程；

（2）设P、T两点的横坐标分别为七、X],求证%•%为一定值；

（3）设△〃15与4POB（其中。为坐标原点）的面积分别为鸟与邑，且PA.P8415，求S；-的取值范

围.

④双曲线中的最值问题

1.(2023•江苏•高二假期作业)在直角坐标系xOy中，直线y=2尤是双曲线cj-2=l(a>0力>0)的一条

ah

渐近线，点A(l,o)在双曲线c上，设加(加,〃)("0)为双曲线上的动点，直线AAf与y轴相交于点尸，点M关于

y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点。.

(1)求双曲线C的方程；

⑵在X轴上是否存在一点T,使得|m+T@=|P0，若存在，求T点的坐标;若不存在，说明理由；

⑶求M点的坐标,使得，河尸。的面积最小.

22_

2.(2023•全国•高三专题练习)设双曲线C:=-2=l(a,b>0)的右顶点为A,虚轴长为加,两准线间的

ab

距离为至.

3

(1)求双曲线C的方程;

(2)设动直线/与双曲线C交于P,Q两点，已知设点A到动直线/的距离为d,求d的最大值.

22

3.（2023秋•江苏,高二校联考阶段练习）已知双曲线鼻-9=l（a>0,人>0）,O为坐标原点，离心率e=2,

点、M（下四在双曲线上.

（2）如图，若直线/与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且OPOQ=0,求『尸产+|。。|2的最小值.

4.（2023春•上海嘉定•高二上海市育才中学校考期中）.已知点加（-2,0）,N（2,0）,动点P满足条件

\PM\-\PN\=2叵.记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）若42是W上的不同两点，。是坐标原点，求0408的最小值.

22

5.（2023・全国•高二专题练习）已知双曲线C：卞-方=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为8、K,焦距

为4,右顶点为A,以A为圆心，6为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R,S两点，且NR4s=60。.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点。是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，N月。居的角平分线记为/,

过点M做/的垂线，垂足为区与双曲线右支的另一交点记为点N,求犒的最大值.

⑤双曲线中面积问题

1.(2023春•江苏连云港•高二校考阶段练习)己知双曲线3-丫2=],/,耳为其左右焦点，点九)为其

右支上一点，在尸处作双曲线的切线/.

(1)若尸的坐标为(3,3),求证：/为/耳尸鸟的角平分线；

⑵过片，工分别作/的平行线4,3其中《交双曲线于48两点，6交双曲线于C、D两点，求二口铝和二PCD的

面积之积SPAB'SPCD的最小值.

22

2.(2023•湖南岳阳•统考三模)已知点(1,2)在双曲线石：3一当=1(°>0)>0)的渐近线上，点4(-3,2)在E

ab

上，直线/交E于8,C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0.

(1)求直线/的斜率；

⑵若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P,Q,

求4MPQ的面积.

22

3.(2023•全国•高二专题练习)P是双曲线二-匕=1右支上一点，A,8是双曲线的左右顶点，过A,B分

412

别作直线PA,尸8的垂线A。，BQ,A。与的交点为。，PA与8。的交点为C.

⑴记尸,。的纵坐标分别为%，”,求?的值；

(2)记△PBCAQAC的面积分别为凡通，当工StanNAQBV巫时，求善的取值范围.

25»

在双曲线C:乂-《=l(a>0*>0)上，且C的离心率为四

4.(2023•全国•高三专题练习)已知点A3,

ab5

⑴求C的方程;

4

⑵直线/交C的左支于P,。两点，且直线AP,AQ的斜率之和为0,若tanNP4Q=§,直线AP,A。与y

轴的交点分别为M,N,求的面积.

5.(2023・全国•高二专题练习)已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线M4与直线y=x垂直，A为

垂足且位于第一象限，直线MB与直线y=-X垂直，8为垂足且位于第四象限，四边形Q4M3(。为原点)

的面积为8,动点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)已知7(5,3)是轨迹C上一点，直线/交轨迹。于P,Q两点，直线7P,7。的斜率之和为1,tanZPTQ=1,

求.HQ的面积.

⑥双曲线中定点、定值、定直线问题

1.（2023秋・山东•高三校联考开学考试）如图，己知点川3,-⑹和点石”,庖）在双曲线

22

C:1-}=l（a>0,b>0）上，双曲线C的左顶点为A,过点乙（二,0）且不与无轴重合的直线/与双曲线C交

于P,Q两点，直线AP,AQ与圆。:/+,2=/分别交于N两点.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设直线",AQ的斜率分别为匕，k2,求左他的值;

⑶证明：直线过定点.

22

2.（2023・河南•校联考模拟预测）已知双曲线C:宏-\=1（。>0）的左、右焦点分别为小居.过居的直线

/交C的右支于M,N两点，当/垂直于无轴时，M,N到C的一条渐近线的距离之和为20.

⑴求C的方程；

力口日眼用|N用

⑵证明：同卡网为定值.

22

3.(2023春•广东深圳•高二深圳外国语学校校考阶段练习)已知点42,1)在双曲线C:0—-=1(。>1)±.

cia—1

⑴点4，4为c的左右顶点，p为双曲线c上异于4，4的点，求心&•4时的值；

⑵点N在C上，且3M•3v=；,ADYMN,。为垂足，证明：存在定点。，使得1。。1为定值.

22

4.(2023秋•浙江•高三浙江省春晖中学校联考阶段练习)已知双曲线C:=-*=l(a>0,8>0)的左、右顶点

ab

分别为A、B,尸为双曲线上异于A、8的任意一点，直线以、P8的斜率乘积为双曲线C的焦点到渐

近线的距离为1.

(1)求双曲线C的方程；

⑵设不同于顶点的两点〃、N在双曲线C的右支上，直线AM、3N在，轴上的截距之比为1:3.试问直

线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

22

5.(2023春•黑龙江•高三校联考开学考试)已知双曲线「：二-与=l(a>0,b>0),4，&为「的左、右

ab

顶点，尸［近,g］为「上一点，PA的斜率与尸4的斜率之积为：.过点4(3,0)且不垂直于X轴的直线/与

「交于M,N两点.

(1)求「的方程；

(2)若点E,尸为直线x=3上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME,NP的交点在定直线上.

22

6.(2023・全国•高三专题练习)已知双曲线「:二-2=1(。>0,6>0)过点(4,13),离心率为，直线/：x=9

ab

交X轴于点A,过点A作直线交双曲线r于M,N两点.

⑴求双曲线「的标准方程；

⑵若M是线段AN的中点，求直线的方程；

⑶设P,。是直线/上关于x轴对称的两点，直线与QN的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.

⑦双曲线中向量问题

1.(2023秋・江苏连云港•高三校考阶段练习)已知双曲线C的渐近线为4x±3y=0,右焦点为尸(5,0),右

顶点为4

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若斜率为1的直线/与双曲线C交于N两点(与点A不重合)，当=0时，求直线/的方程.

2.(2023•全国•高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点7(2,3),且有一

条倾斜角为120。的渐近线.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设点厂为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点。满足OP=PQ,直线Q尸交双曲线C于A,B两

点，若|加=2|四，求点尸的坐标.

22

3.(2023・全国•高二专题练习)己知双曲线C：=-多=1(°>0,%>0)的左顶点为A(-LO),A到C的

ab

一条渐近线的距离为也.

2

⑴求C的方程；

(2)过点P(2,0)的直线/与C交于N两点，求AM.4V的值.

22

4.(2023春•山东济南,高二统考期末)已知双曲线C言-1=1("0力>0)经过4(2,0),网4,⑹两点.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线/：y=x-3与C交于M,N两点，且C上存在点尸，满足OM+ON=fOP，求实数f的值.

⑧双曲线综合问题

22

1.(2023・全国•高三专题练习)已知A(3,l),8是双曲线「二一与=1(。>0/>0)上的两个点，且关于原点对

ab

称.：r的两条渐近线互相垂直.

⑴求「的方程；

⑵设尸是双曲线「上一点，直线PAP8分别与直线X=g交于跖N两点，求|AM|+忸N|的最小值.

2.(2023秋•辽宁阜新•高三阜新市高级中学校考阶段练习)已知双曲线E:/-《=l(a>0,b>())的两条渐

近线分别为k-y=2%，4丁=-2x.

（1）求双曲线E的离心率；

⑵如图，。为坐标原点，动直线/分别交直线4,4于A,8两点（A,8分别在第一，四象限），且加?的面

积恒为8,试探究：是否存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程；

若不存在，说明理由.

NV23

3.（2023秋•福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习）己知双曲线、-乙=1与直线/:>=履+根（发*±彳）有

492

唯一的公共点

⑴若点N（2,9）在直线/上，求直线/的方程；

⑵过点M且与直线/垂直的直线分别交x轴于4无”0）,y轴于8（0,%）两点.是否存在定点G,H,使得M在

双曲线上运动时，动点P&，X）使得俨G|-|P即为定值.

22

4.（2023秋•广东深圳•高三校联考开学考试）已知双曲线C：q-5=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为百,

ab

P2,且寓国=4,若C上的点M满足帜耳H"矶=2恒成立.

⑴求C的方程；

(2)若过点M的直线/与C的两条渐近线交于P,。两点，且

(i)证明：/与C有且仅有一个交点；

12

(ii)求同耳+国|的取值范围.

5.(2023春・甘肃白银•高二统考开学考试)过双曲线C:5-%=1(。＞0,“0)上一点A卜"0)作两条渐近线

的垂线，垂足分别为B,且|人8|4同=；.

(1)求双曲线C的方程.

(2)已知点尸(2,-1),两个不重合的动点M,N在双曲线C上，直线尸M,PN分别与了轴交于点E,F,

点。在直线跖V上，OE+OF=0且PQLMN,试问是否存在定点T,使得|QT|为定值？若是，求出点T的

坐标和|QT|;若不存在，请说明理由.

专题23双曲线(解答题压轴题)

目录

①双曲线的弦长问题..................................................1

②双曲线的中点弦问题...............................................2

③双曲线中的参数及范围问题.........................................4

④双曲线中的最值问题...............................................6

⑤双曲线中面积问题.................................................8

⑥双曲线中定点、定值、定直线问题..................................10

⑦双曲线中向量问题.................................................12

⑧双曲线综合问题...................................................13

①双曲线的弦长问题

22

1.(2023秋・山东青岛•高二校考期末)已知双曲线C:二-2=1(a>0,6>0).请从①②③中选取两个作为

ab

条件补充到题中，并完成下列问题.①6=石；②离心率为2；③与椭圆:+丁=1的焦点相同.

⑴求C的方程；

(2)直线/：y=x-3与C交于A,B两点,求恒国的值.

2

【答案】⑴/—匕=1

3

(2)|AB1=766

【详解】(1)选①②，可得6=若，且三=4,解得a=l,所以C的方程为/一£=1；

a3

2

选①③，可得)=6，片+/=5-1=4,解得。=1,所以C的方程为/-(=1；

选②③，可得坐以=4,。2+从=5-1=4,解得/=1,从=3,所以C的方程为/一f=1；

/3

卜上1

(2)设网当,％),联立3一，消掉》整理得/+3彳_6=0,

%+%2=-32

因为=\/1+11%1-x2\=后“％+%2)2-例%2-&J(-3)2+4x6=y/66，

二-6

所以|AB|=痴.

22

2.(2023秋•广西柳州•高二校考期末)已知双曲线C：彳-*=1(。>0,。>0)经过点尸(20,6)，焦点产到

渐近线的距离为

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线/与双曲线C相交于A,8两点，当/过双曲线C的右焦点时，求弦长|48|的值.

22

【答案】(1)r?-v4=1

(2)24

be

【详解】(1)若焦点/(C,0),其到渐近线y=：x,2x_y=0的距离d=Ia=b=6

aa

22

又因为双曲线C：/齐=1(°>02>0)经过点尸(20,拘，

所以2=1,解得.=2,所以双曲线C的方程为=-4=1；

a343

(2)由(1)知双曲线的右焦点为(6,0),所以直线/方程为：y=x-不

设点人(七,%)，8(%2,%)，

联立卜丁一夕，

[3x2-4y2=12

得/_8缶+40=0,A=(8^)2-4X40>0

所以％+%=8e，xtx2=40,

从而|AB|=J1+⑴2•4西+々)2-4%也=垃■48姐-160=24.

所以弦长|4切的值为24.

3.(2023・全国•高三专题练习)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(招，0).

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线/：y=x+2与双曲线交于A,8两点，求弦长|AB|.

【答案】⑴无?2->2=1

(2)2^3

【详解】(1)由已知得〃=百，。=2,

再由理=。2+。2,得岳=1,

所以双曲线C的方程为:-y2=i.

(2)由直线与双曲线联立得2/+12尤+15=0,

解得x=-3士如，

2

AB=++%)2-例％］，

••||=+1.y/6=2事).

22

4.(2023春•四川遂宁•高二射洪中学校考阶段练习)已知双曲线I—七=1(〃>0/>0)的焦距为6,且虚

ab

轴长是实轴长的夜倍.

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线的右焦点/且倾斜角为:的直线/与双曲线交于A,8两点，求|AB|.

22

【答案】⑴土-当=1

36

(2)873

22

【详解】(1)由双曲线十方=1(〃〉0,。〉0)的焦距为6,且虚轴长是实轴长的正倍.

得2c=6,旦人=y/2a，又，=4+/=3/-9,

解得C=3,Q2=3,

所以〃=02_々2=9_3=6,

22

所以双曲线方程为二-匕=1.

36

(2)由(1)可知双曲线C的右焦点厂为(3,0),所以直线/的方程为y=x-3,

设4(%,%),2(%,%),

《上1

由，!36，得尤2+615=0,

、y=x_3

占+%=-6

所以

占％=-15

2

所以IAB卜71+1•5(石+%2)2_4卒2=0-J36-4x(-15)=8g.

②双曲线的中点弦问题

1.（2023,全国•高三专题练习）己知A（-2,0）,3（2,0）,直线AM8M相交于点M,且它们的斜率之积是3.

（1）求点M的轨迹c的方程;

（2）过点N（2,3）能否作一条直线机与轨迹C交于两点尸，Q,且点N是线段尸。的中点？若能，求出直线相

的方程;若不能，说明理由.

22

【答案】(1)-匕=1("±2)

412

（2）不能,理由见解析

【详解】(1)设M(x,y),xw±2,

,j_y-0,_y-0,j

•RAM=二，"M=二，"AM，KBM=，

x+2x-2

=整理得3/_y2=i2(xw±2),

x+2x—2

22

即点M的轨迹C的方程土-匕=1（%丰±2）.

412

（2）若能作出直线加，则直线机的斜率存在，设为若设尸（%,%）,。（%2，%），

=1

（演一12）（玉+彳2）（%f）（H+%）

,两式相减得=0,

412

=1

整理可出士=3x-------

M+为

.二N是线段如的中点，，处=3xQ,即一,

故直线m的方程为y—3=2（x-2）,即2x-y-l=0,

将直线方程代入双曲线方程可得V一4x+13=0,

A=(^l)2-4xl3<0,此时直线与双曲线不相交.

故不能作出这样的直线江

2.(2023秋•内蒙古包头•高二统考期末)如图1、2,已知圆A方程为(X+2)2+;/=12,点3(2,0).M是

⑴求点N的轨迹方程；

⑵记点N的轨迹为曲线r,过点尸是否存在一条直线/，使得直线/与曲线「交于两点C、D,且P是

线段CD中点.

【答案】⑴工72=1

3

⑵不存在这样的直线/

【详解】(1)由中垂线性质知，=

所以AB\

所以点N的轨迹是以A3为焦点，实轴长为26的双曲线

22

设此双曲线方程为=-与=1(。>0*>0),则4=6,.2+〃=4,；.〃=1

ab

所以点N的轨迹方程为E—丁=i.

3

Y-J712=1

(2)设C&,%),£>(%,%)可得，2

y-yf=1

两式相减得?现+%)(%+%)(%-%)=0

由题意占+%=3,%+%=1,所以Ks=?=1

直线co方程为>-3=k上一3〉=1,

y=x-1

由〈Y,得尤2_3X+3=0

-y=1

I3

•.・A=—3＜0..•.不存在这样的直线/.

3.（2023秋•高二课时练习）已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2,其一条渐近线斜率为0.

（1）求双曲线的标准方程；

⑵过点A（L1）能否作直线/,使直线/与所给双曲线交于P、。两点，且点A是弦尸。的中点？如果直线/存

在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

2

【答案】⑴I一匕=i

2

⑵不存在，理由见解析

22

【详解】（1）解：因为双曲线的焦点在X轴上，设该双曲线的标准方程为［-3=1（。＞0力＞0）,

ab

2a=2

因为该双曲线的实轴长为2,一条渐近线斜率为血，贝“2二五，解得,a=l

b=E

2

因此，该双曲线的标准方程为尤2一二=1.

2

（2）解：假定直线/存在，设以4（1,1）为中点的弦的两端点为p（%,yj、

根据双曲线的对称性知国力多.由点尸、。在双曲线上,

得2x；-y；=2,2月-货=2,

两式相减得2（玉+x2）（x1-x2）-（y1+%）（%一%）=。，

所以2x2&—々）一2（乂一切）=°，所以三生=2,

玉x2

即以A（l,l）为中点的弦所在直线的斜率％=2,

故直线PQ的方程为，-1=2（无一1）,即2x-y—1=0.

2x2-y2=2

联立'c，消去？得2/-4x+3=0,

[2x_y_l=0

A=(T)2-4x2x3=-8<0,

因此直线,与双曲线无交点，故满足条件的直线/不存在.

4.(2023•全国•高二专题练习)中心在原点的双曲线C的焦点在x轴上，且焦距为4,请从下面3个条件中

选择1个补全条件，并完成后面问题：

①该曲线经过点尸(-2,3)；

②该曲线的渐近线与圆(x-4)2+y2=i2相切；

③点M在该双曲线上，K，居为该双曲线的左、右焦点，当点M的纵坐标为1•时，以匕，居为直径的圆

经过点M.

⑴求双曲线C的标准方程；

⑵过定点。(U)能否作直线/，使/与此双曲线相交于A8两点，且。是弦的中点?若存在，求出/的方程；

若不存在，说明理由.

2

【答案】⑴尤2-匕=1

3

⑵不存在，理由见解析

22

【详解】(1)设双曲线C的标准方程为三-多=l(a>b>0),

ab

选①，由题意可知，双曲线C的两个焦点分别为£(-2,0),丹(2,0),P(-2,3),

由双曲线的定义可得2。=归用-上间=|血而-而百|=2,故。=1,

则6=后=7=6,所以双曲线E的标准方程为-=1.

选②，因为圆的方程为(x-4)2+y2=i2,圆心为(4,0),半径为2道，

h

双曲线E的渐近线方程为y=±—x,

a

竺

由题意可得HII工T、2=2百,解得2=6,即b=四,

因为°=，/+/=2〃=2,贝1」〃=1*=百，

2

因此双曲线E的标准方程为x2-^=l.

3

选③，因为以片,为为直径的圆经过点所以孙，出，

由勾股定理可得|吗「+|峥「=4C2=16,则4a2+2|M周周=16,

所以|而恒|=8-2〃=步,

11Q

2

从而SMFxF2=-\MFl\\MF2\=b=-x4x-,贝1）匕=6,

故Q=yjc2-b2=1，

2

所以双曲线E的标准方程为/-匕=1.

3

（2）假设满足条件的直线/存在，设点A（/M）I（%2，%）,2（14），

两式作差并化简得a-%）a+%）=）（%+

所以直线/的斜率为％=上二&=3,

玉-x2

从而直线/的方程为y-1=3（%-1）,即y=3x-2,

y=3x-2

联立-2>2，整理可得6尤2_12X+7=0,

I3

易得△=122-4X6X7<0,因此直线/不存在.

22

5.（2023•全国•高二专题练习）双曲线C:，-1r=l（a>0力>0）的渐近线方程为'=,一个焦点到该渐

近线的距离为2.

⑴求C的方程；

（2）是否存在直线/,经过点”（1,4）且与双曲线C于A,2两点，M为线段A8的中点，若存在，求/的方程:

若不存在，说明理由.

2

【答案】⑴炉一匕=1

4

⑵存在；x+3.

22R

【详解】（1）双曲线。：0-0=1（。＞0乃＞0）的渐近线为y=±二尤,

aba

h

因为双曲线的一条渐近线方程为y=2x,所以Z=2,

a

\2c\

又焦点（c,o）到直线y=2x的距离d=收+5=2,所以c=若，

2

又/=4+火所以/=1,从=4,所以双曲线方程为/-21=1

4

（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设人（4%）,B（x2,y2）,直线/的斜率为左，则%+%=2,

%+%=8,

所以西2-号=1,=1，

两式相减得犬一xj_9+[=0,即+）=（%+9）（占一%）

即二牝所以4左=4,解得上=1,

（玉+马）（玉一天）

所以直线/的方程为，-4=x-l,即y=x+3,

经检验直线/：y=x+3与双曲线C有两个交点，满足条件，

所以直线/的方程为y=x+3.

③双曲线中的参数及范围问题

2

1.（2023春,上海长宁,高二上海市第三女子中学校考期中）已知双曲线C：炉-2=1e＞0）的离心率为0；

b

（1）求此双曲线的渐近线方程；

（2）若经过点P（0,-l）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M,N,求线段MN的中垂线/在y轴上的截距

f的取值范围；

【答案】⑴y=±x

(2)(2,+8)

2

【详解】⑴双曲线C:尤2f=l(b>0)的离心率为四.a=l,可得c=0,所以6=1.

可得双曲线C：x2-y=i.

可得双曲线的渐近线方程为：>=±》.

(2)设经过点尸的直线方程为>=自-1,M®,%),N(X2,%),

_2_<

(x2v

联立方程组，一，消去y得：(1-/)/+2履-2=0,

1一爪0

解得l<k<6.

=4^2+8(1-^2)>0

.〔MN的中点为(丁。,丁3)，

1—K,1—K,

11”

.•・线段MN的中垂线方程为：^+--7=--(%+—T),

1-KK1-K

2

令尤=0得截距t=h匚>2.

K-I

即线段的中垂线/在，轴上截距f的取值范围是(2,+s).

2.(2023秋・浙江杭州•高二校考期末)已知点A尸分别为双曲线C:x2-y2=/m>0)的左顶点和右焦点，

过F且垂直于x轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B,AASF的面积为2(四+1).

(1)求双曲线C的方程；

⑵若直线与双曲线的左、右两支分别交于M,N两点,与双曲线的两条渐近线分别交于

P,。两点，记△MON,△4尸。的面积分别为岳，S2(。为坐标原点).若S|=2S2,求实数彳的取值范

围.

22

【答案】⑴工-匕=1

44

⑵「

22

【详解】(1)由题意可知C。-4=1,所以A(—。,0),尸(C解),