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文档简介
专题23双曲线(解答题压轴题)
目录
①双曲线的弦长问题..................................................1
②双曲线的中点弦问题...............................................2
③双曲线中的参数及范围问题.........................................4
④双曲线中的最值问题...............................................6
⑤双曲线中面积问题.................................................8
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题..................................10
⑦双曲线中向量问题.................................................12
⑧双曲线综合问题...................................................13
①双曲线的弦长问题
22
1.(2023秋・山东青岛•高二校考期末)已知双曲线C:3-2=1(°>0,6>0).请从①②③中选取两个作为
ab
条件补充到题中,并完成下列问题.①b=6;②离心率为2;③与椭圆:+丁=1的焦点相同.
⑴求C的方程;
(2)直线/:y=x-3与C交于A,B两点,求|明的值.
22
2.(2023秋・广西柳州•高二校考期末)已知双曲线C:=-与=1(。>0,。>0)经过点P(20,石),焦点产到
ab
渐近线的距离为6.
(1)求双曲线C的方程;
⑵若斜率为1的直线/与双曲线C相交于A,8两点,当/过双曲线C的右焦点时,求弦长|AB|的值.
3.(2023・全国二专题练习)已知中心在原点的双曲线。的右焦点为(2,0),右顶点为(百,0).
⑴求双曲线。的方程;
⑵若直线/:y=x+2与双曲线交于A,5两点,求弦长|AB|.
22
4.(2023春•四川遂宁•高二射洪中学校考阶段练习)己知双曲线5-5的焦距为6,且虚
ab
轴长是实轴长的0倍.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线的右焦点厂且倾斜角为:的直线/与双曲线交于A,B两点,求
②双曲线的中点弦问题
1.(2023•全国•高三专题练习)已知A(-2,0),3(2,0),直线A",8M相交于点M,且它们的斜率之积是3.
(1)求点加的轨迹C的方程;
⑵过点N(2,3)能否作一条直线机与轨迹C交于两点尸,Q,且点N是线段P。的中点?若能,求出直线机
的方程;若不能,说明理由.
2.(2023秋•内蒙古包头•高二统考期末)如图1、2,已知圆A方程为(X+2)2+;/=12,点3(2,0).M是
圆A上动点,线段MB的垂直平分线交直线于点N.
图1图2
⑴求点N的轨迹方程;
(2)记点N的轨迹为曲线r,过点是否存在一条直线/,使得直线/与曲线「交于两点C、D,且尸是
线段8中点.
3.(2023秋•高二课时练习)已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2,其一条渐近线斜率为
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过点4(1,1)能否作直线/,使直线/与所给双曲线交于P、。两点,且点A是弦尸。的中点?如果直线/存
在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
4.(2023•全国•高二专题练习)中心在原点的双曲线C的焦点在X轴上,且焦距为4,请从下面3个条件中
选择1个补全条件,并完成后面问题:
①该曲线经过点尸(-2,3);
②该曲线的渐近线与圆(》-4)2+^=12相切;
③点M在该双曲线上,K,工为该双曲线的左、右焦点,当点M的纵坐标为3时,以匕,F?为直径的圆
经过点M.
(1)求双曲线C的标准方程;
⑵过定点2(1,1)能否作直线/,使/与此双曲线相交于48两点,且。是弦的中点?若存在,求出I的方程;
若不存在,说明理由.
5.(2023•全国•高二专题练习)双曲线C:二-4=1,>0力>0)的渐近线方程为,=2x,一个焦点到该渐
近线的距离为2.
⑴求C的方程;
⑵是否存在直线/,经过点加(1,4)且与双曲线C于A,8两点,M为线段A8的中点,若存在,求/的方程:
若不存在,说明理由.
③双曲线中的参数及范围问题
2
1.(2023春・上海长宁•高二上海市第三女子中学校考期中)己知双曲线C:尤2一方=1仅>o)的离心率为72;
⑴求此双曲线的渐近线方程;
⑵若经过点尸(0,-1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点",N,求线段的中垂线/在y轴上的截距
f的取值范围;
2.(2023秋•浙江杭州•高二校考期末)已知点AF分别为双曲线C:/一V=/5>0)的左顶点和右焦点,
过F且垂直于x轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B,AABF的面积为2(0+1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M,N两点,与双曲线的两条渐近线分别交于
P,。两点,记△MON,△APQ的面积分别为H,S2(。为坐标原点).若。=4邑,求实数2的取值范
围.
3.(2023春•贵州黔西•高二校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知等轴双曲线
22
E:三-七=1(。>0*>0)的左顶点4过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于8,C两点,若ABC的面
cib
积为忘+1.
(1)求双曲线E的方程;
(2)若直线/:丫=履-1与双曲线E的左,右两支分别交于M,N两点,与双曲线E的两条渐近线分别交于
\MN\
P,Q两点,求扃的取值范围.
2
4.(2023•广西南宁•南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模)已知椭圆/+匕=1的左、右两个顶点分别为A、
4
B,曲线C是以A、B两点为顶点,焦距为2斯的双曲线,设点P在第一象限且在曲线C上,直线AP与椭
圆相交于另一点T.
(1)求曲线C的方程;
(2)设P、T两点的横坐标分别为七、X],求证%•%为一定值;
(3)设△〃15与4POB(其中。为坐标原点)的面积分别为鸟与邑,且PA.P8415,求S;-的取值范
围.
④双曲线中的最值问题
1.(2023•江苏•高二假期作业)在直角坐标系xOy中,直线y=2尤是双曲线cj-2=l(a>0力>0)的一条
ah
渐近线,点A(l,o)在双曲线c上,设加(加,〃)("0)为双曲线上的动点,直线AAf与y轴相交于点尸,点M关于
y轴的对称点为N,直线AN与y轴相交于点。.
(1)求双曲线C的方程;
⑵在X轴上是否存在一点T,使得|m+T@=|P0,若存在,求T点的坐标;若不存在,说明理由;
⑶求M点的坐标,使得,河尸。的面积最小.
22_
2.(2023•全国•高三专题练习)设双曲线C:=-2=l(a,b>0)的右顶点为A,虚轴长为加,两准线间的
ab
距离为至.
3
(1)求双曲线C的方程;
(2)设动直线/与双曲线C交于P,Q两点,已知设点A到动直线/的距离为d,求d的最大值.
22
3.(2023秋•江苏,高二校联考阶段练习)已知双曲线鼻-9=l(a>0,人>0),O为坐标原点,离心率e=2,
点、M(下四在双曲线上.
(2)如图,若直线/与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且OPOQ=0,求『尸产+|。。|2的最小值.
4.(2023春•上海嘉定•高二上海市育才中学校考期中).已知点加(-2,0),N(2,0),动点P满足条件
\PM\-\PN\=2叵.记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)若42是W上的不同两点,。是坐标原点,求0408的最小值.
22
5.(2023・全国•高二专题练习)已知双曲线C:卞-方=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为8、K,焦距
为4,右顶点为A,以A为圆心,6为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R,S两点,且NR4s=60。.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知点。是双曲线C上关于坐标原点对称的两点,其中M位于第一象限,N月。居的角平分线记为/,
过点M做/的垂线,垂足为区与双曲线右支的另一交点记为点N,求犒的最大值.
⑤双曲线中面积问题
1.(2023春•江苏连云港•高二校考阶段练习)己知双曲线3-丫2=],/,耳为其左右焦点,点九)为其
右支上一点,在尸处作双曲线的切线/.
(1)若尸的坐标为(3,3),求证:/为/耳尸鸟的角平分线;
⑵过片,工分别作/的平行线4,3其中《交双曲线于48两点,6交双曲线于C、D两点,求二口铝和二PCD的
面积之积SPAB'SPCD的最小值.
22
2.(2023•湖南岳阳•统考三模)已知点(1,2)在双曲线石:3一当=1(°>0)>0)的渐近线上,点4(-3,2)在E
ab
上,直线/交E于8,C两点,直线AB与直线AC的斜率之和为0.
(1)求直线/的斜率;
⑵若M为双曲线E上任意一点,过点M作双曲线的两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于点P,Q,
求4MPQ的面积.
22
3.(2023•全国•高二专题练习)P是双曲线二-匕=1右支上一点,A,8是双曲线的左右顶点,过A,B分
412
别作直线PA,尸8的垂线A。,BQ,A。与的交点为。,PA与8。的交点为C.
⑴记尸,。的纵坐标分别为%,”,求?的值;
(2)记△PBCAQAC的面积分别为凡通,当工StanNAQBV巫时,求善的取值范围.
25»
在双曲线C:乂-《=l(a>0*>0)上,且C的离心率为四
4.(2023•全国•高三专题练习)已知点A3,
ab5
⑴求C的方程;
4
⑵直线/交C的左支于P,。两点,且直线AP,AQ的斜率之和为0,若tanNP4Q=§,直线AP,A。与y
轴的交点分别为M,N,求的面积.
5.(2023・全国•高二专题练习)已知M是平面直角坐标系内的一个动点,直线M4与直线y=x垂直,A为
垂足且位于第一象限,直线MB与直线y=-X垂直,8为垂足且位于第四象限,四边形Q4M3(。为原点)
的面积为8,动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)已知7(5,3)是轨迹C上一点,直线/交轨迹。于P,Q两点,直线7P,7。的斜率之和为1,tanZPTQ=1,
求.HQ的面积.
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
1.(2023秋・山东•高三校联考开学考试)如图,己知点川3,-⑹和点石”,庖)在双曲线
22
C:1-}=l(a>0,b>0)上,双曲线C的左顶点为A,过点乙(二,0)且不与无轴重合的直线/与双曲线C交
于P,Q两点,直线AP,AQ与圆。:/+,2=/分别交于N两点.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设直线",AQ的斜率分别为匕,k2,求左他的值;
⑶证明:直线过定点.
22
2.(2023・河南•校联考模拟预测)已知双曲线C:宏-\=1(。>0)的左、右焦点分别为小居.过居的直线
/交C的右支于M,N两点,当/垂直于无轴时,M,N到C的一条渐近线的距离之和为20.
⑴求C的方程;
力口日眼用|N用
⑵证明:同卡网为定值.
22
3.(2023春•广东深圳•高二深圳外国语学校校考阶段练习)已知点42,1)在双曲线C:0—-=1(。>1)±.
cia—1
⑴点4,4为c的左右顶点,p为双曲线c上异于4,4的点,求心&•4时的值;
⑵点N在C上,且3M•3v=;,ADYMN,。为垂足,证明:存在定点。,使得1。。1为定值.
22
4.(2023秋•浙江•高三浙江省春晖中学校联考阶段练习)已知双曲线C:=-*=l(a>0,8>0)的左、右顶点
ab
分别为A、B,尸为双曲线上异于A、8的任意一点,直线以、P8的斜率乘积为双曲线C的焦点到渐
近线的距离为1.
(1)求双曲线C的方程;
⑵设不同于顶点的两点〃、N在双曲线C的右支上,直线AM、3N在,轴上的截距之比为1:3.试问直
线MN是否过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
22
5.(2023春•黑龙江•高三校联考开学考试)已知双曲线「:二-与=l(a>0,b>0),4,&为「的左、右
ab
顶点,尸[近,g]为「上一点,PA的斜率与尸4的斜率之积为:.过点4(3,0)且不垂直于X轴的直线/与
「交于M,N两点.
(1)求「的方程;
(2)若点E,尸为直线x=3上关于x轴对称的不重合两点,证明:直线ME,NP的交点在定直线上.
22
6.(2023・全国•高三专题练习)已知双曲线「:二-2=1(。>0,6>0)过点(4,13),离心率为,直线/:x=9
ab
交X轴于点A,过点A作直线交双曲线r于M,N两点.
⑴求双曲线「的标准方程;
⑵若M是线段AN的中点,求直线的方程;
⑶设P,。是直线/上关于x轴对称的两点,直线与QN的交点是否在一条直线上?请说明你的理由.
⑦双曲线中向量问题
1.(2023秋・江苏连云港•高三校考阶段练习)已知双曲线C的渐近线为4x±3y=0,右焦点为尸(5,0),右
顶点为4
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若斜率为1的直线/与双曲线C交于N两点(与点A不重合),当=0时,求直线/的方程.
2.(2023•全国•高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的双曲线C过点7(2,3),且有一
条倾斜角为120。的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设点厂为双曲线C的右焦点,点P在C的右支上,点。满足OP=PQ,直线Q尸交双曲线C于A,B两
点,若|加=2|四,求点尸的坐标.
22
3.(2023・全国•高二专题练习)己知双曲线C:=-多=1(°>0,%>0)的左顶点为A(-LO),A到C的
ab
一条渐近线的距离为也.
2
⑴求C的方程;
(2)过点P(2,0)的直线/与C交于N两点,求AM.4V的值.
22
4.(2023春•山东济南,高二统考期末)已知双曲线C言-1=1("0力>0)经过4(2,0),网4,⑹两点.
(1)求C的标准方程;
(2)若直线/:y=x-3与C交于M,N两点,且C上存在点尸,满足OM+ON=fOP,求实数f的值.
⑧双曲线综合问题
22
1.(2023・全国•高三专题练习)已知A(3,l),8是双曲线「二一与=1(。>0/>0)上的两个点,且关于原点对
ab
称.:r的两条渐近线互相垂直.
⑴求「的方程;
⑵设尸是双曲线「上一点,直线PAP8分别与直线X=g交于跖N两点,求|AM|+忸N|的最小值.
2.(2023秋•辽宁阜新•高三阜新市高级中学校考阶段练习)已知双曲线E:/-《=l(a>0,b>())的两条渐
近线分别为k-y=2%,4丁=-2x.
(1)求双曲线E的离心率;
⑵如图,。为坐标原点,动直线/分别交直线4,4于A,8两点(A,8分别在第一,四象限),且加?的面
积恒为8,试探究:是否存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;
若不存在,说明理由.
NV23
3.(2023秋•福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习)己知双曲线、-乙=1与直线/:>=履+根(发*±彳)有
492
唯一的公共点
⑴若点N(2,9)在直线/上,求直线/的方程;
⑵过点M且与直线/垂直的直线分别交x轴于4无”0),y轴于8(0,%)两点.是否存在定点G,H,使得M在
双曲线上运动时,动点P&,X)使得俨G|-|P即为定值.
22
4.(2023秋•广东深圳•高三校联考开学考试)已知双曲线C:q-5=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为百,
ab
P2,且寓国=4,若C上的点M满足帜耳H"矶=2恒成立.
⑴求C的方程;
(2)若过点M的直线/与C的两条渐近线交于P,。两点,且
(i)证明:/与C有且仅有一个交点;
12
(ii)求同耳+国|的取值范围.
5.(2023春・甘肃白银•高二统考开学考试)过双曲线C:5-%=1(。>0,“0)上一点A卜"0)作两条渐近线
的垂线,垂足分别为B,且|人8|4同=;.
(1)求双曲线C的方程.
(2)已知点尸(2,-1),两个不重合的动点M,N在双曲线C上,直线尸M,PN分别与了轴交于点E,F,
点。在直线跖V上,OE+OF=0且PQLMN,试问是否存在定点T,使得|QT|为定值?若是,求出点T的
坐标和|QT|;若不存在,请说明理由.
专题23双曲线(解答题压轴题)
目录
①双曲线的弦长问题..................................................1
②双曲线的中点弦问题...............................................2
③双曲线中的参数及范围问题.........................................4
④双曲线中的最值问题...............................................6
⑤双曲线中面积问题.................................................8
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题..................................10
⑦双曲线中向量问题.................................................12
⑧双曲线综合问题...................................................13
①双曲线的弦长问题
22
1.(2023秋・山东青岛•高二校考期末)已知双曲线C:二-2=1(a>0,6>0).请从①②③中选取两个作为
ab
条件补充到题中,并完成下列问题.①6=石;②离心率为2;③与椭圆:+丁=1的焦点相同.
⑴求C的方程;
(2)直线/:y=x-3与C交于A,B两点,求恒国的值.
2
【答案】⑴/—匕=1
3
(2)|AB1=766
【详解】(1)选①②,可得6=若,且三=4,解得a=l,所以C的方程为/一£=1;
a3
2
选①③,可得)=6,片+/=5-1=4,解得。=1,所以C的方程为/-(=1;
选②③,可得坐以=4,。2+从=5-1=4,解得/=1,从=3,所以C的方程为/一f=1;
/3
卜上1
(2)设网当,%),联立3一,消掉》整理得/+3彳_6=0,
%+%2=-32
因为=\/1+11%1-x2\=后“%+%2)2-例%2-&J(-3)2+4x6=y/66,
二-6
所以|AB|=痴.
22
2.(2023秋•广西柳州•高二校考期末)已知双曲线C:彳-*=1(。>0,。>0)经过点尸(20,6),焦点产到
渐近线的距离为
(1)求双曲线C的方程;
(2)若斜率为1的直线/与双曲线C相交于A,8两点,当/过双曲线C的右焦点时,求弦长|48|的值.
22
【答案】(1)r?-v4=1
(2)24
be
【详解】(1)若焦点/(C,0),其到渐近线y=:x,2x_y=0的距离d=Ia=b=6
aa
22
又因为双曲线C:/齐=1(°>02>0)经过点尸(20,拘,
所以2=1,解得.=2,所以双曲线C的方程为=-4=1;
a343
(2)由(1)知双曲线的右焦点为(6,0),所以直线/方程为:y=x-不
设点人(七,%),8(%2,%),
联立卜丁一夕,
[3x2-4y2=12
得/_8缶+40=0,A=(8^)2-4X40>0
所以%+%=8e,xtx2=40,
从而|AB|=J1+⑴2•4西+々)2-4%也=垃■48姐-160=24.
所以弦长|4切的值为24.
3.(2023・全国•高三专题练习)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(招,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线/:y=x+2与双曲线交于A,8两点,求弦长|AB|.
【答案】⑴无?2->2=1
(2)2^3
【详解】(1)由已知得〃=百,。=2,
再由理=。2+。2,得岳=1,
所以双曲线C的方程为:-y2=i.
(2)由直线与双曲线联立得2/+12尤+15=0,
解得x=-3士如,
2
AB=++%)2-例%],
••||=+1.y/6=2事).
22
4.(2023春•四川遂宁•高二射洪中学校考阶段练习)已知双曲线I—七=1(〃>0/>0)的焦距为6,且虚
ab
轴长是实轴长的夜倍.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线的右焦点/且倾斜角为:的直线/与双曲线交于A,8两点,求|AB|.
22
【答案】⑴土-当=1
36
(2)873
22
【详解】(1)由双曲线十方=1(〃〉0,。〉0)的焦距为6,且虚轴长是实轴长的正倍.
得2c=6,旦人=y/2a,又,=4+/=3/-9,
解得C=3,Q2=3,
所以〃=02_々2=9_3=6,
22
所以双曲线方程为二-匕=1.
36
(2)由(1)可知双曲线C的右焦点厂为(3,0),所以直线/的方程为y=x-3,
设4(%,%),2(%,%),
《上1
由,!36,得尤2+615=0,
、y=x_3
占+%=-6
所以
占%=-15
2
所以IAB卜71+1•5(石+%2)2_4卒2=0-J36-4x(-15)=8g.
②双曲线的中点弦问题
1.(2023,全国•高三专题练习)己知A(-2,0),3(2,0),直线AM8M相交于点M,且它们的斜率之积是3.
(1)求点M的轨迹c的方程;
(2)过点N(2,3)能否作一条直线机与轨迹C交于两点尸,Q,且点N是线段尸。的中点?若能,求出直线相
的方程;若不能,说明理由.
22
【答案】(1)-匕=1("±2)
412
(2)不能,理由见解析
【详解】(1)设M(x,y),xw±2,
,j_y-0,_y-0,j
•RAM=二,"M=二,"AM,KBM=,
x+2x-2
=整理得3/_y2=i2(xw±2),
x+2x—2
22
即点M的轨迹C的方程土-匕=1(%丰±2).
412
(2)若能作出直线加,则直线机的斜率存在,设为若设尸(%,%),。(%2,%),
=1
(演一12)(玉+彳2)(%f)(H+%)
,两式相减得=0,
412
=1
整理可出士=3x-------
M+为
.二N是线段如的中点,,处=3xQ,即一,
故直线m的方程为y—3=2(x-2),即2x-y-l=0,
将直线方程代入双曲线方程可得V一4x+13=0,
A=(^l)2-4xl3<0,此时直线与双曲线不相交.
故不能作出这样的直线江
2.(2023秋•内蒙古包头•高二统考期末)如图1、2,已知圆A方程为(X+2)2+;/=12,点3(2,0).M是
⑴求点N的轨迹方程;
⑵记点N的轨迹为曲线r,过点尸是否存在一条直线/,使得直线/与曲线「交于两点C、D,且P是
线段CD中点.
【答案】⑴工72=1
3
⑵不存在这样的直线/
【详解】(1)由中垂线性质知,=
所以AB\
所以点N的轨迹是以A3为焦点,实轴长为26的双曲线
22
设此双曲线方程为=-与=1(。>0*>0),则4=6,.2+〃=4,;.〃=1
ab
所以点N的轨迹方程为E—丁=i.
3
Y-J712=1
(2)设C&,%),£>(%,%)可得,2
y-yf=1
两式相减得?现+%)(%+%)(%-%)=0
由题意占+%=3,%+%=1,所以Ks=?=1
直线co方程为>-3=k上一3〉=1,
y=x-1
由〈Y,得尤2_3X+3=0
-y=1
I3
•.・A=—3<0..•.不存在这样的直线/.
3.(2023秋•高二课时练习)已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2,其一条渐近线斜率为0.
(1)求双曲线的标准方程;
⑵过点A(L1)能否作直线/,使直线/与所给双曲线交于P、。两点,且点A是弦尸。的中点?如果直线/存
在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
2
【答案】⑴I一匕=i
2
⑵不存在,理由见解析
22
【详解】(1)解:因为双曲线的焦点在X轴上,设该双曲线的标准方程为[-3=1(。>0力>0),
ab
2a=2
因为该双曲线的实轴长为2,一条渐近线斜率为血,贝“2二五,解得,a=l
b=E
2
因此,该双曲线的标准方程为尤2一二=1.
2
(2)解:假定直线/存在,设以4(1,1)为中点的弦的两端点为p(%,yj、
根据双曲线的对称性知国力多.由点尸、。在双曲线上,
得2x;-y;=2,2月-货=2,
两式相减得2(玉+x2)(x1-x2)-(y1+%)(%一%)=。,
所以2x2&—々)一2(乂一切)=°,所以三生=2,
玉x2
即以A(l,l)为中点的弦所在直线的斜率%=2,
故直线PQ的方程为,-1=2(无一1),即2x-y—1=0.
2x2-y2=2
联立'c,消去?得2/-4x+3=0,
[2x_y_l=0
A=(T)2-4x2x3=-8<0,
因此直线,与双曲线无交点,故满足条件的直线/不存在.
4.(2023•全国•高二专题练习)中心在原点的双曲线C的焦点在x轴上,且焦距为4,请从下面3个条件中
选择1个补全条件,并完成后面问题:
①该曲线经过点尸(-2,3);
②该曲线的渐近线与圆(x-4)2+y2=i2相切;
③点M在该双曲线上,K,居为该双曲线的左、右焦点,当点M的纵坐标为1•时,以匕,居为直径的圆
经过点M.
⑴求双曲线C的标准方程;
⑵过定点。(U)能否作直线/,使/与此双曲线相交于A8两点,且。是弦的中点?若存在,求出/的方程;
若不存在,说明理由.
2
【答案】⑴尤2-匕=1
3
⑵不存在,理由见解析
22
【详解】(1)设双曲线C的标准方程为三-多=l(a>b>0),
ab
选①,由题意可知,双曲线C的两个焦点分别为£(-2,0),丹(2,0),P(-2,3),
由双曲线的定义可得2。=归用-上间=|血而-而百|=2,故。=1,
则6=后=7=6,所以双曲线E的标准方程为-=1.
选②,因为圆的方程为(x-4)2+y2=i2,圆心为(4,0),半径为2道,
h
双曲线E的渐近线方程为y=±—x,
a
竺
由题意可得HII工T、2=2百,解得2=6,即b=四,
因为°=,/+/=2〃=2,贝1」〃=1*=百,
2
因此双曲线E的标准方程为x2-^=l.
3
选③,因为以片,为为直径的圆经过点所以孙,出,
由勾股定理可得|吗「+|峥「=4C2=16,则4a2+2|M周周=16,
所以|而恒|=8-2〃=步,
11Q
2
从而SMFxF2=-\MFl\\MF2\=b=-x4x-,贝1)匕=6,
故Q=yjc2-b2=1,
2
所以双曲线E的标准方程为/-匕=1.
3
(2)假设满足条件的直线/存在,设点A(/M)I(%2,%),2(14),
两式作差并化简得a-%)a+%)=)(%+
所以直线/的斜率为%=上二&=3,
玉-x2
从而直线/的方程为y-1=3(%-1),即y=3x-2,
y=3x-2
联立-2>2,整理可得6尤2_12X+7=0,
I3
易得△=122-4X6X7<0,因此直线/不存在.
22
5.(2023•全国•高二专题练习)双曲线C:,-1r=l(a>0力>0)的渐近线方程为'=,一个焦点到该渐
近线的距离为2.
⑴求C的方程;
(2)是否存在直线/,经过点”(1,4)且与双曲线C于A,2两点,M为线段A8的中点,若存在,求/的方程:
若不存在,说明理由.
2
【答案】⑴炉一匕=1
4
⑵存在;x+3.
22R
【详解】(1)双曲线。:0-0=1(。>0乃>0)的渐近线为y=±二尤,
aba
h
因为双曲线的一条渐近线方程为y=2x,所以Z=2,
a
\2c\
又焦点(c,o)到直线y=2x的距离d=收+5=2,所以c=若,
2
又/=4+火所以/=1,从=4,所以双曲线方程为/-21=1
4
(2)假设存在,由题意知:直线的斜率存在,设人(4%),B(x2,y2),直线/的斜率为左,则%+%=2,
%+%=8,
所以西2-号=1,=1,
两式相减得犬一xj_9+[=0,即+)=(%+9)(占一%)
即二牝所以4左=4,解得上=1,
(玉+马)(玉一天)
所以直线/的方程为,-4=x-l,即y=x+3,
经检验直线/:y=x+3与双曲线C有两个交点,满足条件,
所以直线/的方程为y=x+3.
③双曲线中的参数及范围问题
2
1.(2023春,上海长宁,高二上海市第三女子中学校考期中)已知双曲线C:炉-2=1e>0)的离心率为0;
b
(1)求此双曲线的渐近线方程;
(2)若经过点P(0,-l)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M,N,求线段MN的中垂线/在y轴上的截距
f的取值范围;
【答案】⑴y=±x
(2)(2,+8)
2
【详解】⑴双曲线C:尤2f=l(b>0)的离心率为四.a=l,可得c=0,所以6=1.
可得双曲线C:x2-y=i.
可得双曲线的渐近线方程为:>=±》.
(2)设经过点尸的直线方程为>=自-1,M®,%),N(X2,%),
_2_<
(x2v
联立方程组,一,消去y得:(1-/)/+2履-2=0,
1一爪0
解得l<k<6.
=4^2+8(1-^2)>0
.〔MN的中点为(丁。,丁3),
1—K,1—K,
11”
.•・线段MN的中垂线方程为:^+--7=--(%+—T),
1-KK1-K
2
令尤=0得截距t=h匚>2.
K-I
即线段的中垂线/在,轴上截距f的取值范围是(2,+s).
2.(2023秋・浙江杭州•高二校考期末)已知点A尸分别为双曲线C:x2-y2=/m>0)的左顶点和右焦点,
过F且垂直于x轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B,AASF的面积为2(四+1).
(1)求双曲线C的方程;
⑵若直线与双曲线的左、右两支分别交于M,N两点,与双曲线的两条渐近线分别交于
P,。两点,记△MON,△4尸。的面积分别为岳,S2(。为坐标原点).若S|=2S2,求实数彳的取值范
围.
22
【答案】⑴工-匕=1
44
⑵「
22
【详解】(1)由题意可知C。-4=1,所以A(—。,0),尸(C解),
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