复数（解析版）-2025年高中数学一轮复习

第03讲复数

（9类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第2题，5分复数的四则运算无

2024年新H卷，第1题，5分复数的模无

2023年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共辗复数无

2023年新II卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的几何意义无

2022年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共转复数无

2022年新II卷，第2题，5分复数的四则运算无

2021年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共辗复数无

2021年新II卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的几何意义无

2020年新I卷，第1题，5分复数的四则运算无

2020年新H卷，第2题，5分复数的四则运算无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、

及纯虚数

2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轨复数

3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共辗复数、模长运算、几何意

义，题型较为简单。

111.考点梳理

1

知识点1数集的分类

知识点2虚数单位及周期

知识点3复数的代数形式及复数分类

知识点4箕数相等

核心知识点知识点5哂3

知识点6复数的几何意义及复数的模

知识点7算数的四则运算

知识点8箕数的三角表示

考点1复数的四则运算

考点2求复数的实部与虎部

考点3复数相等

考点4复数的分类及加虚数概念考查

考点5复数的几何意义

考点6复数的模长及与模相关的轨迹问题

考点7具数的三角形式

考点8欧拉公式

考点9复数多选题

知识讲解

1.复数的定义

我们把形如“+6i(a,6eR)的数叫做复数，其中i叫做.一虚数单位的周期

【答案】虚数单位-14

2.复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,6eR),其中的。与6分别叫做复数z的.

【答案】实部虚部

3.对于复数z=“+6i(4/eR),复数z=。+历(a,6eR),z为实数o;z为虚数=

Z为纯虚数oZ为非纯虚数O

即复数z=a+bi(a,ftGR)<

2

'实数(6=0)

(2=04W0

【答案】6=06片0纯虚数(。=0)

6w0bwO虚数仅30)<

非纯虚数(aw0)

4.在复数集C={a+bi|a,6eR}中任取两个数。+如c+di(a,b,c,deR),规定a+6i与c+di相等当且仅

当____________,即复数相等：a+bi=c+di<^>(a,b,c,deR).

5.共辗复数

Cl)定义：当两个复数的实部,虚部时，这两个复数叫做互为共辗复数.虚部不

等于0的两个共轲复数也叫做共飘虚数.

(2)表示方法：复数z的共轨复数用彳表示，即如果z=a+bi,那么彳=.

【答案】相等互为相反数a-bi

6.复数的几何意义

为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量应，并且规定，的向量表示同一个复数.

【答案】相等

7.复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做,x轴叫做,y轴叫做.实轴上的点都

8.复数的模

向量应的模称为复数z=a+6i的模或绝对值，记作或.即|z|=|a+bi|=,其中

a,beR.如果6=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模就等于.

22

【答案】闫\a+bi\yja+bH

9.复数的加、减法运算法则

设Z]=a+bi,z2=c+cA(a,b,c,dGR),贝!J4+z2=,4-z2-1

【答案】(a+c)+(b+d)i(Q-C)+他-d)i

3

10.复数加法的运算律

对任意句0区eC,有

(1)交换律：4+Z2=.(2)结合律：(Z|+Z2)+Z3=

ZZZ+Z

【答案】Z2+l1+(23)

11.复数的乘法

(1)复数的乘法法则

设Z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR)是任意两个复数，那么它们的积

(a+Z)i)(c+di)-ac+bci+ad\+bdi2-.

(2)复数乘法的运算律

对于任意向/2/3eC,有

交换律*;___

结合律(平2"3=_

(z+z)=

乘法对加法的分配律Z123

【答案】(ac-6d)+(bc+ad)iz2Z[ZR+Z.

12.设4/2的三角形式分别是Z]=7](cos6>+isin01),z2=^(cos02+isin%),

那么，Z]Z2==.

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，

辐角相加.

r

【答案】\(cos+isin)-A;(cos02+isin02)rxr2[cos)+isin(0J+

13.设2]0的三角形式分别是Z]=4(cosa+isina),Z2=4(cose2+isine2),且z2H0,那么，?=

Z2

*

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减

去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.

【答案】-cos(4-a)+isin(q-a)

r2

考点一、复数的四则运算

.典例引领

1.(2024•全国•高考真题)设z=&i，贝IJzN=()

A.-iB.1C.-1D.2

【答案】D

4

【分析】先根据共朝复数的定义写出口然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得，z=-V2i，故「=-2i2=2.

故选：D

5（l+i3）

2.（2023•全国•图考真题）<<，=（）

（2+I）（2T）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算求解即可.

5。+巧5(1)-i

【详解】

(2+i)(2-i)5

故选：C.

即时检测

I_________L___________

1.（2024・天津•高考真题）已知i是虚数单位，复数（退+i）•（君-2i）=.

【答案】7-后

【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.

［详解］（石+-2i）=5+&_2&+2=7-6.

故答案为：7-万.

2.（2023•全国•高考真题）设z=,2；,贝上=（）

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共辗复数的定义确定其共辄复数即可.

2+i2+ii(2+i)2i-l

【详解】由题意可得z==l-2i,

l+i2+i51-1+i

则亍=1+2i.

故选:B.

3.（2024・河南•三模）已知i为虚数单位，［二（）

（1-9

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】D

【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.

(1+i)3_(l+i)2(l+i)_2i(l+i)

【详解】=-1-i.

(1-i)2~-2i~-2i

5

故选：D

考点二、求复数的实部与虚部

6典例引领

1-1

1.（2024・全国•模拟预测）已知z=F，则z的实部是（）

1+1

A.-iB.iC.0D.1

【答案】C

【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得.

【详解】因为z=^=/°：：）.\=-i,所以Z的实部是0.

1+1+

故选：C.

2.（2024•黑龙江•三模）若?一=i,则zR-l）的虚部为（）

1—1

A.-1B.1C.3D.-3

【答案】A

【分析】先利用乘法运算法则化简复数z,然后化简z（N-1）得3-i,即可求出其虚部.

【详解】因为吉=i,所以2=-2+（l-i）i=-l+i,所以N=

1-1

所以zW-l）=（-l+i）（-2-i）=3-i,则Z（7—1）的虚部为T.

故选：A

1.（2024•重庆•三模）设复数z满足2z-iF=l,则z的虚部为（）

11,

A.—B.—C.3D.—3

33

【答案】A

【分析】设复数z=a+6i（q,6eR）,根据题意，列出方程，结合复数相等，求得6的值，即可求解.

【详解】设复数z=a+历QbeR）,

因为复数z满足2z-五=1,可得2a+2历-i（"历）=1,

即2。-6+（2b—a）i=1,贝1|2a—6=1,2b—a=0,解得b=

所以复数Z的虚部为;.

故选：A.

6

2.(2024.陕西.二模)复数z=i(l+『)(iJ2i)的实部为()

A.1B.3C.-2D.-1

【答案】B

【分析】通过复数的运算将复数化简成。+历的形式，即可得到实部.

【详解】由z=i(l-D(l-2i)=(l+i)(l-2i)=3-i,可得复数z的实部为3,

故选：B.

3.(2024・江西鹰潭・二模)已知z=0+i)，则[的虚部为()

1-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

【答案】D

【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数z,继而得胃的虚部.

【详解】由2=°止[(l+i)2『(2i)2-4(1+i)

==-2(l+i)=-2-2i,

1-i1-i1-i(l-i)(l+i)

则z——2+2i,z的虚部为2.

故选：D.

考点三、复数相等

小—典例引领

1.(2023,全国考真题)设aER,(4+i)(l—ai)=2,,贝()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

[详解】因为(a+i)(l_qi);Q./i+i+q=2a+卜/)=2,

[2a=2,

所以I2八，解得：a=\.

[1一〃=0

故选：C.

2.(2022・浙江•高考真题)已知a,b£R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则()

A.。=1,6=-3B.ci=-l,b=3C.。=-1,6=-3D.a=l,b=3

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件可求。，氏

【详解】a+3i=—l+历,而为实数，故。=-1/=3,

故选：B.

7

.即_时__检__测___

1.(2024•河南•模拟预测)己知i为虚数单位，a,beR,满足(a-2i)i=b+i,则a+6=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简(。-2i)i,再根据复数相等的充要条件得出方程组，求出6的

值，即可得解.

【详解】因为(a-2i)i=2+ai,

又(a-2i)i=6+i且a,6eR,所以,故a+b=3.

[b=2

故选：D.

2.(2024•安徽合肥•三模)已知z(i-3)=7+2,则二=()

42.42.

A.—+—1B.-----1

9999

42.42.

C.——+—1D.------1

9999

【答案】D

【分析】设2=a+6i(a/£R),贝”=bi,根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之

即可求解.

【详解】设z=a+bi(a,6cR),则亍=〃一例，

因为z(i—3)=三+2,所以(Q+6i)(i—3)=a—bi+2,

即—3Q—b+(a—3Z?)i=a+2—bi,

4

a=—

—3。一b=a+29

所以,解得

a-3b=-b2，

b=-

9

故选：D.

3.(2024•河北保定•三模)若复数2满足z-2=则实数加=()

3-1

1111

A.-B.-C.——D.——

2323

【答案】B

【分析】设z=a+bi(a,beR),根据复数相等，即可列式求相.

【详解】设z=a+，i(a,beR),则1=历,所以z-W=26i，

由z—z=加+i,得2历(3-i)=〃z+i,贝!J26+6历=m+i,

3-1

8

b=-

2b=m6

所以人।,解得

6b=11

m=—

3

故选：B.

考点四、复数的分类及纯虚数概念考查

中典例引领

1.(2024・河北•二模)已知复数z==T+ai(aeR)是实数，则。=()

(1+1)

A.^2B.一5/2C.-2D.2

【答案】D

【分析】根据复数的四则运算法则计算得到z=-l+(a-2)i,再根据实数的定义求解即可.

4-2i4-21

z=+fli=+fli=_1+(fl-2)i

［详解］7］—y77in

因为z是实数，

所以a—2=0,即a=2.

故选：D.

2.(2024・河南•三模)已知复数胃(aeR)为纯虚数，贝!I。的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算求出z,根据复数为纯虚数，列出相应等式和不等式，即可求得答案.

1+tzil+q+(a—l)i

【详解】

1+i(l+i)(「i)2

1+(2=0

由题意得।八，所以Q=-1,

[Q—1w0

故选：c.

中即时检测

1.(2024•辽宁大连•二模)设xeR,则"x=1"是"复数z=(/-l)+(x+l)i为纯虚数”的()

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

9

【分析】由复数Z为纯虚数求得X的值，再根据充分必要条件关系判断.

Y2_1_Q

【详解】因为复数2为纯虚数，所以1-，解得X=l，

[x+lwO

所以x=I是复数z为纯虚数的充要条件.

故选：A.

m+i

2.（2024・辽宁•模拟预测）若复数L为实数，则实数加等于（）

2+1

11

A.—B.—1C.—D.2

32

【答案】D

【分析】由复数的除法把等化简，表示成复数的代数形式，由虚部为0,求加的值.

2+1

m+i2m+1（2-m）.

【详解】------+--i,若复数”为实数,

2+i（2+i）。-i）5-----552+1

则2—加=0,即加=2.

故选：D.

考点五、复数的几何意义

典例引领

1.（2023・全国•高考真题）在复平面内，0+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3-i）=3+8i-3f=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

2-i

2.（2021•全国•高考真题）复数11在复平面内对应的点所在的象限为（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法可化简二，从而可求对应的点的位置.

1-31

21+31

【详解】—=（-0（）=5+5i_=I±L,所以该复数对应的点为

l-3i10102122j

该点在第一象限，

故选：A.

10

3.（2024•山西•三模）已知复数（l+2i）-/（3-i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数加的取值范围

是.

【答案】（-心-2）

【分析】整理得到不等式组，解出即可.

【详解】由于（l+2i）-加（3-i）=（l-3加）+（2+”?）i,

fl-3m>0

故点（1-3叫2+冽）位于第四象限，因此,解得加<-2,

[2+m<0

即加的取值范围是（-*-2）.

故答案为：（-叫-2）.

.即_时__检__测___

1.（2024・山东•二模）已知复数z满足（l-i）z=3+i,则7在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】由题意求出z,进而解出口判断彳在复平面内对应的点所在象限即可.

3+i（3+i）（l+i）

【详解】由题意知：z=「=.）.=l+2i,

所以』=l_2i，所以彳在复平面内对应的点（1,-2）位于第四象限.

故选：D.

2.（2024•江西•模拟预测）在复平面内，复数z对应的点的坐标为,则，L=（）

l-2i

42.24.42.24.

A.----1B.----1C.—I—1D.—I—1

55555555

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数z对应的点的坐标可以得出对应复数的代数形式，再结合复

数的四则运算法则，即可得解.

【详解】因为复数z对应的点的坐标为（1,T）,所以z=l-i,

22i2i(l+2i)42.

所以z2=(l-i>=_2i,所以丁zW-----------------1

(l-2i)(l+2i)55

故选：A.

3.（2024•江西•模拟预测）若复数z的共辗复数[满足12。231=1_方，贝」在复平面内对应的点的坐标为（）

A.（2,1）B.（-2,1）

C.（-2,-1）D.（2,-1）

【答案】D

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得三=2+i，得到z=2-i,结合复数的几何意义，即可求解.

11

【详解】由i2023l=i_2i，可得“1亮=匕=2+卜贝Uz=2-i，

1-1

则z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1).

故选：D.

考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题

典例引领

1.(2024,全国・高考真题)已知z=-1-i,则忖=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若2=-1-匕则忖="

故选：C.

2.(2023・全国,高考真题)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.y/5D.5

【答案】C

【分析】由题意首先化简2+i2+2『，然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+乎+2下=2-l-2i=l-2i，

则|2+i2+2i3|=|l-2i|="+(-2丫=石.

故选：C.

3.(2024・广东揭阳•二模)已知复数z在复平面内对应的点为(a,6),且|z+i|=4,则

A.a2+(Z>+1)*=4B.a2+(6+1)'—16

C.(a+lf+b2=4D.(a+l)2+b2-16

【答案】B

【分析】借助导数的几何意义可得z=a+bi,再利用模长公式即可得.

【详解】由题意得2=.+历，所以卜+伍+1川=4,则/+优+1)2=16.

故选：B.

也即鹤叫

1.(2024•福建南平二模)若复数z满足z+i=2i(z-i),则忖=()

A.1B.72C.V3D.2

12

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.

【详解】由题意可知,复数z满足z+i=2i(z-i),

2-i(2-i)(l+2i)43.

则可转化为-----------------------------=-------1-----1

(l-2i)(l+2i)55

所以1z|=Jc|)2+(|)2=1.

故选：A.

2.(2024・贵州毕节•三模)若复数z满足(1+%尸”=3产4_不，则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出z=-4-3i,再由复数的模长公式求解即可.

【详解】因为(1+尸+/)/=驴°24一不，则(l-l+i)-z=3-4i,

3-4i(3-4i)i3i-4i23i+4/

即anz=----=1-^-=---------=--------=-431,

ii2-1-1

故|Z|=J(-4)2+(_3)2=5.

故选：B.

3.(2024・辽宁・二模)已知i是虚数单位，复数z满足|z-i|=l,则卜-码的最小值为()

A.73-1B.1C.V3+1D.3

【答案】B

【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.

【详解】|z-i|=1的几何意义是复数z对应的点Z到点4(0,1)的距离为1,

即点Z在以点/(0,1)为圆心，1为半径的圆上，

|z-的几何意义是点Z到点8(亚0)的距离.

如图所示，故|7-。|疝„=「可=^用一1=2-1=1.

故选：B.

考点七、复数的三角形式

13

典例引领

1.(2024•黑龙江哈尔滨三模)复数z=a+6i(a,6eR,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设r=|OZ|,6是

以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z=a+历=r(cos6+isin。),把r(cos0+isin。)叫

做复数。+历的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，

[r(cos0+isin。)]"=r"(cos"0+isin〃0eN,例如：=(cos@+isin=cos2兀+isin2;r=1,

4^os兀+isin7i)=-4,复数z满足:z3=1+i则z可能取值为()

B,同cos口+isin当

l44J

1771..17R

D.------bism-----

1212

【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得z=^即

可得解.

【详解】设z=T(cose+isin。),

贝lj=1+i=y/2卜os:+isin=r3

(cos36+isin3。),

所以r=蚯，30=2kn+-,keZ,^0=—+—,keZ,

4312

所以7=啦c°s]—+Fj+isin[^+f],左eZ

故左=2时，e=故Z可取於jcosU^+isinU^],

12I1212)

故选：D

【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再

利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.

2.(2024•内蒙古赤峰•一模)棣莫弗公式(cosx+i-sinx)〃=cos(词+i・sin(〃x)(其中i为虚数单位)是由法国

数学家棣莫弗(1667-1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数[cos；+i-sin：|2在复平面内所对应的点位

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.

14

w、辛在刀（Jr..兀、2兀..2兀1^3.

L评解】cos—+1-sin—=cos----Fi-sin——=----1------i，

I33j3322

在复平面内所对应的点为,在第二象限.

故选：B.

即时检测

1.（2024•陕西商洛•模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数

3=4(cos'+isinej,z2=r2(cos%+isin^2)(^,^>0),则z{z2=rxr2[cos(q+02)+isin(q+2)]•设

,2024的虚部为（）

Z*与则Z

A-4C.1D.0

【答案】B

【分析】变形复数Z,根据题中定义进行计算，即可判定.

1=C0S47i..4兀

【详解】—1-T-----bism——，

33

4Kx2024..4TIX2024

所以Z23=cos------------+ism-------------

33

2兀..2兀1省.

=cos----1-ism——=-------1-------1,

3322

所以Z2°24的虚部为亚

2

故选:B.

2it27r

2.（2。23・全国•模拟预测）已知复数z=cos逅+ism芯2022-1(=(

A.2022B.2023C.-2022D.-2023

【答案】B

【分析】根据题意结合复数运算可得》的方程/。23_1=（）的根为I//?,…/2。22,进而整理可得

220222022

x-zx_z•••(x-z1=1+X+--+X,取X=1即可得结果.

打+ism当

【详解】设%=cos-,nG42022，

20232023

2023

2〃•兀..2〃・兀

则以23cos--------F1sm------=cos(2〃.兀)+isin(2〃.兀)=1,

20232023

由题意可得：ZO=1,Z.=Z\〃£N*,〃<2O22

可得关于X的方程x2°23-1=0的根为1,2,z2,…,z2°22

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故婷32T=(x_l)(x_2乂X_2)…1—2靖)，

.20231

»#(x-z)(x-r)---(x-?022)=1+X+…+铲巴

gp(x-z)(x-?)--(x-z2022)=1+X+…+/22,

令X=l,可得。_2乂1—72)…(l—z2°22)=]+]+…+]2。22=2023,

且2022为偶数，所以(z-l*2-l)L(z2022-1)=2023.

故选：B.

考点八、欧拉公式

典例引领

1.（2024・四川绵阳•模拟预测）欧拉公式/=cosO+isinO把自然对数的底数e,虚数单位i,cos。和sin。联

系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为"数学中的天桥”.则6.+1=（）

A.-1B.0C.1D.i

【答案】B

【分析】把。=兀代入欧拉公式即可。

【详解】e'"+1=COST:+isin兀+1=-1+1=0.

故选：B

2.（2022•重庆北倍•模拟预测）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.由《物

理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式"e加+1=0"与麦克斯韦方程组并称为"史上最伟大的公

生.红,

rT，

式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：e'°=cos0+isin0的一种特殊情况.根据欧拉公式，e+e)

A.1B."C.V2D.V3

22

【答案】C

【分析】化简复数e?+e/，利用复数的模长公式可求得结果.

VIV

71T-1n..7157r..JTIi+6.

【详解】e3+e6=cos—■i-ism-FCOS--Fisin——=--------F1

33662------2

故选：C.

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1.（2023・云南昆明•一模）欧拉公式：/=cos8+isin。将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中

占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数e%在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断

【详解】由题意可得：e3i=cos3+i-sin3对应的点为（cos3,sin3）,

：3e兀],贝!]cos3<0,sin3>0,

故（cos3,sin3）位于第二象限.

故选：B.

2.（2024•浙江绍兴•模拟预测）已知e，=cos6+isin。，则在下列表达式中表示sin。的是（）

-\6A6.-10

A.e-eB.e+e

2i2i

C.e-eD.-e+e

2i2i

【答案】A

【分析】根据题设小的表达式求出e*的表达式，再代入选项逐一检验即得.

【详解】因―=cos6+，sin。，贝峰一落=cos（—0）+isin（—0）=cos9—isin。,

1-1

“工Ae^-e^cosO+isin。一（cos6-isin。）2sin。i.八A田丁成

对于A,-------=--------------------------=-------=sm6,4故4rA项正确；

2i2i2i

对于B,e'°+e==cos。+1sm。+（cos8tsm8）=2^=—_s/i,故B项错误;

2i2i2i

㈢工厂e-1^-e10d0—e一ecosO+isin。一（cos。一isin。）2sri0i.八44L小小、口

对于C,-------=---------=---------------------------J---------—sm。，故rC项错厌；

2i2i2i2i

对于D,由B项知，---------=cosO'i,故D项错误.

2i

故选：A.

考点九、复数多选题

中典例引领

1.（2024・福建福州•三模）己知复数句/2,下列结论正确的是（）

A.若Z]=z2，贝Uz；=z；B.Zj-z2=z1-z2

C.若空2=0,贝！]4=0或Z2=0D.若2产0且Z]=z?,则乎2=匕「

【答案】BCD

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【分析】通过列举特殊复数验证A；设Z1=a+6i,(a,6eR),则z?=a-历,(a,6cR),通过复数计算即可判断

B；由44=0得㈤㈤=0,即可判断C；设z=a+，i,g,6eR),通过复数计算即可判断D.

【详解】对于A,设4=l+i,则Z2=l-i,所以z；=(l+i)z=2i,而z；=(l-i>=-2i,

所以z；Nz；,故A不正确；

对于B,设马=a+H(a,beW)9z2=c+cfi(c,dGR),

贝ljzi-z2=(a-c)-(b-d)i=(a-bi)~{c~(K)=z1-z2,故B正确；

对于C若4-2=0,所以匕卜0,所以归闫=0,

所以|zj=o或匕2|=°，所以4/2至少有一个为0,故C正确.

对于D,=a+bi,(a