高考数学压轴题专项训练：数列（选填压轴题）含答案及解析

专题17数列（选填压轴题）

目录

①等差数列..........................................................1

②等比数列..........................................................3

③数列的通项........................................................4

④递推数列..........................................................5

⑤数列求和..........................................................6

⑥数列的极限........................................................7

⑦等差数列与等比数列综合...........................................8

⑧数列不等式........................................................9

⑨数列新定义.......................................................10

①等差数列

1.（2023•福建宁德•校考二模）己知S“是数列｛%｝的前〃项和，4=2,%=3,%=4,数列｛%+q,+i+4+2｝

是公差为1的等差数列，则$4。=（）

A.366B.367C.368D.369

2.（2023•江西上饶•校联考模拟预测）在正项数列｛%｝中，4=1,%+「q=1,记

+1）（。\（a＞整数加满足lg（IO"?+想。0143+1人则数列秒“｝的前机项和为（）

551111

A.—B.—C.—D.—

11122624

3.（多选）（2023・山东,山东省实验中学校考一模）己知｛叫为等差数列，前w项和为S“，4=10,公差d=-2,

则（）.

A.an=-2n+12

B.邑二跖

C.当〃=5或6时，s“取得最大值为30

D.数列4，出，…，％023与数列｛3m+10｝（meN*）共有671项互为相反数

4.（多选）（2023•湖南长沙倜南中学校考三模）已知数列｛4｝的前w项和是S“，则下列说法正确的是（）

A.若S“=a”,则｛%｝是等差数列

B.若q=2,an+｝=2a„+3,则｛4+3｝是等比数列

C.若｛见｝是等差数列，则S“，S2n-Sn,$3“一邑，成等差数列

D.若｛%｝是等比数列，则S“，S,n-Sn,S—S2,成等比数列

5.（2023•福建泉州•校联考模拟预测）已知S“是等差数列｛%｝的前"项和，若仅当〃=5时S”取到最小值，

且I%1＞14I，则满足S"＞。的〃的最小值为.

6.（2023,上海青浦,统考二模）已知数歹!]｛q｝满足=。"2+〃，若满足＜的＜。3＜。4＜/＜。6且对任意

AZG[9,+OO）,都有a“＞a“+],则实数。的取值范围是_.

7.（2023・福建福州•福州四中校考模拟预测）已知无穷等差数列｛%｝中的各项均大于0,且%+始+%=8,

则£1_41的最小值为.

8.（2023•海南省直辖县级单位•文昌中学校考模拟预测）已知各项都不为0的数列｛4｝的前上项和既满足

2S—,其中4=1,设数列,的前”项和为（，若对一切〃eN*,恒有方“-北＞5成立，则f能取

[an\16

到的最大整数是.

9.（2023•山东烟台•统考三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比

相同的等比数列，数阵中各项均为正数，劭2=3,%3=1°，%4=即4、/，贝1KL；在数列｛%」｝中

的任意见」与必川两项之间，都插入左心€z）个相同的数（-1卢乂，组成数列｛c,J,记数列｛.｝的前〃项和

为则"）=.

10.（2023・云南•校联考模拟预测）定义|闻表示与实数x的距离最近的整数（当x为两相邻整数的算术平均

值时，可取较大整数），如忖=1,口=2,忸|=2,||2司=3,令函数K（x）=W，数列｛%｝的通项公式

_1

为环高，其前”项和为S“，贝l」S6=;$2025=.

②等比数列

L（2023•陕西宝鸡•统考二模）已知S"是等比数歹!］｛%｝的前〃项和，且S“=2用+〃，贝！|。1%+。2%+…+=

（）

223-8213-8225-8

A.B.D.

333

2.（2023•四川绵阳•三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列｛%｝,满足%=2。］+的，若存在两

项册，《，使得M，a”=,则,+*最小值为（）

mn

31

A.2B.-C.-D.1

23

3.（2023•四川•校联考模拟预测）在数列｛凡｝中，V〃eN*,"角=M］，且2<%<3,则下列结论成立

的是（）

A.。2022<。2020B.%020+%022>%021+%023

C・。2022+。2023<2〃2021D.。2023>。2021

4.（2023•山东青岛•统考二模）设国表示不超过X的最大整数（例如：艮5]=3,[—1.5]=-2）,则

[log2l]+[log22]+[log23]+---+[log22046]=（）

A.9x210-8B.9x2"-8C.9x210+2D.9x2n+2

5.（2023,河南开封,开封高中校考模拟预测）己知数列｛七｝的前"项和为S"，且%=?±1%,

24〃+2

rj

若不等式（-1）"2<s"+会对一切“eN*恒成立，则X的取值范围为（）

6.（多选）（2023•福建三明•统考三模）设等比数列｛凡｝的前〃项和为S“，前”项积为「，若满足。<叫<1,

%，“4040>1,（%）23一1）（为024一1）<°，则下列选项正确的是（）

A.｛。“｝为递减数列B.S2023+I<$2024

C.当〃=2023时，T0最小D.当时，”的最小值为4047

7.（2023,福建泉州•统考三模）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一

个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为从第二次抽盲

盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为2.记玩

z3

家第”次抽盲盒，抽中奖品的概率为4,则（）

A.B.数列为等比数列

19

C.P„<—D.当"22时，”越大，月越小

8.（2023・重庆巴南•统考一模）已知等比数列｛凡｝满足：al+a2=20,%+4=8。.数列也｝满足

b

6'=log2%（〃eN*）,其前一项和为S"，若守?42恒成立，则几的最小值为.

9.（2023•黑龙江•黑龙江实验中学校考三模）己知数列｛%｝的通项公式是为=2〃-1,记与为｛凡｝在区间

［犯2'"）（根GN*）内项的个数，则b5=,不等式以「勾>2062成立的m的最小值为.

10.（2023•山东荷泽•统考二模）设数列｛风｝是以g为首项，g为公比的等比数列，在生和的之间插入1个

数占1，使4,xn,生成等差数列；在出和。3之间插入2个数孙，程，使出，孙，/2，生成等差数列；…；

在与和%+1之间插入"个数无皿，xn2,xm,使%,xnl,xn2,xm,%+1成等差数列,则如=;

4

令S〃=玉1+孙+兀22+…+兀〃1+%〃2+…+%〃，则.

③数列的通项

1.（2023•山东济宁・嘉祥县第一中学统考三模）已知函数y=/（x）（xeR）,满足

2.（2023春・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）数列｛4｝满足q=1,

A.（8,10）B.（10,12）C.（12,19）D.（14,16）

3.（多选）（2023•江苏扬州•统考模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的

数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长将数列1、2进行“美好成长"，第一次得到数列1、2、2；

第二次得到数列1、2、2、4、2；L；设第〃次"美好成长”后得到的数列为1、不、巧、L、4、2,并

记。〃=log2（lx石XX2X...X/X2）,贝!J（）

A.2=5B.k=T+l

c.«„+1=3«„-lD.数列工的前几项和为:一行，

+1

[»A+1J23"+l

4.（2023•全国•高三专题练习）数列｛%｝,%=%=1,a“+2=4+a“+i（"eN*）,该数列为著名的裴波那契

数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物的生长规律，则下面结

论正确的是（）

123

A.a2+a4+...a2n=a2n+l-1B.a1++---+a^=anan+l

C.数列，氏+I+16%＞为等比数列D.数列，4+「上手%•为等比数列

5.（2023•全国•高三专题练习）引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强拼

搏的体育竞技精神，某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为"传球训练

赛"，即参赛的甲、乙、丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者

再随机地将球传给其他两人中的任意一人，则第6次传球，重新由乙同学传球的概率为.

6.（2023春•湖北武汉•高二武汉西藏中学校考期末）已知点列45，。）（〃=12…），其中再=0,彳2=1.4是

线段A4的中点，4是线段4A的中点，…，4是线段ATAT的中点，.…记4=斗+1-斗.则%=；

④递推数列

1.（2023春・安徽黄山•高二统考期末）数列a｝中，4=1,对任意正整数P应都满足数列2=2。",

若瓦+b2T----\-bk=629贝ljk=（）

A.3B.4C.5D.6

,、ell1

2.（2023春・新疆•高二校联考期末）若数列｛q｝满足％=-3,--------------=1,贝1]/85=（）

。〃+14A+1

11

A.2B.——C.-3D.-

23

3.（2023春•广西河池•高二校联考期中）已知数列｛“〃｝满足〃1=3,cin+ian+an+x-+1=0,〃$N*,则。2023=

（）

1i

A.——B.3C.yD.-2

32

4.（多选）（2023春・江西赣州•高二江西省龙南中学校考期末）已知S”是｛〃“｝的前〃项和，%=2,

----5之2）,则（）

%

A.%023=2B.52023=1013

C.%""3"+1%"+2=1D.｛%｝是以3为周期的周期数列

5.（2023春・浙江■高二期中）已知数列｛q｝满足q=。,2=a+l，a.+2-2a“+i+a“=〃-20,其中。是给定的

实数设d=%+「4,以下判断正确的是（）

A.也｝是等差数列

B.。4="53

C.｛bn｝的通项公式为bn=（7），-40）+］

D.数列｛%｝的最小项是。40

6.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考模拟预测）已知数列｛七｝满足：成,=。2"-「。2用，2a2.+i=%,+%,+2,

若电=2q=2,贝I数歹"」一］的前50项和为

1%"

7.（2023・全国•高三专题练习）函数>=［可为数学家高斯创造的取整函数，［可表示不超过x的最大整数,

如［0.90］=。，［lg99］=l,已知数列｛氏｝满足%=3,且。“=〃&+「2）,若2=［坨4］,则数列他J的前2023

项和为.

8.（2023春・山东•高二校联考阶段练习）在数列也｝中，4=1,a„+1+（-l）"a„=«,«eN*,则%=;

｛q｝的前40项和为,

⑤数列求和

1.（2023•北京•校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列｛%｝满足：%+1=2。，且%是々与知的等比

中项.设数列出｝满足2=」一（〃eN*）,则数列也｝的前〃项和S“为（）

4A+i

“11、〃1八1）〃

,212M+1J2n+l•2（2n+1）2n+l

C.-fl-——^=—D.-fl+—I―K—

2（2/z+lJ2n-l2（2/i+lJ2n-l

2.（2023•福建厦门•厦门一中校考一模）已知数列｛叫满足：4+为=0,a,,+2+（-1）等a,,=2,则数列｛q｝

的前100项的和为（）

A.50B.98C.100D.102

,、a,2n/-、\

3.（多选）（2023春・安徽亳州•高二亳州二中校考期中）已知数歹U｛%｝满足4=-2,1=1（〃N2,"eN）,

an-\〃一］

数列｛4｝的前〃项和为s“，则（）

A.%=-8B.an=-T-n

C.邑=一30D.S〃=（l—耳・2向—2

4.（多选）（2023春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末）已知数列｛%｝满足q=8,a2=l,

、//用

一班★将，4为数列｛《｝的前〃项和，则下列说法正确的有（）

｛4-2,“为奇数

A.an=-2B.T2n=-iv+9n+1

C.%9=-2049D.T“的最大值为21

5.（2023春•湖南•高二校联考阶段练习）我们定义一^211^一N*）为数列｛叫｝的“特别数〃.现已

,、2111

知数列｛an｝的〃特别数〃为则厂上厂+厂工厂+■・•+-/——/—=_________.

fl74+N〃27。2+7〃37“2022'7々2023

6.（2023・陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测）数列｛%｝中，a„=log„+1（n+2）（neN*）.定义：使数列｛““｝

的前左项的积为整数的数网左eN*）叫做期盼数，则区间U2023］内的所有期盼数的和等于.

7.（2023•全国•高二专题练习）已知数列｛4｝满足%=4,%包=2%，数列也｝的通项公式为2=号，记数

列｛。也｝的前〃项和为I,,则北=________;若存在正数左，使普”;对任意〃eN*恒成立,则左

n

kln

的最小值为.

⑥数列的极限

1.（2023•全国•高二专题练习）若数列｛凡｝满足：I--©=5-g「（weN*）,其中4=1,%4%-且

a2n<a2n+l,若对任意“eN*成立,则实数M的最小值是（）

292523

A.—B.4C.—D.—

666

2.（2023•全国•高三专题练习）已知“eN*,记max｛%,…,/｝表示再，…，居中的最大值，min,,表示

中的最小值.若=3x+2,g（x）=2"-l,数列｛6｝和也｝满足.=min｛”a"）,g（%）｝,

%=max｛6“,g（d）｝,ax=a,t\=b,a,b&R,则下列说法中正确的是（）

A.若。24,则存在正整数机，使得%包<4"

B.若。42,贝L照4=。

c.若622,贝侬。=。

D.若beR,则存在正整数使得

3.（多选）（2023春•江西上饶•高二校联考期中）如图，有一列曲线鼻，......,。.，......，且是边

长为1的等边三角形，是对=2,…）进行如下操作而得到：将曲线。，的每条边进行三等分，以每

边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到。.，记曲线。“5=1,2,…）的

边数为4,周长为G,，围成的面积为S“，则下列说法正确的是（）

△0OO…

Q］。3。4

A.数列｛〃｝是首项为3,公比为4的等比数列

4

B.数列｛Q｝是首项为3,公比为§的等比数列

C.数列｛“｝是首项为手，公比为g的等比数列

D.当"无限增大时，S“趋近于定值竽

4.（多选）（2023・江苏•校联考模拟预测）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列.随着项数越来越大，

其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比.白银比和三角平方数、佩尔数及正

八边形都有关系.记佩尔数列为｛%｝,且％=0,%=1，an+2=2an+l+an.则（）

A.阳=985B.数列｛4,「为｝是等比数列

C.a*乎［（与+1尸-（一0+1尸］D.白银比为及+1

5.（2023春•上海浦东新•高一上海市进才中学校考期末）已知数列｛6｝的前〃项和为S“数

列｛4｝满足bn=2%,则%（々+仇+…+6“）=.

⑦等差数列与等比数列综合

1.（2023•全国•高二专题练习）对于无穷数列｛%｝,给出下列命题：

①若｛%｝既是等差数列，又是等比数列，则｛%｝是常数列；

②若等差数列｛%｝满足|%|42022,则｛%｝是常数列；

③若等比数列｛%｝满足|。“|42022,则｛an｝是常数列；

④若各项为正数的等比数列｛《｝满足14%42022,则｛a„｝是常数列.

其中正确的命题个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

2.（2023春•广东佛山•高二校考阶段练习）已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、...，

其中第一项是2°，接下来的两项是2°、21，再接下来的三项是2°、2:22,以此类推，若N>100且该数列

的前N项和为2的整数哥，则N的最小值为（）

A.440B.330C.220D.110

3.（多选）（2023春•广西河池•高二校联考期中）在数列｛4｝中，如果对任意2（〃eN*）,都有誓一9=%

彳I”一1

（左为常数），则称数列｛2｝为比等差数列，%称为比公差.则下列说法错误的是（）

A.等比数列一定是比等差数列，且比公差％=1

B.等差数列一定不是比等差数列

C.若数列｛%｝是等差数列，抄“｝是等比数列，则数歹必为也,｝一定是比等差数列

D.若数列｛叫满足4=%=1,a,l+｝=an+a„_^n>i）,则该数列不是比等差数列

4.（多选）（2023春•安徽蚌埠•高二蚌埠二中校考阶段练习）在数列｛““｝中，如果对任意〃eN*都有

a—a

*_"*=k（左为常数），则称｛4｝为等差比数列，k称为公差比•下列说法正确的是（）

an+lan

A.等差数列一定是等差比数列

B.等差比数列的公差比一定不为0

C.若见=-3"+2,则数列｛4｝是等差比数列

D.若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比

5.（2023春•天津•高三校联考阶段练习）等比数列｛%｝中，各项都是正数，且4,g%,2%成等差数列，则

413+〃14_

〃14+〃15

2

6.（2023春・吉林长春•高二校考阶段练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S.（〃$N*）,且满足+Snx=2n+n,

若对eN\an<4+i恒成立，则首项生的取值范围是.

⑧数列不等式

1.（2023•全国•高二专题练习）对于无穷数列｛%｝,给出下列命题：

①若｛%｝既是等差数列，又是等比数列，则｛%｝是常数列；

②若等差数列｛七｝满足㈤（2022,则加“｝是常数列；

③若等比数列｛%｝满足⑷<2022,则｛4｝是常数列；

④若各项为正数的等比数列｛%｝满足14%42022,则｛q｝是常数列.

其中正确的命题个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

2.（2023春•广东佛山•高二校考阶段练习）已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，

其中第一项是2°，接下来的两项是2°、21，再接下来的三项是2°、22,以此类推，若N>100且该数列

的前N项和为2的整数幕，则N的最小值为（）

A.440B.330C.220D.110

3.（多选）（2023春•广西河池,高二校联考期中）在数列｛%｝中，如果对任意〃22（〃eN*）,都有*-9=左

（左为常数），则称数列｛2｝为比等差数列，人称为比公差.则下列说法错误的是（）

A.等比数列一定是比等差数列，且比公差％=1

B.等差数列一定不是比等差数列

C.若数列｛%｝是等差数列，物,｝是等比数列，则数歹!!｛4也,｝一定是比等差数列

D.若数列｛%｝满足4=%=1，an+l=an+an_^n>2）,则该数列不是比等差数列

4.（多选）（2023春•安徽蚌埠,高二蚌埠二中校考阶段练习）在数列｛〃"｝中，如果对任意“eN*都有

（2—a

皿「=k（左为常数），则称｛““｝为等差比数列，k称为公差比•下列说法正确的是（）

an+\an

A.等差数列一定是等差比数列

B.等差比数列的公差比一定不为0

C.若凡=-3”+2,则数列｛q｝是等差比数列

D.若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比

5.（2023春•天津•高三校联考阶段练习）等比数列｛%｝中，各项都是正数，且%,；%,24成等差数列，则

〃13+」14_

〃14+〃15

2

6.（2023春・吉林长春•高二校考阶段练习）已知数列｛4｝的前〃项和为（〃£N*）,且满足+Sn+i=2n+n,

若对V"eN’,a“<4+1恒成立，则首项为的取值范围是.

⑨数列新定义

1.（2023•全国•高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一

个数列｛《｝本身不是等差数列，但从｛4｝数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列｛2｝（则

称数列｛%｝为一阶等差数列），或者｛2｝仍旧不是等差数列，但从也｝数列中的第二项开始，每一项与前一

项的差构成等差数列｛，｝（则称数列｛%｝为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶

10

等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列｛4｝：1，1,3,27,729…是一阶等比数列，则Zlogs。"

n=l

的值为（参考公式：F+22+…〃2=2（77+1）（2〃+1））（）

6

A.60B.120C.240D.480

2.（2023春•黑龙江牡丹江•高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知定义数列｛q+「4｝为数列｛%｝的“差

数列"，若4=2,｛q｝的"差数歹!]"的第”项为2",则数列｛%｝的前2023项和%23=（）

A.22022-1B.22022C.22024D.22024-2

3.（2023•河南•河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想"首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来

一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想"."角谷猜想”是指一个正

整数，如果是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算，最终回到L对任意正整数

%,按照上述规则实施第〃次运算的结果为4,（〃eN）,若生=1，且q（力=1,2,3,4）均不为1,则%=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

4.（2023春•上海宝山•高一上海交大附中校考期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，

发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,…….该数列的特点如下：前两个数都是1,从第三个数起，每一个数

都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列｛%｝称为"斐波那契数列"，记S“是数列｛%｝的前

“项和,则（/—51）+（o4—S2）+（a5—S3）H----10G—S98）=.

5.（2023•辽宁大连•育明高中校考一模）某高中图书馆为毕业生提供网上阅读服务，其中电子阅览系统的

登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成.这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正

整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推特别

码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：1997届3班21号学生的登陆码为

1997321*.（*为表中第1997行第一个数的个位数字）.若已知某毕业生的登录码为201*2138,则可以推断该

毕业生是届2班13号学生.

12345678-

3579111315…

81216202428•••

2028364452…

6.（2023,安徽黄山・屯溪一中校考模拟预测）对于数列｛%｝,记"=min｛4，%,…,应｝,左=1,2,…以“eN*,

则称也｝是｛q｝的"下界数列"，令4=-川+20”,｛%｝是｛4｝的下界数列,则

（4-4）+3）+…+（%-2）=；

（参考公式：12+22+32+-+1=〃（〃+1）（2〃+1））

6

专题17数列(选填压轴题)

目录

①等差数列..........................................................1

②等比数列..........................................................3

③数列的通项........................................................4

④递推数列..........................................................5

⑤数列求和..........................................................6

⑥数列的极限........................................................7

⑦等差数列与等比数列综合...........................................8

⑧数列不等式........................................................9

⑨数列新定义.......................................................10

①等差数列

1.(2023•福建宁德,校考二模)已知S“是数列｛(/“｝的前”项和，%=2,a2=3,%=4,数列｛。“+%+1+2+2｝

是公差为1的等差数列，则又=()

A.366B.367C.368D.369

【答案】A

【详解】设％=%+〃用+%+2,由题意｛a｝是公差为1的等差数列，则4=q+%+%=9,

故2=9+(〃一l)xl=〃+8,贝%=4+1=10,

故仿+々+…+%=0+8)+(5+8)+…+(38+8)=]3X8+13X(；+38)=364

S40=Q[+(出+/+04)+(05+〃6+%)，，，+(〃38+〃39+〃40)="1+，2+,•，，+48

=2+364=366.

故选：A

2.(2023•江西上饶•校联考模拟预测)在正项数列｛%｝中，记

1

b=整数加满足lg(10M2+l)<M<lg(n)143+i),则数列也｝的前机项和为(

nM+l+])(%+““+l)・

551111

A.——B.—c.—D.—

11122624

【答案】c

【详解】因为4=1,4+1-=1,

所以｛4｝为首项是1,公差是1的等差数列,

所以=心+5—l)xl=〃，

所以%=G，

___________]

b

n=(%+1)("〃+i+1)(。"+%

1

(6+1)(J/+1+1)(«+J几+1)

[y/n+])(J〃+l+])(AA?+，几+1)(J"+1—Vnj

+J〃+l+1)

(J〃+l+1)-(册+1)

+JJ+1+1)

11

G+1y/n+l+1

11__i_.

｛4｝的前〃项和为1=...+

J〃+l+12y/n+1+1J

整数7"满足lg(10142+l)</n<lg(10143+1),

所以142=lgl0142<lg(10142+l)<m<lg(1O143+l)<lg(10143x10)=10144=144,

m是整数，

所以机=143，

所以则数列也｝的前143项和为:

11_11H

2-7144+1-2-13-26,

故选：C.

3.(多选)(2023.山东•山东省实验中学校考一模)已知｛%｝为等差数列，前a项和为S“，％=10,公差d=-2,

则（）.

A.an=-2n+12

B.S4=S7

C.当〃=5或6时，S“取得最大值为30

D.数列4,出,…,外。23与数列｛3m+10｝（meN*）共有671项互为相反数

【答案】ABC

【详解】数列｛““｝为等差数列，前〃项和为S“，4=10,公差d=-2,

aa

贝ll有n=\+（〃一l）d=10—2（n—1）=—2n+12,A正确；

因为,=。，所以另一邑=%+4+%=34=。，B正确；

因为d=-2<0,即数列｛““｝为递减等差数列，且当"V6时，an>0,

因此数列｛4,｝的前5项均为正，第6项为0,从第7项起为负，

所以当〃=5或6时，S”取得最大值$5=56=与"*6=30,C正确；

令数列｛%｝的第〃项为与数列｛3根+10｝的第m项互为相反数，即a„+3m+10=0,

3

于是〃二一加+11,而〃eN"则"为偶数，令m=2k,ksN*,有3机+10=6左+10,

2

因此数列｛%｝与数列｛3m+10｝成互为相反数的项构成等差数列｛Q｝,且q=6左+10,

显然Q-1。2023=4034,即6k+10<4034,乂keN*,则=670,

所以数列4,%，…乌侬与数列｛3根+1。｝（meN*）共有670项互为相反数，D错误.

故选：ABC

4.（多选）（2023•湖南长沙倜南中学校考三模）已知数列｛q｝的前〃项和是S“，则下列说法正确的是（）

A.若S”=4,则｛。“｝是等差数列

B.若弓=2,an+l=2a„+3,贝式%+3｝是等比数列

C.若｛%｝是等差数列，则S“，S2n-Sn,S.-Sz.成等差数列

D.若｛q｝是等比数列，则S",S2n-Sn,%「邑”成等比数列

【答案】ABC

【详解】对于A,Sn=an,“22时，an=Sn-Sn_x=an-an_x,解得a,i=0,因此〃eN*,a,=0,｛。“｝是

等差数列，A正确；

对于B,q=2,an+x=2a„+3,贝Ij。用+3=2（a“+3）,而Q+3=5,｛%+3｝是等比数列，B正确；

对于C,设等差数列｛〃“｝的公差为d,首项是4，S,=4+%+…+%，

S2n-Sn=a“+i+a“+2+•♦•+%”=(4+"d)+(%+Au/)+…+(a“+"d)=S"+”2d,

2

$3"-S°"=a2)t+l+a2n+2+…+”3“=(a,.+nd)+(an+2+”[)+•••+(%“+nd)=(S2n-Sn)+nd,

因此2（5.-S/=S"+（S3"一与"），则S”,邑-S"H"-邑"成等差数列，C正确;

对于D,若等比数列｛%｝的公比4=-1,则S?=0,§4-52=0,56-邑=0不成等比数列，D错误.

故选：ABC

5.（2023•福建泉州,校联考模拟预测）已知S“是等差数列｛%｝的前"项和，若仅当〃=5时S“取到最小值,

且I%1>14I，则满足S“>0的〃的最小值为.

【答案】11

【详解】因为S,=〃q+Mpd=g〃2+,-；!）〃，当〃=5时S,取到最小值,

所以d>0,所以％<a6，

9

因为所以-%<,即—(4+4d)>4+5df以q<—/d.

((n-1)、(n-\\9

Sn=nai+^—^d>0,则q+i^>0,因为4V——6?,

I2J2

所以—？d〉-a二Dd,解之得:

〃>10,因为“eN*,所以〃的最小值为11.

22

故答案为：11.

6.（2023,上海青浦,统考二模）已知数列｛。“｝满足4=。"一+",若满足4<%<4<%<。5<6且对任意

ne[9,-K»）,都有4>见+”则实数。的取值范围是.

【详解】由题意数列｛%｝的通项公式为=即、〃，mN*,满足

%<的<%<%<%<R，且4,>。“+1对任意的〃士9恒成立，

a<0

当a=0时，显然不合题意，根据二次函数性质可得11119,解得

一<----<一

、22a2

-所以实数a的取值范围是1-

故答案为：-

7.（2023・福建福州•福州四中校考模拟预测）已知无穷等差数列｛〃〃｝中的各项均大于3且％+/2+a5=8,

则二一的最小值为.

【答案】-1

【详解】根据题意，设等差数列｛%｝的公差为d,由于无穷等差数列｛%｝中的各项均大于0,则〃>0,

由于4+%~+%=8，贝!|必+2%-8=0,解得%=2或%=-4（舍去），

22+8/

所以2告=--------l—4d,

2-2d1-d'

因为q=%-2d=2-2d>0,所以Ovdvl,

令/(%)=」——4x-l(0<x<l),则［⑴:1、2-4,

1-x(1-x)

111Q

由广。)=0,得4=0,得(1—元)2=:,解得1或x(舍去)。

当0cx■时，f\x)<0,当;vxvl时，f\x)>0,

所以/⑺在(o,£j上递减，在、“上递增，

所以当T时，小)取得最小值d=1T-4《T=