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文档简介

专题17数列(选填压轴题)

目录

①等差数列..........................................................1

②等比数列..........................................................3

③数列的通项........................................................4

④递推数列..........................................................5

⑤数列求和..........................................................6

⑥数列的极限........................................................7

⑦等差数列与等比数列综合...........................................8

⑧数列不等式........................................................9

⑨数列新定义.......................................................10

①等差数列

1.(2023•福建宁德•校考二模)己知S“是数列{%}的前〃项和,4=2,%=3,%=4,数列{%+q,+i+4+2}

是公差为1的等差数列,则$4。=()

A.366B.367C.368D.369

2.(2023•江西上饶•校联考模拟预测)在正项数列{%}中,4=1,%+「q=1,记

+1)(。\(a>整数加满足lg(IO"?+想。0143+1人则数列秒“}的前机项和为()

551111

A.—B.—C.—D.—

11122624

3.(多选)(2023・山东,山东省实验中学校考一模)己知{叫为等差数列,前w项和为S“,4=10,公差d=-2,

则().

A.an=-2n+12

B.邑二跖

C.当〃=5或6时,s“取得最大值为30

D.数列4,出,…,%023与数列{3m+10}(meN*)共有671项互为相反数

4.(多选)(2023•湖南长沙倜南中学校考三模)已知数列{4}的前w项和是S“,则下列说法正确的是()

A.若S“=a”,则{%}是等差数列

B.若q=2,an+}=2a„+3,则{4+3}是等比数列

C.若{见}是等差数列,则S“,S2n-Sn,$3“一邑,成等差数列

D.若{%}是等比数列,则S“,S,n-Sn,S—S2,成等比数列

5.(2023•福建泉州•校联考模拟预测)已知S“是等差数列{%}的前"项和,若仅当〃=5时S”取到最小值,

且I%1>14I,则满足S">。的〃的最小值为.

6.(2023,上海青浦,统考二模)已知数歹!]{q}满足=。"2+〃,若满足<的<。3<。4</<。6且对任意

AZG[9,+OO),都有a“>a“+],则实数。的取值范围是_.

7.(2023・福建福州•福州四中校考模拟预测)已知无穷等差数列{%}中的各项均大于0,且%+始+%=8,

则£1_41的最小值为.

8.(2023•海南省直辖县级单位•文昌中学校考模拟预测)已知各项都不为0的数列{4}的前上项和既满足

2S—,其中4=1,设数列,的前”项和为(,若对一切〃eN*,恒有方“-北>5成立,则f能取

[an\16

到的最大整数是.

9.(2023•山东烟台•统考三模)如图,某数阵满足:每一行从左到右成等差数列,每一列从上到下成公比

相同的等比数列,数阵中各项均为正数,劭2=3,%3=1°,%4=即4、/,贝1KL;在数列{%」}中

的任意见」与必川两项之间,都插入左心€z)个相同的数(-1卢乂,组成数列{c,J,记数列{.}的前〃项和

为则")=.

10.(2023・云南•校联考模拟预测)定义|闻表示与实数x的距离最近的整数(当x为两相邻整数的算术平均

值时,可取较大整数),如忖=1,口=2,忸|=2,||2司=3,令函数K(x)=W,数列{%}的通项公式

_1

为环高,其前”项和为S“,贝l」S6=;$2025=.

②等比数列

L(2023•陕西宝鸡•统考二模)已知S"是等比数歹!]{%}的前〃项和,且S“=2用+〃,贝!|。1%+。2%+…+=

()

223-8213-8225-8

A.B.D.

333

2.(2023•四川绵阳•三台中学校考一模)已知各项都为正数的等比数列{%},满足%=2。]+的,若存在两

项册,《,使得M,a”=,则,+*最小值为()

mn

31

A.2B.-C.-D.1

23

3.(2023•四川•校联考模拟预测)在数列{凡}中,V〃eN*,"角=M],且2<%<3,则下列结论成立

的是()

A.。2022<。2020B.%020+%022>%021+%023

C・。2022+。2023<2〃2021D.。2023>。2021

4.(2023•山东青岛•统考二模)设国表示不超过X的最大整数(例如:艮5]=3,[—1.5]=-2),则

[log2l]+[log22]+[log23]+---+[log22046]=()

A.9x210-8B.9x2"-8C.9x210+2D.9x2n+2

5.(2023,河南开封,开封高中校考模拟预测)己知数列{七}的前"项和为S",且%=?±1%,

24〃+2

rj

若不等式(-1)"2<s"+会对一切“eN*恒成立,则X的取值范围为()

6.(多选)(2023•福建三明•统考三模)设等比数列{凡}的前〃项和为S“,前”项积为「,若满足。<叫<1,

%,“4040>1,(%)23一1)(为024一1)<°,则下列选项正确的是()

A.{。“}为递减数列B.S2023+I<$2024

C.当〃=2023时,T0最小D.当时,”的最小值为4047

7.(2023,福建泉州•统考三模)某商场设有电子盲盒机,每个盲盒外观完全相同,规定每个玩家只能用一

个账号登陆,且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒,抽中奖品的概率为从第二次抽盲

盒开始,若前一次没抽中奖品,则这次抽中的概率为若前一次抽中奖品,则这次抽中的概率为2.记玩

z3

家第”次抽盲盒,抽中奖品的概率为4,则()

A.B.数列为等比数列

19

C.P„<—D.当"22时,”越大,月越小

8.(2023・重庆巴南•统考一模)已知等比数列{凡}满足:al+a2=20,%+4=8。.数列也}满足

b

6'=log2%(〃eN*),其前一项和为S",若守?42恒成立,则几的最小值为.

9.(2023•黑龙江•黑龙江实验中学校考三模)己知数列{%}的通项公式是为=2〃-1,记与为{凡}在区间

[犯2'")(根GN*)内项的个数,则b5=,不等式以「勾>2062成立的m的最小值为.

10.(2023•山东荷泽•统考二模)设数列{风}是以g为首项,g为公比的等比数列,在生和的之间插入1个

数占1,使4,xn,生成等差数列;在出和。3之间插入2个数孙,程,使出,孙,/2,生成等差数列;…;

在与和%+1之间插入"个数无皿,xn2,xm,使%,xnl,xn2,xm,%+1成等差数列,则如=;

4

令S〃=玉1+孙+兀22+…+兀〃1+%〃2+…+%〃,则.

③数列的通项

1.(2023•山东济宁・嘉祥县第一中学统考三模)已知函数y=/(x)(xeR),满足

2.(2023春・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)数列{4}满足q=1,

A.(8,10)B.(10,12)C.(12,19)D.(14,16)

3.(多选)(2023•江苏扬州•统考模拟预测)定义:在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的

数列,这样的操作叫作该数列的一次“美好成长将数列1、2进行“美好成长",第一次得到数列1、2、2;

第二次得到数列1、2、2、4、2;L;设第〃次"美好成长”后得到的数列为1、不、巧、L、4、2,并

记。〃=log2(lx石XX2X...X/X2),贝!J()

A.2=5B.k=T+l

c.«„+1=3«„-lD.数列工的前几项和为:一行,

+1

[»A+1J23"+l

4.(2023•全国•高三专题练习)数列{%},%=%=1,a“+2=4+a“+i("eN*),该数列为著名的裴波那契

数列,它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物的生长规律,则下面结

论正确的是()

123

A.a2+a4+...a2n=a2n+l-1B.a1++---+a^=anan+l

C.数列,氏+I+16%>为等比数列D.数列,4+「上手%•为等比数列

5.(2023•全国•高三专题练习)引得无数球迷心情澎湃的世界杯,于今年在卡塔尔举行,为了弘扬顽强拼

搏的体育竞技精神,某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛,比赛的第一阶段为"传球训练

赛",即参赛的甲、乙、丙三名同学,第一次传球从乙开始,随机地传球给其他两人中的任意一人,接球者

再随机地将球传给其他两人中的任意一人,则第6次传球,重新由乙同学传球的概率为.

6.(2023春•湖北武汉•高二武汉西藏中学校考期末)已知点列45,。)(〃=12…),其中再=0,彳2=1.4是

线段A4的中点,4是线段4A的中点,…,4是线段ATAT的中点,.…记4=斗+1-斗.则%=;

④递推数列

1.(2023春・安徽黄山•高二统考期末)数列a}中,4=1,对任意正整数P应都满足数列2=2。",

若瓦+b2T----\-bk=629贝ljk=()

A.3B.4C.5D.6

,、ell1

2.(2023春・新疆•高二校联考期末)若数列{q}满足%=-3,--------------=1,贝1]/85=()

。〃+14A+1

11

A.2B.——C.-3D.-

23

3.(2023春•广西河池•高二校联考期中)已知数列{“〃}满足〃1=3,cin+ian+an+x-+1=0,〃$N*,则。2023=

()

1i

A.——B.3C.yD.-2

32

4.(多选)(2023春・江西赣州•高二江西省龙南中学校考期末)已知S”是{〃“}的前〃项和,%=2,

----5之2),则()

%

A.%023=2B.52023=1013

C.%""3"+1%"+2=1D.{%}是以3为周期的周期数列

5.(2023春・浙江■高二期中)已知数列{q}满足q=。,2=a+l,a.+2-2a“+i+a“=〃-20,其中。是给定的

实数设d=%+「4,以下判断正确的是()

A.也}是等差数列

B.。4="53

C.{bn}的通项公式为bn=(7),-40)+]

D.数列{%}的最小项是。40

6.(2023•贵州黔东南•凯里一中校考模拟预测)已知数列{七}满足:成,=。2"-「。2用,2a2.+i=%,+%,+2,

若电=2q=2,贝I数歹"」一]的前50项和为

1%"

7.(2023・全国•高三专题练习)函数>=[可为数学家高斯创造的取整函数,[可表示不超过x的最大整数,

如[0.90]=。,[lg99]=l,已知数列{氏}满足%=3,且。“=〃&+「2),若2=[坨4],则数列他J的前2023

项和为.

8.(2023春・山东•高二校联考阶段练习)在数列也}中,4=1,a„+1+(-l)"a„=«,«eN*,则%=;

{q}的前40项和为,

⑤数列求和

1.(2023•北京•校考模拟预测)已知公差不为零的等差数列{%}满足:%+1=2。,且%是々与知的等比

中项.设数列出}满足2=」一(〃eN*),则数列也}的前〃项和S“为()

4A+i

“11、〃1八1)〃

,212M+1J2n+l•2(2n+1)2n+l

C.-fl-——^=—D.-fl+—I―K—

2(2/z+lJ2n-l2(2/i+lJ2n-l

2.(2023•福建厦门•厦门一中校考一模)已知数列{叫满足:4+为=0,a,,+2+(-1)等a,,=2,则数列{q}

的前100项的和为()

A.50B.98C.100D.102

,、a,2n/-、\

3.(多选)(2023春・安徽亳州•高二亳州二中校考期中)已知数歹U{%}满足4=-2,1=1(〃N2,"eN),

an-\〃一]

数列{4}的前〃项和为s“,则()

A.%=-8B.an=-T-n

C.邑=一30D.S〃=(l—耳・2向—2

4.(多选)(2023春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末)已知数列{%}满足q=8,a2=l,

、//用

一班★将,4为数列{《}的前〃项和,则下列说法正确的有()

{4-2,“为奇数

A.an=-2B.T2n=-iv+9n+1

C.%9=-2049D.T“的最大值为21

5.(2023春•湖南•高二校联考阶段练习)我们定义一^211^一N*)为数列{叫}的“特别数〃.现已

,、2111

知数列{an}的〃特别数〃为则厂上厂+厂工厂+■・•+-/——/—=_________.

fl74+N〃27。2+7〃37“2022'7々2023

6.(2023・陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测)数列{%}中,a„=log„+1(n+2)(neN*).定义:使数列{““}

的前左项的积为整数的数网左eN*)叫做期盼数,则区间U2023]内的所有期盼数的和等于.

7.(2023•全国•高二专题练习)已知数列{4}满足%=4,%包=2%,数列也}的通项公式为2=号,记数

列{。也}的前〃项和为I,,则北=________;若存在正数左,使普”;对任意〃eN*恒成立,则左

n

kln

的最小值为.

⑥数列的极限

1.(2023•全国•高二专题练习)若数列{凡}满足:I--©=5-g「(weN*),其中4=1,%4%-且

a2n<a2n+l,若对任意“eN*成立,则实数M的最小值是()

292523

A.—B.4C.—D.—

666

2.(2023•全国•高三专题练习)已知“eN*,记max{%,…,/}表示再,…,居中的最大值,min,,表示

中的最小值.若=3x+2,g(x)=2"-l,数列{6}和也}满足.=min{”a"),g(%)},

%=max{6“,g(d)},ax=a,t\=b,a,b&R,则下列说法中正确的是()

A.若。24,则存在正整数机,使得%包<4"

B.若。42,贝L照4=。

c.若622,贝侬。=。

D.若beR,则存在正整数使得

3.(多选)(2023春•江西上饶•高二校联考期中)如图,有一列曲线鼻,......,。.,......,且是边

长为1的等边三角形,是对=2,…)进行如下操作而得到:将曲线。,的每条边进行三等分,以每

边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得到。.,记曲线。“5=1,2,…)的

边数为4,周长为G,,围成的面积为S“,则下列说法正确的是()

△0OO…

Q]。3。4

A.数列{〃}是首项为3,公比为4的等比数列

4

B.数列{Q}是首项为3,公比为§的等比数列

C.数列{“}是首项为手,公比为g的等比数列

D.当"无限增大时,S“趋近于定值竽

4.(多选)(2023・江苏•校联考模拟预测)佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列.随着项数越来越大,

其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数,该常数称为白银比.白银比和三角平方数、佩尔数及正

八边形都有关系.记佩尔数列为{%},且%=0,%=1,an+2=2an+l+an.则()

A.阳=985B.数列{4,「为}是等比数列

C.a*乎[(与+1尸-(一0+1尸]D.白银比为及+1

5.(2023春•上海浦东新•高一上海市进才中学校考期末)已知数列{6}的前〃项和为S“数

列{4}满足bn=2%,则%(々+仇+…+6“)=.

⑦等差数列与等比数列综合

1.(2023•全国•高二专题练习)对于无穷数列{%},给出下列命题:

①若{%}既是等差数列,又是等比数列,则{%}是常数列;

②若等差数列{%}满足|%|42022,则{%}是常数列;

③若等比数列{%}满足|。“|42022,则{an}是常数列;

④若各项为正数的等比数列{《}满足14%42022,则{a„}是常数列.

其中正确的命题个数是().

A.1B.2C.3D.4

2.(2023春•广东佛山•高二校考阶段练习)已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、...,

其中第一项是2°,接下来的两项是2°、21,再接下来的三项是2°、2:22,以此类推,若N>100且该数列

的前N项和为2的整数哥,则N的最小值为()

A.440B.330C.220D.110

3.(多选)(2023春•广西河池•高二校联考期中)在数列{4}中,如果对任意2(〃eN*),都有誓一9=%

彳I”一1

(左为常数),则称数列{2}为比等差数列,%称为比公差.则下列说法错误的是()

A.等比数列一定是比等差数列,且比公差%=1

B.等差数列一定不是比等差数列

C.若数列{%}是等差数列,抄“}是等比数列,则数歹必为也,}一定是比等差数列

D.若数列{叫满足4=%=1,a,l+}=an+a„_^n>i),则该数列不是比等差数列

4.(多选)(2023春•安徽蚌埠•高二蚌埠二中校考阶段练习)在数列{““}中,如果对任意〃eN*都有

a—a

*_"*=k(左为常数),则称{4}为等差比数列,k称为公差比•下列说法正确的是()

an+lan

A.等差数列一定是等差比数列

B.等差比数列的公差比一定不为0

C.若见=-3"+2,则数列{4}是等差比数列

D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比

5.(2023春•天津•高三校联考阶段练习)等比数列{%}中,各项都是正数,且4,g%,2%成等差数列,则

413+〃14_

〃14+〃15

2

6.(2023春・吉林长春•高二校考阶段练习)已知数列{4}的前〃项和为S.(〃$N*),且满足+Snx=2n+n,

若对eN\an<4+i恒成立,则首项生的取值范围是.

⑧数列不等式

1.(2023•全国•高二专题练习)对于无穷数列{%},给出下列命题:

①若{%}既是等差数列,又是等比数列,则{%}是常数列;

②若等差数列{七}满足㈤(2022,则加“}是常数列;

③若等比数列{%}满足⑷<2022,则{4}是常数列;

④若各项为正数的等比数列{%}满足14%42022,则{q}是常数列.

其中正确的命题个数是().

A.1B.2C.3D.4

2.(2023春•广东佛山•高二校考阶段练习)已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…,

其中第一项是2°,接下来的两项是2°、21,再接下来的三项是2°、22,以此类推,若N>100且该数列

的前N项和为2的整数幕,则N的最小值为()

A.440B.330C.220D.110

3.(多选)(2023春•广西河池,高二校联考期中)在数列{%}中,如果对任意〃22(〃eN*),都有*-9=左

(左为常数),则称数列{2}为比等差数列,人称为比公差.则下列说法错误的是()

A.等比数列一定是比等差数列,且比公差%=1

B.等差数列一定不是比等差数列

C.若数列{%}是等差数列,物,}是等比数列,则数歹!!{4也,}一定是比等差数列

D.若数列{%}满足4=%=1,an+l=an+an_^n>2),则该数列不是比等差数列

4.(多选)(2023春•安徽蚌埠,高二蚌埠二中校考阶段练习)在数列{〃"}中,如果对任意“eN*都有

(2—a

皿「=k(左为常数),则称{““}为等差比数列,k称为公差比•下列说法正确的是()

an+\an

A.等差数列一定是等差比数列

B.等差比数列的公差比一定不为0

C.若凡=-3”+2,则数列{q}是等差比数列

D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比

5.(2023春•天津•高三校联考阶段练习)等比数列{%}中,各项都是正数,且%,;%,24成等差数列,则

〃13+」14_

〃14+〃15

2

6.(2023春・吉林长春•高二校考阶段练习)已知数列{4}的前〃项和为(〃£N*),且满足+Sn+i=2n+n,

若对V"eN’,a“<4+1恒成立,则首项为的取值范围是.

⑨数列新定义

1.(2023•全国•高三专题练习)南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题,即一

个数列{《}本身不是等差数列,但从{4}数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列{2}(则

称数列{%}为一阶等差数列),或者{2}仍旧不是等差数列,但从也}数列中的第二项开始,每一项与前一

项的差构成等差数列{,}(则称数列{%}为二阶等差数列),依次类推,可以得到高阶等差数列.类比高阶

10

等差数列的定义,我们亦可定义高阶等比数列,设数列{4}:1,1,3,27,729…是一阶等比数列,则Zlogs。"

n=l

的值为(参考公式:F+22+…〃2=2(77+1)(2〃+1))()

6

A.60B.120C.240D.480

2.(2023春•黑龙江牡丹江•高二牡丹江市第二高级中学校考期末)已知定义数列{q+「4}为数列{%}的“差

数列",若4=2,{q}的"差数歹!]"的第”项为2",则数列{%}的前2023项和%23=()

A.22022-1B.22022C.22024D.22024-2

3.(2023•河南•河南省内乡县高级中学校考模拟预测)“角谷猜想"首先流传于美国,不久便传到欧洲,后来

一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲,因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想"."角谷猜想”是指一个正

整数,如果是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算,最终回到L对任意正整数

%,按照上述规则实施第〃次运算的结果为4,(〃eN),若生=1,且q(力=1,2,3,4)均不为1,则%=()

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

4.(2023春•上海宝山•高一上海交大附中校考期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,

发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,…….该数列的特点如下:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数

都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列{%}称为"斐波那契数列",记S“是数列{%}的前

“项和,则(/—51)+(o4—S2)+(a5—S3)H----10G—S98)=.

5.(2023•辽宁大连•育明高中校考一模)某高中图书馆为毕业生提供网上阅读服务,其中电子阅览系统的

登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成.这个特别码与如图数表有关,数表构成规律是:第一行数由正

整数从小到大排列得到,下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推特别

码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字,如:1997届3班21号学生的登陆码为

1997321*.(*为表中第1997行第一个数的个位数字).若已知某毕业生的登录码为201*2138,则可以推断该

毕业生是届2班13号学生.

12345678-

3579111315…

81216202428•••

2028364452…

6.(2023,安徽黄山・屯溪一中校考模拟预测)对于数列{%},记"=min{4,%,…,应},左=1,2,…以“eN*,

则称也}是{q}的"下界数列",令4=-川+20”,{%}是{4}的下界数列,则

(4-4)+3)+…+(%-2)=;

(参考公式:12+22+32+-+1=〃(〃+1)(2〃+1))

6

专题17数列(选填压轴题)

目录

①等差数列..........................................................1

②等比数列..........................................................3

③数列的通项........................................................4

④递推数列..........................................................5

⑤数列求和..........................................................6

⑥数列的极限........................................................7

⑦等差数列与等比数列综合...........................................8

⑧数列不等式........................................................9

⑨数列新定义.......................................................10

①等差数列

1.(2023•福建宁德,校考二模)已知S“是数列{(/“}的前”项和,%=2,a2=3,%=4,数列{。“+%+1+2+2}

是公差为1的等差数列,则又=()

A.366B.367C.368D.369

【答案】A

【详解】设%=%+〃用+%+2,由题意{a}是公差为1的等差数列,则4=q+%+%=9,

故2=9+(〃一l)xl=〃+8,贝%=4+1=10,

故仿+々+…+%=0+8)+(5+8)+…+(38+8)=]3X8+13X(;+38)=364

S40=Q[+(出+/+04)+(05+〃6+%),,,+(〃38+〃39+〃40)="1+,2+,•,,+48

=2+364=366.

故选:A

2.(2023•江西上饶•校联考模拟预测)在正项数列{%}中,记

1

b=整数加满足lg(10M2+l)<M<lg(n)143+i),则数列也}的前机项和为(

nM+l+])(%+““+l)・

551111

A.——B.—c.—D.—

11122624

【答案】c

【详解】因为4=1,4+1-=1,

所以{4}为首项是1,公差是1的等差数列,

所以=心+5—l)xl=〃,

所以%=G,

___________]

b

n=(%+1)("〃+i+1)(。"+%

1

(6+1)(J/+1+1)(«+J几+1)

[y/n+])(J〃+l+])(AA?+,几+1)(J"+1—Vnj

+J〃+l+1)

(J〃+l+1)-(册+1)

+JJ+1+1)

11

G+1y/n+l+1

11__i_.

{4}的前〃项和为1=...+

J〃+l+12y/n+1+1J

整数7"满足lg(10142+l)</n<lg(10143+1),

所以142=lgl0142<lg(10142+l)<m<lg(1O143+l)<lg(10143x10)=10144=144,

m是整数,

所以机=143,

所以则数列也}的前143项和为:

11_11H

2-7144+1-2-13-26,

故选:C.

3.(多选)(2023.山东•山东省实验中学校考一模)已知{%}为等差数列,前a项和为S“,%=10,公差d=-2,

则().

A.an=-2n+12

B.S4=S7

C.当〃=5或6时,S“取得最大值为30

D.数列4,出,…,外。23与数列{3m+10}(meN*)共有671项互为相反数

【答案】ABC

【详解】数列{““}为等差数列,前〃项和为S“,4=10,公差d=-2,

aa

贝ll有n=\+(〃一l)d=10—2(n—1)=—2n+12,A正确;

因为,=。,所以另一邑=%+4+%=34=。,B正确;

因为d=-2<0,即数列{““}为递减等差数列,且当"V6时,an>0,

因此数列{4,}的前5项均为正,第6项为0,从第7项起为负,

所以当〃=5或6时,S”取得最大值$5=56=与"*6=30,C正确;

令数列{%}的第〃项为与数列{3根+10}的第m项互为相反数,即a„+3m+10=0,

3

于是〃二一加+11,而〃eN"则"为偶数,令m=2k,ksN*,有3机+10=6左+10,

2

因此数列{%}与数列{3m+10}成互为相反数的项构成等差数列{Q},且q=6左+10,

显然Q-1。2023=4034,即6k+10<4034,乂keN*,则=670,

所以数列4,%,…乌侬与数列{3根+1。}(meN*)共有670项互为相反数,D错误.

故选:ABC

4.(多选)(2023•湖南长沙倜南中学校考三模)已知数列{q}的前〃项和是S“,则下列说法正确的是()

A.若S”=4,则{。“}是等差数列

B.若弓=2,an+l=2a„+3,贝式%+3}是等比数列

C.若{%}是等差数列,则S“,S2n-Sn,S.-Sz.成等差数列

D.若{q}是等比数列,则S",S2n-Sn,%「邑”成等比数列

【答案】ABC

【详解】对于A,Sn=an,“22时,an=Sn-Sn_x=an-an_x,解得a,i=0,因此〃eN*,a,=0,{。“}是

等差数列,A正确;

对于B,q=2,an+x=2a„+3,贝Ij。用+3=2(a“+3),而Q+3=5,{%+3}是等比数列,B正确;

对于C,设等差数列{〃“}的公差为d,首项是4,S,=4+%+…+%,

S2n-Sn=a“+i+a“+2+•♦•+%”=(4+"d)+(%+Au/)+…+(a“+"d)=S"+”2d,

2

$3"-S°"=a2)t+l+a2n+2+…+”3“=(a,.+nd)+(an+2+”[)+•••+(%“+nd)=(S2n-Sn)+nd,

因此2(5.-S/=S"+(S3"一与"),则S”,邑-S"H"-邑"成等差数列,C正确;

对于D,若等比数列{%}的公比4=-1,则S?=0,§4-52=0,56-邑=0不成等比数列,D错误.

故选:ABC

5.(2023•福建泉州,校联考模拟预测)已知S“是等差数列{%}的前"项和,若仅当〃=5时S“取到最小值,

且I%1>14I,则满足S“>0的〃的最小值为.

【答案】11

【详解】因为S,=〃q+Mpd=g〃2+,-;!)〃,当〃=5时S,取到最小值,

所以d>0,所以%<a6,

9

因为所以-%<,即—(4+4d)>4+5df以q<—/d.

((n-1)、(n-\\9

Sn=nai+^—^d>0,则q+i^>0,因为4V——6?,

I2J2

所以—?d〉-a二Dd,解之得:

〃>10,因为“eN*,所以〃的最小值为11.

22

故答案为:11.

6.(2023,上海青浦,统考二模)已知数列{。“}满足4=。"一+",若满足4<%<4<%<。5<6且对任意

ne[9,-K»),都有4>见+”则实数。的取值范围是.

【详解】由题意数列{%}的通项公式为=即、〃,mN*,满足

%<的<%<%<%<R,且4,>。“+1对任意的〃士9恒成立,

a<0

当a=0时,显然不合题意,根据二次函数性质可得11119,解得

一<----<一

、22a2

-所以实数a的取值范围是1-

故答案为:-

7.(2023・福建福州•福州四中校考模拟预测)已知无穷等差数列{〃〃}中的各项均大于3且%+/2+a5=8,

则二一的最小值为.

【答案】-1

【详解】根据题意,设等差数列{%}的公差为d,由于无穷等差数列{%}中的各项均大于0,则〃>0,

由于4+%~+%=8,贝!|必+2%-8=0,解得%=2或%=-4(舍去),

22+8/

所以2告=--------l—4d,

2-2d1-d'

因为q=%-2d=2-2d>0,所以Ovdvl,

令/(%)=」——4x-l(0<x<l),则[⑴:1、2-4,

1-x(1-x)

111Q

由广。)=0,得4=0,得(1—元)2=:,解得1或x(舍去)。

当0cx■时,f\x)<0,当;vxvl时,f\x)>0,

所以/⑺在(o,£j上递减,在、“上递增,

所以当T时,小)取得最小值d=1T-4《T=

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