高考数学压轴题专项训练：平面向量（选填压轴题）含答案及解析

专题16平面向量（选填压轴题）

目录

①向量模问题（定值，最值，范围）...................................1

②向量数量积（定值，最值，范围）...................................3

③向量夹角（定值，最值，范围）.....................................5

④向量的其它问题....................................................6

①向量模问题（定值，最值，范围）

1.（2023春•山东范泽•高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）若平面向量入b,入两两的夹角相等，

且卜|=1,W=1,H=3,贝!|，+B+c卜（）.

A.2B.4或右C.5D.2或5

jr___2__.

2.（2023春•广西玉林,高一校联考期末）如图，在AABC中，=而=］福产为8上一点，且满

^AP=mAC+^AB,^\AC\=2,\AB\=5,则?词的值为（）

3.（2023春•江西九江•高一德安县第一中学校考期末）已知非零向量砺，砺，元，满足|次|=4,|砺|=2］际|

且3+西•反+/•丽=|反『+次•砺，则|丽|的最小值为（）

A.B.3C.9D.1

33

4.（2023春・江西赣州•高二统考期中）已知。为坐标原点，42,0）,设动点C满足|0。42,动点P满足

PAPC=0,则|。尸|的最大值为（）

A.72B.6+\C.2D.272

5.（2023春•陕西西安•高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量。出均为单位向量，且展B=；.向

量4-K与向量5-C的夹角为则区-石的最大值为（）

6

A.BB.1C.友D.2

23

6.（2023•全国•高三专题练习）已知平面向量工点工满足|£|=由=£3=2,J.（S-C）-（25-C）=0,则|Z-2"|

的最大值为（）

A."+2B.2A/7+1C.77+1D.26+2

7.（2023秋•上海浦东新•高二统考期末）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A、2为平面上两点，且

OAOB=0>M为线段A3中点，其坐标为6）,若臼=伽+6-4|,则闾的最小值为（）

A.好B.空C.昱D.45

553

8.（2023•全国•高一专题练习）已知薪=：,口+可=2,向量]满足,二）『二]=0,则,的取值范

围是（）

A.[L2]B.C.[1,3]D.[0,1]

9.（2023春•四川成都・高一树德中学校考阶段练习）已知非零向量Z,b,2满足忖=4,a-b=2\b\,

~c=^a-c-5,则对任意实数f,R-q的最小值为.

10.（2023春,浙江金华•高二学业考试）已知向量同=1,向量石满足忖-石。+4=4,则W的最小值为.

11.（2023春•湖南邵阳•高一邵阳市第二中学校考期末）已知平面向量方,b,c,营满足同=3,同=1,忸-目=1，

<a,e>=^~,且对任意的实数f,均有&T味忸-2或则k-方|的最小值为.

12.（2023・上海•高三专题练习）已知非零平面向量G、B、了满足同=5,2M=向，且（--斗正-「）=0,

则代的最小值是

13.（2023•全国•高三专题练习）已知平面向量ab,e,其中巨为单位向量，若仅用=e，

则口-方|的取值范围是.

②向量数量积（定值，最值，范围）

1.（2023春・山东青岛•高一校考期中）如图，在边长为2的等边“LBC中，点E为中线8。的三等分点（接

近点8）,点尸为的中点，则冠.反（）

2.（2023春・江苏徐州•高一统考期中）已知向量［与1是两个单位向量，且1与4的夹角为60。，若商=1,

b=-e1+e2,则&.b=（）

_1

AV2RV2r£n

2222

3.（2023春・广东河源•高一校考阶段练习）设AABC的内角A氏C的对边分别为c,S.b2+c2+bc=a2,

若角A的内角平分线AD=2,则丽.〃的最小值为（）

A.8B.4C.16D.12

4.（2023春•北京石景山•高一北京市第九中学校考期末）如图，A,5是半径为1的圆。上的两点，且ZA05==

若。是圆。上的任意一点，则就前的最大值为（）

B.C.D.1

42

5.（2023・全国•高一专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，/A=90°,A5=4。=2以3。。为等边三角形,

当点M在对角线AC上运动时，碇.砺的最小值为（）

c

\M,

AD

~31

A.-2B.—C.-1D.—

22

6.（2023春・山东枣庄•高一校考阶段练习）已知点。为AABC内一点，N492=120。，OA=1,OB=2,过

。作垂直AB于点。，点E为线段。。的中点，则历.丽的值为（）

35-35

A.—B.—C.—D.—

771414

7.（2023春•江苏徐州•高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，

它有八条边、八个角.八边形可分为正八边形和非正八边形.如图所示，在边长为2正八边形ABCDEFGH

中，点。为正八边形的中心，点尸是其内部任意一点，则西•丽+砺•丽的取值范围是（）

C.（-2,4）D.（-4,4）

8.（2023春•江西吉安・高一江西省峡江中学校考期末）在AABC中，NA=60。，AC=2,而•肥=出网，

设通=4反CF^AFB（2>0）,则荏.而的最大值为（）

.3—\/3D3+-\/3_3—_3+^/^

A.-----------D.-------------C.-------------U.-----------

2244

9.（2023秋・湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）在直角AABC中，AB，AC,AC=石,A8=1,平

面ABC内动点尸满足CP=1,则方.乔的最小值为.

10.（2023春•四川凉山•高一统考期末）在AABC中，G为的重心，S惭=96,cosABAC=-,

则说.%的最大值为.

11.（2023春•山东淄博•高一统考期末）圆。：V+y2=4上有两定点对在码，网一电⑹及两动点c,

D,且配.彷=2,则画.而+丽・丽的最大值是.

12.（2023春广东深圳•高一统考期末）四边形ABCD中，点瓦尸分别是4瓦CD的中点，AB=2,CD=2五,

EF=1,点尸满足丽.丽=0，则定.而的最大值为.

13.（2023春•福建厦门•高一厦门一中校考阶段练习）己知平面向量Z,b，对任意实数x,y都有

\a-xb\>\a-b\,则见2同的最大值是.

14.（2023春•河北石家庄•高一石家庄二中校考期末）AABC中，AB=1,AC=4,ZA=60°,AD是BC边

上的中线，E,P分别为线段AB,AC上的动点，E产交AD于点G.若△码面积为AABC面积的一半，

则南•丽的最小值为

A

E\-----

BD

③向量夹角（定值，最值，范围）

1.（2023春•福建福州•高一校考期末）若|万|=五，⑸=2且（苕贝京与1的夹角是（）

兀兀兀5

A.—B.—C.—D.—71

64312

2.（2023•全国•高一专题练习）己知。为AABC的外心，RAO=AAB+（1-A）AC.若向量丽在向量加上

的投影向量为〃而，则〃-cosZAOC的最小值为（）

111

A.——B.——C.——D.0

4816

3.（2023春•宁夏吴忠・高一统考期末）若高，&是夹角为90。的单位向量，则Z=2G+&与石=36-a的夹角

为（）

A.15°B.30°D.60。

4.（2023春・江西宜春・高一灰埠中学校考期中）已知单位向量e1，e2的夹角为60。，向量。=祝1+#2，且

l<x<3,l<y<2,设向量日与1的夹角为a,贝（Jcose的最大值为（）.

2而

13

5.（2023春・全国•高一专题练习）在平面中，已知单位向量q、e2的夹角为60。，向量a=xq+ye2，且1m尤?<4,

l<y2<4,设向量£与［的夹角为a,贝Icosa的最大值为（）

5手2手

'~r

6.（2023•海南省直辖县级单位•统考模拟预测）已知平面向量£=函，b=OB，c=OC，满足

4OC-AC=1-|OA|\4OBCB=1-|OC|2,则向量2-4日与2石所成夹角的最大值是（）

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.--

6336

7.（2023春•江西九江•高一校考期中）设万石为平面内两个不共线的非零向量，且|引=|5|,若对于任意实

-1-

数x,都有|@+xb|2万+/Z?,则向量商与5的夹角为.

8.（2023春•广东•高一校联考期末）已知益4均是单位向量，若不等式忸+司,,2忸+同对任意实数f都成立，

则4与々的夹角的最小值是.

9.（2023春•四川成都•高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知旧,照是平面内一组基底，|2£+闸=1,

贝UG+B与22+方所成角的最大值为.

10.（2023•北京海淀•高三专题练习）已知平面向量满足同=6,忖=1,则向量Z+五与"_石夹角的最大

值是.

④向量的其它问题

1.（2023•北京西城•统考二模）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点尸从原点出发，在

坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点尸到达点Q（33,33）所跳跃次数的最小值是

（）

A.9B.10

C.11D.12

2.（2023,河南郑州,校联考二模）在AABC中，AB=1,AC=2,ABAC=60°,尸是AASC的外接圆上的一

点，若存=〃?初+加则〃?+”的最小值是（）

111

A.-1B.——C.——D.——

236

3.（2023•河南安阳•安阳一中校考模拟预测）在"IBC中，设/2一旃2=2瓦彳.册，那么动点M的轨迹

必通过AA6C的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

4.（2023•河南•河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知忖=忘,忖=1,2与B的夹角为45。，求使向量

2Z+XB与42+32的夹角是锐角，则4的取值范围____.

5.(2023•江苏扬州・江苏省高邮中学校考模拟预测)已知点A(TO),8(1,0),若圆(x-4+(y-2a)2=l上

存在点尸满足西•丽=3,则实数a的取值的范围是.

6.(2023•湖南长沙•周南中学校考三模)如图，在〃WC中，点。是边A3上一点且BD=2A£>,E是边BC

BC

的中点，直线AE和直线CD交于点尸，若成是，ABC的平分线，则工=.

专题16平面向量（选填压轴题）

目录

①向量模问题（定值，最值，范围）...................................1

②向量数量积（定值，最值，范围）...................................3

③向量夹角（定值，最值，范围）.....................................5

④向量的其它问题....................................................6

①向量模问题（定值，最值，范围）

1.（2023春•山东荷泽•高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）若平面向量Z,b,入两两的夹角相等,

且卜|=1,W=1,H=3,贝!|，+B+c卜().

A.2B.4或右C.5D.2或5

【答案】D

【详解】因为平面向量b,工两两的夹角相等，所以夹角有两种情况,

即％,b,"两两的夹角为0°或120。,

当夹角为0。时，卜+1=忖+M+忖=1+1+3=5,

当夹角为120°时，|a+J+c|=J(a+B+c)=yja*2+1^+c^+2a-b+2a-c+2b-c

2a-b+2a-c+2b-c

Ji?+T+3?+2xl>lx[-；)+2>lx3><(-；)+2xlx3><[-g)=2,

所以k+B+c|=2或5.

故选：D.

TT--.2--•

2.（2023春・广西玉林•高一校联考期末）如图，在"RC中，==尸为CD上一点，且满

足Q=m需+g超，若|*|=2,|而|=5,则|Q|的值为（）

c

【答案】c

JT---►----►

【详解】在AASC中，由NBAC=§,A£>=2r>B,P为8上一点，

^^SzAP=mAC+-AB,则Q=?加忆+-国5,

24

31

又由P、C、。三点共线，则机+==1,即加=:，

44

因为|恁|=2,|南|二5,

,1—.21.1—也111131

贝|J|”|?2=—AC+-ACAB+-AB=—x4+—x2x5x—+—x25=—,

1644164244

则B4的值为斗.

故选：c.

3.（2023春•江西九江•高一德安县第一中学校考期末）已知非零向量弧西玩，满足囱=4,西=2瓯|

且3+砺•灵+丽•丽=|困之+砺瓦则|丽|的最小值为（）

A.巫B.3C.正D.1

33

【答案】A

【详解】设|诟|=乙则函=2.，取”的中点

由3+丽・元+前•砺=|阿+而而，

gpOA（OC-OB）+OC-（OB-OC）=-3,

BP（OA-OC）（OB-OC）=3,

BPCA-CB=3,

gp（CM+M4）.（GW+MB）=3,

所以的2+m•（必+荻）+妨.砺=3,

,—.1.

^MA=-MB=——AB,

2

即方—［研=3,

所以要使I村最小，口可也最小，

显然I两L=|两H明，此时0、C、M三点共线，

设|西=人

贝山亚卜27?^^,麻卜网=J产一3,\pM\=r+t,

因为cosAOMA+cosAOMB=0,

所以由余弦定理得OM-+AM2-OA2+OM-+BM2-OB2=0,

即2（r+r）2+2（r-3）-16-4r2=0,

即产-2江+11-2/=0,

由A=4r-401-2/)2O,即产4

所以网=2炉与2半，

所以|画的最小值为手.

4（2,0）,设动点C满足|。。42,动点尸满足

PAPC=0,则|。尸|的最大值为（）

A.72B.73+1C.2D.272

【答案】D

【详解】因为所以点C在圆。:/+丁=4的内部或圆周上,

又动点尸满足西.定=0,

所以当AC尸三点不重合时，点尸的轨迹是以AC为直径的圆，如图:

当点C在圆0内时，延长AC交圆。于点。，设AC的中点为AD的中点为N,

贝!!|M4|=|MP|,ON_LAD,|AM|<|4V],

当点C在圆。上时，两点重合，CD两点重合，

所以|AMWAN|,当且仅当点c在圆。上时取等号，

则\OP\<\OM\+\MF\=\OM\+\AM\,当且仅当0,M,P三点共线时取等号，

因为叫+|AMWON|+WW|+|AM|=|ON|+|AN|,当且仅当跖N重合时取等号，因为ONLAD,所以

|ON『+|A7VF=|OA|2=4,

所以|ON|+|⑷V|4,2（|ON「+|AV「）=2近,当且仅当|。叫=|AN|=夜时取等号，此时ODLQ4,

所以2夜，当且仅当QM,尸三点共线且点C在圆-+9=4与>轴的交点处时取等号，

所以10Pl的最大值为20，

故选：D.

5.（2023春•陕西西安•高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量2B均为单位向量，且展B.向

量少与向量5-。的夹角为台，则区-石的最大值为（）

6

A.—B.1C.—D.2

23

【答案】D

【详解】•••向量展5=；，向量々石均为单位向量，

p1f兀

/.lxlxcos<^,Z?>=—,.*.<a,b>=—.

23

如图，设西=商，砺=尻诙=乙则4。由是等边三角形.

•・响量量足…与j的夹角为》4cB哈

因为点C在AB外且,ACB为定值，

所以C的轨迹是两段圆弧,/ACB是弦A8所对的圆周角.

因此：当AC是AB所在圆（上述圆弧）的直径时，应-可取得最大值|AC|,

在“BC中，由正弦定理可得：

.1万取得最大值2.

故选：D

6.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量Z,瓦工满足|£|=出|=75=2,且@-Z)・(2B-")=0,®|a-2c|

的最大值为()

A.77+2B.2夕+1C.币+1D.2.V7+2

【答案】D

r1rL_fCl'b]—TC

【详解】由Ia1=1Z?|=a•A=2可知,cos<a•〃>=--------,故<商•/?>=彳，

\a\-\b\23

如图建立坐标系，商=(2,0),很=(1,百)，

设E=(x,y),由(BV).(25Y)=0可得：

所以1=（无,y）的终点在以为圆心,1为半径的圆上,

所以|万一2口=23万一^,几何意义为（x,y）到（1,0）距离的2倍,

\2

3相

由儿何意义可知力-21+1=26+2,

IImax27

故选：D.

7.（2023秋•上海浦东新•高二统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且

成.丽=0,M为线段中点，其坐标为6）,若向=囚+6-4|,则闾的最小值为（）

A.旦B.述C.BD.A/5

553

【答案】B

【详解】因为况.赤=0,所以土U砺，即以A3为直径的圆过点O,

因为M为线段相中点，坐标为®"，45\OM\=\2a+b-4\,

贝10阂」2a菱一文

几何意义为圆M的半径与点M到直线2x+y-4=0的距离相等,

即圆M与直线2x+y-4=0相切,

则圆M的半径最小值为点。到直线2x+y-4=0的距离的一半,

H「=2雄

即

故选：B

8.（2023・全国•高一专题练习）已知=|•，卜+可=2,向量：满足（a-c][6-c]=0,则c的取值范

围是（）

-13"I

A.[L2]B.—C.[1,3]D.[0,1]

【答案】B

【详解】由题意薪=1，口+6=2得：归+4=4,即有片+庐],

如图示，设04=a,QB=£cosNA03=—,

4

故不妨设Z=（0,o）,则|2|=行，出|=变，贝W=（述，巫），

288

->->

设历="，则m=而=B-2,因为|a-c卜|8-c|=0,故可得m_L丽,

所以C点在以AB为直径的圆上运动,

=1,42的中点为（*1,噜），

在AAQB中，|4例=

]_

则以AB为直径的圆的方程为（尤-

4

即H的取值范围是1,|

故选：B

9.（2023春•四川成都・高一树德中学校考阶段练习）已知非零向量入b,，满足同=4,a-b=2\b\

c2则对任意实数£,卜-.的最小值为.

【答案】史—2

2

【详解】因为同=4,Z•石=2忖，贝lJ|Z||B|cos〈成母=24|,而|B|wO,于是cos〈痴〉=g,

又0W〈a,B〉〈兀，贝!）〈。出〉='1,作04=。,08=3,使NAO3=5，如图,

一23一一—3—0—3——-3——•—__»

由c=—〃•<:—5,得（c一一0）2=4,即|c一一a1=2,令OD=—a,OC=c,则|Z）C|=2,

2444

因此反的终点C在以点。为圆心，2为半径的圆上，显然对SeR,力的终点的轨迹是线段。3确定的直

线/,

于是F-历|是圆。上的点与直线/上的点的距离，过。作线段于E,交圆。于下,

所以g一回=EF=DE-2=\OD\sin^-2=^-2.

所以用的最小值为殍-2.

故答案为：空一2

2

10.（2023春・浙江金华•高二学业考试）已知向量同=1,向量办满足*4+忖+囚=4,则W的最小值为.

【答案】旧

【详解】由向量数量积公式可得：归+邛+|£_邛=（£+耳+（£_,

-2———2-2———2/1-12I_J2\

=a+2a-b+b+a-2a-b+b=2网+\b\I,

由基本不等式可得：,邛+卜邛$°+q+卜-矶,当仅当口+4=卜一斤时等号成立，

所以2M同吓阳”叫），即2（1+加4，

所以W2石，所以国的最小值为

故答案为：百

11.（2023春・湖南邵阳•高一邵阳市第二中学校考期末）已知平面向量方,b,c,巨满足同=3,间=1,忸/=1,

<a,e>—,且对任意的实数f,均有卜一定闫”2a，则上-可的最小值为.

【答案】|

【详解】如图作苏=a，OE=e，

如图，以点。为原点，次为X的正方向建立平面直角坐标系,

因为同=3,<a,e>=^~,同=1,

所以点A的坐标为（3,0）,点E的坐标为

作丽=B，设点8的坐标为（x,y）,

因为|丽卜|丽一西卜W-@=1,

所以而二3『+y2=l,所以（x_3），y2=i,

所以点8在以（3,0）为圆心，以1为半径的圆上，

因为对任意的实数乙均有归-词2k-2M，

所以砰引”2司之,又同=1,

所以/-23Z+4J1-420恒成立,

所以（2e-c）-4（4e-c—4）40,

所以（e-c—2）<0,即e-c=2，

作反="设点C的坐标为,

则一1x'+立y'=2,即无'一若y'+4=0,

22,

所以点C在直线X-石;/+4=0上，

因为=|元一砺卜|相

又点8在圆（*-3）2+）?=1上一动点，

点C在直线7-后了+4=0上一动点，

所以点8到点C的最小距离为点A到点C的距离减去圆的半径1,

即忸42仔。-1,当且仅当点8为线段AC与圆的交点时等号成立，

77

因为点4（3,0）到直线X―石y，+4=0的距离”=击5=5，

所以点A到点c的距离大于等于g,BP|AC|>|,

所以即闫明-1《，

当且仅当AC垂直于直线X―后y+4=0且点8为线段AC与圆的交点时等号成立,

所以卜-砒勺最小值为1

故答案为：—

12.（2023・上海•高三专题练习）已知非零平面向量花、5、1满足同=5,24=同，且（力-4（1）=0,

则w的最小值是

【答案】75

__„Irnum「rLIUL

解：如图女k=M，AD=b>AB=c>贝IJb-a=C。，c-a=CB，

已知(。-4)(c-〃)=o,即CDCB=0,所以CD_LCB,

取题>的中点。，则有0c=519=于1Ir一4n，

而。4=于+4，根据三角形的三边关系可知Q4+OC2AC

则乎+4+小一位同=5,所以5+4+「华10,当A,O,C三点共线时取等号,

记瓦乙向量的夹角为夕，贝16+耳=“6+9=也1?+432cos6=Wj5+4cos6，

同理1-c|=|z?p5-4cos^,

由1+,+卜一q210,可得卜1(j5+4cos]+-5-4cos6)>10,

niI|J*|2<10丫100、100「

111j5+4cos6+j5-4cos6U10+2725-16cos26>10+2A/25

当cos6=0,即5时取等号，

所以Ft石，即忖的最小值是否，

故答案为：6

13.(2023•全国•高三专题练习)己知平面向量方，b,e,其中巨为单位向量，若伍，?〉=

则W一方|的取值范围是.

【答案】g，+s]

【详解】解：建立如图所示坐标系，

不妨设e=诙=(1,0),万=两石=砺，

由(。㈤=弓知，点A在直线y=^~x(x>0)或y=-^-x(x>0)上，

由题意=?’可知(5—4乙方一5M=丁,

\43/6'/6

记C(4,0),0(5,0),则回函

由定弦所对的角为顶角可知点B的轨迹是两个关于x轴对称的圆弧,

设B(x,y),贝I]前=(4一x,-y),BD=(5-x,-y),

/►.DU

因为8S〈BC,BD)=同园，

目百—(4_%,一”・(Y%,_y)

2J(4-%,+丁.J(5―p)2+/

整理得(%-1)2+(y-今=i(y>o)或(x一1+(y+争=I”<o),

由对称性不妨只考虑第一象限的情况，

因为卜-闸的几何意义为：圆弧(x-|)2+(yW)*(y>0)的点到直线y=*x(x>0)上的点的距离,

A/323

故,一同e-,+oo

故答案为：

②向量数量积（定值，最值，范围）

1.（2023春•山东青岛•高一校考期中）如图，在边长为2的等边中，点E为中线8。的三等分点（接

近点8）,点尸为8c的中点，则而.反（）

3

D.

4

【答案】B

【详解】由己知，|丽|=2,|西=2,ZABC=6O°,

所以丽•配=|明|明|cosNABC=2x2xg=2.

由已知。是AC的中点，所以丽=；（而+而），

BE=^BD=^[BA+BCyBF=^BC.

所以说=屉_旃=|（BA+BC）-^BC=1BA-^BC,

6、7263

EC=BC-BE=BC-^BA+BC]=-^BA+^BC,

所以，FE^={-^--BC\\--BA+-B^\=--BA+—BABC--BC

163只66J363618

147c5yl5

=------X4H---x2----x4=—.

3636186

故选：B.

2.（2023春・江苏徐州•高一统考期中）已知向量力与晟是两个单位向量，且■与晟的夹角为60。，若。=冢+2区,

b——e1+e2,则a•b=（）

A,也B.一变C.D.

2222

【答案】C

【详解】因为21，&是夹角为60。的两个单位向量，所以"1=/小/2卜OS<"1,"2>=lxlxg=；,

-2-2

e\=1,02=1,

因为q=ei+2/，b=—e\+a，

所以Q•B=(61+2e2)•(一£1+02)=—61+Cl•02—2勺•02+lei

—*2———»2

=—e\—ei•&+2/

2

=_f_1+2X1=1.

22

故选：C.

22

3.(2023春・广东河源•高一校考阶段练习)设AABC的内角A,民C的对边分别为a,b,c,+c+bc=a,

若角A的内角平分线AD=2,则丽.衣的最小值为()

A.8B.4C.16D.12

【答案】A

【详解】^b2+c2+bc=a2,所以cosA=2力=4,所以4=§,

'+2bfc23

127r17T17T

由工ABC=S«旗。+SAAC£），所以/历Sin可=56•AD•sin§+5c••sin“化简得到"•=26+2c,

所以6c=2（b+c）2,则。cN16,当且仅当6=c=4时，等号成立，

所以丽./=|丽卜园•8$]=；6<?28,则丽.正的最小值为8.

故选：A.

4.（2023春•北京石景山•高一北京市第九中学校考期末）如图，A,B是半径为1的圆。上的两点，且ZAOB=1.

若C是圆。上的任意一点，则区.就的最大值为（）

【答案】C

【详解】因为就配=就（历一历）=砺・南一丽・砺，

Q4-OB=|a4|-|OB|cosZAOB=lxlx^=1,

OAOC=|OA|-|西cosZAOC=cosZAOC,

所以OABC=cosZAOC--

2

即当cos/AOC取最大值时，亥而取得最大值.

当次与玄同向时，cos/AOC取得最大值为1,

此时，正•前取得最大值J.

故选：C.

5.（2023・全国•高一专题练习）如图，在平面四边形ABC。中，/A=90。,AB=AD=2qBCD为等边三角形,

当点M在对角线AC上运动时，碇•砺的最小值为（)

3]_

A.-2B.—C.-1D.

22

【答案】B

【详解】由题意，AB=AD=2,ZABC=Z.ADC=450+60°=105°,

BC=DC=BD=2五,所以△ABC三△ADC,

所以/ACfi=NACD,即AC平分/BCD,

由加=荻+①可得旗•而5=碇.（流+反5）=流"+砺•历

3

・COS15CT9

2

所以当I就卜半_____,3

时,碇•也有最小值为一3

故选：B

6.（2023春・山东枣庄•高一校考阶段练习）已知点。为AABC内一点,NAO8=120°,OA=1,OB=2,过

。作。。垂直AB于点。，点E为线段。。的中点，则说.丽的值为（）

【答案】C

【详解】由已知可得黑0根=；|。4HoB|.sinZA08=*,AB=y/oA2+OB2-20A-OBcos120°=,根据等面积法

得OD=@,

7

故选：C

7.（2023春•江苏徐州•高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，

它有八条边、八个角.八边形可分为正八边形和非正八边形.如图所示，在边长为2正八边形ABCDEFGH

中，点。为正八边形的中心，点尸是其内部任意一点，则函•丽+砺•丽的取值范围是（）

A.(-20,4+2立)B.(-4,4+2扬

C.(-2,4)D.(-4,4)

【答案】A

【详解】正八边形AB8EFGH中，々GH=鱼生胆=135。,

8

所以〃OG=丁=45。，4°尸=等><3=135。

连接AF,过点。作OQ，A尸，交GH、8于点M、N,交AF于点Q,

FE

G/t\D

zc

AB

GF=2,设M=x,由余弦定理得，

△O尸G中，x2+x2-2%-%-cos45°=GF2=4,~^=2（2+夜），

△Q4F中，AF2=X2+X2-2X-X-COS135=/（2+应）=2（2+0了=12+8应，

所以O02=O/2-尸02=2（2+0）-：（12+8夜）=1,解得00=1,

OM2=OG2-GM2=2（2+^2）-12=3+242,解得OM=0+1，

所以西.西+历.丽=（函+砺）•丽=2丽•丽，

当P与M重合时，而在迎上的投影向量为而，此时丽.丽+市.可取得最小值为

2O2-PA=-2xlx（V2+l-l）=-2V2,

当尸与N重合时，西在诙上的投影向量为而，此时次.西+砺.而取得最大值为

202.^4=2x1x（72+1+1）=272+4,

因为点尸是其内部任意一点，所以ZW方+砺.刀的取值范围是（-20,4+2血）.

故选：A.

8.（2023春•江西吉安•高一江西省峡江中学校考期末）在