高考数学压轴题专项训练：平面解析几何（选填压轴题）含答案及解析

专题21平面解析几何（选填压轴题）

目录

①离心率问题........................................................1

②范围（最值）问题..................................................3

③轨迹问题..........................................................4

④相切问题..........................................................6

⑤新定义新文化题....................................................7

①离心率问题

22

1.（2023春•陕西西安・高二西安市铁一中学校考期末）设椭圆+的焦点为用小尸为

ab

椭圆C上的任意一点，尸耳・尸区的最小值取值范围为其中4=廿+02,则椭圆C的离心率为（）

-i11r1夜］「11］「右后

A-B.5万］C./川口•］芋§

22

2.（2023秋.天津北辰.高二校考期末）若双曲线C:］-*•=l（a>0,b>0）的一条渐近线被圆d+（y-2）2=4

所截得的弦长为26,则C的离心率为（）

A.2B.9C.述D.4—

333

3.（2023春•内蒙古赤峰•高二赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线「-与=1（〃>0,6>0）的左、右焦点分别

ab

27r

为4,F2,过点6的直线分别交双曲线的左、右两支于A,B两点，且|/山|=2仙团，若/耳Ag=W，则

双曲线离心率为（）

A.近B.76C.75D.2

22

4.（2023•江西南昌•南昌市八一中学校考三模）已知双曲线C:=-1=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为

ab

4,F2,若在C上存在点P（不是顶点），使得/尸名月则C的离心率的取值范围为（）

A.（0,2）B.（出,+可

c.(1,73]D.。典

22

5.（2023•福建福州•福州四中校考模拟预测）已知双曲线C:j-4=l（a>0,10）,尸为左焦点，4，&分别

ab

为左、左顶点，P为C右支上的点，且|。刊=|。尸|（。为坐标原点）.若直线PE与以线段44为直径的圆相交，

则C的离心率的取值范围为（）

A.（1,73）B.（6,+qC.（君,+s）D.（1,A/5）

6.（2023春,湖南长沙•高二长沙市明德中学校考阶段练习）双曲线工一二=1和椭圆=+《=1有共同

m~2n~2m'n~

的焦点，则椭圆的离心率是（）

A.3B.巫C.逅D.叵

2346

2

7.（2023秋•江苏南通•高三统考阶段练习）过点（2,2）能作双曲线/一当=i的两条切线，则该双曲线离心

a

率e的取值范围为.

22

8.（2023秋•湖北•高三校联考阶段练习）已知双曲线C：=-匕=1的左右焦点分别为耳，F2,点A为双

a22一

曲线C右支上一点，直线交双曲线的左支于点8,若且原点。到直线曲的距离为1,则C

的离心率为.

22

9.（2023•全国•高二课堂例题）若椭圆5+多=l（a>6>0）上存在一点使得//鸣=90°（月,居分

cib

别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为.

22

10.（2023春•江苏宿迁•高二校考阶段练习）已知椭圆C:=+与=l（a>6>0）,A8是长轴的左、右端点，

ab

动点M满足MB_LAB,连接A",交椭圆于点P,且。尸为常数，则椭圆离心率为.

22

11.（2023•江西赣州,统考模拟预测）己知双曲线C：三一2=1（°>0/>0）,过其右焦点P作直线/交双

曲线C的渐近线于A,8两点，其中点A在第一象限，点8在第四象限.设。为坐标原点，若△O4F的面积

为O8F面积的2倍，且加用=乎4,则双曲线C的离心率为.

22

12.（2023•福建宁德•校考模拟预测）已知椭圆C:]+}=l（a>b>0）的右焦点是/，直线、=区交椭圆

\OAIAFI

于A,8两点，直线AT与椭圆的另一个交点为C,若片=《岛=1，则椭圆的离心率为_________.

\OF2|CF|

②范围（最值）问题

22

1.（2023•江苏徐州•校考模拟预测）已知椭圆C：3+1_=1的右焦点为尸，。为坐标原点，点P,Q为椭

圆C上的两点，且4%/。+3=0,R为尸。中点，则|我用的最小值为（）

A.芋B.1C.6TD.V2-1

2.（2023・重庆・统考模拟预测）设a,b为正数，若直线方-勿+1=0被圆/+9+4*_2丫+1=0截得弦长

为4,则空稼的最小值为（）

ab

A.6B.7C.8D.9

3.（2023•山东•山东师范大学附中校考模拟预测）在平面直角坐标系尤0y中，点4（0,3）,直线/：、=2尤-4.设

圆C的半径为1,圆心在/上.若圆C上存在点M,使|K4|=2|MO|,则圆心C的横坐标”的取值范围为（）

4.（2023•北京•校考模拟预测）已知椭圆G:>+V=1.过点的0）作圆尤②+y2=1的切线/交椭圆G于A3两

点.将表示为机的函数，则|AB|的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

22

5.（2023•四川•校联考模拟预测）已知双曲线C：T-==l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为月,区,离心率

ab

为2,焦点到渐近线的距离为次.过工作直线/交双曲线C的右支于AB两点，若H,G分别为耳&与

△8月瑞的内心，贝U|8G|的取值范围为（）

A.[20,4]B.[73,2），・卜明20,半）

6.（2023•云南昆明•昆明一中校考模拟预测）已知直线/是圆C：x2+y2=1的切线，且I与椭圆E：+y2=1

交于A,B两点,则的最大值为（）

A.2B.73C.&D.1

22

7.（2023•江苏苏州•校联考三模）已知双曲线C:^-匕=l（a>0）,过其右焦点尸的直线/与双曲线C交于

cr12V7

A、8两点，已知|AB|=16,若这样的直线/有4条，则实数。的取值范围是.

8.（2023•吉林长春•统考模拟预测）已知圆C的圆心在抛物线%2=2^（/7>0）上运动，且圆C过定点A（0,p）,

圆C被X轴所截得的弦为MN,设|AM|=〃z,\AN\=n,则'的取值范围是.

nm

9.（2023,黑龙江大庆•统考三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆

锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果.他发现“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值4（X>0且2W1）

的点的轨迹是圆"，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知4（0,1）,

3（0,2）,4-忘,2）,。为抛物线V=40x上的动点，点。在直线》=一五上的射影为H,M为圆

1+0丫+丁=2上的动点，若点尸的轨迹是到A,8两点的距离之比为日的阿氏圆，则

^~\MC\+\QH\+\QM\的最小值为.

22

10.（2023•四川成都•四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦

ab

点分别为"，鸟，过片且垂直于X轴的直线与该双曲线的左支交于A,3两点,AF2,分别交了轴于P,

*

。两点，若PQK的周长为16,则乙的最大值为.

。+1

11.（2023•四川绵阳•统考模拟预测）已知尸为抛物线：y2=4尤的焦点，过直线/：x=-2上任一点尸向抛物

线引切线，切点分别为A,B,若点“（4,0）在直线上的射影为H,则但引的取值范围为.

③轨迹问题

1.（2023秋・广东阳江•高三统考开学考试）已知圆C1：（x-K『+y2=产（0<r<4）与圆

C2：（x+@2+y2=（4一?■）2交点的轨迹为V,过平面内的点尸作轨迹〃的两条互相垂直的切线，则点尸的

轨迹方程为（）

A.x2+y2=5B.x2+y2=4

C.x2+y2=3D.x2+/=|

2.（2023•贵州黔西•校考一模）在正方体A。中，点M为平面A期A内的一动点，4是点加到平面血已人

的距离，&是点M到直线BC的距离，且4=彳4（4>0）（4为常数），则点M的轨迹不可能是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

3.（2023•全国•高二专题练习）已知动点尸会可满足也2+（y一2）2+62+（>+2）2="+■|（。为大于零的

常数），则动点尸的轨迹是（）

A.线段B.圆C.椭圆D.直线

4.（2023春•江苏南京・高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知圆Y+y2-4后y=0的圆心为S,

过点T（0,-2代）的直线加交圆S于C、。两点，过点T作SC的平行线，交直线SD于点则点〃的轨迹

为（）

A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.双曲线一支

5.（2023•高二课时练习）已知大玛。,0）,动点尸满足||尸耳|一|尸闻=2。（a为常数），则下列说

法中错误的是（）

A.^^^（^九点2的轨迹是丫轴B.a=1时，点P的轨迹是一条直线

C.“<0或a>1时，点尸的轨迹不存在D.0<。<1时，点尸的轨迹是双曲线

6.（2023•江苏南通•统考模拟预测）已知圆C的方程为炉+产=16,直线/为圆C的切线，记A（-2,0）,3（2,0）

两点到直线/的距离分别为4,4，动点尸满足|削=4，\PB\=d2,则动点尸的轨迹方程为（）

B.U=1

A.x2+y2=4-c—二1D.y2=4x

1612<12

7.（2023・高二课时练习）在,ABC中,已知A(-l,0),C(L。)，若a>b>c,且满足2sinB=sinA+sinC,则

顶点5的轨迹方程是（）

2222

A.土+匕=l(x<0)B.-+—=l(x<0)

43v734v7

2222

C.^+Z_=l(x>0)D.:|-+^-=l(x>0)

8.（2023・全国—■课堂例题）如图所不，已知定圆月：尤?+y-+10x+24=0,定圆F?：尤?+-10x+9=0,

动圆M与定圆X，F?都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

9.（2023•全国•高三对口高考）已知动圆尸过点N（—2,0）,且与圆M:（x-2p+V=8外切，则动圆尸圆心

P（x,y）的轨迹方程为.

10.（2023・全国•高三专题练习）已知平面上一定点C（2,0）和直线/：x=8,P为该平面上一动点，作PQ，/,

垂足为。，且（尸C+；PQ）.（PC-gpQ）=0.则动点尸的轨迹方程为；

11.（2023•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系X。〉中，已知△必W的周长是18,M,N是x轴上关

于原点对称的两点，若|MN26,动点G满足670+3'+3打=0.则动点6的轨迹方程为；

12.（2023春咛夏银川・高二银川唐徐回民中学校考期中）一个动圆与圆+（y+3）2=l外切，与圆

C2:，+（y-3）=81内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为.

13.（2023•全国♦高二课堂例题）已知点A（0,2）,5（0,-2）,C（3,2）,若动点M（x,y）满足|M41+1AC|=|+1BC|,

则点M的轨迹方程为.

14.（2023•全国,高三专题练习）已知动圆M与直线＞=2相切，且与定圆C:f+（y+3）2=l外切，则动圆圆

心M的轨迹方程为.

④相切问题

?21

1.（2023•全国•高三对口高考）已知实数无，y满足：丁+\V=1,则的最大值为（）

A.旧B.2C.75D.5

2.（2023秋•江西宜春•高二江西省宜丰中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,

形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与&i）a+（—）2相关的

代数问题可以转化为点A（x,y）与点网区为之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足

Jx1+y~+4x+4+Jx2+y~—4x+4=4A/2,则^—的取值范围是（）

x-3

A.[0,6]B.[3,6]C.[0,12]D.[3,12]

3.（2023•全国•高三专题练习）已知点尸为函数/（无）=，的图象上任意一点，点。为圆（尤-1）2+尸=1上任

意一点，则线段P。长度的最小值为（）

A.72-1B.1C.y/2D.G-1

4.（2022•宁夏银川・银川一中校考二模）已知实数满足小卜?=1,则|后一厂6|的取值范围是（）

A.16-6,3）B.16-新,6）

C.L3—2,3JD.L3—2,6J

5.（2023•江西•校联考模拟预测）已知实数x，y满足x|x|-y|y|=l,则x-y的取值范围是（）

A.[-忘,0）B.[-2应,0）c.（0,V2]D.（0,2形]

6.（2023,河南•统考模拟预测）若直线/：y=-3x+〃，与曲线C：包+f=1有两个公共点，则实数机的

2164

取值范围为（）

A.（-2A/2,0）（0,2A/2）B.（0,272）

C.(-2,0)50,2)D.(0,2)

22

7.（2。22.高二单元测试）椭圆乎土1上的点到直线x+2y-必。的最大距离是一一

⑤新定义新文化题

1.（2023•江苏•高二假期作业）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用"逼近法”得到椭圆的面

22

积除以圆周率n等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：—+4=1

4b

（a>b>0）的面积为2扃，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（）

2.（2023春•云南红河•高二开远市第一中学校校考阶段练习）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结

合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面

轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿

波罗尼斯圆.已知平面内有两点A（T,0）和颓2,1）,且该平面内的点尸满足|24|=0|尸耳，若点P的轨迹关于

直线〃a+冲-2=0（九〃>0）对称，则二+一的最小值是（）

mn

A.10B.20C.30D.40

3.（2023・全国•高三专题练习）闵氏距离（Minkowskidistance）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的

方法，设点A、B坐标分别为（孙珀，（％无），则闵氏距离与（43）=佃-司"+丽-讨）%（。€?^.若

点A、8分别在y=e'和y=x-l的图像上，则与（4,3）的最小值为（）

A.21/pB.2PC.e1/pD.ep

4.（多选）（2023春•广东广州,高二统考期末）费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲

线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双

曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知月、尼分别是

以为渐近线且过点A（40,3）的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点

尸（%，%）（1>4,%>。）处的切线/交x轴于点。，则（）

A.双曲线C的离心率为五B.双曲线C的方程为<=1

4169

C.过点片作GK，P。，垂足为K,贝1OK|=8D.点0的坐标为

5.（2023春•江西赣州•高二校考阶段练习）我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利

用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面

积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蔚芳等.下图为华衡芳证明勾股定理时构造的图形，若图

中CB=1,G4=2,ABC=90,以点C为原点，C8为尤轴正方向.C4为y轴正方向，建立平面直角坐

标系，以A8的中点。为圆心作圆。，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆。外部，则圆。

的一个标准方程为.（写出一个即可）

6.（2023•福建三明・统考三模）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即

任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一

22

个圆上时等号成立.已知双曲线C:*-±=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为6，F2,双曲线C上关于原

ab

点对称的两点A,B满足1/RIM闾=|A£H陷|+|四|•怛团，若NAFH=2,则双曲线C的离心率.

7.（2023•全国•高三专题练习）画法几何的创始人一一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条

垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆

0：提+*1（。>人>0）的蒙日圆方程为丁+f="+〃，椭圆C的离心率为白，M为蒙日圆上一个动点,

过点/作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于尸、。两点，则MQ面积的最大值为.（用含b的代

数式表示）

8.（2023•江苏•校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，两点片（西,乂），£（%,%）间的"曼哈顿距离"定义

为忸助=|为一百+回-%|,则平面内与两定点耳（-1,0）和笈（1,0）的"曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成

的面积为.

专题21平面解析几何(选填压轴题)

目录

①离心率问题........................................................1

②范围(最值)问题..................................................3

③轨迹问题..........................................................4

④相切问题..........................................................6

⑤新定义新文化题....................................................7

①离心率问题

22

1.(2023春・陕西西安•高二西安市铁一中学校考期末)设椭圆C:=+4=l(a>b>0)的焦点为用，工，尸为

ab

椭圆C上的任意一点，的最小值取值范围为[c:3c]，其中/=/+°2,则椭圆C的离心率为()

'111[1&]「11]「近7T

A'B_fC.D.芋§

【答案】D

【详解】由题意可知，耳(-c,0),玛(c,0),设尸(x,y),

因为《+/=1，所以3伊一')(_1

f<y<b^

abb2、

又尸耳=(-c-x,-y),PFX=(c-x,-y),

所以尸耳・尸巴=/一/+丁=a(1:y)_

因为一6Vy〈b,则04y24b2,

当好=从时，斯.此取得最小值4-2c2,^c2<a2-2c2<3c2

即yfic<a<,

所以心栏川

即椭圆C的离心率为.

故选：D.

22

2.（2023秋•天津北辰•高二校考期末）若双曲线C:与-二=1（°>0,6>0）的一条渐近线被圆尤?+（y-2）2=4

ab

所截得的弦长为26，则C的离心率为（）

A.2B.毡c.逑D.43

333

【答案】B

【详解】双曲线C的渐近线方程为y=±芸,直线y=±.被圆x?+（y-2）;4所得截得的弦长为2石,

则圆心（0,2）到直线y=±^x的距离为d=彳可=1，

则名;

由点到直线的距离公式可得

因此，双曲线c的离心率为

故选：B.

22

3.（2023春•内蒙古赤峰•高二赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线a-卓=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别

Ojr

为耳,F2,过点4的直线分别交双曲线的左、右两支于A,B两点，且|AB|=2|A£|,若/耳4耳=手，则

双曲线离心率为（）

A.不B.nC.75D.2

【答案】A

【详解】令IA耳口,>]|AB|=2t,\BFX|=?)t,\BF21=?>t-2a,\AF2\^t+2a,

jrjr

在AAB月中，ZBAF2=-,由余弦定理得|8月F=|AB『+|AgF-2|AB”Ag|cos§,

即⑶一2a)2=4d+0+2a)2-2«f+2a),解得r=2a,于是|A骂|=2a,|Ag|=4a,

27r

在AA耳与中，令双曲线半焦距为c,由余弦定理得：(2a)2+(4a)2-2x2tzx4ocosy=(2c)2,解得,=亿，

所以双曲线离心率e=£=V7.

a

故选：A

22

4.(2023•江西南昌•南昌市八一中学校考三模)己知双曲线C:二-当=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为

ab

Ft,F2,若在C上存在点P(不是顶点)，使得/尸乙片=3NP£尸，则C的离心率的取值范围为()

A.(V2.2)B.(后+8)

C.(1,拘D.(1,V2]

【答案】A

【详解】设尸耳与y轴交于。点，连接QB，则。£=。鸟,，/。£8=/。8片,

因为NP4月=3/尸月尸，故尸点在双曲线右支上，且NP&Q=NP。工=2/尸耳耳,

故IPQRPBI，而IP用-1尸耳1=2°,

故I尸片I-1尸鸟|=|尸片I-1尸。1=1。用=2a,

在Rt.。。居中,|QFX|>|OFX|,即2a>c,

故9=£<2,

a

由/尸乙片=3/尸片鸟，且三角形内角和为180,

故NPKB<—=45°，则cosNPFE=方言>cos45°,

41241

即£>受，即e=£>g,

2a2a

所以C的离心率的取值范围为（3,2）,

故选：A

一一一22

5.（2023•福建福州•福州四中校考模拟预测）已知双曲线C:0r-2V=1（a>0/>0）,尸为左焦点，4,4分别

ab

为左、左顶点，尸为c右支上的点，且QH=|o尸|（0为坐标原点）.若直线尸尸与以线段44为直径的圆相交，

则c的离心率的取值范围为（）

A.（1,73）B.（右,+8）C.（底+@D.（1,A/5）

【答案】D

【详解】设双曲线的右焦点为耳,则|。尸|=|叫=1。耳1,

则N尸尸4=90,

P为C右支上的点，取尸厂的中点为2,连接。8,则08JLPE,

设|0例=乙则|《居|=2/,则|PF|=2a+2f,

在Rt△尸尸片中，（2a+2^+⑵）？=（2c『，

即2t2+2at+a2-c2=0,

又直线尸产与以线段44为直径的圆相交，故。

设/（0=2/+2at+a2-c2,贝ljf（0）=a2-c2<0,

贝!J需使/（。）=2。2+24+。2一。2>0,解得

a

即双曲线离心率的范围为l<e（君，

即C的离心率的取值范围为（1,司，

故选：D

2222

6.（2023春・湖南长沙•高二长沙市明德中学校考阶段练习）双曲线二一士句和椭圆J+多=1有共同

m2n2mn

的焦点，则椭圆的离心率是（）

A73RV15「新NA/30

2346

【答案】D

22

【详解】对于双曲线9=1,

m2n

设右焦点为（q,o）,

所以。:="+2〃2,

尤2v2

对于椭圆--7+-Z-=1,

2m2n2

设右焦点为“2,0）,

所以靖=2m2-n2,

因为有共同的焦点，

22

所以=加2+2〃2=Q2=2m-n,

所以加=3后

22

所以椭圆的离心率是0=二三V2m-n_7^7_恒—叵

VW\l2m212mlV6〃-6

故选：D.

2

7.（2023秋•江苏南通•高三统考阶段练习）过点（2,2）能作双曲线f-与=1的两条切线，则该双曲线离心

Q

率e的取值范围为

【答案】（1,0）72,

【详解】当过点（2,2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2,

x=2

x=22

由，2y2可得<,故直线x=2与双曲线--5=1相交，不合乎题意;

%一-2=1y=±y/3\a\

a

当过点（2,2）的直线的斜率存在时，设直线方程为y-2=k（x-2）,即>=履+（2-2人）,

丁："：（2,2左）可得（左2—。2）彳2_4左（4_1）彳+4（1—4y+q2=0,

联立

ax—y—ci

2

因为过点（2,2）能作双曲线X2-4=1的两条切线,

a

上之一〃2。0

A=16fc2（^-l）2-4（^2-a2）[4（l-）t）2+a2]=0可得3左2—8左+4+<?=0,

由题意可知，关于左的二次方程次2一8左+4+1=0有两个不等的实数根,

所以，/\'=64-12（4+/）>0,可得0</<g,

又因为左2。,即4w±〃，因此，关于k的方程女2一8左+4+/=0没有k=±a的实根,

所以，4a2_8。+4。0且4a2+8a+4w0,解得QW±1,BPa2^l,

当0</<1时，e="+a?e"）,

/

当l<q2<d时，e=Jl+le近，

3.

综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是（1,亚〉.V2,

故答案为：（1,3）N2,

22

8.（2023秋・湖北•高三校联考阶段练习）己知双曲线C：，-乙=1的左右焦点分别为k，F?,点A为双

a22

曲线C右支上一点，直线州交双曲线的左支于点8,若=且原点。到直线A片的距离为1,则C

的离心率为.

【答案】V7

【详解】点A为双曲线C右支上一点，

\AF\-\AF^=2a,

yL\AB\=\AF2\,:.\AF\-\AF^=\AF\-\A^=\BF\=2a,

•••点8为双曲线C左支上一点，

.•.忸可—忸制=2a即\BF2\=2a+1BF[\=2a-^-2a=4a,

过。，旦作直线A耳的垂线，垂足分别为M,N,

,可得F、N=2OM=2,

2

在直角三角形BNF2中BN=飞BF；-HF；=716a-4=244/-1,

222

在直角三角形片”中F,N+F2N=FtF2,

2

(2,4a2-1+2“)+4=4',

4(4(I2-1)+8a"，-1+4/+4=4(/+2),

1—2/=aJ4a2-1，平方可得。？=~，

••.c的离心率为77.

故答案为：币.

22

9.(2023•全国•高二课堂例题)若椭圆A+为nigAb〉。)上存在一点使得/隼*=90°(可，工分

别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为.

【答案】商

【详解】方法一：设点M的坐标是(4,%),则同<。.

•.•耳(一c,0),玛(c,0),.•.丽=(一一吃,一％),MF2=(c-x0,-y0).

■;/月讶=90。，二“4.坐=一«+1)(0_%)+4=0,即x：+y：=c2.

又点M在椭圆上，即¥=/-与看，

a

2

「•焉+y：=/+三片£忖,〃2),gpC2G[/?2,6Z2),

1

c2>b2=a2-c2,即1」，

a22

又0<e<l,「

2

故椭圆的离心率e的取值范围是[曰

方法二：设点M的坐标是(%,%),

’22

由方法一可得，券条"I'消去%,得片=,卜："2),

4+¥=。2，/

匕也。①

由②得°?一62<°2,此式恒成立.

由①得c'NZA即c22a2-c?,二2c2,则

a2

又0<e<l,「.ee例•

综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是

方法三：设椭圆的一个短轴端点为P,

•••椭圆上存在一点M,使/月5=90。，

•••/可产"290。，则c2%,（NF时最大时,M为短轴端点）

c21

•c2>b2=a2-c~,即二2人,

a2

又0<e<l,二—<e<l,

2

故椭圆的离心率e的取值范围为

故答案为:

10.（2023春•江苏宿迁•高二校考阶段练习）已知椭圆C:5+4=l（a>b>0）,AB是长轴的左、右端点,

ab

动点M满足"4,AB,连接AM,交椭圆于点尸，且OPOM为常数，则椭圆离心率为.

【答案】

22

【详解】由题意设尸（如先）,拉（即）«/0）,

因为A—三点共线,所以年T5得"第？

因为毛+%/(〃一九o)(〃+/)

=1,所以¥=

ab

所以OP♦OM—CLXQ+ty^—CLXQH-------

x0+a

2

2ab(a—x0)(a+x0)

=UXQH----------------------------------

a+x0a

=%+2〃("-x。)

a

,2a2-2b2

=2及+------x

a0

因为OPOAf为常数，所以"-262=0,

所以。2=2户=2(/一。2),得〃=202,

所以“二夜,’所以离心率，=5=美=殍'

y2

11.（2023•江西赣州•统考模拟预测）已知双曲线C：=1（。>0*>0）,过其右焦点尸作直线/交双

曲线C的渐近线于42两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.设。为坐标原点，若的面积

为08户面积的2倍，且|A刊=?“，则双曲线C的离心率为

4

【答案】j

b

【详解】双曲线的焦点为/（G。），渐近线方程为y=±：x,

依题意可知直线I的斜率存在，设直线I的方程为y=k（x-c）,