高考数学压轴题专项训练：利用导数研究双变量问题（全题型压轴题）含答案及解析

专题10利用导数研究双变量问题（全题型压轴题）

目录

①/（%）=8（々）型......................................................1

②/（%）欠（々）型（或/（xjwg5）型）....................................3

③构造函数法........................................................6

①，a）=g（w）型

1.（2023春•四川宜宾•高二四川省高县中学校校考期中）已知函数，（x）=xeT,g（x）=fx+a,若叫，

丫[1,2],使得〃%）=g（N）,则实数a的取值范围是（）

A.佶二,马7n2+2]B.[---,^-ln2+2

k2ee2J\_2ee2J

Ciccll）「2-

2e2）Lee2j

2.（2023秋•吉林长春•高三长春市第五中学校考期末）已知函数/⑴=e2-g（%）=x—1,对任意％cR,存

在％2^（0,+8）,使/（Xi）=g（w），则9-石的最小值为（）.

A.1B.V2

311「

C.2+ln2D.—+—In2

22

3.（多选）（2023春・广东潮州•高二统考期末）对于函数/"=「，下列说法正确的是（）

Inx

A./⑺在（0,e）上单调递减，在（e,+8）上单调递增

x

B.当Ovx1V々<1时，i-Inx2>x2-Inx1

c.若函数y=/>|）-依此R）有两个零点，则左=e

D.设g（%）=%2+a（awR）,若对％eR,加e（l,y）,使得g（xj=〃々）成立，则aNe

4.（2023・全国•高二专题练习）已知函数='4']，其中，为自然对数的底数，若存在实数再，9

满足0且/（占）=/5），则弓2尤1的取值范围为一.

5.(2023春・浙江•高二校联考阶段练习)已知函数〃元)=x2+ox+：,g(x)=l"+x.

⑴求函数g(x)在x=l处的切线方程；

(2)记函数/z(x)=/(%)—g(x),且/?(x)的最小值为：+ln也.

(i)求实数。的值；

(ii)若存在实数再,％/满足/(尤i)=g(%)=乙求|%-司的最小值.

6.(2023・高二课时练习)己知函数/(x)=xe*,g{x)=ax+l,a&R.

⑴若曲线y=/(x)在点(0,/⑼)处的切线与直线y=g(x)垂直，求。的值；

(2)若方程〃尤)-g(无)=0在(-2,2)上恰有两个不同的实数根，求。的取值范围；

⑶若对任意再w[-2,2],总存在唯一的使得〃X2)=g(X]),求。的取值范围.

4v1

7.(2023•全国•高二专题练习)已知函数g(x)==\，〃尤)=依-In龙，当。＞0时，若对任意的-,2

总存在£，使得8(为)=/(々)，求实数。的取值范围.

②/（心g-2）型（或/（再）Vg®）型）

1.（2023春,四川绵阳,高二期末）已知/（尤）=—InxH----ex+4,g（x）=gx3—尤?+2,若Vx,e（0,1],e[—1,1],

都有g（9）N，a）,贝心的取值范围为（）

2.（2023春•上海闵行•高一校考期中）已知函数〃x）=sin（2x+0）（O<0<7i）

（1）当夕=?时，求函数y=/（x）的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；

⑵若/⑴为偶函数，设g（x）=〃尤）-/（彳+T刍T，若不等式lg（x）f"l<2在尤e[0,勺1T上恒成立，求实数机的取

值范围；

⑶若/（幻过点]」），设/?（%）=cos2%+2asinx,若对任意的王£[一宗学，9日呜]，都有力（石）</（%2）+3,

求实数〃的取值范围.

3.（2023春•天津静海•高二静海一中校考阶段练习）已知函数/（x）=T，g（x）=-ex2+ax（e是自然对数

的底数）

⑴求在（1,〃功处的切线方程.

⑵存在彳€（0,+00）赭。）＞。成立，求a的取值范围.

⑶对任意的me（0,+8）,存在“e[1,3],有则。的取值范围.

4.（2023・全国•高三专题练习）设函数/Q）=e（x2G+a）（aeR）设g（x）=》+±一g,若对任意的

77e[0,2],存在〃[e[0,2],使得/O）2g（〃）成立，求。的取值范围.

2

5.(2023春•河南焦作・高一统考期末)已知函数/(》)=-g(x)=log(x-l).

x-l2

⑴若彳>0,函数丸(幼=〃耳-公@)在区间(3,5)上存在零点,求力的取值范围；

(2)若°>1,且对任意玉e[a,a+3],都有七€|«,4+3],使得/(为)"(9)成立，求a的取值范围.

6.(2023春•河南信阳•高一校考期中)已知函数〃尤)=1吗[(2-〃)2，+1]-无，函数g(x)=2TT-21

⑴若g(x)是偶函数，求实数7的值，并用单调性的定义判断g(x)在[。,+8)上的单调性；

(2)在(1)的条件下，若对于％目0,y),气sR,都有/(xJ+2Wg(9)+log22a成立，求实数。的取值

范围.

③构造函数法

2A2

1.（2023・全国二专题练习）已知函数/（%）——C——Inx—\wx—kx—x+1,对于任意的耳、x2£（0,+oo）,

当x产多时，总有小匕g＞2成立，则％的取值范围是（）

D.-oo,-1

V3e

2.（2023・全国,高二专题练习）若对于任意的0＜网＜灰＜a,都有至跖二上吐＞2,贝i]a的最大值为（）

再-x2

11

A.1B.eC.-D.-

e2

3.（多选）（2023春广东云浮•高三校考阶段练习）若对任意的为，々«〃7，心），且占＜々，都有

里吧」生土＜2,则加的值可能是（）

4.（2023•青海西宁•统考一模）已知函数/（xhlnx+^f-m+DMawR）,g（x）=/（元）-gx?+（。+1）尤.

⑴讨论Ax）的单调性;

（2）任取两个正数办,三,当菁＜马时，求证：g（尤]）_「（%）＜a,；：）

5.（2023春•上海嘉定•高三统考阶段练习）设函数/（幻=；--ax+（a-l）圆，a＞\.

⑴曲线y=f（x）在点（2"（2））处的切线与X轴平行，求实数。的值；

⑵讨论函数/（X）的单调性；

（3）证明：若。＜5,则对任意公，x2e（0,+oo）,工产尤2,有；二-＞一

专题10利用导数研究双变量问题（全题型压轴题）

目录

①/(Xl)=g(X2)型......................................................1

②/（Xl）»g（X2）型（或/（石）气（々）型）....................................3

③构造函数法........................................................6

①/（为）=8（々）型

1.（2023春•四川宜宾•高二四川省高县中学校校考期中）已知函数/（x）=xe，g（x）=；f一inx+a,若骂,

马使得了（可卜且值），则实数a的取值范围是（）

aii2,cc

A.~--,--ln2+2,B.------,--ln2+2

Uee2)L2ee2

「2,cell)「2,ccl/

C.—+ln2-2,-------D.—+ln2-2,——-

^e2e2)|_e-e2_

【答案】D

【详解】/(%)=f(x)=管，当xe[l,2]时，/(%)<0,

21

函数/（x）单调递减，函数的值域是

g(^x^=—x2—lnx+a,=x——=——->当XE[1,2]时，g，(x)NO,

乙XX

函数g(x)单调递增，函数的值域是1+a,2-ln2+a,

因为叫,x2G[1,2],使得/(%)=g(w),

11

—+a<—

所以<2e,解得：-^+\n2-2<a<--^~,

2-in2+fl>4寸e2

、e

-911-

所以实数〃的取值范围是-+ln2-2,--.

ee2

故选：D

2.（2023秋・吉林长春•高三长春市第五中学校考期末）已知函数/（x）=e2，,g（尤）=%-1,对任意外eR,存

在尤2€（0，+°°），使/（王）=g（龙2），则9-玉的最小值为（）.

A.1B.72

31,一

C.2+ln2D.-+-ln2

22

【答案】D

【详解】解：由题意，令玉）=g（%）=加＞。，则e%=m，=

所以石=工1口m，x2=m+l,x2-x1=m+,

令7z(m)=根+l—；ln机(根＞0),所以(m)=1—^―,

令〃(机)=0,得m=；,

所以当根6［。,］时，h^m）＜0,单调递减;

当加£［；,+co］时，h4叫＞0,〃（加）单调递增，

1Q1

所以当机=：时，〃㈣有最小值尹扪2,

31

即%的最小值为］+/ln2.

故选：D.

3.（多选）（2023春・广东潮州•高二统考期末）对于函数”"=「，下列说法正确的是（）

Inx

A./（%）在（0,e）上单调递减，在（e,+8）上单调递增

B.当0v%v九2Vl时，x{-Inx2＞x2-Inx1

c.若函数y=/（|x|）—依左£R）有两个零点，贝=e

D.设g（x）=%2+4（〃£R）,若对％eR,即e（l,+co）,使得8（芯）=/（尤2）成立，则心e

【答案】BD

【详解】对于A选项，〃力=高的定义域为（。,1）（1,y），所以A选项错误;

a（xlnx-1

对于B选项，/（%）=（］口%）2当0v无＜1时，/(x)＜0,/(%)递减,

由于。＜…＜1，所以"6"），武〉武，

由于In%〈（Xin/＜。,（1口玉）・（111%2）＞0，

所以由两边乘以(In%)]!!!%)得x「lnx2>X2」nX],所以B选项正确;

111JCi111X,

对于C选项，令y=/(国)一左=0,/(国)=4，

由于「(无)=言小，所以在区间(0,1),(1,e),_f(x)<O,/(x)递减，

在区间(e,4w),0,/(x)递增,

当0<x<l时，f(x)=<0,当x>l时，无)=>0,f(e)=e,

InxIn%/

函数附的定义域为(F,T)5T,o)5o』)u(i,y),

又川-x|)=川x|),所以函数y=/(W)为偶函数,

由此画出y=的图象如图所示，

由图可知，当左=e或左<0时，直线y=上与y=/(|尤|)的图象有两个交点,

即当左=e或左<0时，函数>=/(卜|)-左有两个零点，所以c选项错误；

对于D选项，由上述分析可知，e(l,-Hx>),

则/(%2"卜,+00),占eR,g[x^)>a,

要使"对％eR,BX2e(l,-K»),使得g&)=/(%)成立"，

则需aNe,所以D选项正确.

故选：BD.

4.(2023・全国•高二专题练习)已知函数/⑴=-L、其中e为自然对数的底数，若存在实数再，

满足04为<%<3,且/(%)=/(々)，则々一2%的取值范围为一.

【答案】[0,1-W

【详解】解：记机=无2-2玉，

由/⑴=x-2/a]，知A%)在。I和(1，引单调,

所以有，彼耦1<%？3时，/(尤1)=玉，/(%)=*-2,所以％=*-2,

所以％-2=阮”,即9=I%+2,故相=1政1+2-2xlf

设g(%)=/nx+2-2x,xe(i,1],则<(%)=』—2,令g'(%)=0,得X=工，

ex2

当兀£(1二)时，g'(X)>0,g(X)单调递增，

e2

当xe(；,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

gd)=i_2,g⑴=0;

ee

所以当x=1■时，g(x)取极大值也是最大值，即加小=g(；)=历;+2-1=1-加2,所以工2-2网最大值为1—伍2.

故答案为：[0,

5.(2023春・浙江•高二校联考阶段练习)己知函数〃同=尤2+依+；，8(*=1„%+尤.

⑴求函数g(x)在彳=1处的切线方程；

⑵记函数/z(x)=/(x)-g(x),且/z(x)的最小值为1+1I1A历.

(i)求实数。的值；

(ii)若存在实数国,芍，，满足/(占)=8(%)=乙求引的最小值.

【答案】(DH

(2)(i)a=l；(ii)；.

【详解】(1)g'(x)=：+l,则g”)=2,又g(l)=l,

所以切线方程为：y-l=2(x-l),即y=2无一1.

(2)7i(x)=x2—lnx+(<2-l)x+^-

(i)//(%)=2x---i-(q—

x

令"(x)=0,gp2x2+(«-l)x-l=0,则A=(a—iy+8>0且一;<0,

所以2炉+(。—1)尤—1=0有两异号实数根，

因为y—2x,y=—在(0,+8)上单调递增，所以〃(%)在(。,+8)上单调递增,

X

所以〃(九)有唯一零点九0(/>°).

所以当光£(0,不)时，”(%)<0,当％£(入0，+00)时，

则/?（%）在上（0,%）递减，在（％,y）上递增.

O]

所以/2（%o）=：+ln0,且4=1+---2x0.

4%o

]（/?Y/?

代入可得X；+1叫）=——lnV2=——+ln——,

\7

因为丁=VV=Inx在（0,+8）上单调递增，所以y=x2+inx在（0,+8）上单调递增,

所以毛=亭，故。=1.

(ii)/(玉)=g(%)=,，即冗；+玉+；=ln%2+%2=/，则x；+；_liu：2=%2

不妨令再＜%2，^.x2-xx=m

=(x-m)24-i-lnx-m(x>0),

则k'^x)=2x---2m,

令人'(x)=0,BP2x2-2mx-l=0,贝UA=4机？+8>0且一；<0,

所以2尤2-2〃a-1=0有两异号实数根,

因为y=2尤,y=-,在（0,+s）上单调递增，所以《（x）在（0,+8）上单调递增,

X

所以〃（%）有唯一零点s（s＞。）.且机=S-二

2s

所以当X£（0,S）时，玄（九）〈0,当％«S,+8）时，幺（%）＞0,

则M力在（0,5）上递减,在（S,+。）上递增，所以Z（S）«0.

其中左（s）=（s-m）2-1ns一根+；,即左卜）=^y+g—s—；4°，

又左⑸在（0,+“）上单调递减，且砌=0,得s”

又因为机=s-1在[1,+8）上单调递增，

所以加之:（当根=:时，有2石=%2=1）,所以上一工21的最小值为

22/

6.（2023・高二课时练习）已知函数〃x）=xe*,g（%）=«x+l,a&R.

⑴若曲线y=/（x）在点（0,/⑼）处的切线与直线工且⑺垂直，求。的值;

（2）若方程f{x）-g（x）=0在（-2,2）上恰有两个不同的实数根,求a的取值范围；

⑶若对任意玉4一2,2],总存在唯一的马«-g2）,使得/（9）=8（%），求。的取值范围.

【答案】（l）a=—l

<111

⑵会仁+二2-2

一1r

⑶ae

【详解】(1)r(x)=(x+l)ev

.••/,(0)=1,即曲线y=/(x)在点(0,/⑼)处的切线斜率为1,

曲线y=/(x)在点(o,”0))处的切线与直线y=g(x)垂直，

a=—1；

(2)若方程"司-g⑴=0在(-2,2)上恰有两个不同的实数根，

即.，=次+1在(-2,2)上恰有两个不同的实数根，

当元=0时，等式不成立，

故a=e，-：在(-2,0)u(O,2)上有2个实数根，

令〃(x)=e-L则/力=1+4>0恒成立,

XX

故力(无)=e，-:在(-2,0)和(0,2)上均为增函数；

当xe(-2,0)时，〃(x)e](+g,+oo]；

当xe(O,2)时，/z(x)e^-co,e2-

综上可得：oef—+—,e2

22y

(3)由(1)中/''(》)=(x+l)e，得：

当xe(e,—1)时，f^x)<0,函数为减函数；

当x«-l,2)时，f^x)>0,函数为增函数；

故当x=-l时，函数〃力取最小值一，

当x<0时,函数〃x)<0,/(0)=0,/(2)=2e2,

当xe[0,2)时,函数f(x)w[0,2e2)；

①当a<0时，由占e[—2,2]得：g(%)e[2a+l,—2a+l],

由对任意王e[-2,2],总存在唯一的马€(-℃，2),使得/(9)=8(%)得:

[2a+1,-2a+1]=[o,2e?),解得：ae——,0j；

②当a=0时，由玉£卜2,2］得：=

满足对任意看4-2,2］,总存在唯一的九2£(-°°，2),使得4%2)=且(不)

③当〃〉0时，由石«—2,2］得：g(x)£［―2々+1,2。+1］,

由对任意石目―2,2］,总存在唯一的々«F，2),使得2)=g(%)得：［一2a+l,2a+lk［0,2e2),解得:

aeH.；

综上可得：

/IY1

7.(2023・全国•高二专题练习)已知函数g(x)=h~p/(x)=<xr-lnx,当。>0时，若对任意的占e-,2

JC।14

总存在,使得ga)=/(z),求实数。的取值范围.

【答案】［o,y

4r111

【详解】解：设g(x)=七在2'2上的值域为A，”司=6-Inx在上的值域为B.

依题意得：AcB.

/x4x48c2r.

当Xi©1,2时,令'=g(xJ=H=LC?,则4:|,2

1%+―L5

%

/(%)=依-111%,/'(%)=〃_□="1.因为〃〉0,令/,x)=0,则x=L当XE［。,］时，/,x)v0,f^x)

单调递减，当时，/^x)>0,〃尤)单调递增，

所以/(无)在x=工时取得极小值，由于只有一个极小值也就是最小值.

a

由题设知“X)的定义域为，所以

(1)当即42/时，/⑺在xe士,」上单调递增，且此8=1二+2=+11

ae\_eej\_ee_

Sa.

->-r+2

5片

所以需要满足｛,此方程组无解，故舍去.

ca<

(2)当工之工，即时,4％)在冗£!一上单调递减，且此时3=-+1，4+2，所以需要满足

aeeeee

a入

fl-7+23

｛。，解得：0<a<^e.

红，15

5e

(3)当即e<a<e2时，1nm=/」=1+lna>2,故Ac3=0,不符合题意.

eae\ciJ

综上所述，。的取值范围为，假.

②—(%)々(%2)型(或-wg®)型)

1.(2023春,四川绵阳•iWi二期末)已知/(x)=—InxH---ex+4,g(x)=—尤~+2,若\/玉e(0,1],3x2e[—1,1],

都有8(W)2〃为)，则。的取值范围为()

B.l-oo,--

【答案】C

【详解】因为g(x)=；/一尤2+2,天«—1,1],所以g[x)=x(x-2),

当一1<%<0时，g'(x)>0,当0<x<l时，g'(x)<0,

故g(x)在(TO)上单调递增,在(0,1)上单调递减，所以g(x)1mx=g(O)=2；

因为“6(0,1],3%26[-1,1],都有8⑸之〃%),

所以“X)=Tmx+E-ex+4W2在(0』恒成立，即“W才研+西一2元在(0』恒成立,

令7z(x)=xlnx+ex2_2x(0<x〈l),贝U”(x)=lnx+2ex-l,

令m(x)=//(%)=Inx+2ex—1,则加⑺=4+2e>0恒成立，

所以“(X)在(0』单调递增，〃[j]=-2+|-l<0,〃<l)=2e-l>0,

故存在唯一*%e(O,l],使得0(尤<x(),//(x)<0,尤o<无<l,//(x)>0,

所以九⑺在(0,尤。)上单调递减，在(无。,1)上单调递增，

又〃(M)=lnXo+2eXo-l=O,解得％=-,

所以即4£(_00,_2

ekej

故选：C.

2.（2023春•上海闵行•高一校考期中）已知函数/⑺=sin（2x+0）（O＜，＜7i）

⑴当。=:时，求函数y=/（x）的最大值，并求出取得最大值时所有无的值;

TTTT

⑵若/（X）为偶函数，设g（x）=/（x）-/（尤+工），若不等式lg（x）-7川＜2在xe。力上恒成立，求实数机的取

62

值范围；

⑶若/（X）过点U，设/?（x）=cos2x+2asinx,若对任意的玉申，都有飘为）＜/（/）+3,

求实数〃的取值范围.

71

【答案】（1）1,x=hi+—,kwZ

o

【详解】(1)当展:时，〃x)=sin[2x+：J,

所以当2%+巴=2E+四,%£Z,即％=E+巴，女EZ时，所以〃x)max=l,此时x=hi+—,keZ；

428''8

（2）因为“x）=sin（2x+0）（O＜0＜7t）为偶函数，所以0=三,

所以/(%)=cos2x,

所以g(x)=/(x)-/(x+^)=cos2x-cos2^x+^

=cos2x--cos2x-sin2x=—cos2x+sin2x=sinf2x+—

2222I6

TT

又因为lg(%)-川<2在x£[0q]上恒成立，

即-2<g(x)-m<2在工£[0弓]上恒成立，

所以加一2Vg(%)<2+根在%£[0申上恒成立,

所以〃z-2<g(x)111ta,且g(x)111ax<2+现在xw[O,学上恒成立，

因为所以2x+Jeg,2],所以g(x)=sin(2x+B]e-g,l，:.m-2»+2)1,

2ooo

」,3

解得-\<m<-

所以m的取值范围为

(3)因为/(x)过点U，所以l=sin]+j(O<e<7i)，e=2

所以/")=5布(2苫+胃，

又因为x,e[0,d所以

2666

所以/(x2)=sinf2x2+^e-1,1,

又因为对任意的玉x2e[0,1],都有久药)</(%)+3成立，

所以人(Xi)maxV/(々)min+3,h(X1)max<——+3=—

h(x)=cos2x+2asinx=—sin2x+2asim:+1=a2+1—(sinx-a^

因为西且一，/，所以si!Uie[-l,l],

设r=siiuqe[-l,l],

则有g«)=a2+i_«_q)2图像是开口向下，对称轴为的抛物线,

当1时，g⑺在re[-U]上单调递增，所以g(f)s=g⑴=2。，

所以2。<"I,解得a<~

所以lWa<：；

4

当时，g(力)在力上单调递减,

所以g⑺max=g(T)=-2a,

所以一2〃<一],解得

所以一_-<a<-\-,

4

当时，8(。皿、=g(a)=〃+1,

所以解得一如<如所以一1<。<1,

222

综上所述：所以实数a的取值范围为(-污］

44<44J

3.(2023春・天津静海•高二静海一中校考阶段练习)已知函数/(尤)=则,g(x)=-ex2+or(e是自然对数

X

的底数)

(1)求“X)在(1J⑴)处的切线方程.

(2)存在工©(0,+8)赭0)>。成立，求。的取值范围.

⑶对任意的加€(。,+8),存在有Wg(〃)，则”的取值范围.

【答案】(i)x-y-i=。

(2)［0,+<x>)

(3)e+：,+oo］

【详解】(1)由题意可得：/(x)=¥，r(x)=L詈，

则〃1)=0,/'。)=1,

即切点坐标(1,0),切线斜率左=1,

故〃尤)在(11(1))处的切线方程为y-0=lx(x-l),即无7-1=0.

(2),/xG(0,+00),^(x)=-ex2+ax>0,贝lja>e%,

原题意等价于存在工£(。,+8),。>"成立，

又1>0,e>0,贝!Jex<0,

:>0,

故a的取值范围为［0,+8).

(3)因为对任意的机e(0,+8),存在有/(〃2)Wg(“)，所以初11mx4［g(初叔，

因为〃x)=q,所以r(x)=^^,

令/©)>0,得0<x<e；令/''(x)<0,得x>e；

所以在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，故［〃x)L=〃e)=，，

因为g(x)=-e/+⑪开口向下，对称轴为工=二，则有：

2e

①当早41,即aW2e时，g(x)在［1,3］上单调递减，则［g(x)/=8⑴=-e+a,

所以一V—e+。，贝ija之eH—,

ee

故e+工VaV2e；

e

②当1〈巴<3,即2evav6e时，g(x)在，f］上单调递增，在3〕上单调递减，则

2eL2e」12e_

［g(x)L*=g(3>g(l)=-e+aNe>：,

所以［〃切2<加(切2,故2e4aV6e；

③当多3,即心6e时，g(x)在［1,3］上单调递增，则［8(元)［2=8(3)>86=-6+4稣>：,

所以［〃*)1『口(切皿，故心6e；

综上所述：a>e+—,即。的取值范围e+—,+co।.

eLe；

4.(2023•全国•高三专题练习)设函数/(x)=e(x—+a)(aeR).设g(x)=x+二？-，若对任意的

»e［0,2］,存在相e［0,2］,使得f(祖Rg(〃)成立，求。的取值范围.

【答案】(-«,4-2e］j+s)

【详解】"对任意的“e［0,2］,存在me［0,2］,使得/(㈤2g㈤成立"，等价于

"在。2］上，/(%)的最大值大于或等于g(x)的最大值".

2

心,、1X+2x

由g(x)…二1屋1得短(%)=1-NO,

(尤+1)2"+1)2

所以g(x)在［0,2］上单调递增,所以g(x)a=g(2)=2.

e(2尤q)e*,e(x2-ax+a

由/(无)=得「。)=

s^—x2+ax+2x—2aje(尤—2)(尤一a)

一G一?

令/'(无)=。，贝l|x=2或x=a

①当aVO时，/'(x)2。在［0,2］上恒成立，所以f(x)在［0,2］上单调递增，

所以/⑴111aL42)=(4_0片、2,解得a44-2e；

②当0<a<2时，/'(xWO在。甸上恒成立，/a)单调递减，广。)20在［。,2］上恒成立，/(x)单调递增,

所以/(x)的最大值为/(2)=(4-a)eT或/(O)=ae,

所以(4一。)片|>2ngae>2,

2

解得a44-2e或—，

2

所以一Va<2；

③当a»2时，/(x)VO在[0,2]上恒成立，了⑺单调递减,

2

所以/。)皿、=/(。)=枇22,解得所以。22.

2

综上所述：a«4—2e或。上―,

即。的取值范围为(一8,4-2可1|,+"

2

5.(2023春•河南焦作•高一统考期末)已知函数/(©=-^(x)=log2(x-l).

⑴若几>0,函数/1(%)=/@)-用3)在区间(3,5)上存在零点,求2的取值范围；

⑵若。>1,且对任意1e[a,a+3],都有/e[a,a+3],使得了(xjvg(%)成立，求a的取值范围.

【答案】⑴

(2)[2,+8).

【详解】(1)函数〃(x)=—7T1吗(尤-1)在区间(3,5)上单调递减，

X-1

%(3)>0[1-2>0

则由零点存在定理可得，<、C，即1c,C，

/?(5)<0——22<0

[2

解得;<2<1,所以彳的取值范围是

(2)若对任意西e[a,a+3],都有％e[a,a+3],使得〃菁)MgG)成立,

则当xe[a,a+3]时，/⑺皿点⑺…

2

因为〃>1,所以当工£时，/(x)=----^单调递减，

x-l

g(x)=log2(x-l)单调递增,

2

所以/(元)max=/(")=-7，gOOmax=8(4+3)=1暇("+2),

2

当:L<a<2时，-^->2,log2(«+2)<2,不符合条件,

2

当aN2时，0<一-<2,log2(«+2)>2,符合条件,

所以°的取值范围是[2,y).

6.(2023春•河南信阳•高一校考期中)已知函数〃x)=log2[(2-a)2，+l]f,函数8(力=2.，>21

(1)若g(x)是偶函数，求实数，的值，并用单调性的定义判断g(x)在[0,+向上的单调性；

⑵在(1)的条件下，若对于％e[0,4w),NxfR,都有/a)+2Wg(xJ+log22a成立，求实数。的取值

范围.

【答案】⑴t=-l,g(x)在[0,+8)是单调增函数.

(2)口，2]

【详解】(1)g(x)为偶函数，g(f)=g(x)恒成立,

2,-加2T=2-'-八2*恒成立，即。+。(2*-2-，)=0,

g(x)=2-，+2”,经验检，/=1满足题意，

设任意的4，%《。，内)且玉<马，

则/(%)_/(%)=(2/+2为)-Qf+2金)=2f—2汗+2A1-2H

11T2-2Xi/

二」...-+2%,-2X2=-———+2X1—2巧=(2西一2巧

2国2当2国,2*2'

因为所以1W23<2*，0<2」2f<L

所以2为一2&<0,1一忐>0,Q5巾一芸水。,

所以g(x)在[0,+动是单调增函数.

(2)g(x)+log22a=2T+2"+log?2。>'2'+log22a=2+log22a.

当且仅当，=2*即x=0时等号成立，，[g(尤)+皿22。]而"=2+108224,

由题意可得：Vxe[0,+«),/(x)+2W2+log22a恒成立.

即VxG[0,+oo),10g2[(2-a)2工+1]-x+242+log22a恒成立，

由log22a>0有意义,得a〉0,

由log?[(2-。)2,+1]有意义，得(2-a)2*+l>0在[0,+助恒成立.

即a<2+(在[0,+8)上恒成立，

设〃(X)=2+£,易知/©)在[0,+8)上的值域为(2,3],故aW2,所以0<°42.

又Vxe[0,+oo),log2[(2-a)2*+l]-x+2W2+log22a恒成立，

l

即Vxe[0,+e),log2[(2-a)2+1]<log2(2a-2,)恒成立.

oi

即（2—。）2"+14282、恒成立，即。^:+启力恒成立,

212]

3+3x2x3+3x2°=1,/.a>l.

max

综上，实数。的取值范围为

③构造函数法

1.(2023•全国,|Wj二专题练习)已知函数/(%)——e2'——In2x—Inx—Ax—x+1对于任意的A、e(O,-H»),

e

当占时，总有"%）一"上）＞2成立,则上的取值范围是（)

占一工2

1111

A.—00,---B.—00,----C.一叫一_TD.—00,----

e2ee3e

【答案】A

【详解】不妨设玉＞%,由"?［伍）＞2可得出/（xj—〃%）＞2%-2々,

即7(%)—2%>/(X2)-2X2,

1

e

则8（%）＞8（尤2），所以，函数g（x）在（。，+8）上为增函数,

lnx+1

2x2+-j>0,则左We：2x_lnx+l

则g,a=e--------2

xX-4}

/x2%lnx+1

A7〃(x)=2eh号=2二+lnx

令/z(x)=e2x--------+其中x>0,

4^P(^)=2x2e2x+Inx,其中％>0,所以，^(x)=4x(x+l)e2x+—>0,

所以，函数p⑴在（0,+。）上单调递增,

因为P=2ee—1<—1<0,〃(1)=2R2>0,

』]，使得?(尤0)=2焉。2*+ln%=。，贝一_-lnx=—In—,

所以，存在尤。©0

IJ%%%

令=其中x>0,则/（%）=（九+l）e">。，故函数在（0,+8）上为增函数,

因为九（）£（，/],1<—<c,所以，0<ln'<l,

屋）x0%

由=^ln-i■可得f（2x°）=r［ln。］,所以，2%=-In%,可得e?'。=1,

%工0\X0JX。

且当0<x</时，此时函数,（X）单调递减,

当时，〃（九）>0,此时函数%（%）单调递增,

AInx+121Hlx。）1

所以,"（尤）鬲="（%）=e2b02+-

e玉）ee

所以，k<--.

e

故选：A.

2.（2023•全国•高二专题练习）若对于任意的。<玉<a2<。，都有2-：2>2,则〃的最大值为（