二次函数与线段和（将军饮马型）最值问题-2023年中考数学压轴题专练（全国解析版）

专题12二次函数与线段和（将军饮马型）最值问题

方法揭秘“

X____________________________J

二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有：

模型1:当两定点/、3在直线/同侧时，在直线/上找一点P,使得P4+P5最小.

作点8关于直线/的对称点8,连接N8'交直线/于点尸，点尸即为所求作的点.尸/+尸2的最小值为4夕

模型2：当两定点/、3在直线/同侧时，在直线/上找一点P,使得|尸/-尸目最大.

.A

B

连接N8并延长交直线/于点P,点P即为所求作的点，-尸邳的最大值为N8

模型3：当两定点工、3在直线/异侧时，在直线/上找一点P,使得|P4-尸却最大.

B

作点8关于直线/的对称点〃，连接N9并延长交直线/于点P点P即为所求作的点.尸目的最大值

为AB'

模型4：点P在//O8内部，在05边上找点Q,CM边上找点C,使得△PCD周长最小.

分别作点尸关于。/、08的对称点P、P",连接PP",交04、08于点C、D,点、C、。即为所求.△尸CD

周长的最小值为P'P"

模型5：点P在N/O8内部，在08边上找点D,0/边上找点C,使得PO+CD最小.

作点P关于。8的对称点尸'，过P作PC，。/交。8,PD+CD的最小值为PC

典例剖析.

【例1】(2022•黑龙江)如图，已知抛物线y=L(x-2)(x+a)(a>0)与x轴交于点8、C,与y轴交

a

于点E,且点8在点C的左侧.

(1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，解答下列问题；

①求出的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标.

【分析】(1)将M坐标代入抛物线解析式求出。的值即可；

(2)①求出的。代入确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出8与C坐标，令x=0求出y

的值，确定出E坐标，进而得出3c与OE的长，即可求出三角形8CE的面积；②根据抛物线解析式求

出对称轴方程为直线x=-1,根据C与5关于对称轴对称，连接3E,与对称轴交于点〃，即为所求，

设直线8E解析式为了=履+6,将3与E坐标代入求出发与6的值，确定出直线3E解析式，将x=-l

代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出〃的坐标.

【解答】解：(1)将〃(-2,-2)代入抛物线解析式得：-2=工(-2-2)(-2+a),

解得：4=4；

(2)①由(1)抛物线解析式夕=工(x-2)(x+4),

当y=0时，得：0=[(x-2)(x+4),

解得：%i=2,x2=-4,

•・•点8在点。的左侧，

：.B(-4,0),C(2,0),

当x=0时，得：y—-2,即E(0,-2),

S^BCE=/X6><2=6；

②由抛物线解析式歹=工(x-2)(x+4),得对称轴为直线I=-1,

4

根据。与5关于抛物线对称轴直线工=-1对称，连接BE,与对称轴交于点〃，即为所求,

设直线BE解析式为歹=区+6,

将5(-4,0)与£(0,-2)代入得：14k+卜=°,

lb=-2

解得：2,

kb=-2

直线解析式为>=--lx-2,

将x=-1代入得：y^—-2=-—,

’22

则〃（-1,-3）.

【例2】(2022•甘肃)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线>=工(x+3)(x-a)与x轴交于4,B(4,

4

0)两点，点C在y轴上，MOC=OB,D,E分别是线段/C,上的动点(点。，£不与点N,B,C

重合).

(1)求此抛物线的表达式;

(2)连接。£并延长交抛物线于点尸，当。轴，且/£=1时，求。尸的长;

(3)连接2D

①如图2,将△3。沿x轴翻折得到△3/G,当点G在抛物线上时，求点G的坐标;

图1图2图3

【分析】(1)用待定系数法求解析式即可；

(2)根据函数解析式求出。4的长度，根据三角函数求出。£的长度，根据P点的坐标得出PE的长度,

根据DP=DE+PE得出结论即可；

(3)①连接OG交48于点设(a>0),则-OM=3-a,得出G(-a,A(a-

3)),根据G点在抛物线上得出。的值，即可得出G点的坐标；

②方法一：在48的下方作且NQ=8C,连接E0,CQ,构造△/E0g△82,得出

当C、E、。三点共线时，8D+CE=E0+CE最小，最小为C。，求出C。的值即可.

方法二：过点C作C/〃x轴，使得CP=/C.证△/CO全等于则ED=CE所以尸、D、B三点、

共线时CE+BD=FD+BD取到最小值，求出此时BF的长即可.

【解答】解：(1):抛物线丁=工(x+3)(x-a)与x轴交于4B(4,0)两点,

4

(4+3)(4-a)=0,

4

解得4=4,

'.y=—(x+3)(x-4)=—x2-—x-3,

444

即抛物线的表达式为歹=[/-lx-3；

(2)在尸卷(x+3)(x-4)中，令y=0,得x=-3或4,

：.A(-3,0),04=3,

・・・。。=。5=4,

：.C(0,4),

\'AE=1,

；・DE=AE・tan/CAO=AEP-^-=Ix—=—»OE=OA-AE=3-1=2,

OA33

：.E(-2,0),

・・・QE_Lx轴,

••xp=Xf)—X£=—~2,

'.yp——(-2+3)(-2-4)--—)

42

；.PE=^-,

2

：.DP=DE+PE=—+—=—■,

326

(3)①如下图，连接DG交月8于点”,

ABCD与LBFG关于x轴对称，

J.DGLAB,DM=GM,

设OM=a(a>0),则AM=OA-OM=3-a,

MG=MD=AM*tanZCAO=—(3-a),

3

G(-a,—(6Z-3)),

3

,点G(-a,A(a-3))在抛物线y=1(x+3)(x-4)上,

34

—(-a+3)(-q-4)=—(a-3

43

解得。=4或3(舍去)，

3

：.G(-A,-20.)；

39

②如下图，在N8的下方作/胡S.AQ=BC,连接E0,CQ,

'：AE=CD,

:.LAEQ出/\CDB(SAS),

：.EQ=BD,

...当C、E、。三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小,最小为CQ,

过点C作垂足为，，

'JOCLOB,OC=O2=4,

：.ZCBA=45°,BC=4圾,

'：ZCAH=1800-ZCAB-ZEAQ=1800-ZCAB-ZDCB=ZCBA=45°,

北=返240c2r32+42=5,多0=吟

HQ=AH+AQ=AH+BC=-^y-+W2=^^->

；・C0=VCH2+HQ2=J(ag)。(“段产=V97>

即BD+CE的最小值为何；

方法二：过点C作。尸〃工轴，使得CF=/C,作尸C延长线于点G,

/FCA=/CAE,

又；CD=AE,CF=AC,

.♦.△FCD2ACAE(S4S),

:.FD=CE,

:.F、D、8三点共线时C£+8£»=FD+5。取到最小值，

'：AC=5,C(0,4),B(4,0),

■■BF的长=)(5+4)+42=师.

【例3】(2022•达州)如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y="2+6x+2的图象经过点/(-1,

0),B(3,0),与了轴交于点C.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)连接BC,在该二次函数图象上是否存在点尸，使/PCB=/4BC?若存在，请求出点尸的坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)如图2,直线/为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点£.若点0为x轴上方二次函数图象上一

动点，过点0作直线/。，2。分别交直线/于点M,N,在点。的运动过程中，EM+EN的值是否为定

值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案;

(2)分两种情况：当点P在BC上方时，根据平行线的判定定理可得CP〃x轴，可得P(2,2)；当点P

在8C下方时，设CP交x轴于点。(如0),则机，DB=3-m,利用勾股定理即可求得加=$,

6

得出。(金,0),再运用待定系数法求得直线CD的解析式为y=T"2,通过联立方程组求解即可得

6

出P(里，

5翁

(3)设。G,工户+9/+2),且运用待定系数法求得：直线的解析式为y=(工汁2)

333

x--t+2,直线2。的解析式为y=x+2t+2,进而求出Af、N的坐标，即可得出答案.

333

【解答】解:(1)•.•抛物线》="2+加+2经过点/(-1,0),B(3,0),

.(a-b+2=0

I9a+3b+2=0

(2

解得：

b4

...该二次函数的表达式为y=_J-X2+AX+2；

33

(2)存在，理由如下:

如图1,当点尸在8c上方时,

；/PCB=NABC,

：.CP//AB,即CP〃x轴，

；.点^P与点C关于抛物线对称轴对称，

'.'y=-^-X2+—X+2,

33

_4

...抛物线对称轴为直线x=-——1^=1，

2X(4)

O

VC(0,2),

：.P(2,2)；

当点尸在5C下方时，设。尸交x轴于点。(处0),

贝加，DB=3-m,

NPCB=/ABC,

：.CD=BD=3-m,

在RtZiCOZ)中，OC2+OZ)2=C£)2,

.".22+m2=(3-掰)2,

解得：m=—,

6

：.D(9,0),

6

f5

设直线CD的解析式为y=fcc+d,贝6KaU

,d=2

12

解得：5,

d=2

...直线CD的解析式为y=J^-x+2,

••.P号翁，

综上所述,点P的坐标为(2,2)或(组-螫);

525

(3)由(2)知：抛物线夕=工2+为什2的对称轴为直线x=l,

33

：.E(1,0),

工於+生+2),且-1«,

设Q(3

33

-e+f=0

设直线的解析式为y=ex4/,则，2949

te+f=--t%t+2

2

e=-t+2

o

解得：，

2

f=『+2

直线的解析式为y=(-^-t+2)x--t+2,

,33

当x=\时，y=-生+4,

3

M（1,-—Z+4），

3

同理可得直线BQ的解析式为尸x+2t+2,

当x=l时，y——t+—,

33

；.EM=--Z+4,EN=—t+—,

333

：.EM+EN=-

3333

故EM+EN的值为定值

3

【例4】（2022•天津）已知抛物线y=ax2+6x+c（a,b,c是常数，a＞0）的顶点为尸，与x轴相交于点/

（-1,0）和点8.

（I）若b=-2,c=-3,

①求点尸的坐标；

②直线》=加（加是常数，1＜加＜3）与抛物线相交于点与AP相交于点G,当MG取得最大值时,

求点7，G的坐标；

（II）若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点，厂是y轴的负半轴上的

动点，当P尸+EE+EN的最小值为5时，求点£,尸的坐标.

【分析】（I）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点尸的坐标；

②求出直线8尸的解析式，设点M（加，m2-2m-3）,则G（TM,2m-6）,表示出AfG的长，可得关于

m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；

（II）由36=2c得6=-2a,c=-3a,抛物线的解析式为y=a/-2a-3a.可得顶点尸的坐标为（1,

-4a）,点N的坐标为（2,-3a）,作点尸关于y轴的对称点P,作点N关于x轴的对称点得点P

的坐标为(-1,-4a),点N的坐标为(2,3a),当满足条件的点E,下落在直线尸W上时，PF+FE+EN

取得最小值，此时，尸尸+F£+EN=PW=5延长PP与直线x=2相交于点“，则在Rt/XPHV

中，P'H=3,HN=3a-(-4a)=1a.由勾股定理可得尸W'2=P'H2+HN2=9+49a2=25.解得的=9，

7

a2=--(舍).可得点尸’的坐标为(-1，-也)，点N'的坐标为(2,丝).利用待定系数法得直线

777

FN'的解析式为型.即可得点E,尸的坐标.

321

【解答】解：(I)①若6=-2,c=-3,

则抛物线歹=办2+6%+0="2-2x-3,

•・•抛物线与％轴相交于点Z(-1,0),

a+2-3=0,解得a=\,

・••抛物线为歹=工2—2%一3=(x-1)2-4,

・••顶点尸的坐标为(1,-4)；

②当y=0时，x2-2%-3=0,

解得％1=-L仞=3,

：.B(3,0),

设直线BP的解析式为

pwo,解得卜=2,

lk+n=-4ln=-6

・•・直线BP的解析式为y=2x-6,

•・•直线％=加(加是常数，1<加V3)与抛物线相交于点/，与8P相交于点G,

设点MQm,m2-2m-3),贝1|G(加，2m-6),

•\MG=2m-6-(m2-2m-3)=-m2+4m-3=-(加-2)2+l,

・•・当加=2时，MG取得最大值1,

此时，点Af(2,-3),则G(2,-2)；

(II),抛物线丁=办2+云+。与x轴相交于点4(-1,0),

••a-b+c=0>

又3b=2c,

b~2a,c=-3a(a>0),

；・抛物线的解析式为y=a%2-2ax-3a.

•\y-ax1-lax-3a=a（x-1）2-4a,

.".顶点尸的坐标为（1,-4a）,

•..直线x=2与抛物线相交于点N,

.♦.点N的坐标为（2,-3a）,

作点P关于y轴的对称点P，作点N关于无轴的对称点N,

得点P的坐标为（-1,-4a）,点N的坐标为（2,3a）,

当满足条件的点E,尸落在直线PW上时，P尸+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN=P'N=5.

延长PP与直线x=2相交于点X,则尸

在RtZ\P的中，PH=3,HN=3a-（-4a）=la.

：.P'N'2=P'H2+HN'2=9+4902=25.

解得。1=9，。2=-9（舍）.

77

.•.点户的坐标为（7,-卫），点N'的坐标为（2,丝）.

77

...直线PN'的解析式为y=4x-20

321

二点点（$,0）,点尸（0,-型）.

721

【例5】（2022•常德）如图，已知抛物线过点。（0,0）,A（5,5）,且它的对称轴为x=2,点3是抛物线

对称轴上的一点，且点8在第一象限.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当△0/2的面积为15时，求2的坐标；

（3）在（2）的条件下，尸是抛物线上的动点，当尸/-尸8的值最大时，求尸的坐标以及P/-P8的最

大值.

y

x=2

【分析】(i)运用待定系数法即可求得答案；

(2)设2(2,m)(m>0),运用待定系数法求得直线04的解析式为y=x,设直线04与抛物线对称轴

交于点〃，则“(2,2),BH=m-2,利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；

(3)运用待定系数法求得直线的解析式为、=-x+10,当尸/-依的值最大时，/、B、P在同一条

直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得即PN-P2的最大

【解答】解：(1):抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2,

.•.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0),

设抛物线解析式为y=ax(x-4),把/(5,5)代入，得5a=5,

解得：。=1,

••y==x(x-4)~4x,

故此抛物线的解析式为y=x2-4x；

(2)..•点8是抛物线对称轴上的一点，且点8在第一象限,

.,.设3(2,m)(m>0),

设直线O/的解析式为>=履，

贝U5左=5,

解得：k—1,

直线O/的解析式为y=x,

设直线CM与抛物线对称轴交于点X,则77(2,2),

：.BH=m-2,

■:S&OAB=15,

."x(w-2)义5=15,

2

解得：f=8,

.•.点8的坐标为(2,8)；

（5c+d=5

(3)设直线的解析式为y=cx+d,把/(5,5),B(2,8)代入得:

[2c+d=8

解得:c=-l

d=10

二直线48的解析式为y=-x+10,

当尸/-尸3的值最大时，/、B、尸在同一条直线上,

：尸是抛物线上的动点,

y=-x+10

y=x2-4x

Xj=-2X2=5

解得:(舍去),

了1=12丫2=5

：.P（-2,12）,

此时，PA-PB=AB=yj（5-2）2+（5-8）2=3圾.

满分训练

1.(2022•滨城区二模)如图，抛物线＞=办2+加+3(aWO),经过点/(-1,0),B(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)连接NC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限，当S△诏C=S-BC时，求N点的坐标；

(3)在(2)间的条件下，过点C作直线/〃x轴，动点尸(m,3)在直线/上，动点Q(%,0)在x轴

上，连接

PM、PQ、NQ,当加为何值时，PM+P0+0N最小，并求出W+PQ+QV的最小值.

【分析】(1)由点4,3的坐标，利用待定系数即可求出抛物线的解析式，再将其变形成顶点式后，即

可得出顶点M的坐标；

(2)连接4N,则4N〃BC,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点8,C的坐标,

利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设直线/N的解析式为y=-x+d,代入点”的坐标可求出"

值，再联立直线/N与抛物线的解析式，即可求出点N的坐标；

(3)过点M作MW//PQ,且W=PQ,连接Q,则当点,Q,N三点共线时，PM+QN取

最小值，此时PM+P0+QN最小，由点尸，Q的坐标可得出PQ=3,结合点〃■的坐标可得出点的坐

标，由点AT,N的坐标，利用待定系数法可求出直线ATN的解析式，利用一次函数图象上点的坐标

特征,可求出加的值，再利用两点间的距离公式(勾股定理)可求出ATN的长度，进而可得出PW+PQ+QN

最小值.

【解答】解：(1)将N(-1,0),B(3,0)代入＞="2+区+3,

得"a-b+3=0,解得：卜7,

19a+3b+3=0[b=2

抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.

又-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

.•.顶点河的坐标为(1,4).

(2)连接/N,如图1所示.

,:S&NBC=S^BC，且两三角形有相同的底BC，

C.AN//BC.

当x=0时，y=3,

.,.点C的坐标为(0,3).

设直线3C的解析式为y=fcc+c(左#0),

将8(3,0),C(0,3)代入^=履+<?,

得：(3k+c=0,解得"k=[

Ic=3Ic=3

直线BC的解析式为y=-x+3.

设直线AN的解析式为y=-x+d,

将力(-1,0)代入y=-工+d得：l+d=0,

解得：d=-\,

直线AN的解析为歹=-x-1.

v=-x—1

联立两函数解析式得：，

ty=-x^+2x+3

，X[=Tfx2=4

解得：，(不符合题意，舍去)，，，

0=0[y2=-5

.,.点N的坐标为(4,-5).

(3)过点M作私W'//PQ,且W'=PQ,连接Q,如图2所示.

"：MM'//PQ,S.MM'=PQ,

四边形W0P为平行四边形，

：.M'Q=MP,

二当点,Q,N三点共线时，PM+QN取最小值.

,点尸的坐标为(比，3),点。的坐标为(m,0),

：.PQ=3,

".MM'=3,

.,.点AT的坐标为(1,4-3),即(1,1).

设直线N的解析式为y=px+g(pWO),

将”(1,1),N(4,-5)代入尸"+g,

得：，+q=i,解得：产-2,

(4p+q=-5Iq=3

直线ATN的解析式为y=-2x+3.

又•.•点。在直线N上,

0--2加+3,

.•.加=看，此时河'N=M'Q+QN=MP+QN=、(击])2+依-])2=3遥,

当m为3时，PM+PQ+QV最小，PA介尸0+QN的最小值为3+3遥.

2.(2022•淮北模拟)已知抛物线小>=如2+加-2和直线4：y=-2x-2均与x轴相交于点/,抛物线

33

4与X轴的另一个交点为点2(3,0).

(1)求a,b的值；

(2)将抛物线h向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线％上，求〃的值；

(3)设抛物线/i和直线/2的另一个交点为点。，点尸为抛物线上一个动点，且点P在线段的下方

(点尸不与点/,。重合)，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线2于点M,N,iHW=PM+PN,

求少的最大值.

【分析】(1)由直线2y=-Zx-Z与X轴交于点/得/(-1,0),将点/(-1,0)、点、B(3,0)

33

代入抛物线/i：y=ax2+bx-2即可得a,b的值；

(2)求出抛物线/i的顶点C(1,将尸卷代入直线方尸-＞|x-看求出x的值，即可求解；

(3)求出。(2,-2),设P(心，2/-生〃-2)(-1＜加＜2),则N(%-2加-2),可得M(-

3333

m2+2m+2,^-m2--2),用含加的式子表示PM,PN,可得用=PM+PN的二次函数，根据二次函数

33

的最值即可得少的最大值.

【解答】解：(1)•..直线公y=-Zx-2与x轴交于点/,

33

：.A(-1,0),

将点/(-1,0)、点8(3,0)代入抛物线y=ax2+bx-2,得：

24-2=0,解得：，

9a+3b~2=0b=4

2,b=-鱼

••6Z

33

(2)•「a=2,b=-—,

33

,\y=—x2-—x-2=2(x-1)2.8

3333

•••抛物线/1的顶点C(I,

将^=-&代入直线l2：y=-lx-2得，

333

-2x-2=解得x=3,

333

抛物线h向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线h上，移动后顶点的横坐标为3,

：.h=3-1=2,即h的值为2；

(3)设抛物线A和直线办的另一个交点为点。，

—X2--X-2=--X-2的解为x=-1或x=2,

3333

：.D(2,-2),

设尸(m,—m2-—m-2)(-1<TM<2),

33

则N(，“，-—m--M-m~+2m+2,—m2--—m-2),

3333

PM--加2+2加+2-m—-m2+m+1,

999o4.9,9A

PN=--m---±-m2+-m+1=-±-m2+-m+—,

3333333

2222

...W=PM+PN=-m+m+2-2_W+2.OT+A=-Lm+^-m+^-=-8(机-工)+^-,

333333324

晨o,

3

少的最大值为”.

4

3.(2022•南宁一模)如图1所示抛物线与x轴交于O,N两点，04=6,其顶点与x轴的距离是6.

（1）求抛物线的解析式;

（2）点P在抛物线上，过点尸的直线y=x+w与抛物线的对称轴交于点0.

①当△尸O0与△P/。的面积之比为1：3时，求加的值；

②如图2,当点尸在x轴下方的抛物线上时，过点8（3,3）的直线与直线P。交于点C,求PC+C。

【分析】（1）由题意可得y=a（x-3）2-6,再将（0,0）代入求出。的值即可求函数的解析式;

（2）①设直线y=x+/w与夕轴的交点为E,与x轴的交点为尸，则。£=|刈，AF=\6+m\,由题意可知直

线与坐标轴的夹角为45°,求出。0:,AN=-!-^-\6+m\,再由|加|：|6+刈=1：3,求出冽

的值即可;

②设尸。，2於-由），过尸作尸石〃了轴交于点E,过尸作尸尸，5。交于尸，求出直线的解析式

3

后可求£（/,-什6）,则尸£=-25+3什6,由直线45与直线P。的解析式，能确定两直线互相垂直，

3

,。尸=返7。贝IJPC+C0=-(f-3)2+9&,即可求PC+C0的最大值.

可求CQ=

23

【解答】解：(1)-：OA=6,

：.抛物线的对称轴为直线x=3,

设抛物线的解析式为歹=。(X-3)2+后,

;顶点与X轴的距离是6,

・・・顶点为(3,-6),

*.y—a(x-3)2-6,

・・,抛物线经过原点，

9a-6=0,

•.•C_L-2，

3

.,.y=—(x-3)2-6；

3

(2)①设直线;/=工+加与y轴的交点为£,与x轴的交点为R

'•E(0,m),F(-m,0),

.\OE=\m\,4尸=|6+利,

・・,直线y=X+机与坐标轴的夹角为45

AN=^-\6+m\,

•^/\POQ-麋尸40=1：3,

：.OMxAN=1：3,

\m\：|6+w|=1：3,

解得m=-3或m=3；

2

②设「G,1-r2-4z),

过尸作PE〃y轴交48于点E,过尸作尸尸，8。交于R

设直线48的解析式为y=bc+6,

6k+b=0

3k+b=3

解得k=-l

b=6

••y=:~x+6,

:・E(f,-什6),

*•PE--,+6-(-4/)—-2於+3什6,

33

设直线48与丁轴交点为G,

令x=0,则y=6,

：.G(0,6),

：.OG=OA=6,

：.ZOGA=45°,

设直线尸0与x轴交点为K,与歹轴交点为£,

直线尸0的解析式为歹=工+冽，令x=0,贝1」歹=冽

:.L(0,m),

令y=0,则工=-加，

：.K(-m,0),

：.OL=OK,

：,/OLK=45°,

:・/GCL=90°,

：.PF=FQ=3-6

设5歹与x轴交点为H,

：.FH=-Zp+4f,

3

：.HQ=-2於+4t-3+f=-2/2+5/-3,

33

:.BQ=3-2t2+5/-3=-2於+5〃

33

二。。=华20=华(-1_於+5(),

•：CP=^-PE=^-(-23+3什6),

223

2

：.PC+CQ=^-(-2及+3什6)+亚(-2\+5f)=近(-9f2+8什6)=-(/-3)+972-

2323233

当f=3时，PC+C0的最大值为9加.

4.(2022•成都模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数〉=办2+公+。(aWO)的图象与y轴，x轴

分别相交于/(0,2),B(2,0),C(4,0)三点，点。是二次函数图象的顶点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点P为抛物线上异于点3的一点，连接/C,若S"CP=S"CB，求点尸的坐标；

(3)M是第四象限内一动点，且/，八四=45°,连接〃D,MC,求2MD+VC的最小值.

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)分两种情形，分别构建方程组求解即可；

(3)以。为圆心，CM为半径的圆，连接(W,取的中点£,连接EM、ED,先根据二次函数求出

/、B、C、。的坐标，再证明△EOA/S/XMOC,从而有故2MHMc=2(MD+MC)=2

2

(MD+ME)力2ED,再求出即可.

【解答】解：(1).抛物线经过2(2,0),C(4,0),

；•可以假设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-4),

把N(0,2)代入，可得a=工，

4

••.二次函数的解析式为尸¥,/2；

(2)如图，当点尸在直线/C的下方时，过点3作APo〃/C交抛物线于点尸o，

由题意直线/C的解析式为y=-^x+2'

:#AC=~/，

；.KBPn=-A,

°2

**.直线BP。的解析式为y=-/x+l,

f11

y=-2x+1

*123J

yqx彳x+2

解得(x=2,

ly=0

则尸0与2重合，不符合题意.

当点尸在直线/C的上方时，作直线8Po关于直线NC的的对称直线尸/2,交抛物线于2，P2-

•..直线/C的解析式为y=--lx+2,

，可得直线尸1尸2的解析式为y=-/x+3,

片3+3

由，

y^x2Vx+2

x=2+2V2_p,(x=2-2立

解得，

[y=2-V2ty=2+V2'

/.Pi(2+2&,2-&),P2(2-2®2+V2)；

(3)解：如图，以。为圆心，0/为半径的圆，连接。取03的中点£,连接EM、ED,

'：A(0,2),B(2,0),C(4,0),

：.OA=OB,即8在。O上，

...顶点。(3,-A),

4

VZAMB-=45°,

：.ZAMB^—ZBOA,

2

在在O。上，即OM=2,

取05的中点E(1,0),

..EO=1M0=2MO=1

'MO2"CO2"OC2"

•EO=MO

,,而OC，

又/EOM=/MOC,

：.2EOMs丛MOC,

.ME=1

,,而T

：.EM=—MC,

2

：.2MD+MC=2(MD+^MC)=2(MD+ME)22ED,

2

•••£”2+号)2=隼

J.2MD+MC的最小值为Y亘.

5.(2022•成都模拟)如图1,在平面直角坐标系了帆中，抛物线y=a(x-1)(x+3)的图象与x轴交于点

A,8(/在8的左边)，且经过点C(-2,3),尸为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式及点尸的坐标；

(2)平面内一动点〃自点C出发，先到达x轴上的某点再到达y轴上某点N,最后运动到点尸，求

使点”运动的总路径最短的点点N的坐标，并求出这个最短总路径的长；

(3)如图2,过点C的直线/与抛物线有唯一的公共点，将直线/向下平移交抛物线于。，£两点，连

AD交y轴正半轴于尸，连5E交y轴负半轴于G,试判断|。尸-OG|是否为定值，若是，求出该定值；若

不是，请说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法求出“，再利用配方法求解;

(2)如图1中，作点C关于x轴的对称点C',点P关于y轴的对称点P,连接C'P'交x轴于点

M,交y轴于点N,得C'(-2,-3),P'(1,4),此时点X运动的总路径最短，求出直线的解

析式，可得结论；

y=kx+2k+3

(3)如图2中，过点。，E分别作轴于点K,歹轴于点巴由《，得到N+

y=-x^-2x+3

(2+k)x+2左—0,由△=0,可得k=2,设DE为y=2x+m,E(x1,为)，D(x?,y2)，由

"y=2x+m,,

<,得N+4x+加-3=0,可得％I+%2=-4,xrx2=m-3,由△DKFS^BOF,

2

ly=-x-2x+3

EHG,可得匹=区2,空=空1,OF=-2OG=」1—=-^-再求出QF-OG|

OBOFOB0Gl-x2l-x2-1+X1-1+X]

的值，可得结论.

【解答】解：(1)把C(-2,3)代入(X-1)(x+3),可得。=-1,

••y--X2-2x+3--(x+1)2+4,

：.P(-1,4)；

(2)如图1中，作点C关于x轴的对称点C'，点P关于y轴的对称点P,连接C'P'交x轴于点

M,交丁轴于点N,得C'(-2,-3),P'(1,4),此时点〃运动的总路径最短，

•^yMN=，

oo

：.M(-20),N(0,5),

73

**•dmin=<7((1+2)2+(4+3)2=V58：

（3）如图2中，过点。，£分别作DKLy轴于点K,轴于点

(-2,3)代入得至！J6=2k+3,

二吁=Ax+2左+3,

y=kx+2k+3,_.

由,,得至IIx+(2+左)x+2左=0,

y=-x2-2x+3

由A=0可得（2+左）2-8左=0.

:・k=2,

设DE为y=2x+冽，E（修，为），D（工2，及），

y=2x+m,r

由，,得x2+4x+m-3=0,

y=-x2-2x+3

••X\+X2~-4,X\*X2=fH~3,

由ADKFsABOF,△BOGSAEHG,

可得叫=皿，里=里，。尸=二=^1,OG=_2^_=£^1

OBOFOB0Gl-x2l-x2-1+x1-l+x]

-+

2x9tni2x[tm（2-m）（X|+x2）4xjx22m

：.\OF-OG\=\―---1+xj।।卜（X]+>2）+x]X?

1-x2

将工1+冗2=-4,修・％2=加-3,代入上式，口J得||0尸-OG|=2.

6.（2022•沈阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y="2+6x+c的“衍生直线”为y=-办+/从

有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”.

如图1,已知抛物线y=-/+2x+3与其“衍生直线”交于