高考数学热点问题专练：一元不等式的证明

第20炼一元不等式的证明

利用函数性质与最值证明一元不等式是导数综合题常涉及的一类问题，考察学生构造函

数选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用一一每一个函数的最值带来一个恒成立的不

等式。此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置。

一、基础知识：

1、证明方法的理论基础

(1)若要证〃x)<C(C为常数)恒成立，则只需证明：/(x)max<C,进而将不等式的

证明转化为求函数的最值

(2)已知/(x),g(x)的公共定义域为。，若/(x)1nto>g(%)1mx,则VxwDJ(x)>g(x)

证明：对任意的当€。，有/(xjN/a/n.gajWgOOa

由不等式的传递性可得:/(七)之/(x)1nhi>g(x)1mx>g(xj,即VxwDJ(x)>g(x)

2、证明一元不等式主要的方法有两个：

第一个方法是将含X的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，

通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但

对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性

第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为〃力>g(x)的形

式，若能证明/(x/n)gGOmx，即可得：/(x)>g(x),本方法的优点在于对X的项进

行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。但缺点是局限性较强，如果

/(%)3与8(肛3不满足/(%)皿>8(*)1皿，则无法证明/(x)>g(x)。所以用此类方

法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。

3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则。

4、若在证明/(力>0中，解析式可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号

进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度。

5、合理的利用换元简化所分析的解析式。

6、判断解析式符号的方法：

(1)对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的

符号即可得到解析式的符号

（2）将解析式视为一个函数，利用其零点（可猜出）与单调性（利用导数）可判断其符号

（3）将解析式中的项合理分组，达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果，进而判

断出解析式符号

二、典型例题：

例1：求证：lnx<x-1

思路：移项构造函数求解即可

证明：所证不等式等价于：lnx-x+l<0

令/（%）=lnX-X+l则只需证明：/（X）max4°

11—y

/'（%）=--1=--令（X）>0解得：X<1

XX

(0,1)

f\x)+—

小）/

°.­./W</(1)=O

即所证不等式成立

小炼有话说：

（1）此题的解法为证明一元不等式的基本方法，即将含X的项移至不等号的一侧，构造函

数解决。

（2）一些常见不等关系可记下来以备使用：

①InxWx-l②e**+l③x>sinxxe（0,+oo）

例2：设函数=l—HO证明：当x>—1时，/（x）>-^-

思路：本题依然考虑构造函数解决不等式，但如果仅仅是移项，则所证不等式为

■vjr

l-e~x-------->0,^g（x）=l-e~x-------,其导函数比较复杂（也可解决此题），所以

%+1x+1

考虑先对不等式进行等价变形，转变为形式较为简单的不等式，再构造函数进行证明

1Y1Y11

证明：1——>——O—K1--------O—V——

exx+1exx+1exx+1

・.・%>-1,所以所证不等式等价于

ex>ex-x-l>0

设g(%)=，—X—1只需证g(%)m1n20即可

g(%)=ex-1令g(%)>0=>%>0

「.g(x)在(YO,0)单调递减，在(0,”)单调递增

S(xLn=S(.^=Og(x)>g(o)=o

故不等式得证

小炼有话说：本题在证明时采取先化简再证明的策略，这也是我们解决数学问题常用的方法

之一，先把问题简单化再进行处理。在利用导数证明不等式的问题中，所谓的“简化”的标

准就是构造的函数是否易于分析单调性。

例3：已知函数/(x)=(x+l)lnx-x+l,证明：20

思路：若化简不等式左边，则所证不等式等价于(好―l)lnx—(x—1)2»0,若将左边构造

为函数，则函数的单调性难于分析，此法不可取。考虑原不等式为乘积式，且与0进行比较，

所以考虑也可分别判断各因式符号，只需让(％—1)与同号即可。而(为一1)的正负一

眼便可得出，的符号也不难分析，故采取分别判断符号的方法解决。

解：/(%)=X+^+lnx-l=—+lnx

XX

11—1

/'(x)=；—(=r¥..J(x)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增

.-./(%)>/'(1)=1>0.•./(%)为增函数

••-/(1)=0.”(0,1)时，/(^)</(1)=0.-.(x-l)/(x)>0

xe[l,+co)时,/(x)>/(l)=0.-.(x-l)/(x)>0

综上所述,(x—1)/(力之。成立

小炼有话说：与0比较大小也可看做是判断一侧式子的符号，当不等式的一侧可化为几个因

式的乘积时，可分别判断每一个因式的符号(判断相对简单)，再决定乘积的符号。

例4：已知/(X)=/-alnx-a,其中常数a>0

(1)当a=e时，求函数了(%)的极值

2x2x-1

(2)求证：e_-elnx-x>0

解：⑴当a=e时，/(x)=eA-elnx-e

/(x)=/，，/(1)=0

X

/(%)=+-^->0/J(x)在(0,+8)单调递增

X

.•.xe(0,l)时，=,/'(无)>/<1)=0

.•./(%)在(0,1)单调递减，在(L+oo)单调递增

・••/(%)的极小值为/(1)=0,无极大值

(2)思路：本题如果直接构将左侧构造函数，则导数过于复杂，不易进行分析，所以考虑

x

将所证不等式进行变形成“/(%)疝口2g(x)1mx”的形式。由第(1)问可得：e-elnx-e>0,

即/-elnxNe,则所证不等式两边同时除以e*",即证：ex-elnx>—--,而

ex~

elnxNe,所以只需构造函数证明一~<e即可

ex~

解：由(1)^ex-e]nx-e>0^ex—elnx>e

所证不等式：e2x-2-exilnx-x>0

oe-e]nx>——

/-27

设g(x)=j7=xe2T

g\x)=e2-x-xe2-x=(l-xy-x

令g(x)>0可解得：x<l

：.g(x)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减

•,收(%)皿=86=0

.\ex-einx>e>g(<x)即ex-elnx>—

^-e^lnx-x^O

例5：已知/(%)=xlnx-or,g(x)=-x2-2

(1)当〃=一1时，求/(%)在pn,/n+3](m>0)的最值

12

⑵求证：VXG(0,+OO),lnx+1>—......

exex

解：

(1)/(%)=xlnx+x,/(x)=lnx+2

・•・/(%)的单调区间为

1j

g’(x)—+

g(x)/

•：m>0m+3>—

e

〃x)mm=/［5］=一51mx=/(机+3)=(机+3)ln(机+3)+机+3

②加〉4■时，=mlnrn+rn,/(x)max=(m+3)ln(m+3)+m+3

17

(2)思路：所证不等式ln%+l>--------,若都移到左边构造函数，则函数

exex

1?

y=Inx+1------1很难分析单调性，进而无法求出最值。本题考虑在两边分别求出最值,

exex

再比较大小即可

1?Y2

解：所证不等式等价于lnx+1>--------oxlnx+x>--------

exexexe

设p(x)=xlnx+xp(x)=l+lnx+l=lnx+2

.•.〃(%)在(0，!］单调递减，在［3,+s］单调递增

令p(%)>Onx>F

设,(%)=%6一％——q(x)=(l-x)e-x

・・.4(%)在(0,1)单调递增,在(1,+00)单调递减

”(同"("啰=以1)=—(

■■•p(%)血n>q(%Lx■,-Vx«o,”),M*)之夕(力皿>以力厘“⑴

.-.所证不等式成立

例6：设/(x)=ln(x+l)+J7U+ax+6(a,6eR,a力为常数)，曲线y=/(x)与直线

3

歹二/%在(0,0)点相切.

OY

⑴求a/的值.(2)证明：当0<x<2时，/(x)<3-.

x+6

解：⑴•.•/(%)过(0,0)点

:.f(0)=l+b=0^b=-l

/(%)=———I-----?+a/(0)=1+—+a=—^>a=0

V7x+12V^ZT')22

0]/(%)=ln(x+l)+Jx+l-l

(2)思路：所证不等式等价于ln(x+l)+JZ-1〈二%,若将x的表达式挪至不等号

一侧，则所构造的函数g(x)=ln(%+l)+，xTl-l^中,求导后结构

比较复杂。观察到对数与根式均含有(％+1),进而考虑换元％=J7ZT化简不等式。另一

方面，当％=0时，g(0)=0,而x=0是所证1的临界值，进而会对导数值的符号有所影

响。

/QY

解：所证不等式等价于：ln(x+l)+Vx+l-l<—

令/=而1/©(1,百)则不等式转化为：lnr+/_l<)+5,

«(?2+5)(21n7+?-l)-9(r-l)<0(若不去分母，导函数比较复杂，不易分析)

令g⑺=,2+5)(21nt+f—1)—9,2—i)=2f21nf+/—/+101nf+5t—5—9f2+9

=2rlnr+?3-10?2+101nr+5r+4只需证g(f)max<0即可

观察g(l)=0

，,、,10,10

g(%)=4，ln/+2,+3%—20%H----F5=41In1+3%—18，H------F5

g'(i)=o进而考虑g'(尤)的单调性(尽管g(/),g'(t)复杂，但有零点在，就能够帮助继续分

析，坚持往下进行)

g"(x)=4+41nf+6518—*41n/+6”14—各

g"(/)单调递增，：.g()<^,(73)=41n73+673-14-y<0

/.g(/)单调递减/.g(1)Vg⑴=。(，=1是g(x),g(X)的零点，从而引发连锁反应)

・•.g(。单调递减gVg(1)=。g(0<0即所证不等式成立

QY

.,.当0<x<2时，/(x)〈心L

x+6

小炼有话说：本题有以下两个亮点

(1)利用换元简化所证不等式

(2)零点的关键作用：对于化简后的函数g«)而言，形式依然比较复杂，其导函数也很难

直接因式分解判断符号，但是由于寻找到r=1这个零点，从而对导函数的符号判断指引了

方向，又因为发现f=l也是导函数的零点，于是才决定在对导函数求一次导，在二次导函

数中判断了符号，进而引发连锁反应，最终证明不等式。可以说，本题能坚持对g(f)进行

分析的一个重要原因就是f=1这个零点。

例7：(2015,福建，20)已知函数/(x)=ln(l+x),g(x)=Ax

(1)求证：当x>0时，/(x)<x

(2)求证：当左<1时，存在毛〉0,使得对任意的xe(O,/),恒有/(x)>g(x)

解：(1)思路：所证不等式为：ln(l+x)<x,只需将含x的项移植不等号一侧，构造函数

即可证明

证明：所证不等式等价于：ln(l+x)-x<0,设//(X)=ln(x+l)-x

h(x\=-------1=----—<0

v'X+lX+1

/z(x)在(0,+oo)单调递减.\xe(0,+oo)时，/z(x)</z(0)=0

即ln(l+x)v%得证

(2)思路：本题的目标是要找到与左相关的与,因为/(x),g(x)函数形式较为简单，所

以可以考虑移至不等号一侧：/(x)-g(x)>0^>ln(x+l)-Ax>0,设

1—kx+1—k

/z(x)=ln(x+l)-Ax,h(A:)=------K,-........因..为/z(0)=0,所以只需/z(x)在

x+1x+1

(0,%)单增即可。可对左进行上V0和。〈左vl分类讨论。

证明：/(x)-g(x)>0^>ln(x+l)-Ax>0

1—kx1—k

设/z(x)=ln(x+l)-Ax贝！J/z(x)=------k=--------j——且/z(0)=0

令/z(%)>0,即—kx>k-l

］-k11i-k

①当上<0时，解得%>——=——1・・・——1<0/.x>——恒成立

kkkk

.•・/z(x)在(0,单调递增fi(x)>/z(0)=0x0可取任意正数

②当左=。时，/z(x)=ln(x+l),当％>0,/z(x)>0,故玉)可取任意正数

1_k1-k

③当0〈kvl时，解得%<——，而——>0

kk

.•/(%)在［o,?］单调递增，在11,+«)］单调递减

.•.X。,一，均有/z(x)>。(0)=0,只需取0<玉)

综上所述：存在玉〉0,使得对任意的％e(O,5),恒有〃x)>g(x)

例8：已知函数7•(;(;)=(左为常数，e=2.71828…，是自然对数的底数)，曲线

y=/(x)在(1,/(1))处的切线与x轴平行

(1)求左的值

(2)设g(x)=(x2+x)〃x),其中/'(%)为〃龙)的导函数。

证明：对Vx>0,g(x)<l+e-2

_cx—(lnx+左)—Inx—k

解：⑴/w=-—/—=^—；—

•••处的切线与X轴平行.-./(1)=0^1-^=0

二.左=1:

(2)所证不等式等价于：

|--lnx-1j

(x2+--------)<l+e-2

1-xlnx-x<F(l+〃)

X+1

设p(x)=l-xlnx-xp(x)=-l-lnx-l=-lnx-2

令p(%)>0=>—lnx_2>0=>xv"2

「.P⑺在(O,I)单调递增，在—,y)单调递减

/.p(x)<p(”2)=1+/2,即1+H2

xx

若要证----(l+e~2],只需证---->1oe'>x+1

x+lv)x+1

设q(x)=e"—x—lq^x)=ex令q(x)>0解得：x>0

/.q^x)在(0,+oo)单调递增/.q^x)>4⑼=0

/.e>%+ln---->1

x+1

xlnx—x<+,即原不等式得证

x+八)

例9：已知函数/(x)=ar+lnx,函数g(%)的导函数g(%)=",且g(0)g⑴=e,其

中e为自然对数的底数.

(1)求/(%)的极值；

(2)当〃=0时，对于X/%£(0,+oo),求证：/(x)<g(x)-2.

解：(1)函数/(%)的定义域为(0,共o),/(x)=a+L=竺里.

当时，/'(%)>0,.•./(X)在(0,y)上为增函数，/(%)没有极值;

当a<0时，令/'(x)>0=>x<—-

.-./(%)在［°，一5)单调增，在单调递减

・・•/(X)有极大值=无极小值

⑵当〃=0时，/(x)=lnx,令0(x)=g(x)—〃x)—2,即0(x)=—lnx—2

(p(x)=ex,则cp(%)在(0,+oo)上为增函数

x

0[g]--2<0,^(1)=-1>0

3x0国)=0・.・°(%)在(0,+oo)上为增函数

X£(0,%0)时，(P(x)<0]£(%0,+°°)时，0(%)>0

0(元)在(0,%0)单调递减，在(%0,+8)单调递增

”(x)min=。(％。)=*-In%-2

(P(%)=0-----—0——,XQ—In——In

玉)玉)X。

0(％0)-----F%0—2,由一,1]可知---XQ>2-----%0=2

/<2)X。Vo

9(/o)>0

0(x)>0(/)>。即〃x)<g(x)—2

例10:设函数=依2+COSX.

(1)证明：时，函数/(%)在[0,+8)上单调递增；

(2)证明：4sinx+2xlnx-3x2-1<0.

解：⑴/(x)=2or-sinx只需证2or—sinxN0即可

令g(%)=2ar-sinxg⑼=0g(x)=2<7-cosx

・「Q2；=>2a21:.2a-cosx>0「.g(x)在［0,+8)单调递增

/.g(x)2g(0)=0即f(x)=2or-sinx>0函数/(%)在［0,+oo)上单调递增

(2)思路：对所证不等式4sinx+2xlnx-3%2一1<0,若直接将左侧构造函数，则无法

求出单调区间和最值。(导函数中含有sinx,Inx无法进一步运算)，所以考虑将左侧的一部

分挪至不等号另一侧，构造两个函数进行比较。

4sinx+2xlnx-3x2-1<0<^>3X2-2xlnx+l>4sinx(右边4sinx<4,考虑

,„2,

g(x)