高考数学压轴题专项训练：立体几何与空间向量（选填压轴题）含答案及解析

专题19立体几何与空间向量（选填压轴题）

目录

①空间几何体表面积和体积............................................1

②外接球问题........................................................3

③内切球问题........................................................5

④动点问题..........................................................6

①空间几何体表面积和体积

1.（2023・山西运城・山西省运城中学校校考二模）风筝又称为"纸莺"，由中国古代劳动人民发明于距今2000

多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一

年上级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCER。为AS的中点，四边形跳DC为矩形，且

DF1AB,AC=BC=2,ZACB=120,当时，多面体ABCEF的体积为（）

儿当B.坐C.f"

2.（2023•福建宁德•校考模拟预测）"辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何

体的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积S。的4倍、下底面

的面积S'之和乘以高的六分之一,即V=+4S。+S'）.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体

称为拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词“刍童"

（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某“刍童"尺寸如图所示，且体积为卑，则

它的高为（）

53

C9+30D.4

3.（2023•黑龙江齐齐哈尔•齐齐哈尔市实验中学校考三模）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进

步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空

器.2022年5月，"极目一号"ID型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠

穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力."极目一号型浮空艇长

55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，贝广极目

一号型浮空艇的表面积约为（）

（参考数据：送亡32.6,兀*3.14）

D.2508m2

4.（2023•甘肃张掖•高台县第一中学校考模拟预测）仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代

宣德年间产的瓷器.该盘盘口微撇，弧腹，圈足.足底切削整齐.通体施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不

胜收.仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体，其口径为15.5cm,足径为9.2cm,顶部

到底部的高为4.1cm,底部圆柱高为0.7cm,则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为（）（参考数据：

兀的值取3,V21.4825«4.6）

A.143.1cm2B.151.53cm2C.155.42cm2D.170.43cm2

5.（2023•河北•校联考三模）已知四面体ABCD中，AB=AC=BD=CD=2,BC=2A/3,则该四面体体积

的最大值为

6.（2023・四川遂宁•射洪中学校考模拟预测）已知正三棱柱ABC-A4G所有顶点都在球。上，若球。的

体积为飞-，则该正二棱柱体积的最大值为.

7.（2023•海南•海南华侨中学校考模拟预测）三棱锥A-BCD中，AC，平面BCD,BD±CD,若AB=3,

BD=1,则该三棱锥体积的最大值为；

8.（2023・陕西咸阳,武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆柱外接球的表面积为16兀，则该圆柱表面积

的最大值为.

②外接球问题

1.（2023•江西南昌•南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥P-ABCD的底面A3CD是矩形，高为虚,

AD=2瓜,AB=2,ABLPD,PA=PD,则四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积为（）

A.125/671B.48^6?1C.36兀D.—^―n

2.（2023•黑龙江大庆・统考二模）如图，边长为由的正方形A3。所在平面与矩形A2M所在的平面垂直,

2

BE=2,N为Ab的中点，EM=-EF,则三棱锥HNC外接球的表面积为（）

25兀107371

~123

3.（2023・河南•校联考模拟预测）点P是圆柱上底面圆周上一动点，,ABC是圆柱下底面圆的内接三角形,

已知在.ABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,若c=2,C=60,三棱锥P-ABC的体积最大

值为|6，则该三棱锥外接球的表面积为（）

19285343

A.一71B.——71C.—兀D.——71

3393

4.（2023•海南•海南中学校考模拟预测）如图，三棱锥P-ABD中，A3,ABO的面积为8,

则三棱锥尸-ABD外接球的表面积的最小值为（）

5.（2023•江西赣州•统考模拟预测）如图，正三角形ABC中，D、E■分别为边A3、AC的中点，其中AB=4,

把VADE沿着DE翻折至A'DE的位置，则当四棱锥A-3CED的体积最大时，四棱锥A'-3C即外接球的

表面积为-

6.（2023•江西赣州•统考模拟预测）如图，正三角形ABC中，。，E分别为边AB,AC的中点，其中AB=4,

把VADE沿着。E翻折至A'DE的位置，得到四棱锥A-8CED,则当四棱锥A-3CED的体积最大时，四

棱锥A'-BCED外接球的球心到平面A'BC的距离为.

7.（2023•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）在三棱锥ABC中，ABC为等边三角形，OCJ_平面ABC,

若AC+CD=6,则三棱锥ABC外接球的表面积的最小值为

8.（2023・重庆•统考模拟预测）已知三棱锥P-AFC中，。为BC中点，P3=PC=AB=3C=AC=4,侧

面底面ABC,则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为.

9.（2023•河南关洲•模拟预测）在长方体中ABC。-4月£"中，AB=AA,=1,AD=2,M是棱与G的中点,

过点2,M,2的平面。交棱AD于点N,点P为线段上一动点，则三棱锥尸-8月M外接球表面积的

最小值为.

③内切球问题

1.（2023春・江苏淮安•高二校考阶段练习）已知三棱柱ABC-EFG中，GC1AC,平面EBC垂

4

直平面AEB,AC=5,若该三棱柱存在体积为§兀的内切球，则三棱锥A-£BC体积为（）

2,4

A.-B.4C.2D.4-

33

2.（2023,福建宁德•校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的

半径为（）

A,'B.2GM

33

C.2（6-1）D,4（6-1）

33

3.（2023春•江西赣州•高一江西省龙南中学校考期末）已知正四面体的棱长为12,先在正四面体内放入一

个内切球a,然后再放入一个球仪，使得球。2与球a及正四面体的三个侧面都相切,则球。②的体积为（）

A.n兀B.2^371C.2亚nD.也兀

4.（2023•湖南•校联考模拟预测）定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥

称为球的外切圆锥.已知某圆锥的内切球半径等于L则该圆锥体积的最小值为（）

5乃_8/5万

A.—B.37rC.—D.—

932

5.（多选）（2023春•浙江•高二校联考期末）己知半径为1的球内切于半径为,，高为〃的一个圆锥（球与

圆锥的侧面、底面都相切），则下列说法正确的是（）

91

A.[+3=2B.圆锥的体积与表面积之比为定值

h厂

C.圆锥表面积的最小值是8兀D.当圆锥的表面积最小时，圆锥的顶角为60°

6.（2023春・贵州黔西•高二校考阶段练习）正三棱锥尸-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内

切球与外接球的半径之比为.

7.（2023春•四川成都・高一四川省成都列五中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为2,高为4万，则

该圆锥的内切球表面积为.

8.（2023・广西・校联考模拟预测）如图，有一半径为单位长度的球内切于圆锥，则当圆锥的侧面积取到最

小值时，它的高为.

9.（2023春・辽宁大连•高一统考期末）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，ACIBC,AC=2A\,该三

4冗

棱柱存在体积为彳的内切球，E为CG的中点，P为棱3c上的动点，当直线所、片尸与平面A3C成角相

等时，CF=,此时四面体4司匹的外接球表面积为.

④动点问题

1.（2023•宁夏石嘴山•统考一模）圆锥。Q的底面半径为1,母线长为2,Q4B是圆锥。。।的轴截面，尸是

Q4的中点，E为底面圆周上的一个动点（异于A、B两点），则下列说法正确的是（）

A.存在点E,使得EF_LEBB.存在点E,使得所〃05

C.三棱锥尸-ABE体积最大值为鱼D.三棱锥F-A«E体积最大值为正

66

2.（2023・四川成都•石室中学校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，E,尸分别为

棱4R,/里的中点，G为线段2（上一个动点，则下列说法不正确的是（）

B.存在点G,使平面跖G〃平面BOQ

C.三棱锥A-EFG的体积为定值

D.平面跖G截正方体所得截面的最大面积为眄

4

3.（2023•四川・成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）如图，已知正方体A8CD-A4G2的棱长为

1,E尸分别是棱AD,4G的中点.若点P为侧面正方形A。。A内（含边界）的动点，且与尸〃平面班户，

则与尸与侧面ADR4所成角的正切值最大为（）

A.2B.1C.此D.J5

2

4.（多选）（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考二模）如图，在三棱柱ABC-4旦。中，M，平面

ABC,AAl=AB=2,BC=l,/ABC=90,E是棱84上的一个动点，则（）

A.直线AC与直线GE是异面直线

B.△AGE周长的最小值为3+20

C.存在点E使得平面AGE，平面441cle

D.点C到平面AGE的最大距离为撞

3

5.（多选）（2023•福建漳州•统考模拟预测）在棱长为1的正方体ABC。-A耳6"中，点E为BC的中点,

点尸，。分别为线段B2，上的动点，则（）

A.AC±DPB.平面DEP可能经过顶点G

C.PQ的最小值为变D./APC的最大值为:

23

6.（多选）（2023,福建福州•福建省福州第一中学校考三模）如图，在直三棱柱ABC-中，=2A4,=2,

A.AC〃平面AB。B.SC与AP不垂直

C.存在点P、Q,使得尸D.PA+PC的最小值是近

7.（2023・四川泸州・四川省泸县第一中学校考三模）如图，在四棱柱A2CD-A4CQ中，9，平面ABCD,

AB//CD,ZDCB^9Q°,AB=AD==2DC,。为棱CQ上一动点，过直线AQ的平面分别与棱2片,

。。交于点P,R,则下列结论正确的是.

①对于任意的点。，都有AP〃。尺

②对于任意的点。，四边APQR不可能为平行四边形

③当=时，存在点Q,使得49为等腰直角三角形

④存在点Q,使得直线BC〃平面APQR

8.(2023•北京大兴•校考三模)如图，在正方体ABC。-A及GA，中，M,N分别为线段AR,BQ上的

动点.给出下列四个结论:

①存在点M,存在点N,满足，平面；

②任意点M,存在点N,满足MN,平面AB814；

③任意点M,存在点N,满足MNL8G；

④任意点N,存在点满足MNL2G.

其中所有正确结论的序号是.

9.(2023•北京海淀•一模)如图，在棱长为2的正方体ABCD-4BCQ中，E为对角线片。上一点，M,N

为对角线AC上的两个动点，且线段MN的长度为1.(1)当N为对角线AC的中点且。E=0时，则三棱锥

E-DMN的体积是；(2)当三棱锥的体积为g时，则DE=

专题19立体几何与空间向量（选填压轴题）

目录

①空间几何体表面积和体积............................................1

②外接球问题........................................................3

③内切球问题........................................................5

④动点问题..........................................................6

①空间几何体表面积和体积

1.（2023・山西运城・山西省运城中学校校考二模）风筝又称为"纸莺"，由中国古代劳动人民发明于距今2000

多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一

年上级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCER。为"的中点，四边形EEDC为矩形，且

DF1AB,AC=BC=2,ZACB=120,当时，多面体ABCEF的体积为()

C

A・当'f"

【答案】B

【详解】在，ABC中，因为AC=3C且。为AB的中点，所以CDLAB,

又因为。尸，AB,且OPICD=。，。尸,C£>u平面SEE,所以AB/平面CDEE,

在.ABC中，因为AC=3C=2且NACB=120,

=AC2+BC2-2AC-BCcosZACB=4+4-2x2x2x(--)=12,

所以AB=2/,且CD=1,

因为四边形CDEE为矩形，可得CD,

又因为DF_LAB,AB8=£＞且A3,CDu平面ABC,所以DPI平面ABC,

因为CEHDF,所以CE，平面ABC,

又因为AC,BCu平面ABC,所以CE_LAC,CEJ_BC,

设CE=m,在直角“虑中，^AE2=AC2+m2=4+m2,

在直角一3CE中，可得BE?=如2+疗=4+疗，

因为所以AB?,即"=4+加:+=4+加，解得加=点，

所以多面体ABCEF的体积为：

V=^A-CDFE+XB-CDFE=A-CDFE=X^CDFE'=2X]X]X1Xy/2Xyfi=•

故选：B.

2.（2023•福建宁德,校考模拟预测）"辛普森（Simpson）公式"给出了求几何体体积的一种估算方法：几何

体的体积丫等于其上底面的面积5、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积S。的4倍、下底面

的面积S'之和乘以高h的六分之一，即V=+4so+S'）.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体

称为拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词"刍童"

（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某"刍童"尺寸如图所示，且体积为华，则

它的高为（）

【答案】D

【详解】上底面S=3x2=6,下底面S'=3x4=12,

所以中截面是过高的中点，且平行于底面的截面，其中ABC。分别是对应棱上的中点，如图所示,

1715

根据中位线定理得。。=巳4=5、(3+4)=5，BC=AD=-x(3+2)=-,

,-75_35

所Gr以r风=5"万=彳

6+12+4x孚x，/7="，解得/z=4,

4Jo3

故选：D.

3.（2023•黑龙江齐齐哈尔・齐齐哈尔市实验中学校考三模）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进

步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空

器.2022年5月，"极目一号"III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠

穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力."极目一号"III型浮空艇长

55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目

一号型浮空艇的表面积约为（）

(参考数据：'4258x32.6,"3.14)

2

D.2508m2

【答案】A

【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R=[=9.5（m）,

而圆台一个底面的半径为r=Km）,圆台的母线长为/=+3=普9x32.6

则

5半球=—x4x71x9.52=180.5兀(n?),S圆柱=2TIX9.5x14=266TI(m2),

S圆台=兀1H----x32.6B342.3兀(n?),S底=7r(m2),

所以S表=180.5兀+266兀+342.3K+兀=789.8兀比789.8x3.1422480m2.

故选：A.

4.（2023・甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测）仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代

宣德年间产的瓷器.该盘盘口微撇，弧腹，圈足.足底切削整齐.通体施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不

胜收.仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体，其口径为15.5cm,足径为9.2cm,顶部

到底部的高为4.1cm,底部圆柱高为0.7cm,则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为（）（参考数据：

兀的值取3,V21.4825«4.6）

A.143.1cm2B.151.53cm2C.155.42cm2D.170.43cm2

【答案】D

【详解】方法L设该圆台的母线长为/,高为九两底面圆的半径分别为七r（其中R>r）,

则2R=15.5cm,2r=9.2cm,"=4.1-0.7=3.4（cm）,

2

所以/==^342+3.15=V21.4825~4.6（cm）,故圆台部分的侧面积为

2

S1=7t（7?+r）/«3x（7.75+4.6）x4.6=170.43（cm）.

方法2（估算法）：若按底面直径为15.5cm,高为3.4cm的圆柱估算圆台部分的侧面积得

S^3xl5.5x3.4=158.1（cm2）,易知圆台的侧面积应大于所估算的圆柱的侧面积，故此仿钧玫瑰紫釉盘圆台

部分的侧面积大于158.1cm2,对照各选项可知只有D符合.

故选：D

5.（2023・河北•校联考三模）已知四面体ABCD中，AB=AC=BD=CD=2,BC=26,则该四面体体积

的最大值为.

【答案】

33

【详解】取的中点。，连接0A

因为AB=AC==CO=2,3C=2g,

所以_L3C,OA_LBC,OD=1,OA=1,

SABC=；X\X26=6,

当O£）_L平面ABC时，该四面体体积取得最大值,

最大值为IsABC。。=3一

33

故答案为：息.

3

6.（2023,四川遂宁•射洪中学校考模拟预测）已知正三棱柱ABC-A瓦G所有顶点都在球。上，若球。的

体积为3。言兀，则该正三棱柱体积的最大值为.

【答案】8

【详解】设正三棱柱ABC-A4c的上，下底面的中心分别为a。。，连接。02，

根据对称性可得，线段。02的中点0即为正三棱柱ABC-ABiG的外接球的球心，

线段。4为该外接球的半径，设。4=R,

4H

由己知三忌、节，所以R=2,即。4=2,

设正三棱柱ABC-A与G的底面边长为x,设线段BC的中点为。,

rn.l.A/322-J3x瓜

贝1JADn=——x，AO,=—AD=—x-----=------,

213323

在RtAAO|。中，OO]NACP-AO；=/卜,

所以。1。2=2小4-卜2,o〈x<26,

又，ABC的面积S=LBC-A£)=LXXX®=YI£,

2224

所以正三棱柱ABC-的体积V=^x2.l4--x2=/

4\32

设'=小-卜，则r=12-3»,0<t<2,

¥(12一3°,

所以丫=0</<2,

所以八*

令S=o,可得f=2叵或f=_亚，舍去,

33

所以当0<r<2叵时，V'>0,函数y=

上单调递增,

3

当冬时，函数告（产,在(2^31

8<f<2V'<0,V=12-3\2上单调递减,

3

所以当/=竿时，丫=#(12-3〃,取最大值，最大值为8,

所以当x=2立时，三棱柱ABC-A耳G的体积最大，最大体积为8.

故答案为：8.

7.(2023•海南•海南华侨中学校考模拟预测)三棱锥A-BCD中，AC,平面BCD,BDYCD,若AB=3,

BD=\,则该三棱锥体积的最大值为；

【答案】|

【详解】如图所示，因为AC,平面BCD,即AC为三棱锥A-8CD的高，设为x,

又因为BCu平面BC。，所以AC13C,

在直角qABC中，由AB=3,AC=x,可得3C=的量,

因为BDLCD,且即=1,可得CD=dBC2-BD2=a-X。，

所以三棱锥A-BCD的体积为：

-AC=—x—A/8-X2xlxx=—./（8-x2）-%2<—x--'+'2

3Dv^L）

326^v7623

7

当且仅当8-f=%2时，即.2时，三棱锥A-BCD的体积取得最大值，最大值为？

故答案为：

BC

D

8.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）己知圆柱外接球的表面积为16兀，则该圆柱表面积

的最大值为.

【答案】4（1+6）兀

【详解】设圆柱的底面半径为八高为2〃，球的半径为R,

由题知，4位2=16兀，解得R=2,由圆柱的轴截面知，r2+h2=R2=4,如图

所以该圆柱的表面积为5=2兀/+2"><（2/2）=2兀（，+2川）,

厂=2cos6(兀\

设0<6><-

♦=2sin6(2)

所以S=2TI(4COS2^+8sin^cos0)

=2兀[2(1+cos2。)+4sin2e]=4兀(1+2sin2。+cos26)

=4兀〔1+68皿（2夕+夕）］,其中tan°=；,

所以当sin（26+e）=l即tan29=2时，Smax=4（1+盯）兀.

故答案为：4（1+A/5）71

②外接球问题

1.（2023•江西南昌•南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥尸-ABCD的底面A3C。是矩形，高为正，

AD=2a,AB=2,ABLPD,PA=PD,则四棱锥P-ABCZ）的外接球的表面积为（）

A.12遥B.48\/^兀C.367rD.、兀

【答案】C

【详解】如图，在矩形ABCD中，连接对角线ACM,记ACcB£>=尸，则点P为矩形ABCD的外接圆圆

心，

取AD的中点E,连接PE,EP,记，R4D的外接圆圆心为G,易知所/%民所==且P,E,G

共线.

因为?15_LP£>,AB_LA£）,A£）cP£）=£）,AO,PDu平面PAD,所以AB2平面尸AD,

所以EF1平面PAD,PEu平面上4D,EF_LPE,EFAD=E,所,ADu平面ABC。，

所以尸E_L平面ABCD,所以尸E=应，所以PA=PD=不+（Q）2=2e,易得NAP£>=12。，

所以由正弦定理得4PAD的外接圆半径为c.=2&，即GP=20.

2sm/APD

过G作GO,平面PAD,且GO=£F=1,连接尸。，由GO,平面PAD,

可知GO〃砂，则四边形ER9G为矩形，所以/O〃PG,则平面ABCD

根据球的性质，可得点0为四棱锥尸-ABCD的外接球的球心，

因为尸o=JPG'+OG?=J8+1=3,所以四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积为471x3?=36兀.

故选：C

2.（2023•黑龙江大庆・统考二模）如图，边长为由的正方形A3CD所在平面与矩形ABE尸所在的平面垂直,

2

BE=2,N为A尸的中点，EM=-EF,则三棱锥M—8NC外接球的表面积为（）

E

257t10国

123

【答案】A

【详解】由尸可知，FM=B,FN=NA=1,可求MN=N3,NB=2,MB;型,

3333

因为平面ABCD1平面ABE尸，平面ABCDc平面=

又3C_LAB,BCu平面A3CD,

所以BC1平面ABERBMu平面ABER所以3c

由MB=拽，BC=6,得MC二巫,

33

又NB=2,同理可得得NC=A/7,又MN=点~,

3

2。V

23

所以MN'NC?=+(77)*=y=MC,所以WNC.

所以MC为外接球直径,

在RtAMBC中MC=述，即氏=之叵

故外接球表面积为S=4成2=宁

故选：A.

3.（2023•河南•校联考模拟预测）点尸是圆柱上底面圆周上一动点，ASC是圆柱下底面圆的内接三角形,

己知在aABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,若c=2,C=60,三棱锥尸-ABC的体积最大

值为g石，则该三棱锥外接球的表面积为（）

„19285343

A.—7iB.—兀C.—兀D.—71

3393

【答案】B

【详解】在ABC中，由余弦定理可得4=/=〃+/一2abcosC=[2+〃一QZ?N2〃/?—打?=，

即QZ?<4,当且仅当a=b=2时，等号成立，

所以，SAARr=—absinC=-^-ab<—^-x4=y/3,

△ABC244

设圆柱的高为〃，贝爪匕,ABCMLSAMC/W/A，

r—nD\--3△ADC3

P

C

因为三棱锥的尸-ABC体积的最大值为毡，则@/?=2叵，所以，h=2,

333

222r

圆柱底面圆半径r.式八=不=彳6

2sin60，33

设三棱锥P-MC的外接球的半径为R,则该三棱锥的外接球和圆柱的外接球为同一个球，

则R2=，J+/=］+［孚］=Z,因此，三棱锥外接球的表面积为4兀代=事鼠

故选：B.

4.（2023•海南•海南中学校考模拟预测）如图，三棱锥尸-ABD中，ABJLAO,PB_LBD,的面积为8,

则三棱锥P-ABD外接球的表面积的最小值为（）

【答案】A

【详解】取8。中点0,连接尸0,49,设AB=x,A£>=y,

依题意，由于OA是RtZXAflD斜边8。的中线，

故08=00=04,同理OB=OD=OP,^OB=OD=OA=OP,

于是。为三棱锥P-ABD外接球的球心，设该外接球半径为R,即瓦>=2R,

由勾股定理，x2+y2=47?2,由53。=8=3冲。肛=16,

由基本不等式，x2+y2=4R2>2xy=32,即用滤，当x=y=4时，R?取得最小值8,

于是外接球的表面积的最小值为4冗我2=32兀.

故选：A

5.（2023•江西赣州•统考模拟预测）如图，正三角形ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，其中AB=4,

把VADE沿着。E翻折至AOE的位置，则当四棱锥A-8CED的体积最大时，四棱锥A'-BCED外接球的

表面积为.

【详解】设EG分别是的中点，则A,凡G三点共线，且A尸，DE,AGJLBC,

设等边三角形ADE的外接圆圆心为Q,半径为小

2—4221

由正弦定理得1sin71方'6，°\F=AF一『也-忑=百，

设等腰梯形3c即的外接圆圆心为。2,半径为。

AF=FG=；AG=K,所以旧二1+招手=6,解得4=2,

故。2与G重合，。2尸=石，

依题意可知，当四棱锥A-3CED的体积最大时，平面4DE，平面BCED.

0113

设得四棱锥4—8C即外接球的半径为R,则代=（0尸）+^=§+4=可，

所以外接球的半径为4兀汽2=4"9=学.

故答案为：—^―

c

可。

7B

6.（2023•江西赣州•统考模拟预测）如图，正三角形ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，其中至=4,

把VADE沿着翻折至ADE的位置，得到四棱锥A-BCED,则当四棱锥A-3CED的体积最大时，四

棱锥A'-3CED外接球的球心到平面A'BC的距离为________.

c

二

BB

【答案】小

A'

［详解］/3/私二二羹二二金>>C

尸

B

由题意可知，当平面ADEJ_平面3C£D时，四棱锥A'-BCED的体积最大，如图所示,

取DE的中点G,连接4G,则A'GLDE,

又平面ADEI平面3CED=£）E,AGu平面加/组，所以AG,平面BCED

则.A'DE的外接圆的圆心。1位于A'G且靠近点G的三等分点处，

设2C的中点为6,连接。区。?。，则O2B=0C=aO=O2E=2,

所以。2为四边形BCED的外接圆的圆心，

过。1作平面WDE的垂线，过。2作平面8CE。的垂线，

则两垂线的交点即为四棱锥A-BCED的外接球的球心0,

连接。?G,则四边形。。夕?。?为矩形，

所以Of??=OQ=gAG=q,

2

连接0D,在Rt。。2。中，OD-=OOl+O2D=

设四棱锥A-BCED的外接球的半径为R,则店=寸.

连接BG,CG,RtBO.G^RtCO2G,:.BG=CG,

RtA'BG丝RtACG,A!B=AC,

连接A'。?，则所以‘ABC外接圆的圆心在AQ上，令其半径为人

22

在RtAO2G中，A'O2=y/A'G+O2G=,

所以产=（"一厂）+BO；,即产=（指_厂）+4,解得

设四棱锥A-BCED外接球的球心到平面A'BC的距离为d,

所以户+屋=尺2,即+屋当，解得公器，

故四棱锥A-3CED外接球的球心到平面ABC的距离为逅

6

故答案为：逅

6

7.（2023•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）在三棱锥ABC中，ABC为等边三角形，OCL平面ABC,

若AC+CD=6,则三棱锥ABC外接球的表面积的最小值为

【详解】设43=4。=3。=。（。＜。＜6）,则CD=6-a,

取正三角形ABC的外心为0,设四面体ABCD的外接球球心为O',

连接OO',O'C,则。。，平面A3C,

又。C_L平面ABC,则OO7/CD,

则平面OOZ»C截球所得截面为大圆，又DC，CO,

贝W」CD=3-L

又底面外接圆的半径r=OC=」^=^a,

2sin603

当时，R有最小值g=沔,

故答案为：可1447r

8.（2023•重庆•统考模拟预测）己知三棱锥尸-ABC中，。为中点，尸3=PC=AB=3C=AC=4,侧

面P3C1底面71BC,则过点。的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为.

.5.2071

【答案】471,-^—

【详解】连接PQ,QA,由BB=PC=A2=3C=AC=4,

可知：ABC和，PBC是等边三角形，

设三棱锥P-ABC外接球的球心为。，

所以球心0到平面ABC和平面PBC的射影是ABC和；PBC的中心E,歹，

PBC是等边三角形，。为8c中点，所以尸。，3C,

又因为侧面P3C1底面ABC,侧面PBCc底面ABC=BC,PQu侧面PBC,

所以尸Q1底面ABC,而AQu底面ABC,因此PQ±AQ,

所以OFQE是矩形，应为ABC和，PBC是边长为4的等边三角形，

所以两个等边三角形的高//=J42-[xj=2指，

在矩形OFQE中,OE=FQ=—h=.AE=—h=4K，

3333

连接OA,所以。4=yJOE2+EA2=+；

设过点Q的平面为a,当，c时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形,

可得OQ=JOF2+FQ24人《乂?『当

因此圆Q的半径为^O^-OQ2=楞4=2,

所以此时面积为无々2=4兀,当点。在以。为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大,

，所以截面的面积范围为4私拳.

面积为:兀・

故答案为：471,—

9.(2023•河南郑州•模拟预测)在长方体中ABCD-AAGR中，AB=AAi=l,AD=2,M是棱与G的中点，

过点8,M,R的平面。交棱于点N,点P为线段"N上一动点，则三棱锥尸-8片知外接球表面积的

最小值为.

【答案】31t

【详解】设三棱锥尸-2片加外接球球心为。，半径为R,

则0在过直角4BBIM斜边的中点E与平面BB、M垂直的直线上，且满足OP=03.

以。为原点，QA为x轴，。。为y轴，。，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

31

则4(2,0,0),N(l,0,0),C(0,l,0),B(2,l,0),M(l,l,l),Dt(0,0,1),E(-,1,-),

设球心,m>0,又曲=(-1,0,1),

设丽=2烟=(—2,0,2),Xe[0,1],则尸(1—2,0,2),

由R=o尸=Q5,得R2=(g+%]+根+(l-m)2+Q^,

则m=万—,由2e[0,1],m>0,可得0<相V/,

2o2iia

X7?=(l-//；)+1,所以当=]时，点取最小值，最小值为:，