高考数学热点问题专练：函数的切线问题

第14炼函数的切线问题

一、基础知识：

(一)与切线相关的定义

1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B,并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极

限位置就是曲线在点A的切线。

(1)此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方

面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向A不断接近，当与A距离非常小时，

观察直线AB是否稳定在一个位置上

(2)判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数＞=/在

(―1,-1)处的切线，与曲线有两个公共点。

(3)在定义中，点8不断接近A包含两个方向，A点右边的点向左接近，左边的点向右接

近，只有无论从哪个方向接近，直线的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点

A处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y=|x|在(0,0)处，

通过观察图像可知，当x=0左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y=-%,而当

尤=0右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y=x,两个不同的方向极限位置不相

同，故丁=同在(0,0)处不含切线

(4)由于点8沿函数曲线不断向A接近，所以若在A处有切线，那么必须在A点及

其附近有定义(包括左边与右边)

2、切线与导数：设函数y=/(x)上点A(Xo，〃/)),4%)在A附近有定义且附近的点

B(%0+Ax,/(%0+Ax))1则割线AB斜率为：

k=〃Xo+Ax)-40)=〃Xo+—)-〃Xo)

(x0+Ax)-x0Ax

当8无限接近A时，即Ax接近于零，.••直线AB到达极限位置时的斜率表示为：

一lim小。+一)一小),

Ax

即切线斜率，由导数定义可知：1二lim/（/+-）―/（%）=/（/）。故f（x0）为/（%）

Ax->0

在A（%,/（%））处切线的斜率。这是导数的几何意义。

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：

（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也

就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则

断开处的边界值也不存在导数

（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前

面例子y=|x|在（0,0）处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只

需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可

（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。

例如：y=正在（0,0）处不可导

综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中

的点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数。

（二）方法与技巧：

1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率

（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程

2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A的横坐标七,因为与可“一

点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标了（%）,代入到导函数中可得到切线的斜

率/'（%）=鼠从而一点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标,

千方百计的把它求解出来。

3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数

与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标（为,%），再

考虑利用条件解出核心要素与,进而转化成第一类问题

4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用△=（）

求出参数值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以

互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解,

例如：j=Vi-%2(图像为圆的一部分)在1万,寺J处的切线方程，则可考虑利用圆的切

线的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y轴的抛物线，可看作y关

于x的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解(此方法也为解析几何中处理焦点在y

轴的抛物线切线问题的重要方法)

5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。”在某点处的切线”意味着该点即

为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好

在曲线上那就需要进行分类讨论了。

二、典型例题

例1：求函数/(力二，7。1—2)在x=l处的切线方程

思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜

式求出切线方程

解：/(l)=e切点坐标为(l,e)

/1(x)=3/+(3x-2)/=(3x+1)d

:.f(1)=4e切线方程为：y-e=4e(^x-l)=>y=4ex-3e

小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到

函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用

例2：已知函数/(x)=lnx+2x,则：

(1)在曲线了(%)上是否存在一点，在该点处的切线与直线4x—y—2=0平行

(2)在曲线了(%)上是否存在一点，在该点处的切线与直线x-y-3=0垂直

解：(1)思路：切点未知，考虑设切点坐标为(看,%),再利用平行条件求出与,进而求

出切线方程

设切点坐标为(%,%)/'(^o)=—+2由切线与4x—y—2=0平行可得：

,切线方程为：y-l+ln2=41x-g]ny=4x-ln2-l

（2）思路:与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为（九0,%）,有垂直关系可得切线斜

率与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出与,进而求出切线方程

设切点坐标(%,%)f(xo)=—+2'直线x—y—3=0的斜率为1

%0

•••…卜—"。T

而xoG(0,+oO)

.•.%=-1不在定义域中，舍去

3

不存在一点，使得该点处的切线与直线x-y-3=0垂直

小炼有话说：（1）求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先

设再求。两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条

件

（2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。在解出自变量的值或范围时也要验证其

是否在定义域内

例3：函数/（x）=alnx—法2上一点尸（2,〃2））处的切线方程为丁=—3%+21112+2,

求a,匕的值

思路：本题中求。，。的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P在直线y=—3x+21n2+2

上，，y=—3-2+21n2+2=21n2—4,即/（2）=21n2—4,得到。，。的一个等量关系,

在从切线斜率中得到％=2的导数值，进而得到a1的另一个等量关系，从而求出a,匕

解：•.,尸在y=—3x+21n2+2上，.-./（2）=-3-2+21n2+2=21n2-4

.-.f（2）=aln2-4b=21n2-4

又因为尸处的切线斜率为一3f\x）=--2bx

/⑵肪=-3

41n2-4/?=21n2-4

（a-2

<an〈

---4b=-3b—\

12i

小炼有话说：（1）本题中切线体现了两个作用：①切点在切线上，进而可间接求出函数值;

②切线的斜率即为切点导数值

（2）一般来说，在求未知量的值题目中，未知量的个数与所用条件的个数相等。在本题中

确定〃，。两个未知量，从而想到寻找两个条件来解决问题。

例4：曲线>=/在点（2*2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

A./B.2e2C.4e2D.—

2

思路：/'（力=炭由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切

线方程.•./'（2）=e2所以切线方程为：y—e?=e2（x—2）即e?x—y—e?=0,

与两坐标轴的交点坐标为（1,0乂0,—02）.'.S=|xlxe2=1-

答案：D

小炼有话说：在平面直角坐标系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。所以在求

面积等问题时也会用到解析几何的一些理念与方法。例如求三角形面积要寻底找高，而选择

底和高以计算简便为原则，优先使用点的坐标表示。在本题中选择横纵截距来刻画三角形的

两条直角边有助于简化计算。

2

例5：一点P在曲线y=d—x+§上移动，设点尸处切线的倾斜角为a,则角a的取值

范围是（）.

r7i\..[3

A.B.0,—IIJ—C.-n.7i

吟4

思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。y=3x2-1,对于曲线上

任意一点P,斜率的范围即为导函数的值域：y=3x2-le[-l,+oo）,所以倾斜角的范围是

吟U*

答案：B

小炼有话说：（1）对于切线而言，其倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正切

值为斜率，斜率即为切点的导数值。

（2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点：①斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅

助，观察斜率变化时，倾斜角的变化程度。②直线倾斜角的范围为［0/）

例6：求过点4（2,8）,且与曲线/（x）=%3相切的直线方程

思路：A（2,8）满足/（%）,但题目并没有说明A是否为切点，所以要分A是否为切点进行

分类讨论。当A是切点时，易于求出切线方程，当A不是切点时，切点未知，从而先设再

求，设切点（不，%），切线斜率为左，三个未知量需用三个条件求解：①％=/（%））,②

k=f'M，③心上区

解：⑴当4（2,8）为切点时/（x）=3x2

.••/,（2）=12切线方程为：y—8=12（x—2）ny=12x—16

（2）当4（2,8）不是切点时，设切点尸（如为）（天）72）,切线斜率为左

3

x；-8

k—3%Q,消去左,尤可得：3%Q=

X。-2

左=『

、入0—2

而XQ—8=（九0一2乂x；+2xg+4）XQH2

，方程等价于：3x（=xj+2x0+4=>XQ—x0—2—0

解得：/=2（舍），x0=-1

y0--l,k-3」.切线方程为y+l=3（x+l）=>y=3x+2

综上所述：切线方程为y=12x—16或y=3x+2

小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置

是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切

于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子

（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用

已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件。

例7：设函数/(x)=d—依2_9%一若曲线y=/(x)的斜率最小的切线与直

线12x+y=6平行，求。的值

思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为—12,进而可得导函数的

最小值为—12,便可求出。的值

解：f(%)=3x2-lax-9=3^x2--1a+-^a2^--^a2-9=--^a2-9

.•J(x/n9•.•直线12x+y=6的斜率为—12,依题意可得：

1

—a9—9=—12=>tz=±3a<0

3

a=—3

例8：若存在过点(1,0)的直线与曲线y=/和丁=取2+?工—9都相切，则。等于()

…25-217_257_r

A.一1或----B.-1或一C.——或----D.——或7

6444644

思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线y=a/+”九一9含有参数，所以考虑先

从常系数的曲线y=/入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线y=ax2+1工一9求

出a的值。设过(1,0)的直线与曲线y=/切于点(％),片)，切线方程为

y-Xg=3%o(x-x0),即y=3焉x-2x；,因为(1,0)在切线上，所以解得：%=0或

3(327、15

%=5,即切点坐标为(0,0)或于可.当切点(0,0)时，由丁=0与丁=口^+1工/相

切可得

A=—4。(-9)=0=>a=—/，同理，切点为解得a=—1

答案：A

小炼有话说：(1)涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁。所以

可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系

,1515

(2)在利用切线与y=av：2+—x-9求a的过程中，由于曲线丁=«^9+一x-9为抛物

线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的△=0

来求解，减少了运算量。通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，

求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写

成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）

例9：（2014,北京）已知函数/（x）=2d—3%,若过点P（l"）存在3条直线与曲线

丁=/（1）相切，求:的取值范围

思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P为切点的切线，所以考虑先设切点（不，％）,

f%=-3x0..

切线斜率为左，则满足｛,9,所以切线方程为丁一%=左（%—%），即

、k=于（X。）=6x0—3

y_（2x；_34）=（6*一3）（尤-九0）,代入尸（I"）化简可得：（=一4■+-3,所以

若存在3条切线，则等价于方程”-4x；+6焉-3有三个解，即y=f与

32

g（x）=^x+6x—3有三个不同交点，数形结合即可解决

解：设切点坐标（毛,％），切线斜率为左，则有:

%=2--3x0

切线方程为：y—（2需-3x0）=（6焉-3）（x-x0）

(2)=6需一3

因为切线过尸（I"）,所以将尸（I"）代入直线方程可得:

"（2片-3%）=（6%—3）（1—%）

t=（6xj-3）（1-x（））+（2龙;-3%）

—6XQ—3—6XQ+3XQ+2XQ—3XQ——+6%；—3

所以问题等价于方程t=-4焉+6焉一3,令g（%）=-4x3+6X2-3

即直线y=%与g（x）=T%3+6X2一3有三个不同交点

g（x）=-12x2+12%=-12%（x-1）

令g（%）>0解得0<xv1所以g（x）在（fo,0）,（1,+oo）单调递减,在（0,1）单调递增

g⑺极大值=g⑴=-Lg（元）极小值=g（°）=-3

所以若有三个交点，则fe（-3,-1）

所以当fe(—3,—1)时，过点尸(1J)存在3条直线与曲线y=/(x)相切

例10：已知曲线C:/=y，点。在抛物线上且尸的横坐标为1,过尸作斜率为左(左工0)

的直线交C于另一点。，交x轴于“，过点。且与PQ垂直的直线与。交于另一点N,

问是否存在实数左，使得直线1W与曲线C相切？若存在，求出左的值，若不存在，说明

理由。

思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析。点P。/)，则可求出

PQ:y=kx-k+l,从而与抛物线方程联立可解得绯―以及"点坐标，

从而可写出QN的方程，再与抛物线联立得到N点坐标。如果从V,N坐标入手得到MN方

程，再根据相切(A=O)求左，方法可以但计算量较大。此时可以着眼于N为切点，考虑抛

物线f=y本身也可视为函数y=/,从而可以N为入手点先求出切线，再利用切线过〃

代入M点坐标求左，计算量会相对小些。

解：由P在抛物线上，且P的横坐标为1可解得。(1,1)

，设尸Q：丁一1=左(%—1)化简可得：y=kx-k+1

V=尤2

消去y：%?一而+左一1二。

y=kx-k+1

£=1,%2=左一1

.•，e（Zr-l,（Zr-l）2）

设直线QN:y—（左一I?即y=（左_1）2_工［%_（左_］）］

kk

y-x

.­.联立方程：4

y=（左一I）2_-（k-1）］

_(左一1)|左一1+1

.-.X2+-X=0

k

由y=可得：y=2x

・•・切线MN的斜率

代入,0］得:

-1±75

小炼有话说：(1)如果曲线的方程可以视为一个函数(比如开口向上或向下的抛物线，椭圆

双曲线的一部分)，则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立

方程计算A=0简便

(2)本题在求N点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知。的横

坐标求出N的横坐标。这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点

求另一交点的问题。

三、近年好题精选：

1、设函数/(£)=g(%)+*,曲线y=g(x)在点处的切线方程为y=2x+l,则

曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程为

2、己知直线,=丘+1与曲线丁=丁+以+少切于点(1,3),则匕的值为

3、若曲线G：>与曲线。2：y=a"存在公切线，则。的最值情况为()

A.最大值为3B.最大值为三C.最小值为:D.最小值为三

eeee

4、(2015,新课标II文)，已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线

y=改2+（〃+2）%+1相切，则〃=

5、（2015,陕西理）设曲线y=/在点（0,1）处的切线与曲线丁=!@>0）上点P处的切

线垂直，则P的坐标为

6、（2014,广东）曲线y=2在点（0,3）处的切线方程为

7、（2014,江西）若曲线y二小*上点尸处的切线平行于直线2九+y+l=0,则点P的坐

标为__________

8、已知函数/（无）=也，则过原点且与函数/（x）图像相切的直线方程为—

9、已知函数〃x）="—gf—ox（aeR）,若函数的图像在x=0处的切线方程

为y=2x+b,则。=,b-

习题答案:

1、答案：y=4x

解析：由切线过(l,g(l))可得：8(1)=3,所以/(1)=8(1)+12=4,另一方面，g(l)=2,

且f'(x)=g(x)+2x,所以/(l)=g(l)+2=4,从而切线方程为：

y-4=4(x-1)=>y=4%

2,答案：b=3

/⑴=〃+Z?+l=3[a=-l

解析:代入(1,3)可得：左=2,/'(£>=3三+。，所以有《'/，解得〈

f(l)=3+a=2[b=3

3、答案：B