高考数学分类专项训练之统计

高考数学分类专项精讲精练

统计

目录

明晰学考要求...................................................................................1

基础知识梳理...................................................................................1

考点精讲讲练...................................................................................4

考点一：随机抽样..............................................................................4

考点二：用样本估计总体........................................................................9

实战能力训练..................................................................................17

明晰学考要求期

明晰学考要求

1、了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性；

2、了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法；

3、会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系；

4、了解分层随机抽样的特点和使用范围，掌握各层样本量比例分配的方法，掌握分层随机抽样的样本均值

和样本方差；

5、能用样本估计总体的集中趋势参数，理解集中趋势参数的统计含义；

6、能用样本估计总体的取值规律；

7、能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义。

基础知识梳理基础知识梳理02

1、简单随机抽样

(1)简单随机抽样

分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.

(2)简单随机样本

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

（3）简单随机抽样的常用方法

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

2、总体平均数与样本平均数

定义

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为

-Y+Y+...y

…，5,则称~~&=期»

总体均值（总体平均数）N/V；=1

为总体均值，又称总体平均数.

如果总体的N个变量值中，不同的值共有人

Ck<N）个，不妨记为X，打，…，匕，其中工出

现的频率力（i=1,2,3…左）则总体均值还可以写成

—Y+Y+---Y1£

加权平均数的形式y=」~1一士

NNM

如果从总体中抽取一个容量为〃的样本，它们的变量

值分别为％,为，％…力，则称

样本均值（样本平均数）

「二必+%+…+先为样本均值,又称样

〃〃日

本平均数.

说明：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值亍去估计总体平均数少;

（2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（应为样本具有随机性）；

（3）一般情况下，样本量越大，估计越准确.

3,分层随机抽样

（1）分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总

体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为

分层随机抽样，每一个子总体称为层.

（2）分层随机抽样的平均数计算

在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量

分别为m和〃，第1层和第2层的样本平均数分别为最，亍，样本平均数位石，则

——TV—YYl—TT——_.—

®=----------X+----------y=——x+——y.我们可以采用样本平均数3估计总体平均数W

M+NM+Nm+nm+n

4、统计图表

(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.

(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

(3)绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质

①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差.

②决定组距与组数.组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多.当样本容

量不超过100时，常分成5〜12组.为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.

③将数据分组.

第1组频数

④列频率分布表.计算各小组的频率，第，组的频率是样本容量.

频率频率

⑤画频率分布直方图.其中横轴表示分组，纵轴表示西函.砺实际上就是频率分布直方图中各小长方形的

高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度.

5、总体百分位数的估计

(1)第P百分位数的定义

一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有。%的数据小于或等于这

个值,且至少有(1-P)%的数据大于或等于这个值.

(2)计算一组"个数据的第P百分位数的步骤：

第1步,按从小到大排列原始数据.

第2步,计算，="xp%.

第3步，若i不是整数,而大于i的比邻整数为八则第P百分位数为第/项数据;若i是整数,则第P百分位

数为第i项与第(z+1)项数据的平均数.

6、样本的数字特征

(1)众数

一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.

(2)中位数

一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或

最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.

(3)平均数

一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据芯，々，£…，龙"的平均数为

-_Xj+x2+x3H----xn

n

(4)标准差与方差

如果有几个数据再，%，…，X.那么平均数1=为+々+.+…%,标准差为：

n

222222

S=J-[(^-X)+(x2-x)+­­•+(x„-x)]，方差：S?=-[(%1-x)+(x,-x)+•••+(x„-%)]

Vnn

7、在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值

(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数；

(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横

坐标之和.

F

考点精讲讲练考点精讲精练03

考点一：随机抽样

【典型例题】

例题1.(2023广西)一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层.用分层随机抽

样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本.如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为

()

A.2B.3C.5D.6

【答案】B

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【分析】先求出抽样的比例，在计算女运动员的人数即可.

【详解】总人数有20+15=35,

抽样比例为7会

7

所以女运动员应抽取15x行=3人.

故选：B.

例题2.(2024新疆)一支运动队有男运动员32人，女运动员24人，按性别进行分层，用分层随机抽样

的办法从全体运动员中抽出一个容量为21的样本.如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取()

A.9人B.12人

C.15人D.18人

【答案】B

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【分析】利用分层抽样的等比例列式即可得解.

【详解】依题意，设男运动员应抽取工人，

所以男运动员应抽取12人.

故选：B.

例题3.（2024北京）某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活

动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）

A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生

C.最少有618名学生D.最少有617名学生

【答案】D

【知识点】总体与样本

【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.

【详解】1850-3=616……2,

616+1=617,即研学人数最多的地点最少有617名学生，

1850-100-100=1650,即研学人数最多的地点最多有1650名学生.

故选：D

例题4.（2024福建）已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中

男生有人.

【答案】9

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【分析】根据分层比可求男生人数.

【详解】男生的分层比为4荒5，4故520人中男生的人数为嵩x20=9,

故答案为：9.

例题5.（2024湖南）某班有50名学生，按男、女生分层随机抽样，从男、女生中各取样6人和9人，则

这个班男生人数是班级总人数的.

2

【答案】j/0.4

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【分析】根据题意，结合分层抽样的概念可得这个班男生人数是班级总人数的工，进而计算即可.

6+9

【详解】依题意可得这个班男生人数是班级总人数的三=3.

6+95

2

故答案为：

例题6.（2024广东）三个人过关，甲带560元，乙带350元，丙带180元，共要交100元关税，若按照比

例缴纳，乙应交—元.（结果保留整数）

【答案】32

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【分析】根据比例求得正确答案.

350

【详解】依题意，乙应交1℃*100—32元.

560+350+180

故答案为：32

【即时演练】

1.从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、

57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个

同学的编号为（）

03474373863696473661469863716297

74246292428114572042533237321676

（注：表中的数据为随机数表第一行和第二行）

A.24B.36C.42D.52

【答案】A

【知识点】随机数表法

【分析】利用随机数表法可得结果.

【详解】从随机数表第一行第7列和第8列数字开始往右依次选：36、47、46、24,

选出的第4个同学的编号为24.

故选:A.

2.某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为2:2:6,用分层抽样的方法抽取一个容量为

〃的样本.若样本中C型号的产品有120件，则样本容量，『为（）

A.150B.180C.200D.250

【答案】C

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【分析】根据分层抽样的性质分析求解即可.

【详解】由题意得，wx-1-=120,解得“=200.

故选：c.

3.我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3:4:3,

要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）

A.52B.48C.36D.24

【答案】C

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得.

【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为『Jxl20=36.

3+4+3

故选：C

4.某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统

计分析.下列叙述正确的是（）

A.上述调查属于全面调查B.每名学生是总体的一个个体

C.200名学生的视力是总体的一个样本D.1200名学生是总体

【答案】C

【知识点】总体与样本、普查与抽样的合理选择

【分析】利用总体、样本、调查方法的相关概念分析选项即可.

【详解】上述调查属于抽样调查，故A项错误；

每名学生的视力是总体的一个个体，故B项错误；

200名学生的视力是总体的一个样本，故C项正确；

1200名学生的视力是总体，故D项错误.

故选：C

5.某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠

情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年

级应抽取的人数是（）

A.24B.26C.30D.32

【答案】D

【知识点】分层抽样的特征及适用条件

【分析】按照分层抽样计数规则计算可得.

【详解】依题意高一年级应抽取的人数为毁*80=32人.

故选：D.

6.下列调查中，适合用普查的是（）

A.了解我省初中学生的家庭作业时间B.了解“嫦娥四号"卫星零部件的质量

C.了解一批电池的使用寿命D.了解某市居民对废电池的处理情况

【答案】B

【知识点】普查与抽样的合理选择

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果没

有普查准确，但相对节约人力，物力和时间.

【详解】A、了解我省初中学生的家庭作业时间，适合抽样调查，故此选项错误；

B、了解“嫦娥三号”卫星零部件的状况，适合用普查，符合题意；

C、华为公司一批某型号手机电池的使用寿命，适合抽样调查，故此选项错误；

D、了解某市居民对废电池的处理情况，适合抽样调查，故此选项错误；

故选：B.

7.某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情

况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为.

【答案】28

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【分析】由分层抽样的性质结合题意计算即可；

【详解】由题意可得，要抽取的男生人数为50x29||4|=28人.

故答案为：28.

8.有以下两个案例：

案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚家胺的含量；

案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称

的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况.

⑴你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？

⑵在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程.

【答案】⑴案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样

（2）答案见解析

【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件、分层抽样的特征及适用条件、设计分层抽样过程

【分析】（1）由分层抽样和简单随机抽样的定义即可得出答案；

（2）按照分层、确定抽样比、确定各层样本数、按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本、汇总构成一

个容量为40的样本的过程求解即可.

【详解】（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样.

（2）①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层；

②确定抽样比4=黑=

oUUZU

③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8,16,10,6；

④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本；

⑤汇总构成一个容量为40的样本.

考点二：用样本估计总体

【典型例题】

例题1.（2024北京）下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.

［温度（℃）

O10203H40506S70

■甲乙

记这7天甲地每天最低气温的平均数为二，标准差为电；记这7天乙地每天最低气温的平均数为E，标准

差为$2.根据上述信息，下列结论中正确的是（）

A.X1<X2,Sx<s2B.X1<^2,^>s2C.X1>^2,^<S2D.Xl>X2,S1>s2

【答案】B

【知识点】计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度

【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可.

【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即%（京；

标准差时反应一组数据的波动强弱的量，

由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即

故选：B

例题2.（2024福建）已知X、x+1、x+3、x+5、x+6的平均数为5,则它们的中位数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【知识点】计算几个数的中位数

【分析】根据平均数定义求出无，再根据中位数定义即可求解.

【详解】人*+1、x+3、x+5、x+6的平均数为5,

则x+x+l+x+3+龙+5+x+6=25,即5x+15=25,

解得x=2,所以它们的中位数为x+3=2+3=5.

故选：C.

例题3.（2022河北）若样本数据芯,马，尤4,三的平均数是2,贝！］数据2%+1,2々+1,2另+1,2匕+1,2%+1的

平均数是（）

B.3C.5D.7

【答案】C

【知识点】计算几个数的平均数

【分析】由均值的定义求解.

【详解】由题意＜+尤2+：+%+[=2,

以(2菁+1)+(2%2+1)+(2/+1)+(2/+1)+(2/+1)2(%+/+*3+*4+*5)+]

=2x2+l=5,

故选：C.

例题4.(2024湖北)向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下:

2107416554675678570565428358859286668722

872699861057511558117361212112386124001303916530

则这组数据的第50百分位数为()

A.8720B.8722C.8724D.8726

【答案】C

【知识点】计算几个数的中位数、总体百分位数的估计

【分析】将成绩按照从小到大的顺序排列后利用百分位数的定义计算即可得出结果.

【详解】根据题意将8位同学的成绩按照从小到大的顺序排列如下：

2107,4165,5467,5678,5705,6542,8358,8592,8666,8722,8726,9986,10575,11558,11736,12121,12386,12400,13039,16530

5

又20x50%=10,所以数据的第50百分位数为第10个数和第11个数的平均数，即为8722箸型=8724.

故选：C.

例题5.(2024江苏)某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根

据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76,a,b,80,80,81,84,85,若这组数据的下四分位数

为77,则该名考生的面试平均得分为()

A.79B.80C.81D.82

【答案】B

【知识点】计算几个数的平均数、总体百分位数的估计

【分析】计算位置指数？=叩％,代入数据可得位置，根据已知可求得.

【详解】由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即等=77,

解之得〃+b=154,

76+Q+Z?+80+80+81+84+85㈣=。.

所以该名考生面试的平均得分为8

88

故选:B.

例题6.（2023安徽）某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查,

将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（）

C.[45,55)D.[55,65]

【答案】B

【知识点】总体百分位数的估计

【分析】根据百分位数的计算即可求解.

【详解】数据在[15,25）的概率为0.005x10=0.05<0.25,

数据在[15,35）的概率为0.005X10+0.030x10=0.35>0.25,

故样本数据的第25百分位数所在的区间为[25,35）,

故选：B

例题7.（2024云南）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有

关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长,

并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长

（单位:小时）范围是[2,12],数据分组为[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12].这100名同学中，今年春季学期

开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为人.

频率

【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量

【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少

于6小时的人数.

【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为

1-（0.04+0.12）x2=0.68,

故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为0.68x100=68.

故答案为：68

例题8.（2023广西）一家水果店的店长为了解本店荔技的日销售情况，安排两位员工分别记录并整理了

6月份上、下半月荔枝的日销售量（单位：kg）.结果如下：（已按从小到大的顺序排列）.

上半月：55707580808484858689

91949699104

下半月：74758385858793949799

101102107107117

⑴请计算该水果店6月份荔枝日销量的中位数、极差；

（2）一次进货太多，卖不完的荔枝第二天就会不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望在荔枝

销售期间，每天的荔枝尽量新鲜，又能有80%的天数可以满足顾客的需求.请问：每天应该进多少千克荔

枝？

【答案】⑴中位数为88,极差为62；

（2）100千克

【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的中位数

【分析】（1）将数据从小到大排列，根据中位数和极差公式即可；

（2）根据题意直接计算即可.

【详解】（1）将所有数据从小到大排列：

55,70,74,75,75,80,80,83,84,84,85,85,85,86,87,89,

91,93,94,94,96,97,99,99,101,102,104,107,107,117,

中位数为第15,16个数的平均数，即（87+89）+2=88,

极差为117-55=62.

（2）80%x30=24,数据从小到大排列，第24,25个数据分别为99,101,三出=100.

每天应该进100千克苹果.

【即时演练】

1.2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李

豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（）

S9射击成绩图

S8

S7

O6

.

s5

o4

.

。3

。2

S1

10

99

9.8

9.7

.6

.9

-盛李豪黄雨婷

A.盛李豪的平均射击环数超过10.6

B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65

C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差

D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差

【答案】C

【知识点】根据折线统计图解决实际问题、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、

总体百分位数的估计

【分析】根据图表数据可直接判断选项A,利用第80百分位数的解法直接判断选项B,根据图表的分散程

度即可判断选项C,根据极差的求法直接判断选项D.

【详解】由题知，盛李豪的射击环数只有两次是10.8环，5次10.6环，

其余都是10.6环以下，所以盛李豪平均射击环数低于10.6,故A错误；

由于14x0.8=11.2,故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7,故B错误；

由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确；

黄雨婷射击环数的极差为10.8-9.7=1.1,

盛李豪的射击环数极差为10.8-10.3=0.5,故D错误.

故选：C

2.将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组

A.68B.70C.72D.74

【答案】C

【知识点】由频率分布直方图估计平均数

【分析】根据小矩形面积和为1解得的值，再根据频率分布直方图计算平均数即可.

【详解】依题意，（0.005+0.015+0.02+0.03+0.005+zn）x10=1,解得机=0.025,

贝（I平均分为45x0.05+55x0.15+65*0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.05=72.

故选：C.

3.已知退休的王大爷连续5天户外运动的步数（单位：百步）分别为50,49,51,48,52,则该组数据

的均值与方差分别为（）

A.50,2B.50,10C.51,2D.51,1

【答案】A

【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差

【分析】根据平均值和方差的计算公式，可得答案.

50+49+51+48+52”

【详解】均值:---------------------------=50

5

方差：|X[（50-50）2+（49-50）2+（51-50）2+（48-50）2+（52-50）2]=2.

故选：A.

4.第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425的高分拿下冠军.下面统计某社

团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68,80,74,63,66,84,78,66,70,76,则这组数据的中位

数为.

【答案】72

【知识点】计算几个数的中位数

【分析】将数据从小到大排列后，按中位数的定义求解即可.

【详解】解：将数据从小到大排列为：63,66,66,68,70,74,76,78,80,84.

所以中位数为：四产=72.

故答案为：72

5.样本数据90,80,79,85,72,74,82,77的极差和第75百分位数分别为.

【答案】18,83.5

【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计

【分析】根据极差和百分位数的定义计算即可.

【详解】将这组数据从小到大排列为：72,74,77,79,80,82,85,90,共8个,

极差为90-72=18,

因为8x75%=6,所以这组数据的第75百分位数为巫箸=83.5.

故答案为：18,83.5.

6.一组数据2,3,X,5,7的平均数是4,则这组数据的众数是.

【答案】3

【知识点】根据平均数求参数、计算几个数的众数

【分析】根据平均数得到方程，求出x=3,从而求出众数.

【详解】••・一组数据2,3,x,5,7的平均数是4,

由于3出现了2次，其他数据均出现1次，

这组数据的众数是3

故答案为：3

7.已知一组样本数据玉,％，…，%的样本平均数为3,方差为2,由％=2々+1(%=1,2,…生成一组新的样

本数据4%，…，笫，则新数据的平均数为;样本方差为.

【答案】7；8.

【知识点】平均数的和差倍分性质、各数据同时乘除同一数对方差的影响

【分析】由期望、方差性质直接计算即可.

【详解】因为数据玉，尤2,…，毛的样本平均数为3,方差为2,

所以数据%%，…，%的样本平均数为2X3+1=7,方差为据X2=8.

故答案为：7；8

8.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，

只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10,抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160

和15.则估计出总样本的方差为.

【答案】37

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、估计总体的方差、标准差、计算几个数据的

极差、方差、标准差

【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可.

【详解】由题意知，

2030

总样本的平均数为——X170+xl60=164,

20+3020+30

总样本的方差为1^x[10+(170-164)[+•[15+(160-164)1=37.

故答案为：37

9.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为无和歹，方差分别记为S；和心

（i）«^x9y>s；,S?；

（2）如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？

【答案】（1）7;7；4；1.2

⑵答案见解析

【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动

程度

【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可；

（2）由（1）的结论，平均数一样，则通过方差判断其稳定性即可得结果.

_9+5+7+8+7+6+8+6+7+7-

y=-----------------------------------------=7,

-10

22222222222

S1=^[（7-7）+（8-7）+（7-7）+（9-7）+（5-7）+（4-7）+（9-7）+（10-7）+（7-7）+（4-7）]

=4,

S；=^[（9-7）2+（5-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（6-7）2+（7-7）2+（7-7）2]

=1.2.

（2）由（1）知，甲乙射击的平均成绩一样，但乙比甲射击的成绩更稳定，所以选择乙.

10.下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）：

一班1933262928333435333330

二班2527292829302935293029

⑴这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？

（2）你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？

【答案】⑴平均数为30.27次；29.09次；中位数33次，29次，众数33次，29次.

（2）平均数

【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数的众数

【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的概念计算即可；

（2）利用平均数、中位数和众数的统计意义分析即可.

【详解】（1）一班平均数为（19+33+26+29+28+33+34+35+33+33+30）—11=333+11^30.27（次）,

一班数据从小到大排列为：19,26,28,29,30,33,33,33,33,34,35,

所以一班的中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次；

二班平均数为（25+27+29+28+29+30+29+35+29+30+29）+11=320+11“29.09（次）,

二班数据从小到大排列为：25,27,28,29,29,29,29,29,30,30,35,

所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次.

(2)运用平均数表示两个班的成绩更合适.

实战能力训练实战能力训练04

一、单选题

1.一数学学习小组有5名同学，他们的历次数学考试成绩都比较稳定，且每次测试5人成绩的方差均为6

左右.某次数学测试他们中的甲同学因故没能参加考试，其余四位同学的数学成绩分别为111分，114分，

117分，118分.如果甲同学参加这次考试，利用以往的经验(方差为6)估计其成绩为()

A.112分B.113分C.115分D.119分

【答案】C

【知识点】计算几个数的平均数、根据方差、标准差求参数

【分析】根据题意，设甲的分数为H0+5a,求得五位同学本次考试成绩的平均数，然后再由方差的公式代

入计算，即可得到结果.

【详解】设甲的分数为110+5。，

则这五位同学本次考试成绩的平均数为：|(lll+114+117+118+110+5fl)=114+fl,

所以这五位同学本次考试成绩的方差为：

|[(111-114-«)2+(114-114-fl)2+(117-114-fl)2+(l18-114-a)2

(110+5a-114-a)2]=6,解得a=l,

所以甲的分数为11。+5a=115.

故选：C

2.高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在[50,100]内，估计所有参赛同学成绩

【答案】C

【知识点】总体百分位数的估计

【分析】先由长方形的面积和为1求出“，再由第75百分位数的定义求解;

【详解】因为24x10=1,所以a=0.05.

参赛成绩位于［50,80）内的频率为10x（0.01+0.015+0.035）=0.6,

第75百分位数在［80,90）内,

设为80+y,贝!J0.03y=0.15,

解得>=5,即第75百分位数为85,

故选：C.

3.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业.某农户种植一种观赏花弃，为了解花

卉的长势，随机测量了1。0枝花的高度（单位：cm）,得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（）

・频率/组距

0.056

0.048

0.036

0.028

0.020

0.012

O40455055606570高度/cm

A.样本花卉高度的极差不超过20cm

B.样本花卉高度的中位数不小于众数

C.样本花的高度的平均数不小于中位数

D.样本花升高度小于60cm的占比不超过70%

【答案】D

【知识点】根据频率分布直方图计算众数、计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估

计平均数、由频率分布直方图估计中位数

【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用中位数和众数的定义可判断B选项：利用平均数公式求出样

本花卉高度的平均数，可判断C选项；计算出样本花升高度小于60cm的占比，可判断D选项.

【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的极差为70-40=30（cm）,A错;

对于B选项，样本花卉高度的众数为W=57.5（cm）,

设样本花卉高度的中位数为acm,

前三个矩形的面积和为（0.012+0.028+0.036）x5=0.38,

前四个矩形的面积和为0.38+0.056x5=0.66,故。«55,60）,

由中位数的定义可得Q38+（a—55）x0.056=0.5,解得aa57.14（cm）,则a<57.5,

所以，样本花卉高度的中位数小于众数，B错；

对于C选项，由频率分布直方图可知，

样本花卉高度的平均数为

x=42.5X0.06+47.5X0.14+52.5x0.18+57.5x0.28+62.5x0.24+67.5x0.1=56.5（cm）,

且最＜a,所以，样本花的高度的平均数小于中位数，C错；

对于D选项，由B选项可知，样本花升高度小于60cm的占比为66%,D对.

故选：D.

4.已知一组数据玉,斗，…,x”的平均数元=4,方差$2=5,则数据4%+2,4%+2,…,4%+2的平均数、方差

分别为（）

A.16,20B.16,80C.18,20D.18,80

【答案】D

【知识点】平均数的和差倍分性质、各数据同时乘除同一数对方差的影响

【分析】根据平均数、方差的性质求解.

【详解】由题意数据4玉+2,4%+2,…,4%+2的平均数为41+2=4x4+2=18，

方差为42s2=16x5=80,

故选：D.

5.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生

中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、168cm、171cm,

估计该校学生的平均身高是（）

A.166.4cmB.168.2cmC.169.1cmD.170.0cm

【答案】B

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数

【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可.

【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，

用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，

则高一、高二及高三年级分别抽10人，8人，12人，

抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、168cm、171cm,

10x165+8x168+12x171

所以该校学生的平均身高为=168.2(cm).

30

故选：B

6.在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了

历史，也再次证明了“梦之队”的实力和统治力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁

判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确

的是（）

A.去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变

B.去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变

C.去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数不变

D.去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数不变

【答案】B

【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数、计算几个

数的众数

【分析】根据题意设出裁判的评分，根据数字特征计算即可.

【详解】若7个裁判的评分分别为：10,10,9.9,9.9,9.9,9.8,9.7,

去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10,9.9,9.9,9.9,9.8,

去掉前后的中位数都为9.9,故A错误；

去掉一个最高分和一个最低分前平均数为

x=-(10+10+9.9+9.9+9.9+9.8+9.7)®9.89

去掉一个最高分和一个最低分后平均数为

—1

(10+9.9+9.9+9.9+9.8)=9.9,故C错误；

若7个裁判的评分分别为：10,10,10,9.9,9.9,9.9,9.8,众数为：10和9.9,

去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10,10,9.9,9.9,9.9,众数为9.9,故D错误；

若七个裁判的评分为：10,10,10,10,10,10,10,则去掉一个最高分和一个最低分前后均值都为10,

方差都为0,则B正确；

故选：B.

7.已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表：

分层样本量样本平均数

第一层1055

第二层3075

第三层1090

估计总〃K平均数为()

A.73B.74C.76D.80

【答案】B

【知识点】计算几个数的平均数

【分析】利用分层抽样的平均数公式，列式计算即得.

・、5力、am*人、I.10x55+30x75+10x90

【详解】依题意，估计总体平均数为-----s.