对数与对数函数（含对数型糖水不等式的应用）-2025年高中数学一轮复习

第04讲对数与对数函数

（含对数型糖水不等式的应用）

（8类核心考点精讲精练）

IN.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

判断指数函数的单调性

2024年新I卷，第6题,5分判断对数函数的单调性

根据分段函数的单调性求参数

2024年新H卷，第8题,5分由对数函数的单调性解不等式函数不等式恒成立问题

对数函数模型的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数的运算性质的应用

对数函数的单调性解不等式

2021年新H卷,第7题,5分比较对数式的大小无

2020年新I卷，第12题,5分对数的运算随机变量分布列的性质

2020年新II卷，第7题,5分对数函数单调性复合函数的单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6

分

【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或

常用对数

2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点

3.熟练掌握对数函数j=logflx（a〉0且aw1）与指数函数y=优（a〉0且aw1）的图象关

系

【命题预测】本节内容通常会考查指对幕的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备

考复习

考点梳理・

1

知识点1对数的定义

知识点2对数的分类

知识点3对数的性质与运算法则

知识点4对数函数的定义及一般形式

知识点5对数函数的图象与性质

考点1对数的运算

考点2对数函数的定义域

考点3对数函数的图象与性质

考点4对数函数的单调性

考点5对数函数的值域与最值

考点6对数函数中奇偶性的应用

考点7对数函数值的大小比较(含构造函数比较大小)

考点8对数型糖水不等式的应用

知识讲解

1.对数的运算

(1)对数的定义

如果优=N(a〉O且awl),那么把x叫做以a为底，N的对数，记作x=log“N,其中a叫做对数的底

数，N叫做真数

(2)对数的分类

一般对数：底数为a,a>0,且awl,记为log4N

常用对数：底数为10,记为IgN,gp：log10x=1gx

自然对数：底数为e(e^2.71828…)，记为InN,即：logex=Inx

(3)对数的性质与运算法则

①两个基本对数：①log〃l=0,②log”a=1

②对数恒等式：①〃。g*=N，②1。"=N。

log*1g6Inb

c

③换底公式:logflb===——

logfaIgaIna

,,1

推广1：对数的倒数式log.b=~i-----nlog/•log,a=1

logfta

推广2：log/log；,clogfa=1nlog$10gziclogfd=logfldo

④积的对数：logaQw)=logoM+log“N；

M

⑤商的对数：10gaW=10g"M—10gaN;

2

⑥幕的对数：❶log/"'=加log/,©\oga„b=-\ogab,

❸log。r,bm=—logb,❹logb=log“bm

n/a八

2.对数函数

（1）对数函数的定义及一般形式

形如：y=log“x（a>0且。*l,x>0）的函数叫做对数函数

（2）对数函数的图象和性质

a>l0<。<1

4-

yA1rl

图

象

二(1.0).

O(1,0)工

/厂

定义域：（0,+00）

值域：R

性当x=l时，y=0即过定点（1,0）

质当0<x<l时，y€(-co,0)；当x>l时，yG(-00,0)；

当x〉l时，y€(0,+co)当0<x<l时，yG(0,+oo)

在（0,+co）上为增函数（5）在（0,+oo）上为减函数

3.对数型糖水不等式

(1)设〃eN+，且n>\,则有log,I+1M<log,J+2(M+l)

⑵设a>b>l,m>0,则有logab<loga+m(b+m)

,

⑶上式的倒数形式：设a>b>\,m>Q则有10gzia〉log.(a+加)

考点一、对数的运算

典例引领

1.（2024•重庆•三模）已知。=log?5,8=5",则a6=.

【答案】3

【分析】由指数式与对数式的互化关系求出6,再利用对数运算性质计算即得.

【详解】由8=5",得6=log58,=log25-log58=3log25-log52=3.

故答案为：3

3

2.(2024・青海•模拟预测)若a=bg35,5b=6,则。6-唾32=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.

【详解】由5"=6n6=logs6，

所以"一logs2=log5-log6-log2=1吗5-logs2=log6-log2=log=log3=1

353K)g3D333Z3

故选：A

3.(2024・四川•模拟预测)若实数加，"，f满足5"=7"=f且,+l=2,则/=()

mn

A.273B.12C.V5D.庄

【答案】D

【分析】根据指对数的互化可得根=log5，，〃=log7f，代入,+1=2,即可计算得到f的值.

mn

【详解】因为53=7"=f且1+工=2,易知/>0且

mn

所以机=logs乙n=log71,

所以工=log,5,-=log,7,

mn

所以工+'=log,5+log,7=log,35=2,贝=

mn

故选：D.

即时检测

2

1.(2024•河南郑州•三模)已知log/+410g/=4,则J的值为

2b

【答案】1/0.5

【分析】根据对数的运算性质求解即可.

【详解】因为log/+410gzi。=4,

4,

所以唯》+而7=4,可得(loga/?)-41ogflZ>+4=0,

即(log*-2)2=0,

所以log.6=2,即/=人

22i

所以幺=

2b2a2*42

故答案为：y.

4

115

2.(2024・全国•高考真题)已知且5,贝!Ja二

血。log.4

【答案】64

【分析】将log8dlog”4利用换底公式转化成log2。来表示即可求解.

113__'°§2a=W，整理得(loga)2-5loga-6=0,

【详解】由题22

log8alog。4log2a

=>log2a=-1^4log2a^6,又。>1,

6

^fl^log26Z=6=log22,故。=26=64

故答案为：64.

3.(2024•辽宁丹东•一模)若27,3:5,5,=4,则log4abc=()

C.显

A.-2BD.1

-I2

【答案】B

【分析】根据题意，结合指数幕与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.

【详解】由*3,3'=5,5C=4,可得。=1。823,6=1。835,。=10854,

所以成二嚏小隆反皿二哥翳氏2,

则log4abc=log42=.

故选：B.

考点二、对数函数的定义域

典例引领

1.(2024•河南•三模)函数/(x)=Jln(l-x)的定义域为()

A.(-oo,0]B.(-℃,1)C.[0,1)D.[0,+oo)

【答案】A

【分析】使函数有意义，即得关于工的不等式组，解之即得函数定义域.

1-x>0

【详解】函数/(')=有意义,等价于

ln(l-x)>0,

解得，x<0,故函数的定义域为(一甩0].

故选：A.

即时检测

1.(2023・广东珠海•模拟预测)函数〃x)=lg(2x-l)的定义域是(

111

A.—00,—B.—,+ooC.—00—D.—,+00

2222

5

【答案】B

【分析】根据真数大于0得到不等式，求出定义域.

【详解】令2x-l>0,解得x>L

2

故/（x）的定义域为

故选：B

2.（2024•青海海南・二模）函数〃x）=lg0Ox）的定义域为（）

A.（-Vio,Vio）B.（-oo,-Vio）u（Vio,+oo）

c.[-Vw,Vio]D.（-Vio,o）u（o,4o）

【答案】D

【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可.

【详解】•••函数/⑴=坨。”『）,

fl0-X2>0…LL

八，解得xe（-V10,0）口（0,710）.

[xw0

故选：D.

考点三、对数函数的图象与性质

中典例引领

1.（2024高三•全国•专题练习）已知函数①y=logax；②y=logbx；③>=logcx；④y=logdx的大致图象

如图所示，则下列不等关系正确的是（）

1①

I®^=log^

A.Q+C〈6+QB.〃+d<b+c

C.b+cVa+dD.b+dVa+c

【答案】A

【详解】

解析：由已知可得b>〃>l>d〉c,贝!J〃+6>a+c,b+d>a+c,故A正确，D错误；又a+d与b+c的大

小不确定，故B,C错误.故选A.

6

2.（2024・广东深圳•二模）已知a>0,且awl,则函数了=logJx+的图象一定经过（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

【答案】D

【分析】由函数y=bgjx+J过（o,T）点，分类可解.

【详解】当x=0时，y=log-=-l,

aa

故选：D

3.（2024•陕西渭南•二模）已知直线2冽x+肥一4=0（m>0,〃>0）过函数歹=log。（工一1）+2（。>0,且a）

的定点7,则2+9的最小值为.

mn

【答案】5+2指

【分析】先根据对数型函数的特点求得定点T坐标，代入直线方程得2机+〃=2,运用常值代换法即可求得

结论.

［详解］令x-l=l时，可得x=2,y=log/+2=2,

可知函数V=bg"（x-1）+2（。>0,且a*1）的图象恒过定点7（2,2）,

因为定点7（2,2）在直线2妹+"y-4=0上，

可得2加+〃=2,且加>0,〃〉0,

261(26।_n6mLe

贝nu！J—I——=———I——(2加+n)=5H-----1------>5+25+26,

mn2\mn)mn

7

当且仅当一=—，即"=〃m=6-2#时，等号成立,

mn

所以的最小值为5+2痛.

mn

故答案为：5+276.

即时检测

且QH1)

【解析】略

2.(2024・全国•模拟预测)若函数>=log,(x-2)+l(a>0,且aw1)的图象所过定点恰好在椭圆

—+—=l(m>0,»>0)上，则〃?+〃的最小值为.

mn

【答案】16

【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到机与"的等量关系,

再利用基本不等式即可求解.

【详解】由题意得，函数y=log.(x-2)+l(a>0,且。*1)的图象所过定点为(3,1),

91

则一+—=1,

即加=12,〃=4时等号成立.

故答案为：16.

8

考点四、对数函数的单调性

典例引领

1.(辽宁•高考真题)函数y=bg!(x2-5x+6)的单调减区间为()

2

A.^―,+B.(3,+co)C.(―S'j)D.(一00,2)

【答案】B

【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果.

【详解】由题意，x2-5x+6>0»解得：x>3或x<2,

即函数了=l°g।(x2-5x+6)的定义域为：(_g,2)口⑶+8),

2

因为函数y=l°g"-5x+6)由klogJ与/=/一5x+6复合而成,

22

外函数V=log"显然单调递减，

2

要求了=1。82(--5》+6)的单调减区间，只需f=/-5x+6单调递增,

2

又/=/一5尤+6是开口向上，对称轴为x的二次函数，

2

所以/=/一5%+6在％E(3,+OO)上单调递增，

即函数>=1。8工(--5》+6)的单调减区间为彳€(3,+功.

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二

次不等式解法，属于基础题型.

2.(2024•江苏南通•模拟预测)已知函数/(x)=ln3+2)在区间(1,2)上单调递减,则实数。的取值范围是()

A.a<0B.-lVa<0C.—1<。<0D.a2—1

【答案】B

fa<0

【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足c即可，从而可求出实数

[247+2>0

。的取值范围.

【详解】令t=ax+2,则了=lnf,

因为函数=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，

且了=1型在定义域内递增,

<7<0

所以解得-1W"O,

2«+2>0

9

故选：B

3.(2024•全国•高考真题)已知函数〃x)=1：26：a，xr)在R上单调递增，则。的取值范围是()

[e+ln(x+l),x>0

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为/(x)在R上单调递增，且x'O时，/(x)=e，+ln(x+l)单调递增，

-一^—>0

则需满足2x(-1),解得一IV040,

-a<e°+ta1

即。的范围是[TO].

故选：B.

4.(2024・北京•高考真题)已知(国,％),@2,%)是函数>=2工的图象上两个不同的点，贝U()

A.1唯乎〈乎B.1唯岩〉丁

C.log.必2%<*+x2D，嚏2'>龙+1工2

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设王<工2，因为函数>=2”是增函数，所以0<2''<2须，即0<%<%，

XX

71-L72I-------国+“2vI,,西+“2

对于选项AB：可得/+'>m2冷=22,即拉匹〉22>0,

22

Xi+x,

根据函数y=log2%是增函数，所以1艺2丛产>1咤22=2=土产，故B正确，A错误；

对于选项D：例如再=0,%2=1，则必=1,%=2,

可得即10g2&|匹<1=西+%，故D错误；

对于选项C：例如X]=-1/2=-2,则%=；,%=：,

可得log?”21=log?]=log?3-3e(-2,-1),即bg?胃2>.3=网+%，故C错误，

282

故选：B.

即时检测

■一

1.(23-24高三下•青海西宁•开学考试)已知函数〃x)=lg(/+G+l)在区间(-co,-2)上单调递减，则°的

取值范围为.

10

【答案】（-吟

【分析】将/（x）=lg（x2+ax+l）可看作由>=地","=/+办+1复合而成，根据复合函数的单调性，列出不

等式，即可求得答案.

【详解】设u=%2+CIX+1，则/（五）=怆卜2+。尤+1）可看作由夕=坨","=/+依+1复合而成，

由于，=1g”在（0,+8）上单调递增，

故要使得函数/（X）=1g+ax+1）在区间（-00,-2）上单调递减，

需满足u>0在区间（-叫-2）上恒成立，且"=/+如+1在区间（一叫一2）上单调递减，

-->-2解得乐,

故<,2

(-2)2+(-2)a+l>0

故。的取值范围为（-*》，

故答案为：（-00,3

2.（2022高三・全国•专题练习）函数〃x）=l°gj-2/+3X+2）的单调递减区间为.

5

【答案】U

【分析】求出函数的定义域，确定〃月=.（-2/+3》+2）由了=1叫〃,"=-2炉+3工+2复合而成，判断这

55

两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.

［详解】由题意知函数“X）=10§1（-2/+3x+2）,

5

令〃=—2x2+3x+2,贝II〃=—2x2+3x+2>0,<x<2,

2

则/（无）=log1（-2x2+3尤+2）即由y=logy,”=-2x2+3x+2复合而成，

55

由于丁=logy在（0,内）上单调递减，

5

故要求函数〃无）=10§i（-2X?+3x+2）的单调递减区间，

5

即求〃=-2/+3无+2,（-g<x<2）的单调递增区间，

3

而〃=—21+3X+2的对称轴为x=:，

4

则“=-2产+3》+2,（-；口<2）的单调递增区间为卜；,£|,

则函数〃x）=logJ-2/+3x+2）的单调递减区间为

11

j_3

故答案为:

254

是R上的单调递减函数，则实数.的

3.(23-24高三上・甘肃白银•阶段练习)已知/(%)=

取值范围为.

【答案】[14]

【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案.

3。—1<0

解得*<g.

【详解】由题意可得

(3<2-l)+2«>logal

1

故答案为：r—n।.

考点五、对数函数的值域与最值

典例引领

1.(山东•高考真题)函数〃x)=log2(3，+l)的值域为()

A.(0,+»)B.[0,+oo)C.(1,+℃)D.[1,+QO)

【答案】A

【分析】利用指数函数的性质求得3，+1>1,再由对数函数的性质可得结果.

【详解】

3*+1>1,

.•.1吗(3'+1)>0,

二函数/(x)的值域为(0,+00).

故选：A

【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题.

2.(22-23高三上•河北•阶段练习)已知函数〃x)=lg("2-6x+5)的值域为R,那么。的取值范围

是.

-

【答案】[-o9.j

【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数。是否为0进行分类讨论，即可求出。的取值范

围

【详解】解：由题意

在〃x)=lg(a/-6x+5)中，值域为R

12

当a=0时，/(x)=1g(—6x+5),

二-6x+5>0解得：x<-

6

当Qw0时，/(x)=lg(QX2—6X+5)

9

综上，0<d!<—

-9-

故答案为：［o,-.

3.（23-24高一下•上海闵行,阶段练习）函数vT°gl（x+2）-Y，龙目2,6］的最大值为

2

【答案】-6

【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案.

【详解】由题意，知”--在［2,6］上单调递减，尸1（^（》+2）在［2,6］上单调递减，

故〉=嗅！（》+2）--在［2,6］上单调递减，

2

则当X=2时该函数取到最大值10§1（2+2）-22=-6,

2

故答案为：-6

即时检测

I_______________________

1.（2024高三・全国•专题练习）函数/卜）=111.*+员工€［1,6］的值域为.

【答案】［Le+l］

【分析】

利用函数的单调性可求函数的值域.

【详解】函数〃尤）=ln尤+尤,xe［l,e］为增函数，故其值域为+.

故答案为：+

2.（2023高一•全国,课后作业）函数了=皿//-6苫+17）的值域是.

2

【答案】（7,-3］

【分析】利用换元法，令/=/一6x+17,贝=然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域

2

即可

【详解】令广卡-6x+17,贝曙=l°gJ,

2

因为，=/-6》+17=（x-3）2+8与8,

13

所以/=/一6尤+17的值域为[8,+8),

因为〉=log/在电+M是减函数，

2

所以》=呵心愿8=-3,

22

所以y=log.(/-6x+17)的值域为(一叫_刃，

2

故答案为：(-咫-3]

3.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=log/(lVxV4),则函数g(x)=[1+/(勾了+/(巧的值域

为.

【答案】[1,6]

【分析】求出函数g(尤)的定义域，进而求出log2》的范围，利用换元法结合二次函数求函数的值域.

【详解】因为己知函数/(x)=bg2X的定义域为[1,4]

Fl.g(x)=[l+/(x)]2+/(x2),定义域需满足:《nl'xW2,

可得0WlogzXWl,

令=f,则/卜2)=题2X2=21og2x=2?,

则〉=(1+02+2f=»+41+l,fe[0,l],

又因为＞=产+4/+1的图象开口向上，对称轴为f=-2,

可知了=»+4/+1在[0』内单调递增，

当/=0时，y=1；当f=l时，y=6；

可知函数g(尤)的值域为[1,6].

故答案为：[1,6].

考点六、对数函数中奇偶性的应用

典例引领

1.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=log2(,x2+a-x)是奇函数,则。=.

【答案】1

【分析】先求出函数的定义域，然后由奇函数的性质得〃0)=0可求出

【详解】由Jl+a-x＞0,得。＞0,

所以函数〃x)的定义域为R,

因为/(x)为奇函数，

14

所以/(O)=log2a=0,解得a=l,

故答案为：1

2.(23-24高一上•安徽阜阳・期末)若函数/(xbMe,-ef+Hlnk+A/TTIj+l(%，〃为常数)在［1,3］上

有最大值7,则函数/(无)在卜3,-1］上()

A.有最小值-5B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值-7

【答案】A

【分析】先分析函数8(月=比卜£-b)+〃山卜+7?石)的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出g(x)

在［-3,-1］上的最小值，由此可知结果.

［详解］设g(x)=/(x)-1=机(e*-b)+"In(x+Vx2+1j,

因为77石〉疗=忖，所以x+G7T>0恒成立，所以g(x)的定义域为R且关于原点对称，

又g(—x)=加卜一*一1)+〃111(T+心2+］)=一加©*—6一%卜〃ln『---

=-m{cx-)+nIn(x+Vr2+1jj=-g《)，

所以g(x)是奇函数，

因为/(x)在［1,3］上有最大值7,所以g(x)在［1,3］上有最大值为6,

所以g(x)在上有最小值—6,所以/⑴在上有最小值—5.

故选：A.

3.(2024•江苏泰州•模拟预测)已知函数/'(x)=log2［"W］+b，若函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，

则log，=()

11

A.-3B.-2C.—D.—

23

【答案】c

【分析】方法一：由题意，推出/'(x+1)是奇函数，根据定义域的对称性依次求得凡6的值，即可求得log/；

］—4。］—4。

方法二：直接利用/(x)+〃2-x)=0,将其化成26+log?［/+不二亍+而司］=0,再由等式恒成立得到

1-4。=0,继而求得log/.

【详解】方法一：依题意将函数/(x)的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即

/(x+l)=log2^--^-^+Z)是奇函数，

因奇函数的定义域关于原点对称，而x=-2,时函数/(x+1)无意义，故x=2时J(x+l)也无意义，

15

即。—=0,解得a=—

44

y一，

此时/卜+1)=1。823-2+，为奇函数，贝U

丫2Y।2

/(x+1)+f(-x+1)=log--------2+6+log---------2+6=26-4=0

2x+22x—2

解得b=2,故log/=log12=一'.

42

故选：C.

方法二：依题意f(x)+〃2-x)=0恒成立，代入得

x

/(■)+/(2-x)=2Z?+log2fa-—^-'j+logjfa-^=0

化简得,26+log21a2------------------)]=Q

3—xx+1(3-x)(x+l)'

2a3—x+x+1

整理得:2&+log2[(2-------)]=0

「3-xx+\4(3-x)(x+l)

7[21—4Q1—4Q

即劝+1的r。+不行+即]=0(*),

依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使……，则得

回代(*)可得，26-4=0,即6=2,故log/=-；.

故选：C.

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I________L__________

1.(22-23高二下•江西上饶•阶段练习)已知函数/(x)=x3-ln(VZIl-x)+3,xe[-2023,2023]的最大值为

M,最小值为〃?，则可+加=.

【答案】6

【分析】

构造g(X)=/(尤)-3,定义判断奇偶性，利用对称性有g(X)max+g(X)11m=。，即可求结果.

【详解】令g(x)=/(x)-3=d-In(GTT-x),且xeR,

g(x)=(-x)3-ln[^/(-x)2+1-(-x)]=-x3-ln(&+1+x)=-x3+ln(J+1-x)=-g(x)，

所以g(x)为奇函数，且在xe[-2023,2023]上连续，

根据奇函数的对称性：g(x)在xe[-2023,2023]上的最大、最小值关于原点对称，

贝11gCOmax+gOOmin="一3+加一3=°,故"+=6.

故答案为：6

16

2.（2024•宁夏银川•二模）若〃x）=lna+J—+6是奇函数，贝同=.

【答案】ln2

【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到。+1匚/0,即可求出。的值，求出函数的定义域，再

1-X

由奇函数的性质［（0）=0,求出b的值，即可得到结果.

【详解】因为〃尤）=历“+1!一+6是奇函数，

1-X

・•・/（X）定义域关于原点对称，

由〃+」一w0,可得—〃一办+1）w0,

1-x

所以XW1且xw3，

a

所以"1=一1,解得“=二，

a2

所以函数的定义域为（-

则/（0）=0,即/（0）=ln_g+l+6=0,解得b=ln2,

止匕时/（无）=In-—H——1-In2=In,

21—x1—x

/(-x)=ln=-ln=-/(x)符合题意,

所以6=ln2.

故答案为：In2.

考点七、对数函数值的大小比较（含构造函数比较大小）

典例引领

03

1.（2024・天津•高考真题）若a=4.2』3,b=4.2,c=lo&20.2,贝（］。，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.

【详解】因为y=4.2，在R上递增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.233<4.2°<4.2°-3,

所以0<4.2«3<1<4.2°3,即0<。<1<6,

因为y=log4,2X在（0,+oo）上递增，且0<0.2<1,

所以logqzOZ<log4.21=。，即c<0,

17

所以b>4>c,

故选：B

2.(2022・天津•高考真题)已知Q=2°7,6=1)，。=1。82§，则()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

【分析】利用幕函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出。、6、。的大小关系.

【详解】因为2°，>［；)>0=log21>log21,故a〉6〉c.

故答案为：C.

3.(2022・全国•高考真题)设。=0.1e°",6=g,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定。,仇C的大小.

【详解】方法一：构造法

1y

设/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为/(x)=:——1=-丹，

1+X1+X

当了£(一1,0)时，f\x)>0,当X£(0,+oo)时/'(x)<0,

所以函数"X)=ln(l+%)-X在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/(g)</(0)=0,所以111?一3<0,故g>lng=-ln0.9,即6>c,

所以/(—而)</(0)=0，所以In仿+正<0,故所以自6。<:，

故Q<6，

设g(x)=xe*+ln(l-x)(0<x<l),贝I]g，Q)=(了+1)~+'

令〃(尤)=e*(f-1)+1,h\x)=e'(f+2尤-1),

当0<x<夜-1时,力)<0,函数〃(x)=e*(f-1)+1单调递减，

当1<X<1时,〃(乃>0,函数〃(x)=e，(f-1)+1单调递增，

又〃(0)=0,

所以当0<x〈行一1时，"(x)<0,

所以当0<x〈收-1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe*+ln(l-x)单调递增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°,>一山0.9,所以a>c

故选：C.

方法二：比较法

18

解：a=0.1e°/，b=——,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

g)lntz-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令fW=x+ln(l-x),xe(0,0.1],

1—y

则=-=--<0,

l-x1-X

故/(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-ln&<o,所以a<b：

(2)a-c=O.le01+ln(l-0.1),

令g(x)=xex+ln(l-x),xe(0,0.1],

।/、1(1+%)(1—%)e"—1

则ng\x}=xex+ex—-—=——△——』----,

')l-xl-x

令k(x)=(1+x)(l-x)ex-1,所以k\x)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得左(%)>左(0)>0,即gr(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(0.1)〉g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

4.(2021•全国•高考真题)设a=21nl.01,6=lnl.O2,C=VLO4-1.贝(J()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于。与c,6与c的大小关系,

将0.01换成x,分别构造函数/(x)=2In(1+尤)-Vl+4x+l,g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+1,禾!J用导数分析其在

0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合XO)=O,g(O)=O即可得出。与c,b与c的大小关系.

【详解】［方法一］:

a=21nl.01=In1.012=ln(l+0.01)2=In(1+2x0.01+0.Ol2)>Ini.02=6,

所以，<“；

下面比较c与。,6的大小关系.

+4x—1—x

，己/(尤)=21n(l+尤)-Jl+4x+l,贝i]/(O)=O,/7x)=———^―=-;_____

1+xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+x『=2X-X2=x(2-x)

所以当0a<2时，1+4X—(1+X)2〉0,即Jl+4x>(l+x),/可%)〉0,

所以〃力在［0,2］上单调递增,

所以/(0.01)>/(0)=0,BP21nl.01>VT04-b即a>c；

2A/1+4x—1—2.

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,则g(O)=。,g'(x)=--------,

l+2xJ1+4尤(1+x)Jl+4x

19

由于1+4X—(1+2X『=—4X2,在x>0时，1+4X-(1+2X)12<0,

所以g'(x)<0,即函数g(x)在［0,+8)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0,即lnl.02<Vf丽-1，即从C

综上，b<c<a,

故选：B.

［方法二］: