概率与统计-2025年高考数学冲刺大题专项练习（解析版）

专题04五类概率与统计题型

2025年高考数学大题秒杀技巧及专项练习（解析版）

概率与统计问题一般分为五类：

类型1：独立性检验问题；

类型2：线性回归及非线性回归问题；

类型3：超几何分布问题；

类型4：二项分布问题

类型5：正态分布问题。

下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.

类型1：独立性检验问题

1.分层抽样

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一

定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。分层抽

样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的。

注：①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进

行计算.

样本容量各层样本数量

③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=16涯=薨"屋”

2.频率分布直方图

（1）频率、频数、样本容量的计算方法

…频率

①组距=频率.

②晨频黄数量=频率,频泰数=样本容量，样本容量X频率=频数.

③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1.

3.频率分布直方图中数字特征的计算

（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.设中位数为无，利用x左（右）侧

矩形面积之和等于Q5,即可求出x.

（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以

小长方形底边中点的横坐标之和，即有X=XP1+玉门+…+x,p"，其中X0为每个小长方形底

边的中点，P.为每个小长方形的面积.

4.独立性检验

（1）定义：利用独立性假设、随机变量片来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关

系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.

(2)公式：K2=----------Mad-bcf------,其中〃=.+人+^+4为样本容量.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

（3）独立性检验的具体步骤如下:

2

①计算随机变量K的观测值k,查下表确定临界值k0：

P。0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

②如果上2%,就推断“x与y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过?（片2%）；否则,

就认为在犯错误的概率不超过p（K2>%）的前提下不能推断“x与y有关系”.

独立性检验问题专项训练

1.为提升学生实践能力和创新能力，某校在高一，高二年级开设“航空模型制作"选修课程.为

考察课程开设情况，学校从两个年级选修该课程的学生中各随机抽取20名同学分别制作一

件航空模型.并根据每位同学作品得分绘制了如图所示的茎叶图.若作品得分不低于80,

评定为“优良”，否则评定为“非优良

高一同学作品高二同学作品

8832657

965432210713879

9622182345677899

539078

⑴请完成下面的2x2列联表;

优良非优良合计

高一

高二

合计

（2）判断是否有90%的把握认为作品是否“优良”与制作者所处年级有关?

n^ad-bc)~

附:K2=n=a+bJi-c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)0+d)

P(K2>k)0.1500.1000.0100.001

k2.0722.7066.63510.828

【答案】（1）答案见解析；

（2）有90%的把握认为作品是否“优良”与制作者所处年级有关.

【分析】（1）根据茎叶图完成列联表即可;

（2）求出K2,再对照临界值表即可得出结论.

【详解】（1）由茎叶图可知高一优良的有7个，非优良的有13个,

高二优良的有13个，非优良的有7个,

完成的2x2列联表如下:

优良非优良合计

高一71320

高二13720

合计202040

⑵••y_40(7x7-13x13)2

=3.6>2.706

-20x20x20x20

有90%的把握认为作品是否“优良”与制作者所处年级有关.

2.4月15日是全民国家安全教育日.以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.

只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础，作为知识群体的青年

学生，是强国富民的中坚力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随

机抽取了600名学生，发放调查问卷600份（答卷卷面满分100分）.回收有效答卷560份，

其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答

卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间.同时根据560份有效答卷的分数，绘制了

如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中机的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数和平均数〃（同一

组数据用该组中点值代替）.

（2）如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根

据上述数据，完成下面2x2列联表，并判断能否有95%的把握认为学生性别与国家安全知

识敏感度有关.

八频率/组距

高敏感低敏感总计

男生80

女生80

总计560

附：独立性检验临界值表

2

p(K>k0)0.10.050.010.0050.001

K22.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be?

公式：K~=其中n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(6+d)

【答案】(l)s=0.02,中位数62,平均数60.2

⑵列联表见解析，有

【详解】(1)因为10^=1—10*(0.003+2x0.006+0.009+2x0.012+2x0.016),

所以机=0.02.

又10(0.003+0.006+0.009+0.012+0.016)=0.46<0.5,

故设中位数为x,贝l](x-60)x0.02=0.5-0.46=0.04,所以x=62.

平均数"=0.03x15+0.06x25+0.09x35+0.12x45+0.16x55+0.20x65

+0.16x75+0.12x85+0.06x95=60.2.

(2)由题意可得列联表如下:

高敏感低敏感总计

男生80160240

女生80240320

总计160400560

,560(80x240—80x160)214

K-=—----------匚=—®4.667>3,841,

160x400x240x3203

故有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关.

3.某学生兴趣小组随机调查了某市200天中每天的空气质量等级和当天到江滨公园锻炼的

人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]

1（优）122044

2（良）151930

3（轻度污染）161614

4（中度污染）752

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；并求一天中到该公园锻炼的平

均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或

4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判

断是否有99.9%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次V400人次＞4。0

空气质量好

空气质量不好

附：K=_______"(C)2_______.

(〃+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

【答案】(1)0.38,0.32,0.23,0.07,340

(2)列联表见解析，有

【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为12匕+20需+^44=0.38,

等级为2的概率为"+靠30=。32,等级为3的概率为应］『=0.23,

等级为4的概率为=0.07,

由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为

100x50+300x60+500x900八

------------------------------------=340.

200

（2）2x2列联表如下:

人次V400人次＞400

空气质量好6674

空气质量不好4416

/_200x(66x16-74x44y

,110x90x140x60»11.640>10.828,

因此，有99.9%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

4.某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综

合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，并按学生成绩是否高于75分(满分

100分)及周平均阅读时间是否少于10小时，将调查结果整理成列联表.现统计出成绩不低

于75分的样本占样本总数的30%,周平均阅读时间少于10小时的人数占样本总数的一半，

而不低于75分且周平均阅读时间不少于10小时的样本有100人.

周平均阅读时间少于10小时周平均阅读时间不少于10小时合计

75分以下S

不低于75分t100

合计500

(1)根据所给数据，求出表格中s和f的值，并分析能否有99.9%以上的把握认为语文成绩与

阅读时间是否有关；

(2)先从成绩不低于75分的样本中按周平均阅读时间是否少于10小时分层抽样抽取9人进

一步做问卷调查，然后从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记抽取3人中周平均阅读时间

不少于10小时的人数为X,求X的分布列与均值.

2

,2_n(ad-bc),,

“石公八”"如：A-g+6)(c+d)(a+c)修+/),'.

a0.010.0050.001

%6.6357.87910.828

【答案】(l)s=150j=50,有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关

(2)分布列见解析，数学期望为2

【详解】(1)根据已知条件，列联表如下：

周平均阅读时间少于10小时周平均阅读时间不少于10小时合计

75分以下200150350

不低于75分50100150

合计250250500

500x(200x100-150x50)2

所以s=150j=50,由表知力2=»23.8>10,828,

-350x150x250x250-

所以有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关.

（2）依题意，成绩不低于75分的学生中周平均阅读时间少于10小时和不少于10小时的人

数比是1:2,

按分层抽样抽取9人，则周平均阅读时间少于10小时有3人，不少于10小时的有6人，

从这9人中再随机抽取3人进行访谈，则X可能的取值为0」,2,3,

尸（X=。嚏悬尸（XT=害小尸（X=2）=警度,尸（X=3吟4

分布列如下:

X0123

13155

P

84142821

315S

.•.石(X)=lx—+2x——+3x——=2.

v7142821

5.一个航空航天的兴趣小组，对500名男生和500名女生关于航空航天是否感兴趣的话题

进行统计，情况如下表所示.

男生女生

感兴趣380220

不感兴趣120280

P(.K2>k^0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)~

附：K2=n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

⑴是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联?

⑵一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，左边有2艘“Q2

运输船”和1艘“Ml转移塔”，右边有3艘“Ml转移塔”.假设两艘飞行器模型间的“交会对接'

重复了n次，记左边剩余2艘“Q2运输船”的概率为匕，剩余1艘“Q2运输船”的概率为为，

求2P“+纵与2pi+q,?的递推关系式;

⑶在（2）情况下，求X”的分布列与数学期望E（X“）.

【答案】（1）有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联

(2)2pn+qn-l=；(2Pi+%_i-1)

（3）分布列见解析,E（Xj=l+I，nGN*

[详解](1)解：K?；1000X(380X280-120x220)。

»106.67>10.828

500x500x600x400

...有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联.

「、C；C；1C；C；2

⑵月=/［曰=3，%=/「内"=3'

C：C；C；C；“、127

P2=C,弓.”+4.3,名+»（1一口一名）=1口+§/=万，

11

_c；c；c一；c；c；7c1^；1]4+旨C.C才(1一口_5)=_§11216

%=k•曰/+k+H—=---

c[-c[c['c[327

C：1C；1C1C112

当〃22时"〃二才，^，〃〃_1+才，4，/_1+。，(1一〃〃_1一%—1)=3，〃_1+§/_1，①

C；C\(C；C；C；Cr；C；C；1+|,②

T(

%=kkPi+l7.刀+为方K'Qn-l+厘,式'(1一2T~Q„-l)=~gln-l

’3C’3K-xnV-xn7

24121/c、2

2x①+②，得2P〃+%==§(2P〃T+/T)+§.

从而2Pn+%-1=g(2p〃-i+91-1).

(3)由(2)得2四+%-1=；,2P“+%-l=g(2pi+q,T_l),。数列｛24+%-1｝是首项

n-l

为g,公比为;的等比数列，.•.2p〃+/-l=gxII，即2p〃+/=l+g,〃$N*③,

3133、1则数列卜-胃3是首项为9公比为4

联立②③得为-M，--

5155

的等比数列,

H—1

13111

由③得〃

:q=­X+-,neN,pn=2X+y~qn+—x+—,£N*

n15yI235

,31,

/]-%一%=_x1x+—,nGN

II5

X”的概率分布列为:

X”012

PQnPn

贝阳X“)=0x(l-p“—q“)+lxq“+2xp“=l+(j，n&N*.

类型2：线性回归及非线性回归问题

①线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法.

对于一组具有线性相关关系的数据（XI，9）,（孙y2），…，（x〃，%），其回归方程>=加+。

的求法为

n__n__

£（%一^）（y,-y）£-nxy

b=-^—^----------二弓---------

£（%「X）2Nx；_nx2

i=li=l

a=y-bx

其中，x=-tXi,y=-tyi,（x,y）称为样本点的中心.

n,=in,=1

②非线性回归

建立非线性回归模型的基本步骤

（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；

（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性

关系）；

（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比

例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幕函数模型等）；

（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；

（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；

（6）消去新元，得到非线性回归方程；

（7）得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否

合适等.

线性回归及非线性回归问题专项训练

6.某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益.该公司统计了今年以来这款

文创产品定价x（单位：元）与销量y（单位：万件）的数据如下表所示：

产品定价X（单位：元）99.51010.511

销量y（单位：万件）1110865

(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并

加以说明(计算结果精确到o.oi)；

(2)建立y关于X的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件.

£(%-元)(%-了)-.

参考公式：r=IJ.、=J-----------,a=y-bx,

\归a-可2(％-寸Z(—y

V/=1i=iZ=1

参考数据：765«8.06.

【答案】(l)r。-0.99,说明》与x的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合y与尤的关

系

(2)12.8万件

【详解】(1)由题条件得了=((9+9.5+10+10.5+11)=10,

y=1(ll+10+8+6+5)=8.

5

Z(%-元)(%-刃=(9-10)(11-8)+(9.5-10)(10-8)+(10-10)(8-8)

i=l

+(10.5-10)(6-8)+(11-10)(5-8)=-8,

5

Z(%—元)2=(9—10)2+(9.5—10)2+(10—10)2+(10.5—10)2+(11—10)2=2.5,

i=l

5

2(%—9)2=(11—8)2+(10—8)2+(8—8)2+(6-8)2+(5—8)2=26

i=l

£(乙-丁)(》-田_8

:.r=।t=-=»-0.99

Vi=l4=1

・••y与X的相关系数近似为-0.99,说明y与X的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型

拟合y与尤的关系.

„—(%-歹)_8

(2)'：b=~―----------=——=-3.2,6=9+3.2元=40,

Z(%F25

Z=1

•••y关于无的线性回归方程为y=-3.2x+40.

当x=8.5时，9=12.8.

当产品定价为8.5元时，预测销量可达到12.8万件.

7.2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强

了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升,

极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1〜4月份接

到的订单数量.

月份r1234

订单数量y(万件)5.25.35.75.8

附：相关系数，「1”

2z

E(x;-x)E(y..-y)

Vi=lVz=l

回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

.1(%-5)(％-了)八

b=-----------，a=y-bx,A/L3»1.14.

之(否-月2

;=1

⑴试根据样本相关系数厂的值判断订单数量y与月份，的线性相关性强弱(0.75V|r|Wl,则

认为〉与/的线性相关性较强，"K0.75,则认为y与f的线性相关性较弱).(结果保留两位

小数)

(2)建立y关于/的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.

【答案】(1)0.96,订单数量y与月份f的线性相关性较强

⑵y=0.22/+4.95,6.05万件

_12+3+41

【详解】(1)T=--+---------=2.5,y=—(5.2+5.3+5.7+5.8)=5.5,

44

4

Z4—fXx—歹)=(-1.5)X(-0.3)+(-0.5)X(—0.2)+0.5X0.2+1.5X0.3=1.1,

i=l

4

Eg-T)2=(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52=5,

Z=1

4

2

Z(y,-y)=(-0.3)2+(-0.2)2+0.2?+0.3?=026,

1=1

-『）（％-9）

1.11.1

i=l=—；---x----X0.96>0.75

l-44#31.14

JE（^-O2E（x-y）2

Vi=li=l

订单数量y与月份/的线性相关性较强;

4

26-亍)(%-9)11

(2)"=J------------=—=0.22,

£(4-TP

4=1

4=7-行=5.5-0.22x2.5=4.95,

，线性回归方程为y=0.22?+4.95,

令f=5,y=0.22x5+4.95=6.05（万件），

即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.

8.据统计，某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元）与某类商品

销售额（单位：亿元）的10年数据如下表所示：

第〃年12345678910

居民年收入X32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0

商品销售额y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

依据表格数据,得到一F面一些统计:量的值.

1010

i=l2Z=1

（茗一元）0

10v1）

i=\Z=1

379.6391247.624568.9m

（1）根据表中数据，得到样本相关系数3095.以此推断，y与x的线性相关程度是否很强？

（2）根据统计量的值与样本相关系数”0.95,建立y关于龙的经验回归方程（系数精确到0.01）；

⑶根据（2）的经验回归方程，计算第1个样本点（32225.0）对应的残差（精确到0.01）；

并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，另的值将变大还是变小？（不必说明理由，直接

判断即可）.

附:样本（%,y）G=1,2,…㈤的相关系数

V2.297«1.516,b--l“,d=y-bx.

£（x厂可2

i=l

【答案】（1）线性相关程度很强

（2）y=1.44^-15.56

（3）-5.81,变小

【详解】⑴根据样本相关系数“0.95,可以推断线性相关程度很强.

£（乙-丁）（》-9）

⑵由r,p------------血95及g-----------------,

丁）2

1=1

r少H行彳

所以2="2.297a0.95x1.516"440,

又因为元=37.96,歹=39.1,

所以&=7一57。一15.56,

所以>与无的线性回归方程9=L44xT5.56.

(3)第一个样本点(32.2,25.0)的残差为：25.0-(1.44x32.2-15.56)=-5.808。-5.81,

由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，方的值将变小.

9.数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市

场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模(单位：十亿元)，其中年份

2018—2022对应的代码分别为1—5.

年份代码X12345

车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0

(1)由上表数据知，可用指数函数模型y=a•"拟合y与X的关系，请建立y关于X的回归方

程(a,b的值精确到0.1)；

(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y

关于x的回归方程后，通过修正，把尻1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，

请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐

市场规模.

参考数据:

5

60.52460.472

V

i=l

1.9433.821.71.6

[5

其中匕=Iny,v=-^v;.

3i=l

参考公式：对于一组数据(%,匕),(“2#2卜-，(4，匕)，其回归直线£=&+/"的斜率和截距的

Zuivi-nU'V

最小二乘法估计公式分别为B=............-a=v-.

2-2

/a；-nu

Z=1

【答案】(1)9=1.7x16

(2)28.73十亿元

【详解】⑴解：因为

所以两边同时取常用对数，得lny=lna+xln6,

设v=Iny,

所以v=lna+xlnb,设cr=lna,£=ln6,

因为元=3了=1.94,

E^-5J-F

33.82—5x3x1.94

所以£二上S--------------=0.472,

~55-5>3?

—5元2

z=l

(z=V-冰=1.94-0.472*3=0.524,

所以In&=0.524,InB=0.472

所以&=e24=i.7,g=e0472=1.6

所以5=1.7x16

(2)由(1)知2023年与2024年这两年的年平均增长率1.6-1.3=0.3,

2022年中国车载音乐市场规模为17,

故预测2024年的中国车载音乐市场规模17(1+0.3)2=28.73(十亿元).

10.某新能源汽车公司对其产品研发投资额无(单位：百万元)与其月销售量y(单位：千

辆)的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.

X12345

y0.691.611.792.082.20

月销售量外

2.50-

2.00-.

1.50-,

1.00-

0.50-•

O1234S产品研发投资额士

(1)通过分析散点图的特征后，计划用y=In(云+。)作为月销售量>关于产品研发投资额x

的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出了关于x的回归方程；

(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以

往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量4的分布列为：

己345

1

PP

2p+7

结合回归方程和&的分布列，试问公司的决策是否合理.

刘尤^x^t-nx-y_

参考公式及参考数据：务=J————=%------,令=7-版，批7。1.95.

刃尤厂尤）-心；一版

i=li=l

y0.691.611.792.082.20

e）.（保留整数）25689

【答案】（l）S=ln（L7x+0.9）；

（2）公司的决策合理.

【详解】（1）因为y=ln0x+。），令z=bx+a,所以z=eL

由题可得元=g(l+2+3+4+5)=3,z=|(2+5+6+8+9)=6,

5

-5x-z

107-5x3x617

贝力二口---------17a=z-%x=6-1.7x3=0.9,

--，

£片一5元255-5x910.

;=1

所以2=1.7%+0.9,所以回归方程为y=ln(1.7x+0.9).

2x49

(2)当％=11时,y=ln(1.7xll+0.9)=lnl9.6=ln—=ln2+21n7-ln5=2.98.

311

因为7P2+P+P+：=l且0v〃vl,所以P=z，

2o3

所以E(X)=3x：+4x；+5xg号>2.98,

所以公司的决策合理.

类型3：超几何分布问题

超几何分布

（1）在含有〃件次品的N件产品中，任取"件，其中恰有X件次品，则事件{X=以发生

的概率为P（x=k）=M,左=0,1,2,…，机，其中m=min{M,〃},且〃4N,A/4N,

CN

n,M,NeN*,称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,

则称随机变量X服从超几何分布.

X01m

「0「〃一0「〃一1

P

11

超几何分布和二项分布的区别

(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

(2)超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；

而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

超几何分布专项训练

11.某校举行“强基计划”数学核心素养测评竞赛，竞赛以抽盲盒答题的形式进行，现有甲、

乙两个盲盒箱，甲中有4个选择题和2个填空题，乙中有3个选择题和3个填空题，竞赛可

以以不同的方式进行.

(1)若已知A班选择了甲箱，且派出5人参赛，每个人盲抽一个题作答，答完后仍放回甲箱.

每个人答对选择题的概率为=,答对得3分，答错得0分，每个人答对填空题的概率为：，

答对得5分，答错得0分，求A班总得分X的数学期望.

(2)若已知A班班长先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，

然后2班班长再从乙箱中抽取一道题目，已知3班班长从乙箱中抽取的是选择题，求A班

班长从甲箱中取出的是两道选择题的概率.

【答案】⑴2爷35

lo

⑵9

13

42

【详解】(1)A班在甲箱抽取时，每个人抽到选择题的概率为》=彳，抽到填空题的概率为

o3

泊21，.二每个人得分的平均值=2qx3Jx3+1：x2[x5=4S7,

63343318

A班得分的数学期望=4白7'5=2335；

lolo

(2)设A班班长抽取0道、1道、2道选择题的事件为4,4,4,B班班长抽到的是选择题

的事件为用，

则尸(4)=尸(44)+尸(4旦)+尸(&耳六事+普1+言]4,

则可钟尸*1号*.

12.乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求.某镇在旅

游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的

乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表:

民宿点甲乙丙T戊己庚辛

普通型民宿16812141318920

品质型民宿6164101110912

⑴从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下,

求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；

⑵从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数,

求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴g

【详解】(1)由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型

民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家.

记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件A,“这3家的品质型民宿的房间均不

低于10间”为事件B,贝U尸(A)=||=：,p(AB)=标=：,

所以。(而入)=错M.

(2)这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，故X的所有可能取值为

0,123.

P(x=o)=等30_3

而一7

尸”=2)=萼=卷=，尸陋=3)=等1

7014

所以X的分布列如下表:

13.已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7

人、6人、2人.

(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率.

（2）现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了

多轮测试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为

“优秀”.已知在某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为乙同

学每个动作达到“优秀”的概率均为。，且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试

结果互不影响.记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期

望.

【答案】（1）苗

（2）分布列见解析；期望为£

54

C2C11?

【详解】（1）设事件A为“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”，则有尸（A）=簧工=百

C]533

（2）设甲同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为匕则有丫〜

设乙同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Z,则有Z~；

所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率

P(Y>2)=p(y=2)+尸(y=3)=c；

乙同学在一轮测试结果为优秀的概率

P(Z2"(Z=2)+P(Z=3)=唬1]

由题意，得X可取0,1,2；

7寸412010

P(X=2)=—x——=—

'722727

所以X的分布列为:

X012

710

P

54227

因此X的数学期望E（X）=0x：+lxg+2x*\.

14.为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自

2018年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该村少

年儿童的年借阅量的数据统计:

年份20182019202020212022

年份代码X12345

年借阅量y（册）%%3692142

（参考数据：EX=290）

Z=1

⑴在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为X,求X的分布列和

数学期望E（X）；

⑵通过分析散点图的特征后，计划分别用①y=35x-47和②+加两种模型作为年借

阅量》关于年份代码x的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型②的经验回归方程,

并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.

【答案】⑴分布列见解析，£（X）=|

（2）y=5x2+3；模型②的拟合效果更好

【详解】（1）由题知,5年的借阅量的平均数为：甘=58,又%+%=290-36-92-142=20,

则%，%<58

*乂=左）=隼二优=0』，2）,

所以低于平均值的有3个，所以X服从超几何分布,

「2

6I3，P(X=2)=罟c2C°3

所以P(x=o)=,p(x=l)==

10I'cf1010'

所以X的分布列为:

X012

133

10510

所以E(X)=0xLlx』+2xa=g

v'105105

1=1

⑵因为a+2〉+3)+42+52*290

--------------------=11,-----=----=Do

555

所以58=5x11+〃?，即m=3.

所以模型②的经验回归方程为：5=5f+3

根据模型①的经验回归方程可得：戈=T2,%=23,%=58,%=93,%=128

根据模型②的经验回归方程可得：%=8,%=23,%=48,%=83,%=128

因为

22222

［（%+12『+（y2-23）+（36-58）2+^92_93）+（142-128）］一［（%-8『+（%-23）+（36-48）+（92-83）+（142-

=（%+12）2-（%_8）2+22?_122+12―=40%+340,且