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文档简介
专题04五类概率与统计题型
2025年高考数学大题秒杀技巧及专项练习(解析版)
概率与统计问题一般分为五类:
类型1:独立性检验问题;
类型2:线性回归及非线性回归问题;
类型3:超几何分布问题;
类型4:二项分布问题
类型5:正态分布问题。
下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.
类型1:独立性检验问题
1.分层抽样
一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一
定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样。分层抽
样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的。
注:①求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.
②已知某层个体数量,求总体容量或反之求解:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进
行计算.
样本容量各层样本数量
③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解,其中“抽样比=16涯=薨"屋”
2.频率分布直方图
(1)频率、频数、样本容量的计算方法
…频率
①组距=频率.
②晨频黄数量=频率,频泰数=样本容量,样本容量X频率=频数.
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1.
3.频率分布直方图中数字特征的计算
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.设中位数为无,利用x左(右)侧
矩形面积之和等于Q5,即可求出x.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以
小长方形底边中点的横坐标之和,即有X=XP1+玉门+…+x,p",其中X0为每个小长方形底
边的中点,P.为每个小长方形的面积.
4.独立性检验
(1)定义:利用独立性假设、随机变量片来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关
系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
(2)公式:K2=----------Mad-bcf------,其中〃=.+人+^+4为样本容量.
(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)
(3)独立性检验的具体步骤如下:
2
①计算随机变量K的观测值k,查下表确定临界值k0:
P。0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
②如果上2%,就推断“x与y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过?(片2%);否则,
就认为在犯错误的概率不超过p(K2>%)的前提下不能推断“x与y有关系”.
独立性检验问题专项训练
1.为提升学生实践能力和创新能力,某校在高一,高二年级开设“航空模型制作"选修课程.为
考察课程开设情况,学校从两个年级选修该课程的学生中各随机抽取20名同学分别制作一
件航空模型.并根据每位同学作品得分绘制了如图所示的茎叶图.若作品得分不低于80,
评定为“优良”,否则评定为“非优良
高一同学作品高二同学作品
8832657
965432210713879
9622182345677899
539078
⑴请完成下面的2x2列联表;
优良非优良合计
高一
高二
合计
(2)判断是否有90%的把握认为作品是否“优良”与制作者所处年级有关?
n^ad-bc)~
附:K2=n=a+bJi-c+d.
(a+6)(c+d)(a+c)0+d)
P(K2>k)0.1500.1000.0100.001
k2.0722.7066.63510.828
【答案】(1)答案见解析;
(2)有90%的把握认为作品是否“优良”与制作者所处年级有关.
【分析】(1)根据茎叶图完成列联表即可;
(2)求出K2,再对照临界值表即可得出结论.
【详解】(1)由茎叶图可知高一优良的有7个,非优良的有13个,
高二优良的有13个,非优良的有7个,
完成的2x2列联表如下:
优良非优良合计
高一71320
高二13720
合计202040
⑵••y_40(7x7-13x13)2
=3.6>2.706
-20x20x20x20
有90%的把握认为作品是否“优良”与制作者所处年级有关.
2.4月15日是全民国家安全教育日.以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.
只有人人参与,人人负责,国家安全才能真正获得巨大的人民性基础,作为知识群体的青年
学生,是强国富民的中坚力量,他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随
机抽取了600名学生,发放调查问卷600份(答卷卷面满分100分).回收有效答卷560份,
其中男生答卷240份,女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份,女生答
卷80份,其余答卷得分都在10分至74分之间.同时根据560份有效答卷的分数,绘制了
如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中机的值,并求出这560份有效答卷得分的中位数和平均数〃(同一
组数据用该组中点值代替).
(2)如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群,74分及以下称为低敏感人群,请根
据上述数据,完成下面2x2列联表,并判断能否有95%的把握认为学生性别与国家安全知
识敏感度有关.
八频率/组距
高敏感低敏感总计
男生80
女生80
总计560
附:独立性检验临界值表
2
p(K>k0)0.10.050.010.0050.001
K22.7063.8416.6357.87910.828
n(ad-be?
公式:K~=其中n=a+b+c+d.
(a+Z?)(c+d)(a+c)(6+d)
【答案】(l)s=0.02,中位数62,平均数60.2
⑵列联表见解析,有
【详解】(1)因为10^=1—10*(0.003+2x0.006+0.009+2x0.012+2x0.016),
所以机=0.02.
又10(0.003+0.006+0.009+0.012+0.016)=0.46<0.5,
故设中位数为x,贝l](x-60)x0.02=0.5-0.46=0.04,所以x=62.
平均数"=0.03x15+0.06x25+0.09x35+0.12x45+0.16x55+0.20x65
+0.16x75+0.12x85+0.06x95=60.2.
(2)由题意可得列联表如下:
高敏感低敏感总计
男生80160240
女生80240320
总计160400560
,560(80x240—80x160)214
K-=—----------匚=—®4.667>3,841,
160x400x240x3203
故有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关.
3.某学生兴趣小组随机调查了某市200天中每天的空气质量等级和当天到江滨公园锻炼的
人次,整理数据得到下表(单位:天):
锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]
1(优)122044
2(良)151930
3(轻度污染)161614
4(中度污染)752
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;并求一天中到该公园锻炼的平
均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或
4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2x2列联表,并根据列联表,判
断是否有99.9%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
人次V400人次>4。0
空气质量好
空气质量不好
附:K=_______"(C)2_______.
(〃+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)
【答案】(1)0.38,0.32,0.23,0.07,340
(2)列联表见解析,有
【详解】(1)由频数分布表可知,该市一天的空气质量等级为1的概率为12匕+20需+^44=0.38,
等级为2的概率为"+靠30=。32,等级为3的概率为应]『=0.23,
等级为4的概率为=0.07,
由频数分布表可知,一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
100x50+300x60+500x900八
------------------------------------=340.
200
(2)2x2列联表如下:
人次V400人次>400
空气质量好6674
空气质量不好4416
/_200x(66x16-74x44y
,110x90x140x60»11.640>10.828,
因此,有99.9%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
4.某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语文成绩的关系,在参加市中学生语文综
合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查,并按学生成绩是否高于75分(满分
100分)及周平均阅读时间是否少于10小时,将调查结果整理成列联表.现统计出成绩不低
于75分的样本占样本总数的30%,周平均阅读时间少于10小时的人数占样本总数的一半,
而不低于75分且周平均阅读时间不少于10小时的样本有100人.
周平均阅读时间少于10小时周平均阅读时间不少于10小时合计
75分以下S
不低于75分t100
合计500
(1)根据所给数据,求出表格中s和f的值,并分析能否有99.9%以上的把握认为语文成绩与
阅读时间是否有关;
(2)先从成绩不低于75分的样本中按周平均阅读时间是否少于10小时分层抽样抽取9人进
一步做问卷调查,然后从这9人中再随机抽取3人进行访谈,记抽取3人中周平均阅读时间
不少于10小时的人数为X,求X的分布列与均值.
2
,2_n(ad-bc),,
“石公八”"如:A-g+6)(c+d)(a+c)修+/),'.
a0.010.0050.001
%6.6357.87910.828
【答案】(l)s=150j=50,有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关
(2)分布列见解析,数学期望为2
【详解】(1)根据已知条件,列联表如下:
周平均阅读时间少于10小时周平均阅读时间不少于10小时合计
75分以下200150350
不低于75分50100150
合计250250500
500x(200x100-150x50)2
所以s=150j=50,由表知力2=»23.8>10,828,
-350x150x250x250-
所以有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关.
(2)依题意,成绩不低于75分的学生中周平均阅读时间少于10小时和不少于10小时的人
数比是1:2,
按分层抽样抽取9人,则周平均阅读时间少于10小时有3人,不少于10小时的有6人,
从这9人中再随机抽取3人进行访谈,则X可能的取值为0」,2,3,
尸(X=。嚏悬尸(XT=害小尸(X=2)=警度,尸(X=3吟4
分布列如下:
X0123
13155
P
84142821
315S
.•.石(X)=lx—+2x——+3x——=2.
v7142821
5.一个航空航天的兴趣小组,对500名男生和500名女生关于航空航天是否感兴趣的话题
进行统计,情况如下表所示.
男生女生
感兴趣380220
不感兴趣120280
P(.K2>k^0.0500.0250.0100.0050.001
k3.8415.0246.6357.87910.828
n(ad-bc)~
附:K2=n=a+b+c+d.
(a+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)
⑴是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联?
⑵一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏,左边有2艘“Q2
运输船”和1艘“Ml转移塔”,右边有3艘“Ml转移塔”.假设两艘飞行器模型间的“交会对接'
重复了n次,记左边剩余2艘“Q2运输船”的概率为匕,剩余1艘“Q2运输船”的概率为为,
求2P“+纵与2pi+q,?的递推关系式;
⑶在(2)情况下,求X”的分布列与数学期望E(X“).
【答案】(1)有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联
(2)2pn+qn-l=;(2Pi+%_i-1)
(3)分布列见解析,E(Xj=l+I,nGN*
[详解](1)解:K?;1000X(380X280-120x220)。
»106.67>10.828
500x500x600x400
...有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联.
「、C;C;1C;C;2
⑵月=/[曰=3,%=/「内"=3'
C:C;C;C;“、127
P2=C,弓.”+4.3,名+»(1一口一名)=1口+§/=万,
11
_c;c;c一;c;c;7c1^;1]4+旨C.C才(1一口_5)=_§11216
%=k•曰/+k+H—=---
c[-c[c['c[327
C:1C;1C1C112
当〃22时"〃二才,^,〃〃_1+才,4,/_1+。,(1一〃〃_1一%—1)=3,〃_1+§/_1,①
C;C\(C;C;C;Cr;C;C;1+|,②
T(
%=kkPi+l7.刀+为方K'Qn-l+厘,式'(1一2T~Q„-l)=~gln-l
’3C’3K-xnV-xn7
24121/c、2
2x①+②,得2P〃+%==§(2P〃T+/T)+§.
从而2Pn+%-1=g(2p〃-i+91-1).
(3)由(2)得2四+%-1=;,2P“+%-l=g(2pi+q,T_l),。数列{24+%-1}是首项
n-l
为g,公比为;的等比数列,.•.2p〃+/-l=gxII,即2p〃+/=l+g,〃$N*③,
3133、1则数列卜-胃3是首项为9公比为4
联立②③得为-M,--
5155
的等比数列,
H—1
13111
由③得〃
:q=X+-,neN,pn=2X+y~qn+—x+—,£N*
n15yI235
,31,
/]-%一%=_x1x+—,nGN
II5
X”的概率分布列为:
X”012
PQnPn
贝阳X“)=0x(l-p“—q“)+lxq“+2xp“=l+(j,n&N*.
类型2:线性回归及非线性回归问题
①线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法.
对于一组具有线性相关关系的数据(XI,9),(孙y2),…,(x〃,%),其回归方程>=加+。
的求法为
n__n__
£(%一^)(y,-y)£-nxy
b=-^—^----------二弓---------
£(%「X)2Nx;_nx2
i=li=l
a=y-bx
其中,x=-tXi,y=-tyi,(x,y)称为样本点的中心.
n,=in,=1
②非线性回归
建立非线性回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象,明确哪个是解释变量,哪个是预报变量;
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(是否存在非线性
关系);
(3)由经验确定非线性回归方程的类型(如我们观察到数据呈非线性关系,一般选用反比
例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幕函数模型等);
(4)通过换元,将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型;
(5)按照公式计算线性回归方程中的参数(如最小二乘法),得到线性回归方程;
(6)消去新元,得到非线性回归方程;
(7)得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否
合适等.
线性回归及非线性回归问题专项训练
6.某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益.该公司统计了今年以来这款
文创产品定价x(单位:元)与销量y(单位:万件)的数据如下表所示:
产品定价X(单位:元)99.51010.511
销量y(单位:万件)1110865
(1)依据表中给出的数据,判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数并
加以说明(计算结果精确到o.oi);
(2)建立y关于X的回归方程,预测当产品定价为8.5元时,销量可达到多少万件.
£(%-元)(%-了)-.
参考公式:r=IJ.、=J-----------,a=y-bx,
\归a-可2(%-寸Z(—y
V/=1i=iZ=1
参考数据:765«8.06.
【答案】(l)r。-0.99,说明》与x的线性相关性很强,可以用线性回归模型拟合y与尤的关
系
(2)12.8万件
【详解】(1)由题条件得了=((9+9.5+10+10.5+11)=10,
y=1(ll+10+8+6+5)=8.
5
Z(%-元)(%-刃=(9-10)(11-8)+(9.5-10)(10-8)+(10-10)(8-8)
i=l
+(10.5-10)(6-8)+(11-10)(5-8)=-8,
5
Z(%—元)2=(9—10)2+(9.5—10)2+(10—10)2+(10.5—10)2+(11—10)2=2.5,
i=l
5
2(%—9)2=(11—8)2+(10—8)2+(8—8)2+(6-8)2+(5—8)2=26
i=l
£(乙-丁)(》-田_8
:.r=।t=-=»-0.99
Vi=l4=1
・••y与X的相关系数近似为-0.99,说明y与X的线性相关性很强,从而可以用线性回归模型
拟合y与尤的关系.
„—(%-歹)_8
(2)':b=~―----------=——=-3.2,6=9+3.2元=40,
Z(%F25
Z=1
•••y关于无的线性回归方程为y=-3.2x+40.
当x=8.5时,9=12.8.
当产品定价为8.5元时,预测销量可达到12.8万件.
7.2023年,国家不断加大对科技创新的支持力度,极大鼓舞了企业投入研发的信心,增强
了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下,通过技术革新和能力提升,
极大提升了企业的影响力和市场知名度,订单数量节节攀升,右表为该企业今年1〜4月份接
到的订单数量.
月份r1234
订单数量y(万件)5.25.35.75.8
附:相关系数,「1”
2z
E(x;-x)E(y..-y)
Vi=lVz=l
回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
.1(%-5)(%-了)八
b=-----------,a=y-bx,A/L3»1.14.
之(否-月2
;=1
⑴试根据样本相关系数厂的值判断订单数量y与月份,的线性相关性强弱(0.75V|r|Wl,则
认为〉与/的线性相关性较强,"K0.75,则认为y与f的线性相关性较弱).(结果保留两位
小数)
(2)建立y关于/的线性回归方程,并预测该企业5月份接到的订单数量.
【答案】(1)0.96,订单数量y与月份f的线性相关性较强
⑵y=0.22/+4.95,6.05万件
_12+3+41
【详解】(1)T=--+---------=2.5,y=—(5.2+5.3+5.7+5.8)=5.5,
44
4
Z4—fXx—歹)=(-1.5)X(-0.3)+(-0.5)X(—0.2)+0.5X0.2+1.5X0.3=1.1,
i=l
4
Eg-T)2=(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52=5,
Z=1
4
2
Z(y,-y)=(-0.3)2+(-0.2)2+0.2?+0.3?=026,
1=1
-『)(%-9)
1.11.1
i=l=—;---x----X0.96>0.75
l-44#31.14
JE(^-O2E(x-y)2
Vi=li=l
订单数量y与月份/的线性相关性较强;
4
26-亍)(%-9)11
(2)"=J------------=—=0.22,
£(4-TP
4=1
4=7-行=5.5-0.22x2.5=4.95,
,线性回归方程为y=0.22?+4.95,
令f=5,y=0.22x5+4.95=6.05(万件),
即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.
8.据统计,某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和,单位:亿元)与某类商品
销售额(单位:亿元)的10年数据如下表所示:
第〃年12345678910
居民年收入X32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0
商品销售额y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0
依据表格数据,得到一F面一些统计:量的值.
1010
i=l2Z=1
(茗一元)0
10v1)
i=\Z=1
379.6391247.624568.9m
(1)根据表中数据,得到样本相关系数3095.以此推断,y与x的线性相关程度是否很强?
(2)根据统计量的值与样本相关系数”0.95,建立y关于龙的经验回归方程(系数精确到0.01);
⑶根据(2)的经验回归方程,计算第1个样本点(32225.0)对应的残差(精确到0.01);
并判断若剔除这个样本点再进行回归分析,另的值将变大还是变小?(不必说明理由,直接
判断即可).
附:样本(%,y)G=1,2,…㈤的相关系数
V2.297«1.516,b--l“,d=y-bx.
£(x厂可2
i=l
【答案】(1)线性相关程度很强
(2)y=1.44^-15.56
(3)-5.81,变小
【详解】⑴根据样本相关系数“0.95,可以推断线性相关程度很强.
£(乙-丁)(》-9)
⑵由r,p------------血95及g-----------------,
丁)2
1=1
r少H行彳
所以2="2.297a0.95x1.516"440,
又因为元=37.96,歹=39.1,
所以&=7一57。一15.56,
所以>与无的线性回归方程9=L44xT5.56.
(3)第一个样本点(32.2,25.0)的残差为:25.0-(1.44x32.2-15.56)=-5.808。-5.81,
由于该点在回归直线的左下方,故将其剔除后,方的值将变小.
9.数据显示中国车载音乐已步入快速发展期,随着车载音乐的商业化模式进一步完善,市
场将持续扩大,下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模(单位:十亿元),其中年份
2018—2022对应的代码分别为1—5.
年份代码X12345
车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0
(1)由上表数据知,可用指数函数模型y=a•"拟合y与X的关系,请建立y关于X的回归方
程(a,b的值精确到0.1);
(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素,某预测公司根据上述数据求得y
关于x的回归方程后,通过修正,把尻1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率,
请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐
市场规模.
参考数据:
5
60.52460.472
V
i=l
1.9433.821.71.6
[5
其中匕=Iny,v=-^v;.
3i=l
参考公式:对于一组数据(%,匕),(“2#2卜-,(4,匕),其回归直线£=&+/"的斜率和截距的
Zuivi-nU'V
最小二乘法估计公式分别为B=............-a=v-.
2-2
/a;-nu
Z=1
【答案】(1)9=1.7x16
(2)28.73十亿元
【详解】⑴解:因为
所以两边同时取常用对数,得lny=lna+xln6,
设v=Iny,
所以v=lna+xlnb,设cr=lna,£=ln6,
因为元=3了=1.94,
E^-5J-F
33.82—5x3x1.94
所以£二上S--------------=0.472,
~55-5>3?
—5元2
z=l
(z=V-冰=1.94-0.472*3=0.524,
所以In&=0.524,InB=0.472
所以&=e24=i.7,g=e0472=1.6
所以5=1.7x16
(2)由(1)知2023年与2024年这两年的年平均增长率1.6-1.3=0.3,
2022年中国车载音乐市场规模为17,
故预测2024年的中国车载音乐市场规模17(1+0.3)2=28.73(十亿元).
10.某新能源汽车公司对其产品研发投资额无(单位:百万元)与其月销售量y(单位:千
辆)的数据进行统计,得到如下统计表和散点图.
X12345
y0.691.611.792.082.20
月销售量外
2.50-
2.00-.
1.50-,
1.00-
0.50-•
O1234S产品研发投资额士
(1)通过分析散点图的特征后,计划用y=In(云+。)作为月销售量>关于产品研发投资额x
的回归分析模型,根据统计表和参考数据,求出了关于x的回归方程;
(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时,决定停止产品研发,转为投资产品促销.根据以
往的经验,当投资11百万元进行产品促销后,月销售量4的分布列为:
己345
1
PP
2p+7
结合回归方程和&的分布列,试问公司的决策是否合理.
刘尤^x^t-nx-y_
参考公式及参考数据:务=J————=%------,令=7-版,批7。1.95.
刃尤厂尤)-心;一版
i=li=l
y0.691.611.792.082.20
e).(保留整数)25689
【答案】(l)S=ln(L7x+0.9);
(2)公司的决策合理.
【详解】(1)因为y=ln0x+。),令z=bx+a,所以z=eL
由题可得元=g(l+2+3+4+5)=3,z=|(2+5+6+8+9)=6,
5
-5x-z
107-5x3x617
贝力二口---------17a=z-%x=6-1.7x3=0.9,
--,
£片一5元255-5x910.
;=1
所以2=1.7%+0.9,所以回归方程为y=ln(1.7x+0.9).
2x49
(2)当%=11时,y=ln(1.7xll+0.9)=lnl9.6=ln—=ln2+21n7-ln5=2.98.
311
因为7P2+P+P+:=l且0v〃vl,所以P=z,
2o3
所以E(X)=3x:+4x;+5xg号>2.98,
所以公司的决策合理.
类型3:超几何分布问题
超几何分布
(1)在含有〃件次品的N件产品中,任取"件,其中恰有X件次品,则事件{X=以发生
的概率为P(x=k)=M,左=0,1,2,…,机,其中m=min{M,〃},且〃4N,A/4N,
CN
n,M,NeN*,称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,
则称随机变量X服从超几何分布.
X01m
「0「〃一0「〃一1
P
11
超几何分布和二项分布的区别
(1)超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要;
(2)超几何分布是“不放回”抽取,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的;
而二项分布是“有放回”抽取(独立重复),在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
超几何分布专项训练
11.某校举行“强基计划”数学核心素养测评竞赛,竞赛以抽盲盒答题的形式进行,现有甲、
乙两个盲盒箱,甲中有4个选择题和2个填空题,乙中有3个选择题和3个填空题,竞赛可
以以不同的方式进行.
(1)若已知A班选择了甲箱,且派出5人参赛,每个人盲抽一个题作答,答完后仍放回甲箱.
每个人答对选择题的概率为=,答对得3分,答错得0分,每个人答对填空题的概率为:,
答对得5分,答错得0分,求A班总得分X的数学期望.
(2)若已知A班班长先从甲箱中依次抽取了两道题目,答题结束后将题目一起放入乙箱中,
然后2班班长再从乙箱中抽取一道题目,已知3班班长从乙箱中抽取的是选择题,求A班
班长从甲箱中取出的是两道选择题的概率.
【答案】⑴2爷35
lo
⑵9
13
42
【详解】(1)A班在甲箱抽取时,每个人抽到选择题的概率为》=彳,抽到填空题的概率为
o3
泊21,.二每个人得分的平均值=2qx3Jx3+1:x2[x5=4S7,
63343318
A班得分的数学期望=4白7'5=2335;
lolo
(2)设A班班长抽取0道、1道、2道选择题的事件为4,4,4,B班班长抽到的是选择题
的事件为用,
则尸(4)=尸(44)+尸(4旦)+尸(&耳六事+普1+言]4,
则可钟尸*1号*.
12.乡村民宿立足农村,契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求.某镇在旅
游旺季前夕,为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质,随机抽取了8家规模较大的
乡村民宿,统计得到各家的房间数如下表:
民宿点甲乙丙T戊己庚辛
普通型民宿16812141318920
品质型民宿6164101110912
⑴从这8家中随机抽取3家,在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下,
求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率;
⑵从这8家中随机抽取4家,记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数,
求X的分布列和数学期望.
【答案】⑴g
【详解】(1)由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家,品质型
民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家.
记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件A,“这3家的品质型民宿的房间均不
低于10间”为事件B,贝U尸(A)=||=:,p(AB)=标=:,
所以。(而入)=错M.
(2)这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家,故X的所有可能取值为
0,123.
P(x=o)=等30_3
而一7
尸”=2)=萼=卷=,尸陋=3)=等1
7014
所以X的分布列如下表:
13.已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7
人、6人、2人.
(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报,求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率.
(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练,且在训练阶段进行了
多轮测试,规定:在一轮测试中,这3个动作至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为
“优秀”.已知在某一轮测试的3个动作中,甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为乙同
学每个动作达到“优秀”的概率均为。,且每位同学的每个动作互不影响,甲、乙两人的测试
结果互不影响.记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数,求X的分布列和数学期
望.
【答案】(1)苗
(2)分布列见解析;期望为£
54
C2C11?
【详解】(1)设事件A为“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”,则有尸(A)=簧工=百
C]533
(2)设甲同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为匕则有丫〜
设乙同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Z,则有Z~;
所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率
P(Y>2)=p(y=2)+尸(y=3)=c;
乙同学在一轮测试结果为优秀的概率
P(Z2"(Z=2)+P(Z=3)=唬1]
由题意,得X可取0,1,2;
7寸412010
P(X=2)=—x——=—
'722727
所以X的分布列为:
X012
710
P
54227
因此X的数学期望E(X)=0x:+lxg+2x*\.
14.为了丰富农村儿童的课余文化生活,某基金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自
2018年以来,某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该村少
年儿童的年借阅量的数据统计:
年份20182019202020212022
年份代码X12345
年借阅量y(册)%%3692142
(参考数据:EX=290)
Z=1
⑴在所统计的5个年借阅量中任选2个,记其中低于平均值的个数为X,求X的分布列和
数学期望E(X);
⑵通过分析散点图的特征后,计划分别用①y=35x-47和②+加两种模型作为年借
阅量》关于年份代码x的回归分析模型,请根据统计表的数据,求出模型②的经验回归方程,
并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.
【答案】⑴分布列见解析,£(X)=|
(2)y=5x2+3;模型②的拟合效果更好
【详解】(1)由题知,5年的借阅量的平均数为:甘=58,又%+%=290-36-92-142=20,
则%,%<58
*乂=左)=隼二优=0』,2),
所以低于平均值的有3个,所以X服从超几何分布,
「2
6I3,P(X=2)=罟c2C°3
所以P(x=o)=,p(x=l)==
10I'cf1010'
所以X的分布列为:
X012
133
10510
所以E(X)=0xLlx』+2xa=g
v'105105
1=1
⑵因为a+2〉+3)+42+52*290
--------------------=11,-----=----=Do
555
所以58=5x11+〃?,即m=3.
所以模型②的经验回归方程为:5=5f+3
根据模型①的经验回归方程可得:戈=T2,%=23,%=58,%=93,%=128
根据模型②的经验回归方程可得:%=8,%=23,%=48,%=83,%=128
因为
22222
[(%+12『+(y2-23)+(36-58)2+^92_93)+(142-128)]一[(%-8『+(%-23)+(36-48)+(92-83)+(142-
=(%+12)2-(%_8)2+22?_122+12―=40%+340,且
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