福建省2024中考数学2专题突破篇专题七代数压轴题标准化解题程序解析课堂讲本课件

专题七代数压轴题标准化解题程序解析02专题突破篇程序一

写出解析式构建函数图象(即求系数a、b、c,找到3个方程待定系数即可)类型1条件直接充足型例1：【2023福建节选】已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点.求抛物线对应的二次函数的解析式.条件2、3将A、B两点的坐标代入y=ax2+bx+3条件1c=3例1例2例3例4例5例6例7例8例9(2)记AB的中点为点E，若C(4,3)，D(m,-)在抛物线上,且m<2,请画出草图并证明C、D、E

三点共线.证明坐标系中三点共线的两种思路:①通过两点求直线对应的解析式，再代入第3点的坐标验证；②两两之间求K，K一样即可.坐标可求出例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例2:【2018福建改编】已知抛物线y=ax2+bx+c

过点A(0,2)若该抛物线上任意不同两点M(x1，,y1;),N(x2，y2;),都满足:当x1<x2<0时,(x1-x2)(y1-y2)>0;当0<x1<x2时,(x1-x2)(y1-y2)<0.以原点0为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°.求抛物线对应的二次函数的解析式.类型2条件间接充足型:题目间接给足3组条件,需要理解题意,先画出草图数形结合等确定待定系数通过画出特殊图形，确定图象上点的坐标通过这两个条件，判断函数增减性，从而确定图象的大概形状【思维可视化】例1例2例3例4例5例6例7例8例9【思维可视化】例1例2例3例4例5例6例7例8例9解:∵当x1<x2<0时,(x1－x2)(y1－y2)>0,∴当x<0时,y随x的增大而增大.同理可得,当x>0时,y随x的增大而减小,∴抛物线的对称轴为y轴,开口向下,∴b＝0,点A为抛物线的顶点.∵以原点O为圆心,OA长为半径的圆与拋物线的另两个交点为B,C,∴△ABC为等腰三角形.例1例2例3例4例5例6例7例8例9又∵△ABC有一个内角为60°,∴△ABC为等边三角形.如图,设点C在y轴的右侧,线段BC与y轴交于点D,连接OB,OC,则BD＝CD,∠OCD＝30°.

∵OB＝OC＝OA＝2,∴CD＝OC·cos30°＝,OD＝OC·sin30°＝1.例1例2例3例4例5例6例7例8例9∴点C的坐标为(,－1).∵点C在抛物线上,c＝2,b＝0,∴3a＋2＝－1,∴a＝－1,∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝－x2＋2.例1例2例3例4例5例6例7例8例9【练】【2020福建节选】已知直线l:y＝－2x＋10交y轴于点A,交x轴于点B,二次函数的图象过A,B两点,交x轴于另一点C,BC＝4,且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1＞x2≥5时,总有y1＞y2.求二次函数的解析式.例1例2例3例4例5例6例7例8例9解:因为直线l:y＝－2x＋10交y轴于点A,交x轴于点B,所以A(0,10),B(5,0),因为BC＝4,所以C(9,0)或C(1,0),因为P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1>x2≥5时,总有y1>y2,所以该抛物线的对称轴在直线x＝5的左侧,当抛物线过C(9,0)时,则该抛物线的对称轴为直线x＝7,不符合题意,舍去.当抛物线过C(1,0)时,则该抛物线的对称轴为直线x＝3,符合题意.例1例2例3例4例5例6例7例8例9所以设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋10,根据题意知二次函数的图象过B(5,0),C(1,0)两点,例1例2例3例4例5例6例7例8例9类型3条件不足型:题目条件不足以确定3个待定系数时,一般会给出2组条件,需引入1个参数列出含参的函数解析式例3：[2017福建改编]已知点M(1,0)在抛物线y=ax2+ax+b上，且a<b.求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示),并画出草图.两个未知数，一个已知点，可求出a、b之间的关系【思维可视化】例1例2例3例4例5例6例7例8例9【思维可视化】例1例2例3例4例5例6例7例8例9【自主作答】【难点展示】求出顶点坐标后画草图时的难点是确定抛物线的开口方向.由题意可知b=-2a，∵

a<b

∴a<-2a,

∴3a<0,

∴a<0.例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例4：[2021福建节选]已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点,若抛物线过点P(0,1)求a+b的最小值.条件1

即△=b2-4ac=0条件2

代入解析式考虑方向:①3个未知数，2个条件，可求出a与b之间的关系；②把a+b用a或b表示，通过二次函数求最值.例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9程序二

联立方程求交点程序三

化形为数,列代数式或方程,解决问题类型1交点易求例5：【2017福建改编】已知直线y＝2x＋m与抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M(1,0),且a＜b.程序2:通过联立方程,求出抛物线与直线的交点坐标.(基本都为含参计算)例1例2例3例4例5例6例7例8例9(1)求证:直线与抛物线有两个交点;(2)直线与抛物线的另一个交点记为N，求点N的坐标(用含a的代数式来表示);程序3:将几何直观信息转换为代数运算(出现方程)，主要包括:线段、周长、面积、角度等(3)若-1≤a≤-

，求线段MN长度的取值范围.联立方程，△>0求交点坐标，可考虑①十字交叉分解因式②根与系数的关系线段问题:两点间距离公式例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9∴直线对应的一次函数的解析式为y＝2x－2.联立直线与抛物线对应的函数解析式,消去y可得ax2＋(a－2)x－2a＋2＝0,∴Δ＝(a－2)2－4a(－2a＋2)＝9a2－12a＋4＝(3a－2)2,∵a<0,∴Δ＞0,∴关于x的方程ax2＋(a－2)x－2a＋2＝0有两个不相等的实数根,∴直线与抛物线有两个交点.例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例6：[2020福建改编]二次函数y=2x-12x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C(点C在点B的左侧)，E为线段BC上不与端点重合的点，直线l:y=-2x+q过点C且交直线AE于点F，求△CEF与△ABE面积之和的最小值.A、B、C可求出E为动点，设参l可求出联立方程求交点【思维可视化】例1例2例3例4例5例6例7例8例9【思维可视化】例1例2例3例4例5例6例7例8例9解:由题易知A(0,10).当y＝0,即2x2－12x＋10＝0时,解得x1＝1,x2＝5,因为点C在点B的左侧,所以B(5,0),C(1,0),因为点E在BC上,所以设点E的坐标为(p,0).设直线AE对应的函数解析式为y＝kx＋b,将A(0,10),E(p,0)的坐标代入y＝kx＋b,例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9程序3:写出所求面积之和,再求最值.【自主作答】【难点展示】设点E的坐标为(p,0)，S=S△CEF+S△ABE.例1例2例3例4例5例6例7例8例9判别式法求最值:将此函数化为方程形式即10p2+(S-60)p+130-5S=0△=(S-60)2-4×10(130-5S)≥0S2+80S-1600≥0S≥40

-40或S≤-40-40

(舍去)S的最小值为40

-40其中p可看成未知数，S看成参数想要方程有解，需△≥0通过二次函数的图象例1例2例3例4例5例6例7例8例9例7：【2022福建改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y＝ax2＋bx经过A(4,0),B(1,4)两点,P是抛物线上一点,且在直线AB的上方.(1)若△OAB的面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标;出现等量关系，列出方程例1例2例3例4例5例6例7例8例9程序1:写出解析式构建函数图象;程序2:未出现交点,直接进入程序3;程序3:根据等量关系列出方程.本问涉及面积问题,△OAB的面积易求,△PAB的面积可用割补法(或铅垂线法)来求.最后列出方程求解即可.例1例2例3例4例5例6例7例8例9(2)如图，OP交AB于点C，PD//BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1,

S2.判断+是否存在最大值.若存在，求出最大值;若不存在，请说明理由.程序2:交点D可求出面积比可转化为线段比此步骤心里清楚即可，可先往后看最后看是否用求出现“平行”思考方向:①几何方向:8字模型(相似、全等)②函数方向:平行的两条直线对应的函数解析式的k值相等【思维可视化】例1例2例3例4例5例6例7例8例9【思维可视化】例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9计算PD太复杂，所以需要进行转化(参考方法二)例1例2例3例4例5例6例7例8例9例1例2例3例4例5例6例7例8例9例8:【2018福建改编】已知抛物线y=-x2+2的顶点为A，点P的坐标为(0,4)，M(x1,y1)、N(x1,y1)为抛物线上的两点，且O、M、N三点共线，求证:PA平分∠MPN.类型2交点不易求(联立函数解析式,整理后得到一元二次方程,当交点不容易直接求出时,根据根与系数的关系,间接获得交点关系信息角度问题直线MN为过原点的直线例1例2例3例4例5例6例7例8例9程序2:联立抛物线与直线MN的解析式可得出一个一元二次方程,从而求出交点横坐标x1与x2之间的关系.【自主作答】【难点展示】例1例2例3例4例5例6例7例8例9程序3:根据几何关系列出代数式(通过两角的正切值相等来证角相等).【自主作答】【难点展示】角度问题:可构建直角三角形，将三角函数问题转化为角度问题例1例2例3例4例5例6例7例8例9【自主作答】【难点展示】作差法x1+x2=-k,

x1x2=-2将代入例1例2例3例4例5例6例7例8例9综合例题:例9：【2019福建】已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2，0)，求a，c满足的关系式;条件1条件2程序1:待定系数(3个未知数，需要2个方程求得a，c关系式)例1例2例3例4例5例6例7例8例9(2)设A为抛物线上的一个定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B，C(B在C的左侧)，直线BD垂直于直线y=-1,垂足为点D.当K=0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC是等腰直角三角形.①求点A的坐标和抛物线的解析式:程序1:画出草图，数形结合确定待定系数例1例2例3例4例5例6例7例8例9【自主作答】【难点展示】草图例1例2例3例4例5例6例7例8例9②证明:对于每个给定的实数k,都有A，C