福建省2024中考数学重点单项练专项九角平分线问题课件

D.突破基础116分重点单项练专项九角平分线问题思路1：角平分线＋垂线出全等结论：如图，△PBD≌△PBE.关键词角平分线1234567典型题训练1．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，BC＝6，BD＝4，则点D到直线AB的

距离是______．

22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠C＝60°，BD平分∠ABC.求证：AD＝CD.1234567证明：如图，过点D作DE⊥BC于E，作DF⊥BA，交BA的延长线于点F.∵点D在∠ABC的平分线上，∴DE＝DF.∵∠BAD＝120°，∴∠DAF

＝60°，∴∠DAF

＝∠C.∵DE⊥BC,DF⊥AF，∴∠F＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE，∴AD＝CD.3．如图，△ABC的面积为10，点P为△ABC内一点，BP平分∠ABC，AP⊥BP，求△PBC的面积．典型题训练思路2：角平分线＋垂线出等腰结论：如图，△ABN为等腰三角形．1234567解：如图，延长AP交BC于D.∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠DPB＝90°.12345674．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：AD＝2BE.1234567证明：

如图，

作AC、BE的延长线，交于点F.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，∴∠CAD＝90°－∠F，∵∠BCF＝180°－∠ACB＝90°，∴∠CBF＝90°－∠F，∴∠CAD＝∠CBF.在△ACD

和△BCF

中，∵∠CAD＝∠CBF，AC＝BC，∠ACD＝∠BCF＝90°，∴△ACD≌△BCF，∴AD＝BF.∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE

，又∵∠AEF＝∠AEB,

AE＝AE，∴△AEF≌△AEB，∴EF＝BE，∴AD＝BF＝2BE.思路3：角平分线＋平行线出等腰方法指导：如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E，则可得△ACE为等腰三角形．12345671234567解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE

是△ABC

的中位线，∴DE

∥BC且DE＝

BC，∵BC＝12，∴DE＝6.∵BF

平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴DF＝BD＝

AB＝

×8＝4，∴EF＝DE－DF＝6－4＝2.典型题训练5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线交DE于点F.(1)若AB＝8，BC＝12，求EF的长；1234567如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线交DE于点F.(2)连接AF，求证：∠AFB＝90°.证明：由(1)可知DF＝BD＝AD，∵AD＝DF，∴∠DFA＝∠DAF.设∠DFA＝α，则∠BDF＝∠DFA＋∠DAF＝2α，∵BD＝DF，∴∠DFB＝∠DBF＝

＝90°－α，∴∠DFA＋∠DFB＝α＋(90°－α)＝90°，即∠AFB＝90°.6．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F.

求证：四边形DECF是菱形．1234567证明：如图．∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF

为平行四边形．∵AC∥DE，∴∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF为菱形．思路4：出现角平分线可考虑构造全等．

7．如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：BC＝AD＋AC.1234567典型题训练证明：在BC边上截取EC＝AC，连接DE，则

BC＝BE＋EC.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠DCE＝∠DCA.在△CDE和△CDA中，1234567∴△CDE≌△CDA(SAS)，∴∠C