福建省2024中考数学重点单项练专项十四边形对角互补及半角模型课件

D.突破基础116分重点单项练专项十四边形对角互补及半角模型方法指导：如图，①∠B＋∠D＝180°；②AC平分∠BAD；③CB＝CD.知二证一．无论哪种考法，此类题有一种通用的辅助线，即过点C分别向直线AB和AD作垂线．关键词一对角互补12341．如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，

AD＝CD，连接BD,BD⊥CD.(1)若∠A＝100°，则∠CBD的度数为________；典型题训练10°1234如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，

AD＝CD，连接BD,BD⊥CD.(2)试探究∠ABD

与∠ADB的数量关系，并证明．2∠ABD＋∠ADB＝90°.证明：如图，过点D作DE⊥BC于点E，作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，则∠F＝∠DEC＝90°，1234∵∠DAF＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠C＝180°，∴∠DAF＝∠C.又∵AD＝CD，∴△DAF

≌△DCE(AAS)，∴DF＝DE，又∵DE⊥BC，DF⊥BA，∴BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD.∵∠BAD＋∠C＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.又∵∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝∠ADB＋90°，∴2∠ABD＋∠ADB＋90°＝180°，∴2∠ABD＋∠ADB＝90°.12342.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕点O旋转，试说明：无论正方形OMNP旋转到何位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求出这个定值．解：如图，设OM交BC于点E，OP交CD于点F，过点O作OG⊥BC于点G，作OH⊥CD于点H.∵四边形ABCD

是正方形，∴∠C＝90°，∴四边形OGCH是矩形，∴∠GOH＝90°.∵四边形OMNP

是正方形，∴∠MOP＝90°，1234∴∠MOP＝∠GOH，∴∠EOG＝∠FOH.∵点O是正方形ABCD的中心，∴易得OG＝OH，又∵∠OGE＝∠OHF＝90°，∴△EOG≌△FOH(ASA)，∴S△EOG＝S△FOH，∴S四边形OECF＝S四边形OGCH.易得S四边形OGCH＝

S正方形ABCD＝

×10×10＝25，∴无论正方形OMNP旋转到何位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，这个定值为25.思路：共顶点、等线段、见了半角作旋转．结论1：如图①，已知∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，∠EAF＝45°，则EF＝BE＋DF.结论2：如图②，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，∠DCE＝45°，则AD2＋BE2＝DE2.1234关键词二半角模型3．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点(不与端点重合)，且∠EAF＝45°.(1)求证：EF＝BE＋DF；1234典型题训练证明：如图，将△ADF绕点A旋转至△ABG的位置，∴BG＝DF，AG＝AF，∠GAF＝∠BAD＝90°，∴∠EAG＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°＝∠EAF.又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF(SAS)，∴GE＝EF.又∵GE＝BE＋BG＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.(2)连接BD，分别交AE，AF于点M，N，试探究BM，MN，DN之间的数量关系，并说明理由．1234解：MN2＝BM2＋DN2.理由：如图，将△ABM

绕点A旋转至△ADH的位置，连接HN，∴AH＝AM,DH＝BM，∠ADH＝∠ABM，∴∠HAM＝∠BAD＝90°.∴∠HAN＝∠HAM－∠EAF＝90°－45°＝45°＝∠MAN.又∵AN＝AN，∴△HAN≌△MAN(SAS)，∴HN＝MN.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ADN＝45°，∴∠ADH＝∠ABM＝45°，∴∠HDN＝∠ADH＋∠ADN＝90°，∴HN2＝DH2＋DN2，∴MN2＝BM2＋DN2.4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝60°.(1)求证：EF＝BE＋DF；1234证明：如图，将△ADF绕点A旋转至△ABG的位置，则BG＝DF，AG＝AF，∠FAG＝∠DAB＝120°，∴∠EAG＝∠FAG－∠EAF＝120°－60°＝60°＝∠EAF.又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF(SAS)，∴GE＝EF.又∵GE＝BE＋BG＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝60°.(2)若