课时把关练高中数学RJA第4章45函数的应用（2）453函数模型的应用

课时把关练4.5函数的应用（二）函数模型的应用1.一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae-bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一A.8 B.16 C.24 D.322.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()ABCD3.通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M表示，国家标准《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值（A/T）max进行测定，计算公式如下M＝lg（A/T）max+1.66lgΔ+3.5（其中Δ为震中距），已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为（）A.58 B.78 C.98 D.1184.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f（x）＝P1+akx+b（P>0，a>1，k<0）的形式.已知f（x）＝51+2kx+b（x∈N）描述的是一种果树的高度随着时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为25m，则该果树的高度超过4.8m，A.3年 B.4年 C.5年 D.6年5.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×12th，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到7.某公司为调动员工的工作积极性，拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%，即假定奖励方案模拟函数为y＝f（x）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈［25，1600］时，①f（x）单调递增；②f（x）≤90恒成立；③f（x）≤x5恒成立（1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f（x）＝115x+10（Ⅱ）f（x）＝2x6试分析这两个函数模型是否符合公司要求.（2）已知函数g（x）＝ax10（a≥2）符合公司奖励方案函数模型的要求，求实数a的取值范围8.了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快.经过2分钟菌落的覆盖面积为18mm2，经过3分钟覆盖面积为27mm2，现菌落覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（x∈N）分钟的关系有两个函数模型y＝kax（k>0，a>1）与y＝px12+q（p（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；（2）在理想状态下，求开始时菌落的面积，并求约经过多久培养基中菌落面积是开始时的1000倍.（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）课时把关练4.5函数的应用（二）函数模型的应用参考答案1.B2.D3.C4.B5.e66.解：由题意知40－24＝(88－24)×1220h，即eq\f(1,4)＝12解之，得h＝10，故原式为T－24＝(88－24)×12t10，即T－24＝当T＝32时，代入上式，得32－24＝64×12t10，即12t因此，降温到32℃需要30min.7.解：（1）对于函数（Ⅰ）：因为f（30）＝12>6，即函数（Ⅰ）不符合条件③，所以函数f（x）＝x15+10不符合公司奖励方案函数模型的要求对于函数（Ⅱ）：当x∈［25，1600］时，f（x）单调递增，且f（x）max＝f（1600）＝2×406＝74<90，所以f（x）≤90恒成立.设h（x）＝2x6x5＝15（x5）因为x∈［5，40］，所以当x＝5时，h（x）max＝1≤0，所以f（x）≤x5恒成立所以函数模型（Ⅱ）符合公司要求.（2）因为a≥2，所以函数g（x）满足条件①.由函数g（x）满足条件②得a1 60010≤90，所以a由函数g（x）满足条件③得ax10≤x5对x∈［25，1600即a≤x5+10x对x∈［25，1600］因为x5+10x≥22，当且仅当x＝50时等号成立，所以a综上所述，实数a的取值范围是2,8.解：（1）因为y＝kax（k>0，a>1）的增长速度越来越快，y＝px12+q（p所以依题意应选函数y＝kax（k>0，a>1）.则有ka2所以y＝8×32x（x（2）当x＝0时，y＝8，故开始时