四川省眉山市第一中学2024-2025学年高二上学期12月期中考试数学试题2

2023级高二上学期半期考试数学试卷一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线的倾斜角是A. B. C. D.不存在2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（）A. B.C. D.3.若如图中的直线的斜率分别为，则（）A. B. C. D.4.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A. B.C.或 D.或5.向量，若，且，则的值为（）A.或1 B.1 C.3或 D.3或16.如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（）A.67 B.49 C.7 D.7.皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（）A. B. C. D.8.如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．）9.下列叙述错误的是（）A.若事件发生的概率为，则B.分层是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等C.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些D.对于任意两个事件和，都有10.下列说法中，正确是（）A.直线的一个方向向量为B.，，三点共线C.直线必过定点D.经过点，倾斜角为直线方程为11.如图，直三棱柱所有棱长均，，，，分别在棱，上，（不与端点重合）且，，分别为，中点，则（）A.平面B.过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形C.在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为D.若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为3三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为______．13.已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围______.14.在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是______．四、解答题：（第15题13分，1617题每题15分，1819题每题17分．）15.在中，，边上高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.（1）求直线的一般式方程；（2）求直线的一般式方程及点的坐标.16.如图所示，已知是平行六面体．（1）化简；（2）设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．17.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．18.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，（i）求平面PDM与平面BDM的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.已知，，，定义一种运算：，已