高中数学讲义（人教B版2019必修四）第14讲专题10-2复数方程问题

专题102复数方程问题TOC\o"13"\h\u题型1代入法 2题型2设出方程的根 6题型3实系数方程虚根成对定理 7题型4求根公式法 12知识点.实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R且a≠0），1.当△=b²4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，x=2.当△=b²4ac=0时，方程有两个不相等的实数根，x=3.当△=b²4ac<0时，方程有两个不等的虚数根，x=注意：1.实系数一元二次方程ax²＋bx＋c=0（a≠0）在复数集中恒有解；2.若实系数一元二次方ax2＋bx＋c=0（a≠0）在复数集中有虚根，则虚根成对出现（互为共轭虚数）；3.根与系数的关系依然适用，即不论△的正负，恒有x4.对于任意二次三项式都有ax²＋bx+c=a（xx1）（xx2），（a≠0），其中x15.两个虚数共轭的充要条件是两个虚数的和、积都是实数.6.复系数一元二次方程根与系数的关系依然适用，但不能根据判别式判断解的情况，且虚根通常也不是成对出现（非共轭），通常利用复数相等的方法来求解。题型1代入法【例题1】（2022·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知复数i−2是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，则pi+qA．25 B．5 C．41 D．41【答案】C【分析】将i−2代入原方程，然后根据复数相等求解出p,q的值，则pi+q可求.【详解】因为复数i−2是关于x的方程x2所以i−22+pi−2所以p=4,q=2p−3，所以p=4,q=5，则pi+q=故选：C.【变式11】1.（2023春·广东广州·高一广州市第一中学校考期中）已知−3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋【答案】1226【分析】由条件可得2−3+2i2＋【详解】∵−3＋2i方程2x∴2即(10－3p∴10−3p+q故答案为：12；26.【变式11】2．设方程x2−(tanθ+i)x−(2+i)=0中，【答案】θ=π4，【分析】将实数a代入方程后，左边整理成复数的标准形式，然后根据复数相等的条件，让实部和虚部均为0，即可求出结果.【详解】因为实数a是方程的一个根，所以a2即a2−atanθ−2−(a+1)i所以a2−atanθ−2=0a+1=0，解得a=−1，所以θ=π4【变式11】3．（2021春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）设z0=a+4i（a∈R）为关于x的方程x【答案】6【分析】根据z0为方程x2−6x+m=0m∈R【详解】因为z0=a所以(a+4i)2所以(a所以a2−16−6a所以z0设z=c+整理得(c所以点(c,d所以z=c2所以z的最大值为(3−0)2故答案为：6【变式11】4．（2023·全国·高一专题练习）关于x的方程x2+mx+5=0m【答案】−3【分析】将2+nin【详解】因为关于x的方程x2+mx故(2+ni)2则9−n2+2m=04n故答案为：−3【变式11】5．（2023春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）已知复数z1=2+i是关于x的方程x2+px+q=0（p，q∈A．π B．16π C．25π D．81π【答案】A【分析】先由z1是方程的根求出p，q【详解】∵z1=2+i是关于x的方程x2+px∴2+i2+p2+i+q=0∴3+2p+q∴z−如图所示复平面内，复数z和z1=2+i表示的点为Z和Z1，表示的向量为OZ则由复数减法的几何意义，复数z−z1若z−z1∴点Z的集合图形M是以Z1为圆心，半径为1∴M围成的面积为S=π×故选：A.【变式11】6．（河南省洛阳市20222023学年高一下学期期中考试数学试题）已知复数z与z+2(1)求z；(2)若z−1是关于x的方程2x2【答案】(1)z(2)p【分析】（1）设z=bib≠0（2）利用（1）的结论可得−1+2i为方程2x【详解】（1）设z=bi由z+22+8i解得b=2所以z=2i（2）由（1）可知−1+2i为方程2x∴2(−1+2i)整理得–6−p∴2p−8=0−6−题型2设出方程的根【例题2】若共轭复数x，y满足(x+y)2−3xyi=4−6i【答案】4【分析】待定系数法，再利用复数相等的条件可得方程组，解出答案即可.【详解】设x=a+bi，则y=a−b∵(x+y)2∴(a+bi∴4a2=4,∴x=1+i,y=1−i或x=1−i∴共有4组解.故答案为：4.【变式21】1．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2=−1，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用a+bi(A．−1+2i B．−2−i C．−1±2i D．−2±i【答案】C【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.【详解】设z=a+bi(即(a2−b2+2a所以z=−1±2i故选：C【变式21】2．（2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知虚数z满足z=(1)求证：z+5iz(2)若z是方程2x2+4x+【答案】(1)证明见解析(2)k=10，【分析】（1）由题设可得z+（2）将复数z=【详解】（1）设z=a+bi(所以z+所以z+5iz在复平面内对应的点为(（2）同（1）设复数z=a+所以2(a+所以2a2−2b2因为a2+b把a=−1,b=±2代入2所以k=10，z题型3实系数方程虚根成对定理【例题3】若1+2i是关于x的实系数方程x2【答案】1【分析】利用实系数方程虚根成对定理，转化求解即可．【详解】因为1+2i是关于x的实系数方程x2由根与系数的关系可知：(1+2i)+(1−2i所以b故答案为：1．【变式31】1．（2021秋·江苏苏州·高一校考期中）已知2+i是关于x的方程x2+ax【答案】9【分析】由题意可知，关于x的方程x2+ax+b=0a,b【详解】由题意可知，关于x的方程x2+ax+b由韦达定理可得2+i+2−i=−a2+i2−i=故答案为：9.【变式31】2．（2021秋·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）已知1+i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+mx+n=0（m、【答案】2【分析】首先根据复数根特点结合韦达定理求出m=−2n=2【详解】由题可知,方程x2+mx由韦达定理得1−i+1+i=−m(1−i)(1+i)=ni1=i，i2=−1，i3则i2023=−i，则z+则复数z表示到两定点A0,1则其轨迹为AB的垂直平分线，易得kAB=1，AB中点坐标为则垂直平分线斜率为−1，垂直平分线方程为x+则|z+m|=|z则最短距离为点2,0到直线x+y=0则|z+m故答案为：2,+∞【变式31】3．（2021春·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知i为虚数单位，复数z为纯虚数，且z+3(1)求复数z；(2)若复数z0=z+1是关于x的方程x2【答案】(1)3i(2)m【分析】（1）根据纯虚数与实数的定义，结合复数的运算，建立方程，可得答案；（2）根据二次函数的复数根的性质，利用韦达定理，可得答案.【详解】（1）由复数z为纯虚数，设z=ai由z+31+i为实数，则a−3=0，解得a（2）由题意可知，方程x2+mx则−m=x所以m=−2,【变式31】4．（2021春·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）已知复数z1=a+3i,z(1)若z1+z(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2−6【答案】(1)a(2)m【分析】（1）写出z2，再根据复数的加法运算求出z（2）根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数，结合韦达定理即可得出答案.【详解】（1）解：z2z1因为z1所以a+2>03+a（2）解：因为虚数z1是实系数一元二次方程x所以虚数z1=a则z1所以a=3,【变式31】5．（2021春·上海青浦·高二统考期末）已知z1,z2是实系数一元二次方程的两个虚数根，且(1)求z1和z(2)写出一个以z1和z【答案】(1)z1=4+9i(2)x2【分析】1）根据题意设z1=a+bi，z2=a−b（2）利用根与系数关系，即可解决此问题．【详解】（1）解：因为z1则z1设z1=a代入2z得2a整理得3a∴3a−b∴z1=4+9i（2）∵z1+∴以z1和z2为根的实系数一元二次方程可以为【变式31】6．（2023春·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期中）已知复数z1=a(1)若a=1，求z(2)若z2是关于x的实系数方程x2+【答案】(1)−(2)2【分析】（1）利用复数的除法进行计算即可；（2）方法一，把z2=1−a方法二，由1−ai是关于x的实系数方程x2+mx【详解】（1）若a=1，则z所以z1（2）方法1：由题得(1−a所以6−a2+m=0,m+2则z1方法2：因为1−ai是关于x的实系数方程所以1+ai是方程x2即1+a2=5，又a则z1题型4求根公式法【例题4】（2023春·安徽六安·高一六安一中校考阶段练习）方程x2【答案】±【分析】利用复数单位i的性质，解方程即可求得答案.【详解】由题意得方程x2+3=0即故x=±故x2+3=0的复数根是故答案为：±【变式41】1．（2023春·福建福州·高一福州日升中学校考期中）方程x2【答案】−2±2i【分析】根据实系数一元二次方程求根公式进行求解即可.【详解】因为Δ=4所以实系数方程x2+4x故答案为：−2±2i【变式41】2．（2023春·河南漯河·高一校考期中）方程x2【答案】3±4i【分析】将已知方程配方，结合虚数单位的定义i2【详解】由方程x2−6x即x−3所以x−3=±4i所以方程x2−6x故答案为：3±4i.【变式41】3．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知复数z是一元二次方程2x2−2A．1 B．22 C．0 D．【答案】B【分析】利用复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式得到2x2−2x+1=0【详解】∵复数z是一元二次方程2x又Δ=−2∴该方程的根为x=即z=12+1故选：B．【变式41】4．已知方程x2+x+p=0（p∈R）的两个根是x1、【答案】94或【分析】按p分类讨论，分方程x2+x+p=0的两个根是实数根和虚数根两种情况分别去求【详解】当p≤14时，方程则x1+x则x1−x则−12−4p=3当p>14时，方程令x1=又x1+x则−122综上，p的值为p=94故答案为：p=94【变式41】5．（2022·全国·高一假期作业）复数z是关于x的方程x2−2x(1)求复数z；(2)将z所对应向量绕原点O逆时针旋转90°得到向量OZ1，记OZ1所对应复数为【答案】(1)z=1+i(2)i.【分析】（1）设z=a+（2）由题可得OZ(1)设z=a+∴a2解得a=1b=1由z−i≤1，可得故a=1所以z=1+i(2)因为z=1+i，对应向量的坐标为1,1，绕原点O逆时针旋转90°得到向量O∴OZ1=∴z1∴z1【变式41】6．（2023春·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）设z1，z2均为复数，在复平面内，已知z1对应的点的坐标为((1)若复数z1(2)若|z2|=3，且z2【答案】(1)m(2)−【分析】（1）根据z1（2）用实数a表示z2，根据其模长可求a，再根据复数的除法可求z【详