江西省鹰潭市贵溪市2024-2025学年高三上册第一次月考数学检测试题（含解析）

江西省鹰潭市贵溪市2024-2025学年高三上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（）A. B. C. D.3.已知命题“”是假命题，则的取值范围为（）A. B. C. D.4.下列三个关于函数的命题：①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象；②函数的图象关于对称；③函数在上单调递增．其中，真命题的序号是（）A.① B.② C.③ D.以上皆不对5.已知函数是函数的导函数，则函数的部分图象是（）A B.C. D.6.在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（）A. B. C.3 D.7.已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（）A3 B.4 C.5 D.68.已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（）A. B.3 C. D.二、多选题：（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（）A. B.C. D.10.已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（）A. B.为奇函数C.在R上单调递减 D.当时，11.设，，且，则下列关系式可能成立的是（）A. B. C. D.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若函数（）是偶函数，则的最小值是________．13.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点．试求函数在区间上的“中值点”______．14.已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：（本题共5小题，共77分）15.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”充分而不必要条件，求实数a的取值范围．16.已知函数，对，有.（1）求的值及的单调递增区间；（2）若，，求；（3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围.17.已知的周长为20，角，，所对的边分别为，，（1）若，，求的面积；（2）若的内切圆半径为，，求的值．18.已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设．（1）求实数，值；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为，比较的大小关系，并说明理由；（3）若时，，求取值范围.江西省鹰潭市贵溪市2024-2025学年高三上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据函数的定义域求集合A，根据一元二次不等式解法求集合B，利用并集概念运算即可.【详解】由，得，即，由，得或，即，所以.故选：B.2.若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由计算出的取值范围，可得出，再由函数在区间上单调递减可得出关于的等式，由此可解得实数的值.【详解】，当时，，由于函数在区间上单调递增，则，所以，，由于函数在区间上单调递减，所以，函数在处取得最大值，则，又，所以，，解得.故选：C.关键点点睛：本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数的一个最大值点，进而列出关于的等式求解.3.已知命题“”是假命题，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论.【详解】由题意得，若“”是真命题，即当时，恒成立，则，其中，由，可得，所以所以命题“”是假命题，则的取值范围为．故选：D.4.下列三个关于函数的命题：①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象；②函数的图象关于对称；③函数在上单调递增．其中，真命题的序号是（）A.① B.② C.③ D.以上皆不对【正确答案】C【分析】对于①，利用三角恒等变换得到，利用左加右减得到平移后的解析式，得到①错误；对于②，计算出，②错误；对于③，求出，由于在上单调递增，得到③正确.【详解】对于①，，的图象向右平移个单位得到，①错误；对于②，，故图象不关于对称，②错误；对于③，时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，③正确．故选：C5.已知函数是函数的导函数，则函数的部分图象是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】求导得的解析式，可判断为奇函数，可排除AB，再由特殊值可排除C，即可得解．【详解】∵，，∵，为奇函数，图象关于原点对称，故排除AB；，故排除C，而D符合.故选：D．6.在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（）A. B. C.3 D.【正确答案】C【分析】利用“”的代换，结合基本不等式求最值.【详解】由题意得，，所以，则，当且仅当时，即等号成立，故当时，取到最小值.故的最小值为.故选：C.7.已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】B【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果.【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，因为和在上递增，所以在上递增，所以为唯一的零点，设函数与交点为，的零点为函数与交点的横坐标，因为和在上递减，所以在上递减，所以为唯一的零点，设函数与交点为，因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，所以关于直线对称，所以.故选：B关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是利用与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称进行求解，考查数学转化思想，属于较难题.8.已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（）A. B.3 C. D.【正确答案】C【分析】画出函数图象，再根据函数零点个数以及二次函数根的分布情况，可求得.【详解】作出函数的图象如下图所示：结合图象可知，令，令，则可得方程有两个不相等的实数根，不妨设；所以，解得或；若函数有6个不同的零点，根据图象可知当时符合题意，此时无解；当时，满足函数有6个不同的零点，根据二次函数根的分布可知此时需满足，解得，因此实数a的取值可以是.故选：C关键点点睛：本题关键在于根据解析式画出函数图象，结合图象交点个数分类讨论确定零点分布情况，即可求得实数a的取值范围.二、多选题：（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】解不等式，充分不必要条件对应的集合是不等式解集的真子集.【详解】由得，其充分不必要条件对应的集合为的真子集即可.故选：BC10.已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（）A. B.为奇函数C.在R上单调递减 D.当时，【正确答案】ABD【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.【详解】A选项，中，令得，，又，故，令中，令得，令得，即，A正确；B选项，中，令得，解得，中，令得，故为奇函数，B正确；C选项，中，令，且，故，即，当时，，故，即，故在R上单调递增，C错误；D选项，，，又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.故选：ABD11.设，，且，则下列关系式可能成立的是（）A. B. C. D.【正确答案】ACD【分析】首先求出，再由选择支分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可.【详解】由于，知，及其，则，解得.AB项，，设函数，则，故在上单调递减，则1，故函数的值域为.而，，故A对B错；C项，由于，设，则，故在上单调递减，所以，故函数的值域为，若，则，故C对；D项，，设，，令，则，则当，，则在上单调递增；当，，在上单调递减，，，即，故D正确.故选：ACD.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若函数（）是偶函数，则的最小值是________．【正确答案】【分析】化简函数，再根据函数为偶函数求出即可.【详解】解：因为为偶函数，所以，所以，又因为，所以.故答案为.本题主要考查这个函数的奇偶性，属于中档题.13.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点．试求函数在区间上的“中值点”______．【正确答案】【分析】求导，设在区间上的“中值点”为，则，求出答案.【详解】，，设在区间上的“中值点”为，则，解得，故函数在区间上的“中值点”为.故14.已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是______．【正确答案】【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.【详解】因，所以，而，当且仅当，即时等号成立，所以，故知，故本题主要考查了式子的变形化简，均值不等式，“1”的技巧，属于难题.四、解答题：（本题共5小题，共77分）15.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求；（2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围．【小问1详解】已知集合，．当时，，或又，；【小问2详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，又，，所以，所以；当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，综上所述：．16.已知函数，对，有.（1）求的值及的单调递增区间；（2）若，，求；（3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围.【正确答案】（1），单调递增区间为（）（2）（3）或【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据得到方程，求出，得到函数解析式，整体法得到函数单调性；（2）根据得到，凑角法，结合正弦和角公式得到答案；（3）根据伸缩和平移变换得到，令，故，令，从而得到，因为，所以当时，，所以，解出答案.小问1详解】，因为对，有，可得当时，取得最值，所以，，可得，，又，所以，所以，由，，可得，，所以的单调递增区间为（）.【小问2详解】由，，，可得，，所以，所以.【小问3详解】将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到函数的图象，进而可得，令，只需，令，因为，所以，所以，因为，可得，所以，因为，所以当时，，所以，即，解得或.所以实数的取值范围为或.17.已知的周长为20，角，，所对的边分别为，，（1）若，，求的面积；（2）若的内切圆半径为，，求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理，可得，又的周长为20，可得，则可得，由三角形的面积公式即可求出的面积；（2）由的内切圆的性质，可得，，再由的周长为20，可求出，进而求出，即可求出的值．【小问1详解】在中，由余弦定理，可得，由，，则，得,由的周长为20，即，则，所以，则，即，所以，故的面积为，.【小问2详解】根据题意，如图所示，圆为的内切圆，半径为，切点分别为，则，且，由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点，则，且，由中，即，所以，又，即，所以，则，则，在中，故，即.18.已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设．（1）求实数，的值；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．【正确答案】（1），（2）（3）【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得，（2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为.（3）根据题意由方程有四个不同的实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得的取值范围为.【小问1详解】由可知关于对称，又，所以函数在上单调递增，可得，即，解得，.【小问2详解】由（1）可知，则不等式，可化为，所以，即，令，又，可得，即，显然函数，为对称轴，所以在上单调递增，由题意得，即可，所以，所以的取值范围为.【小问3详解】，所以，即为，可化为：，令，即，所以关于的方程有四个不同的实数解等价于有两个不相等的正实数根，，满足，，解得，所以实数的取值范围为.求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为，比较的大小关系，并说明理由；（3）若时，，求的取值范围.【正确答案】（1）（2），理由见解析（3）【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）令，求出其导数，进而求得函数最值，即可得结论