中考数学三轮冲刺培优训练专题12圆与三角函数、相似问题（解析版）

专题12圆与三角函数、相似问题（最新模拟预测40题）一、解答题1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，D是AB的中点，∠FAC=1(1)求证：AF是⊙O的切线；(2)若BC=6,sinB=45，求【答案】(1)见解析(2)2，10【分析】（1）作OH⊥FA，连接OE，根据直角三角形的性质可得CD=AD=12AB，从而得到∠CAD=∠ACD，再由∠FAC=12∠BDC，可得（2）根据题意可设AC=4x,AB=5x，根据勾股定理可得AC=8,AB=10，设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，AO=8−r，根据△AOE∽△ABC，可得r=3，从而得到OE=3，【详解】（1）证明：如图，作OH⊥FA，连接OE，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AD=1∴∠CAD=∠ACD，∵∠BDC=∠CAD+∠ACD=2∠CAD，又∵∠FAC=1∴∠FAC=∠CAB，即AC是∠FAB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH=OE，∵OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：在△ABC中，BC=6,sin∴可设AC=4x,AB=5x，∵AB∴5x2解得：x=2，∴AC=8,AB=10，∵D是AB的中点，∴AD=1设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，AO=8−r，∵∠AEO=∠ACB=90°，∠OAE=∠CAB，∴△AOE∽∴OEBC即r6解得：r=3，∴AO=5,OE=3，∴AE=4，∴DE=1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD=【点睛】本题考查了圆的切线的性质和判定，直接三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质和判定是解题关键．2．（2023·河南安阳·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD是⊙O的直径，E是DA长线上一点，且∠CED=∠CAB．(1)判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若DE=35，tanB=1【答案】(1)CE是⊙O的切线；见解析(2)3【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，根据圆周角定理得出∠B=∠D，推出∠DCE=90°即可得出结论；（2）根据∠B=∠D，得到tan∠B=tan∠D，即可得CD=2CE【详解】（1）CE与⊙O相切，理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠CED=∠CAB，∠B=∠D，∴∠CED+∠D=90°，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴CD⊥CE，∵CD是⊙O的直径，即OC是⊙O半径，∴CE是⊙O的切线；（2）由（1）知，CD⊥CE，在Rt△ABC和Rt∵∠B=∠D，tanB=∴tan∠B=∴CD=2CE，在Rt△CDE中，CD2∴2CE2解得CE=3（负值舍去），即线段CE的长为3．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键．3．（2023·河南安阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AB=5，点D是⊙O外一点，连接DB交⊙O于点C，连接OC，AC，AD，已知∠D+1(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若sinB=35【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先由圆周角定理得到∠B=12∠AOC，即可得到∠D+∠B=90°，则∠BAD=90°，由此即可证明AD（2）先解Rt△ABC，求出AC=3，BC=4，则tanB=34，证明【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠B=1∵∠D+1∴∠D+∠B=90°，∴∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，sin∴AC=AB⋅sin∴BC=A∴tanB=∵∠B+∠BAC=90°=∠CAD+∠BAC，∴∠CAD=∠B，在Rt△ADC中，tan∴CD=3【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，灵活运用所学知识是解题的关键．4．（2023·广西南宁·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，连结AC，AF，OC，AC平分∠FAB，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若tan∠DAC=12，AB=10【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）证明∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是（2）连接BC，FC，根据三角函数的定义，利用勾股定理解直角三角形，分别求出BC=25，AC=45，CD=4，AD=8，证明△DFC∽△CBA，得到【详解】（1）解：证明：∵AC平分∠FAB，∴∠FAC=∠CAO，∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FAC=∠ACO，∴AD∥∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线；（2）连接BC，FC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠DAC=∠CAB，∴tan∠DAC=tan∵AB=10，∴AC2+B解得：BC=25（负值舍去），AC=4∵tan∠DAC=∴AD=2CD，同理可得：CD=4，AD=8，∵四边形ABCF内接于⊙O，∴∠AFC+∠B=180°，又∠AFC+∠DFC=180°，∴∠B=∠DFC，∵∠CDF=∠ACB=90°，∴△DFC∽△CBA，∴DFBC=CD解得：DF=2．【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是能根据切线的判定与性质和圆周角定理得到90°角．5．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°．直线l过点C，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为(1)求证：直线l是⊙O的切线；(2)若AF=43【答案】(1)见解析(2)96【分析】（1）连接OC，根据角平分线得出AF∥OC，再根据垂直定理得出OC⊥l，OC为半径，即可解答（2）如图，连接CD，根据题意得出∠ACD=90°，∠FAC=∠CAD=30°，再根据含30°的直角三角形三边关系得到FC=12AC【详解】（1）证明：如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∵AC平分∠FAD，∴∠FAC=∠CAD，∴∠FAC=∠ACO，∴AF∥OC，∵AF⊥l，∴OC⊥l，∵OC为半径，∴直线l是⊙O的切线；（2）解：如图，连接CD．∵AD是圆的直径，∴∠ACD又∵∠ADC=∠B=60°，∴∠CAD=30°，∴∠FAC=∠CAD=30°，在Rt△ACE中，∠FAC=30°，AF=4∴FC=1设FC=x，则AC=2x，2x2解得：x=4，∴CF=4．在Rt△OCG中，∠COG=60°得OC=4在Rt△CEO中，OE=∴S阴影【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了直角三角形的性质和扇形的面积．6．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C，E在⊙O上，AC平分∠EAB，CD⊥AE，垂足为D，DC，AB的延长线交于点F．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE=1,AE=2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接OC，根据角平分线的意义和等边对等角得出∠EAC=∠OCA，继而根据平行线的判定与性质求出∠D=∠OCF，根据切线的判定证明即可；（2）作OP⊥AE于点P，利用特殊角的三角函数值求出∠PAO=60°，进而求出CF，最后根据S阴影【详解】（1）证明：如图，连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠OAC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA，∴AD∥∴∠D=∠OCF．∵CD⊥AE．∴∠OCF=∠D=90°．∴OC⊥DF．∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）如图，作OP⊥AE于点P，则四边形OCDP是矩形，AP=PE．∵DE=1，∴OA=OC=PD=2，∴cos∠PAO=∴∠PAO=60°．∵AD∥∴∠COF=∠PAO=60°，∴CF=OC⋅tan∴S阴影【点睛】本题考查了角平分线的意义和等边对等角，平行线的判定与性质，切线的判定，解直角三角形等知识．连接常用的辅助线是解题关键．7．（2023·广西防城港·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．(1)求证：FG与⊙O相切；(2)连接EF，求tan∠EFC【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接OC,AC．易证△ACD为等边三角形，所以∠D=∠DCA=∠DAC=60°，从而可知∠1=12∠DCA=30°，由于FG∥DA，易知∠OCF=∠DCF−∠1=90°，所以FG（2）作EH⊥FG于点H．设CE=a，则DE=a,AD=2a．易证四边形AFCD为平行四边形．因为DC=AD,AD=2a，所以四边形AFCD为菱形，求出∠DCG=60°，从而可求出EH、CH的值，从而可知FH的长度，利用锐角三角函数的定义即可求出tan∠EFC【详解】（1）连接OC,AC．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE=DE,AD=AC．∵DC=AD，∴DC=AD=AC，∴△ACD为等边三角形，∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°，∴∠1=1∵FG∥DA，∴∠DCF+∠D=180°，∴∠DCF=180°−∠D=120°，∴∠OCF=∠DCF−∠1=90°，∴.FG⊥OC，∴FG与⊙O相切（2）作EH⊥FG于点H．设CE=a，则DE=a,AD=2a．∵AF.与⊙O相切，∴AF⊥AG．又∵DC⊥AG，可得AF∥DC．又∵FG∥DA，∴四边形AFCD为平行四边形．∵DC=AD，∴四边形AFCD为菱形．∴AF=FC=AD=2a,∠AFC=∠D=60°．由（1）知∠DCF=120°∴∠DCG=60°，∵EH=CE⋅sin∴FH=CH+CF=5∵在Rt△EFH中，∠EHF=90°∴tan∠EFC=【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键．8．（2023·北京西城·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点E为CD的中点．点F在弧AD上，过点F作⊙O的切线交CD的延长线于点G，交BA的延长线于点P，BF与CD交于点H．(1)求证：∠G=2∠B；(2)若⊙O的半径为4，sinG=35【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）连接OF，易得OF⊥PG,AB⊥CG，可得∠G=∠POF，圆周角定理，得到∠AOF=2∠B，即可得证；（2）连接AF，得到∠AFB=90°，根据∠G=∠POF，得到sin∠POF=35，求出PF,PO，进而求出AP的长，证明△PFA∽△PBF【详解】（1）证明：连接OF，∵GF为⊙O的切线，∴OF⊥GF，∴∠OFP=90°，∴∠AOF+∠P=90°，∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点E为CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠PEG=90°，∴∠G+∠P=90°，∴∠G=∠AOF=2∠B；（2）解：∵⊙O的半径为4，∴AB=8,OF=4，∵∠G=∠AOF，∴sin∠POF=在Rt△OFP中，sin设PF=3x,OP=5x，则：OF=O∴x=1，∴PF=3,OP=5，∴AP=OP−OA=1；连接AF，则：∠AFB=90°，∴∠PFA=∠OFB=90°−∠AFO，∵OB=OF，∴∠B=∠OFB，∴∠PFA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PFA∽△PBF，∴BFAF∴BF=3AF，在Rt△AFB中，A∴AF=4105∴BF=3AF=12【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．9．（2023·福建漳州·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在BA延长线上，点D在⊙O上，连接CD，AD，∠ADC=∠B，OF⊥AD于点E，交CD于点F．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若S△COF:S【答案】(1)见解析(2)sin【分析】（1）连接OD，由AB是直径，可得∠ADB=90°即∠ADO+∠BDO=90°，再由OB=OD，可得∠BDO=∠B，最后根据∠ADC=∠B，即可证明结论；（2）由OF⊥AD，∠ADB=90°，可证OF∥BD即∠COF=∠B，从而证明△COF≌CBD，可得S△COFS△CBD=COCB2，再由S【详解】（1）证明：连接OD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，∵OB=OD，∴∠BDO=∠B，∵∠ADC=∠B，∴∠ADO+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵OF⊥AD，∴∠AEO=90°，∵∠ADB=90°，∴OF∥BD，∴∠COF=∠B，∵∠C=∠C，∴△COF≌CBD，∴S△COF∵S△COF∴COCB∴OBCB=1∵OB=OD，∴CO=3OD，∴在Rt△CDO中，sin【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质和判定、相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，AB是⊙O的直径，已知点D是弧BC的中点，连接DO并延长，在延长线上有一点E，连接AE，且∠E=∠B．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)连接AC，若AC=6，CF=4，求OE的长．【答案】(1)证明见解析(2)25【分析】（1）由垂径定理可得∠BFO=90°，再由三角形内角和定理证明∠EAO=∠BFO=90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）由直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，由垂径定理可得BC=2CF=8，即可利用勾股定理求出AB=10，即可得到sin∠B=ACAB=35，再由【详解】（1）证明：∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴∠BFO=90°，∵∠B=∠E，∴∠EAO=∠BFO=90°，又∵AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CF=4，∴由垂径定理可得BC=2CF=8，∴AB=A∴sin∠B=∵∠E=∠B，∴sinE=∴在Rt△AOE中，OE=【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角等等，灵活运用所学知识是解题的关键．11．（2023·福建龙岩·校考一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．(1)动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；(2)综合运用：请根据所作的图，若AC=8，sin∠OBC=1【答案】(1)见解析(2)21【分析】（1）根据角平分线和圆的尺规作图方法作图即可；（2）如图所示，过点O作OD⊥AB于D，由角平分线的性质得到OC=OD，设OC=OD=x，OA=8−x，解Rt△OBC求出OB=3x，BC=22x，再证明△ADO∽△ACB，利用相似三角形的性质求出AD=22，在Rt△ADO中，由勾股定理得，8−x【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，过点O作OD⊥AB于D，∵OB平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，∴OC=OD，设OC=OD=x，OA=8−x，在Rt△OBC中，sin∴OB=3OC=3x，∴BC=O∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ACB，∴ADAC=OD∴AD=22在Rt△ADO中，由勾股定理得O∴8−x2解得x=7∴OB=3x=21【点睛】本题主要考查角平分线和圆的尺规作图，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．12．（2023·浙江宁波·统考一模）△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接BD，已知BC=6，∠BAC=α(1)连接BI，CI，则∠BIC=______（用含有α的代数式表示）(2)求证：BD=DI；(3)连接OI，若tanα2=(4)若tanα2=33【答案】(1)90°+(2)见解析(3)IO的最小值=(4)AB=26或43时，【分析】（1）连接BI，CI，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理即可求解；（2）根据点I是△ABC的内心，得出BD=DC，则∠BAI=∠CBD，进而得出∠BID=∠IBD（3）因为BD=DC，所以点D为BC的中点，故点D是一个定点．由（1）的结论BD=DI，可知，点I在以点D为圆心，BD长为半径的圆上运动，所以当点I，O，D三点共线时，IO取最小值．此时AD为⊙O的直径，且AD为BC的垂直平分线，∠CBD=∠EAC=∠BAE=12∠BAC=（4）根据tanα2=33，得出∠BAE=∠CAE=12∠BAC=α2=30°，分别连接OB，OD，记OD【详解】（1）连接BI，CI，∵点I是△ABC的内心∴∠BAI=∠IAC，∠ABI=∠IBC，∠ACI=∠ECI∴∠BIC=180°−∠IBC−∠ICB=180°−（2）解：如图1所示，连接BI，∵点I是△ABC的内心，∴∠BAI=∠IAC，∠ABI=∠IBC，∴BD=∴∠BAI=∠CBD，∵∠ABI+∠BAI=∠BID，∠IBC+∠CBD=∠IBD，∴∠BID=∠IBD，∴BD=DI；（3）解：因为BD=DC，所以点D为BC的中点，故点由（1）的结论BD=DI，可知，点I在以点D为圆心，BD长为半径的圆上运动，所以当点I，O，D三点共线时，IO取最小值．如图2所示，此时AD为⊙O的直径，且AD为BC的垂直平分线，∠CBD=∠EAC=∠BAE=1∵BC=6

∴BE=CE=在Rt△BED中，∴DI=BD=在Rt△ABE中，∴AD=DE+AE=∴OD=故IO的最小值=DI−OD=（4）解：∵tanα∴α=60°

∴∠BAE=∠CAE=分别连接OB，OD，记OD与BC相交于点M，∵BD=DC∴OD⊥BC，BM=CM=12∴△BOD是等边三角形同（2）可求得DM=3，OB=OD=BD=2①AB=EB，如图3所示，此时∠BEA=∠BAE=30°

∠CBD=∠CAE=30°∴∠CED=∠BEA=30°而∠CED=∠CBD+∠BDA=30°+∠BDA矛盾，故此种情况不成立．②AB=AE，如图4所示，过点E作EH⊥BD，交BD于点H，过点A作AN⊥BC，交BC于点N，此时∠BAE=30°，∠ABE=∠AEB=75°，△ANE∽△DME∴∠CBD=∠CAE=30°，∠CED=∠AEB=75°∴∠EDB=∠CED−∠CBD=45°设DH=x，则EH=x，BH=∵BH+DH=BD=2∴3x+x=2解得x=3−∴BE=2EH=6−23，∴EM=BM−BE=23−3∵△ANE∽△DME∴NEEM=解得，AE=2∴AB=AE=26③BE=AE，如图5所示，此时∠EBA=∠BAE=30°，∵△BOD是等边三角形，OD⊥BC∴∠EBO=30°=∠EBA∴点A，O，B三点共线∴AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°∴AB=2BD=4综上所述，AB=26或43时，【点睛】本题考查了三角形内心的应用，角平分线的定义，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．13．（2023·吉林松原·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若CD=3,BC=23【答案】(1)CD是⊙O的切线．理由见解析(2)2π【分析】（1）连接OC，证明OC⊥CD即可；（2）根据三角函数的定义和弧长公式即可得到结论．【详解】（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC=OB，∴∠OCB=∵BC平分∠ABD∴∠OBC=∴∠OCB=∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）在Rt△BCD中，∵CD=∴sin∠CBD=∴∠CBD=30°∵BC平分∠ABD∴∠ABC=∴∠AOC=2连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∴AB=BC∴AO=2，∴AC的长为60π×2180【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．14．（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上的一动点（不写点A，点B重合），点C是AB延长线上的一点，连接PA，PB，PC，且有∠CPB=∠PDB，作∠APB的平分线PD交⊙O于点D，交AB于点E．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)【问题探究】若PC=23，∠C=30°，则PE⋅PD(3)【拓展延伸】若PC=m，∠C=α，求PE⋅PD的值．（用含m和α的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)4(3)2【分析】（1）连接OP，由圆周角定理得出∠APB=90°，由等腰三角形的性质得出∠OPA=∠CAP，证得∠CPB+∠BPO=90°，则可得出结论；（2）过点P作PM⊥AB于点M，在Rt△OPC中，根据tanC=OPPC得到OP=PC⋅tanC=2，进而得到AB=2OP=4，在Rt△CPM于是得到AP⋅PB=43，根据PD平分∠APB，得到∠APD=∠BPD，进而得到△APE∼△DPB（3）过点P作PM⊥AB于点M，在Rt△OPC中，根据tanC=OPPC得到OP=PC⋅tanC=mtanα，进而得到AB=2OP=2mtanα，在Rt△CPM中，根据sinC=PMPC得到PM=PC⋅sin【详解】（1）证明：如图1，连接OP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，即∠OPB+∠OPA=90°．∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，又∵PB=∴∠PDB=∠OAP，∵OP=OA,∴∠OPA=∠OAP,∴∠PDB=∠OPA，又∵∠CPB=∠PDB，∴∠CPB=∠CPA，∴∠OPB+∠CPB=90°，即∠OPC=90°，∴PC⊥OP．又∵OP为⊙O的半径，∴直线PC是⊙O的切线；（2）解：如图2，过点P作PM⊥AB于点M．∵PC=23，∠C=30°在Rt△OPC中，由tanC=OP∴AB=2OP=4．在Rt△CPM中，由sinC=PM在Rt△APB中，由等面积法可得：AP⋅PB=AB⋅PM∴AP⋅PB=AB⋅PM=43∵PD平分∠APB，∴∠APD=∠BPD，∵∠PDB=∠OAP，∴△APE∼△DPB，∴APPD∴PE⋅PD=AP⋅PB=43（3）解：如图2，过点P作PM⊥AB于点M．∵PC=m，∠C=α，在Rt△OPC中，由tanC=OP∴AB=2OP=2mtan在Rt△CPM中，由sinC=PM在Rt△APB中，由等面积法可得：AP⋅PB=AB⋅PM∴AP⋅PB=AB⋅PM=2m∵PD平分∠APB，∴∠APD=∠BPD，∵∠PDB=∠OAP，∴△APE∼△DPB，∴APPD∴PE⋅PD=AP⋅PB=2m【点睛】本题主要考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握相关定理与性质是解题的关键．15．（2023·北京海淀·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为⊙O外一点，连接AC，BC，BD，CD，满足BC=BD，∠CBD=2∠CBA．(1)证明：直线CD为⊙O的切线；(2)射线DC与射线BA交于点E，若AB=6，sinE=13【答案】(1)证明见详解(2)2【分析】（1）连接OC，根据OC=OA，BC=BD，可得∠OCA=∠OAC，∠D=∠DCB，根据三角形内外角关系可得∠OCA=2∠CBA，结合∠CBD=2∠CBA，可得∠OCA=∠DCB，再根据AB是⊙O的直径可得∠OCA+∠OCB=90°，即可证明；（2）过B作BF⊥ED交ED于点F，根据AB=6得到OC=OB=3，结合sinE=13可得EO，即可得到EB，从而得到BF，根据勾股定理可得EC、EF【详解】（1）证明：连接OC，∵OC=OA，BC=BD，∴∠OCA=∠OAC，∠D=∠DCB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，又∠COA=∠OCB+∠OBC，∠COA=2∠CBA，∵∠CBD=2∠CBA，∴∠COA=∠CBD，∵∠DCB=180°−∠BDC2∴∠OCA=∠DCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠OCA+∠OCB=90°，∴∠DCB+∠OCB=90°，∴CD为⊙O的切线；（2）解：过B作BF⊥ED交ED于点F，∵BC=BD，∴CF=DF，∵AB=6，∴OC=OB=3，∵sinE=∴EO=3∴EB=9+3=12，∴BF=BE×sin根据勾股定理可得，EC=92−∴CF=82∴BD=B∴BD的长是26【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，三角函数，解题的关键是作辅助线得到直角三角形．16．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)连接BE，求证：BE(3)若⊙O的半径为10，sinA=35【答案】(1)见解析(2)见解析(3)15【分析】（1）先由圆周角定理和已知条件说明∠ODB=∠ABC，再证∠ABC+∠DBF=90°，进而证得∠OBD=90°即可证明结论；（2）如图：连接AC，由垂径定理得出BE=CE得出∠CAE=∠ECB、BE=CE，再由公共角∠CEA=∠HEC可得△CEH∼△AEC，由相似三角形的性质可得（3）如图：连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=12，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．【详解】（1）解：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；（2）解：如图：连接AC，∵OF⊥BC，∴BE=CE∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∼△AEC，∴CEEA∴C∵BE=CE∴BE（3）解：如图：连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为10，sin∴AB=20，BE=AB•sin∴AE=A∵BE=∴BE=CE=12，∵BE∴EH=12在Rt△BEH中，BH=【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形相似成为解答本题的关键．17．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）已知：AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，连接AC、AD，且∠CAB=∠DAB；(1)如图①，求证：AC=AD；(2)如图②，连接CD交AB于点M，点E、G在CM上，点F在BM上，连接EF、BG交于点H，若H为BG的中点，且EG=BF，求tan∠EFM(3)如图③，在（2）的条件下，连接DF，且DF∥AC，连接AG并延长交EF于点P，若∠GAB=∠PHG，AC=10【答案】(1)见解析(2)1(3)5【分析】（1）连接CO、DO，证明△AOC≌（2）过点G作GK∥BM，交EF于点K，证明△GKH≌△BFK(ASA)，推出∠GEK=∠GKE，证明（3）证明△AMC≌△FDMAAS，推出△ADF为等腰三角形，设OM=a，OF=b，分别求出tan∠GAM=GMAM=b−ab+a，tan∠GBM=GMBM=b−a3a+b，设∠GAB=∠PHG=α，求出∠PGH=∠EPG−∠PHG=45°，∠ABG=∠PGB−∠GAB=45°−α，延长AP交⊙O于点T，连接BT、FT、TE、TH，推出四边形EMFT为正方形，证明△EGT≌△MGA(AAS)，推出AM=a+b=a+3a=4a，GM=b−a=3a−a=2a，得到tan∠GAM=tanα=2a4a=12，tan∠GBM=tan45°−α=【详解】（1）证明：连接CO、DO，∵BC∴∠BOC=2∠CAB，∵BD∴∠BOD=2∠DAB，∵∠CAB=∠DAB，∴∠BOC=∠BOD，∴180°−∠BOC=180°−∠BOD，∴∠AOC=∠AOD，在△AOC和△AOD中，∠CAO=∠DAOAO=AO∴△AOC≌∴AC=AD；（2）过点G作GK∥BM，交EF于点∴∠GKH=∠BFH，∵∠GHK=∠BHF，GH=BH，∴△GKH≌∴GK=BF，∵EG=BF，∴EG=GK，∴∠GEK=∠GKE，

由（1）知AC=AD，∠CAM=∠DAM，AM=AM，∴△CAM≌∴∠AMC=∠AMD，∵∠AMC+∠AMD=180°，∴∠AMC=∠AMD=90°，∴AM⊥CD，∴∠BMC=90°，∵GK∥∴∠EGK=90°，

∴∠GEK=∠GKE=45°，∴∠EFM=∠EKG=45°，∴tan（3）（3）由（2）知，△ACD为等腰三角形，AC=AD，CM=DM，∠AMC=∠FMD=90°，∵DF∥∴∠ACM=∠FDM，∠CAM=∠DFM，∴△AMC≌∴AC=FD，AM=FM，∵AC=AD，∴AD=FD，∴△ADF为等腰三角形，设OM=a，OF=b，∴MF=a+b=AM，∵AO=BO，∴AM+OM=OF+BF，∴a+b+a=b+BF，∴BF=2a=EG，∵Rt△EMF为等腰直角三角形，EM=MF=a+b∴MG=EM−EG=b−a，∴tan∠GAM=GM设∠GAB=∠PHG=α，∵∠AMC=90°，∴∠AGM=90−α=∠CGP，∵∠GEP=45°，∴∠EPG=45°+α，∴∠PGH=∠EPG−∠PHG=45°，∴∠ABG=∠PGB−∠GAB=45°−α，延长AP交⊙O于点T，连接BT、FT、TE、TH,BD，∵直径AB，∴∠ATB=90°，∴∠ABT=90°−α，∴∠GBT=45°=∠BGT，∴Rt△BGT∵TH为△GTB的中线，∴TH⊥BG，

∴BH=TH，Rt△BHT在△EGT和△FBT中，GT=BT∠EGT=∠FBT∴△EGT≅△FBTSAS∴ET=FT，∠ETG=∠FTB，∵∠ATB=∠ATF+∠BTF=90°，∴∠ATF+∠ETG=90°，∴∠ETF=90°，∴Rt△ETF为等腰直角三角形，∴EF=2在等腰Rt△EMF中，EF=∴EM=ET，∴∠MET=90°，∴四边形EMFT为正方形，∴ET=MF=AM，

在△EGT和△MGA中，ET=AM，∠AMG=∠TEG=90°，∠AGM=∠TGE，∴△EGT≌∴EG=MG，∴2a=b−a，∴b=3a，

∴AM=a+b=a+3a=4a，GM=b−a=3a−a=2a，∴tan∴tan∵∠AMD=∠DMB=90°,∠ADM=∠ACM=∠MBD，∴△AMD∽∴AMDM=∴DM=26∴CM=DM=26在Rt△ACM中，勾股得A∴10=(4a)2∴a=12或∴AM=12+如抽图，过点P作PK⊥EG于K点，tan∠GPK=设GK=m，则PK=2m=EK，∴EG=3m=1，∴m=1∴PK=2m=2在Rt△PKG中，勾股得PG=【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的综合问题，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．本题的综合性强，对学生的思维能力要求高，属于中考压轴题，解题的关键是熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似．18．（2023·广东·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC，垂足为F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE(3)若⊙O的半径为52，sinA=35，求【答案】(1)见解析(2)见解析(3)BH=154【分析】（1）根据已知和圆周角定理的推论可得∠ODB=∠ABC，再证明∠OBD=90°即可解决问题；（2）连接AC，如图2所示，根据垂径定理和圆周角定理推论可证明∠CAE=∠ECB，推出△AEC∽△CEH，再利用相似三角形的性质即可得到结论；（3）连接BE，如图3所示，则∠AEB=90°，解直角三角形ABE求出BE=3,AE=4，结合（2）的结论可求出EH=94，再根据勾股定理即可求出BH；然后解Rt△CFE求出FE=95，进而求出CF=125，即为BF的长，再利用勾股定理求出OF【详解】（1）证明：如图1所示，∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∵AB是⊙O的直径，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图2所示，∵OF⊥BC，∴BE=∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△AEC∽△CEH，∴CEEH∴CE（3）解：连接BE，如图3所示，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为52，sin∴AB=5，BE=AB⋅sin∴EA=A∵BE=∴BE=CE=3，∵CE∴EH=9∴在Rt△BEH中，BH=∵∠A=∠C，∴sinC=∵OF⊥BC，垂足为F，∴在Rt△CFE中，FE=CE⋅∴CF=C∴BF=CF=12∴OF=B∵∠ODB=∠ABC，∴tan∠ODB=∴BFDF∴BF∴125∴DF=288【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质定理、灵活应用数形结合思想是解题的关键．19．（2023·北京丰台·北京市第十二中学校考一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且AD=DC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F，且CF=DC，求sin∠CAE【答案】sin【分析】由BF切⊙O于点B，易得△ABD∽△BFD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得【详解】∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∵AD=DC，∴AB=BC．∵BF切⊙O于点B，∴∠ABF=90°．∴∠BAF+∠F=90°．又∵∠BAF+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠F，∴△ABD∽∴ADBD∴BD又∵CF=DC，∴CF=DC=AD，设CF=DC=AD=k，则BD∴BD=2在Rt△BCD中，BC=sin∠CBD=又∵∠CBD+∠ACB=90°，∠CAE+∠ACB=90°∴∠CBD=∠CAE，∴sin∠CAE=【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角函数，证得△ABD∽20．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为底边BC的中点，AB切⊙O于点D，连接OD，⊙O交BC于点M，N．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)∠B=42°，①若OD=4，求劣弧DM的长；②如图2，连接DM，若DM=4，直接写出OD的长．（参考数据：sin24°取0.4，cos24°取0.9，tan24°【答案】(1)见解析(2)①16π15【分析】（1）过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，通过证明OE=OD，利用直线与圆相切的定义解答即可；（2）①求出∠BOD=48°，再利用弧长公式计算即可；②过点O作OF⊥DM于点F，利用等腰三角形的性质求出DF，∠DOF，利用三角函数的定义即可求出DO的长．【详解】（1）解：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，∵AB=AC，O为底边BC的中点，∴AO为∠BAC的平分线，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE，∵OD为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径，∴直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）①∵AB切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∵∠B=42°，∴∠BOD=48°，∵OD=4，∴劣弧DM的长为48×π×4180②过点O作OF⊥DM于点F，如图，∵OF⊥DM，∴DF=MF=1∵OD=OM，OF⊥DM，∴OF为∠DOM的平分线，∴∠DOF=1在Rt△ODF∵sin∴sin∴OD=2【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线．21．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC并交BC于点E，点O在AB上，经过点A，E的半圆O分别交AC，AB于点F，D，连接ED．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)判断∠DEB和∠EAB的数量关系，并说明理由；(3)若⊙O的半径为5，AC=8，求点E到直线AB的距离．【答案】(1)见详解(2)∠DEB=∠EAB，理由见详解(3)4【分析】（1）连接OE，根据AE平分∠BAC，可得∠BAC=2∠EAB，根据∠EOD=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，即有∠EOD=∠CAB，则AC∥（2）结合∠BED+∠AEC=90°，∠CAE+∠AEC=90°，可得∠BED=∠CAE，再根据AE平分∠BAC，可得∠DEB=∠EAB，问题得解；（3）过E点作EM⊥AD于M，根据角平分线的性质定理可得EM=CE，再证明△ACE∽△AED，问题随之得解．【详解】（1）连接OE，如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAB，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠EOD=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，∴∠EOD=∠CAB，∴AC∥∵∠C=90°，∴∠OEB=90°，∴OE⊥BC，∵OE为圆O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）∠DEB=∠EAB，理由如下：∵AD半圆O的直径，∴∠AED=90°，∴∠BED+∠AEC=90°，∵∠CAE+∠AEC=90°，∴∠BED=∠CAE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠DEB=∠EAB；（3）过E点作EM⊥AD于M，如图，根据题意有：AD=5×2=10，∵AE平分∠BAC，EM⊥AD，∠C=90°，∴AC⊥CE，∴EM=CE，∵∠BAE=∠CAE，∠C=∠AED=90°，∴△ACE∽△AED，∴ACAE∵AC=8，AD=10，∴AE∴CE=A∴EM=CE=4，∴点E到直线AB的距离为4．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键．．22．（2023·安徽合肥·统考一模）已知等腰△ABC，AB=AC，且BC=CD，连接AD交BC于点E，以DE为直径的⊙O上有一点F，使得EF=DF，连接CF交DE于点G，若(1)判断AC与⊙O的关系，并说明理由；(2)若CE=1，求CF⋅GF的值．【答案】(1)AC与⊙O相切，理由见解析(2)2+【分析】（1）如图所示，连接OC，先由三角形内角和定理和对顶角相等证明∠B+∠OEC=90°，再根据等边对等角证明∠ACB+∠OCE=90°，即可得到结论；（2）如图所示，连接BD交⊙O于H，连接EH，OF，由直径所对的圆周角是直角得到∠ECD=∠EHD=90°，再证明A、B、C、D四点共圆，得到∠ADB=∠ACB，进而证明∠ADB=∠CDE，则由角平分线的性质得到EH=CE=1，再证明∠HEB=45°=∠HBE，推出BH=EH=1，则BE=2，即可求出CD=2+1，利用勾股定理求出DE=4+22，再由EF=DF，DE是⊙O的直径，得到∠EDF=∠DCF=45°【详解】（1）解：AC与⊙O相切，理由如下：如图所示，连接OC，∵∠BAD=90°，∴∠B+∠AEB=90°，∵∠OEC=∠AEB，∴∠B+∠OEC=90°，∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∴∠ACB+∠OCE=90°，即∠ACO=90°，∴AC⊥OC，∴AC与⊙O相切；（2）解：如图所示，连接BD交⊙O于H，连接EH，∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD=∠EHD=90°，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB，∵∠B+∠CED=90°=∠CDE+∠CED，∴∠B=∠CDE，∴∠ADB=∠CDE，∴EH=CE=1，∵BC=DC，∴∠CBD=45°，∴∠HEB=45°=∠HBE，∴BH=EH=1，∴BE=2∴CD=BC=BE+CE=2∴DE=C∵EF=DF，DE是∴∠EDF=∠DCF=45°，OF⊥DE，∴DF2又∵∠CFD=∠DFG，∴△CFD∽△DFG，∴CFDF∴CF⋅GF=DF【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．23．（2023·河南周口·统考一模）如图，已知点D是⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE=DE．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AC=4，sin①求⊙O的半径；②求BD的长．【答案】(1)见解析(2)①2；②4【分析】（1）如图，连接OD．要证CD是⊙O的切线，只要证明OD⊥CD即可；（2）①根据sinC=②证明△CDA∽△CBD，推出ADBD=ACCD=【详解】（1）证明：如图，连接OD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∠OBD=∠ODB，∵BE与⊙O相切，OB是半径，∴OB⊥BE，∴∠OBE=90°，∴∠EBD+∠OBD=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：①设OD=OA=r，∵OD⊥CD，∴sinC=∴rr+4∴r=2，经检验，r=2是原方程的解，且符合题意，∴⊙O的半径为2；②在Rt△COD中，CD=∵BA是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DBA+∠BAD=90°，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∵∠ADC+∠ODA=90°，∴∠ADC=∠CBD，∵∠C=∠C，∴△CDA∽△CBD，∴ADBD设AD=2k，∵AD∴2k∴k=2∴BD=2k=4【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（2023·河南郑州·统考一模）如图，点O在△ABC的边AB上，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别交于点D，F，且DE=EF．(1)求证：∠C=90°；(2)当BC=3,AC=4时，求⊙O半径的长．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）连接OE，先根据切线性质得到∠OEA=90°，再根据等腰三角形的性质和等弧所对的圆周角相等证得∠OEB=∠EBD，进而证得OE∥（2）先根据勾股定理求得AB=5，设⊙O的半径为r，则AO=5−r，证明△AEO∽△ACB得到OEBC=AO【详解】（1）证明：连接OE，∵⊙O与边AC相切于点E，∴∠OEA=90°，∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE，∵DE=EF，∴DE=∴∠OBE=∠EBD，∴∠OEB=∠EBD，∴OE∥∴∠C=∠OEA=90°；（2）解：在Rt△ABC中，BC=3,AC=4，∠C=90°∴AB=A设⊙O的半径为r，则AO=5−r，∵OE∥∴△AEO∽△ACB，∴OEBC=AO解得r=158，即⊙O半径的长为【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，弧、弦、圆周角的关系，相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．25．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，BE=2，求线段AD的长．【答案】(1)见解析(2)24【分析】（1）连接OC，由角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出∠DAC=∠ACO，再根据平行线的判定定理，得出AD∥OC，进而得出（2）连接OC，证明△COE∽【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥∴∠OCE=∠ADC∵AD⊥DE，∴∠ADC=90°，∴∠OCE=90°，∴OC⊥DE，∵OC是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图1，连接OC，∵AD∥∴△COE∽∴OCAD∴3AD∴AD=24【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键是作辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（2023·黑龙江大庆·校考一模）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义、圆周角定理的推论和三角形的外角性质证明∠BID=∠DBI即可；（2）连接OD，根据垂径定理的推论可得OD⊥BC，结合DE∥BC可得OD⊥DE，进而可得结论；（3）作辅助线如详解图，证明△HBG∽△CHG，得GH2=GC×GB；证明△GFC∽△GBF【详解】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠BID=∠DBI，∴BD=DI；（2）证明：连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴BD=∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（3）证明：过点H作⊙O的直径HK，连接BH，∵HK是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，∴∠HCK=∠KHG=90°，∴∠KHC+∠K=90°=∠KHC+∠GHC，∴∠K=∠GHC，∵∠HBG=∠K，∴∠HBG=∠GHC，∵∠CGH=∠HGB∴△HBG∽△CHG，∴HGCG∴GH∵AD∥FG，∴∠DAF=∠GFC，∵∠DAF=∠DBC，∴∠GFC=∠DBC，∵∠CGF=∠BGF，∴△GFC∽△GBF，∴GFGB∴GF∴GF∴GF=GH．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定和性质、圆周角定理、垂径定理、角平分线的定义、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．27．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．(1)求证：BD=BE；(2)若DE=2，BD=5，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，得出∠C=90°，BD是⊙O的切线，得出BD⊥AB，结合角平分线的定义，得出∠DEB=∠D，进而得出BD=BE；（2）根据（1）的结论得出EF=DF=12DE=1，证明Rt【详解】（1）证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE．∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠CAE+∠CEA=90°，∵∠DEB=∠CEA，∴∠DEB+∠DAB=90°．∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD=90°，∴∠BAD+∠D=90°，∴∠DEB=∠D，∴BD=BE；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴BF⊥DE，∵BD=BE，∴EF=DF=1∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∵BF⊥AD，∴Rt∴DFBD∴BD∴5∴AD=5，∴AE=AD−DE=5−2=3．【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．28．（2023·山东聊城·统考一模）如图，⊙O的弦AB，CD交于点E，连接AC，BC，延长DC到点P，连结PB，PB与⊙O相切，且PB=PE．(1)求证：点A是CD的中点；(2)若AE=BE，AC=4，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质可证得∠OBA+∠PBE=90°，根据等腰三角形及对顶角的性质，可证得∠PBE=∠PEB=∠AED，∠OAB=∠OBA，即可证得OA⊥CD，再根据垂径定理，即可证得结论；（2）首先根据圆周角定理可证得△ACE∽△ABC，再根据相似三角形的性质，可证得【详解】（1）证明：如图：连接OA、OB，∵PB与⊙O相切，∴OB⊥PB，∴∠OBA+∠PBE=90°，∵PB=PE，OA=OB，∴∠PBE=∠PEB，∠OAB=∠OBA，∵∠PEB=∠AED，∴∠PBE=∠AED，∴∠OAB+∠AED=90°，∴OA⊥CD，∴点A是CD的中点；（2）解：∵AE=BE，∴AB=2AE，∵点A是CD的中点，∴∠ACE=∠ABC，又∵∠CAE=∠BAC，∴△ACE∽∴AC∴AC∴AC∴2AE解得AE=22【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．29．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图1，抛物线y=ax2+3ax（a为常数，a<0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交(1)①求点A的坐标；②求证：CE=DE；(2)如图2，连接AB，AC，BE，BO，当a=−233①求证：AB②求1OD【答案】(1)①A−3(2)①见解析；②1【分析】（1）①令y=0，可得axx+3=0，则②连接PC，连接BP延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD=∠CDE，则CE=DE；（2）①由y=ax2+3ax=−233x2−23x=−23②过点O分别作BC、BE的垂线，交BC、BE于点N、M，过点B作AE的垂线，交AE于点G，设OE=m，点D的坐标为t，0，由∠CAE=∠OBE可得∠CBO=∠OBE，再根据角平分线的性质，结合三角形的面积，得出BDBE【详解】（1）解：①令y=ax∴axx+3解得x=0或−3，∴A−3②如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM=90°，又∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD=90°，又∵∠BDM=∠CDE，∴∠ECD=∠CDE，∴CE=DE；（2）解：①如图，∵a=−2∴y=ax令y=0，可得−2∴x=0或−3，∴A−3，0∴OA=3，AB=OB=3∴△OAB是等边三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=60°，∴∠ACB=∠BAE=60°，∵∠CAE=∠OBE，∠BAO=∠ABO=60°，∴∠BAO+∠CAE=∠BAC，∠ABO+∠OBE=∠EBA，∴∠BAC=∠EBA，∴△BAC∽∴ABBE∴AB②解：如图，过点O分别作BC、BE的垂线，交BC、BE于点N、M，过点B作AE的垂线，交AE于点G，设OE=m，点D的坐标为t，∵∠CAE=∠CBO，∠CAE=∠OBE，∴∠CBO=∠EBO，∴ON=OM，∵S△OBD=1∴S△OBD∵S△OBD=1∴S△OBD∴BDBE∵BD=t+BE=m+∴t2∴m=−3tt+3或∴−1∴1OD【点睛】本题是二次函数与圆的综合问题，考查了二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．30．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，EF是⊙O的直径，点A为线段OF上一点，点B为AE的中点，过点B作BC⊥EF交⊙O于点C，连接AC、CE，过点E作⊙O的切线ED交AC的延长线于点D．(1)求证：CD=CE；(2)若OA=2OB=2，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）通过证明△ABC∽△AED，可得DE=2BC，AD=2AC，由直角三角形的性质可求解；（2）连接OC，先求出CO，BO的长，由勾股定理可求BC的长，即可求解．【详解】（1）证明：∵点B是AE的中点，∴AB=BE=1∵EF⊥BC，∴∠ABC=90°，∵DE是⊙O的切线，∴∠DEA=90°=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ABC∽△AED，∴ACAD∴DE=2BC，AD=2AC，∴点C是AD的中点，又∵∠AED=90°，∴CD=CE；（2）如图，连接OC，∵OA=2OB=2，∴OB=1，AB=3，∴AE=6，BE=3，∴OE=OC=4，∴BC=C∴DE=2BC=215【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理及圆的有关知识，证明三角形相似是解题的关键．31．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．(1)求证：FD是⊙O的一条切线；(2)若FA=5,AB=15，连接AD、DB，请问ADDB(3)在（2）的条件下，求BD、BC的长．【答案】(1)见解析(2)ADDB(3)65【分析】（1）根据圆周角定理，得到∠CDB=∠CAB，进而证明DF∥AC，得到OD⊥DF，从而证明（2）根据弦切角定理，可以得到∠ADF=∠DBF，证明△AFD∽△DFB，从而得到ADDB=DFBF，在Rt△ODF中，根据勾股定理，求出DF的长，再算出（3）在Rt△ABD中，根据（2）的结论，可设AD=x,则BD=2x,根据勾股定理可求得x,从而求解BD的长；根据DF∥AC，利用平行线分线段成比例，可以得到OEDE=AOFA，从而求出OE的长度，在Rt△ABC中，可以证明【详解】（1）解：连接AD在⊙O中，∵CB=∴∠CDB=∠CAB，又∵∠CDB=∠BFD，∴∠BFD=∠CAB，∴AC∥∵OD⊥AC，∴FD⊥OD，又∵OD为半径，∴FD是⊙O的一条切线．（2）解：ADDB连接AD，∵AB为直径，AB=15，∴∠ADB=90°，OA=OD=7.5，由（1）得在Rt△FDO中，FO=5+7.5=12.5FD=F∵∠FDO=∠ADB=90°，∴∠FDA+∠ADO=∠ADO+∠ODB，∴∠FDA=∠ODB，又∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，∴∠FDA=∠OBD，且∠AFD=∠DFB（公共角），∴△AFD∽△ADF，∴ADDB又∵AF=5,FD=10，∴ADDB（3）解；由（2）知，在Rt△FDO中，ADDB=12，设AD=x（有AB2=A解得x=35∴BD=2x=6∵OD⊥AC于E∴AE=EC且AO=BO∴OE是Rt△ABC的中位线，∴CB=2OE，又∵AC∥∴OEDE∴OEDE∴OE=3∴BC=9．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线、三角形相似、勾股定理、三角形中位线等知识，找到三角形相似及对应线段成比例是求解的关键．32．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）AB、AC为圆O的弦，OA平分∠BAC．(1)如图1，求证：AB=(2)如图2，连接BO并延长交圆O于点F，连接AF，作BG⊥AC于点G，延长AO交BG于点M，求证：AF=BM；(3)如图3，在（2）的条件下，连接OG，延长BG交圆O于点D，连接CD并延长，与AF的延长线交于点K，AB=2FK，BC=6，求OG的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OG=【分析】（1）连接OC、OB，证明△AOB≌△AOCAAS，得出∠BOA=∠COA（2）构造等腰△AEF，证明∠OEF=∠OMB，证△FEO≌△BMOAAS，得出EF=MB，根据AF=EF，得出AF=BM（3）延长AK与BD交于点L，连接FD，延长AM交BC于N，交⊙O于点T，作OH⊥BD于点H，根据AAS证明△ABG≌△FLD，得出BG=FD，利用垂径定理，进一步证OH是△BFD的中位线，证明△OMH∽△BCG，得出OHBG=OMBC=12，根据BC=6求出OM=3，证明BM=BT，∠ONB=90°，设MN=NT=x，则OB=OT=3+2x，根据B【详解】（1）证明：连接OC、OB，如图所示：∵OA平分∠BAC，∴∠CAO=∠BAO，∵OA=OC,OA=OB，∴∠OAC=∠OCA=∠BAO=∠OBA，∵在△AOB和△AOC中，∠CAO=∠BAO∠OCA=∠OBA∴△AOB≌△AOCAAS∴∠BOA=∠COA，∴AB=（2）证明：在OA上取一点E，使AF=EF，则∠EAF=∠AEF，∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∴∠EAF=∠AEF=∠AFO，∵BF为直径，∴∠BAF=90°，∴∠EAF+∠BAO=90°，∵BG⊥AC，∴∠AGM=90°，∴∠CAO+∠AMG=90°，∴∠EAF=∠AMG，∴∠AMG=∠AEF，∴180°−∠AMG=180°−∠AEF，即∠OEF=∠OMB，∵∠EOF=∠BOM，OF=OB，∴△FEO≌△BMOAAS∴EF=MB∵AF=EF，∴AF=BM．（3）解：延长AK与BD交于点L，连接FD，延长AM交BC于N，交⊙O于点T，作OH⊥BD于点H，∵BG⊥AC，∴∠AGB=∠BGC=90°，∵BF为直径，∴∠BDF=90°，∴∠FDL=180°−90°=90°，∴∠FDL=∠AGL，∴DF∥∴AF=∴AD=∴∠FAC=∠DCA，∵DF∥∴∠KFD=∠FAC，∠KDF=∠KCA，∴∠KFD=∠KDF，∴KF=KD，∵∠KDL+∠KDF=∠L+∠KFD=90°，∴∠KDL=∠L，∴DK=KL，∴DK=KF=KL，∴FL=2FK，∵AB=2FK，∴FL=AB，∵∠L+∠ABL=90°，∠BAG+∠ABL=90°，∴∠L=∠BAG，∵∠FDL=∠AGB=90°，∴△ABG≌△FLD，∴BG=FD，∵OH⊥BD，∴BH=DH，∵OB=OF，∴OH是△BFD的中位线，∴OH∥DF，∴∠MOH=∠OAC，∵AO平分∠BAC，∴∠OAC=∠OAB，∴CT=∴AT⊥BC，∴∠ANC=∠ANB=90°，∴∠ACN+∠CAN=∠CBG+∠GCB=90°，∴∠CAN=∠CBG，∴∠MOH=∠CBG，∵∠OHM=∠BGC=90°，∴△OMH∽△BCG，∴OH∵BC=6，∴OM=3，∵∠AMG+∠GAM=∠GAM+∠ACB=90°，∴∠AMG=∠ACB，∵AB=∴∠ACB=∠ATB，∵∠AMG=∠BMT，∴∠BMT=∠BTM，∴BM=BT，∵BN⊥MT，∴MN=NT，设MN=NT=x，∵△ABT为直角三角形，AO=OT，∴OB=OT=3+2x，∵ON⊥BC，∴BN=CN=1∵BN∴32解得：x1=1，∴MN=NT=1，∴OT=3+1+1=5，在Rt△BMNBM=B∵sin∠MOH=∴sin∠MOH=即HM3∴HM=3∴OH=O∴BG=DF=2OH=9∴HG=BG−BM−MH=9∴OG=O【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，垂径定理，圆周角定理，中位线性质，本题综合性很强，难度很大，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握圆的基本性质．33．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点D是劣弧AC的中点，连接AC、BC、BD，AC与BD交于点E，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=4，BC=1，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠DBA=∠DBC，再根据直径所对的圆周角为90°得出∠EBC+∠CEB=90°，等量代换可得∠FBA+∠AEF=90°，根据切线的定义可得∠FAB=90°，进而可得∠FBA+∠AFB=90°，等量代换可得∠AEF=∠AFB，即可证明AE=AF；（2）先根据勾股定理求出AC=15，再证△EBC∽△FBA，推出BCBA=CEAF【详解】（1）证明：∵点D是劣弧AC的中点，∴AD=∴∠DBA=∠DBC，即∠FBA=∠EBC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ECB=90°，∴∠EBC+∠CEB=90°，又∵∠CEB=∠AEF，∴∠FBA+∠AEF=90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°，∴∠FBA+∠AFB=90°，∴∠AEF=∠AFB，∴AE=AF；（2）解：∵AB=4，BC=1，∠ACB=90°，∴AC=A由（1）知∠ECB=∠FAB=90°，∠EBC=∠FBA，∴△EBC∽△FBA，∴BCBA设AF=AE=x，则EC=AC−AE=15∴14解得x=4即AF的长为415【点睛】本题考查圆周角定理，切线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识点．34．（2023·山东济宁·济宁市第十三中学校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．(1)求证：∠CAD=∠CDE；(2)若AB=2，AC=22，求AE【答案】(1)证明见解析(2)AE=【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余，得出∠B+∠BAD=90°，再利用切线的性质，求出∠BAC=90°，再根据角之间的数量关系，得出∠BAD+∠DAE=90°，再根据等量代换，得出∠B=∠DAE，即∠B=∠CAD，然后利用等边对等角，可得∠B=∠ODB，再根据等量代换，得出∠CAD=∠CDE；（2）先在Rt△AOC中，利用勾股定理求出OC，然后再根据两角相等的两个三角形相似证明△CDE∽△CAD【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，A为切点，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠DAE，即∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE；（2）解：∵AB=2，∴OA=1在Rt△AOC中，AC=2∴OC=O∴CD=OC−OD=3−1=2，∵∠CAD=∠CDE，∠C=∠C，∴△CDE∽∴CDCE即：2CE解得：CE=2∴AE=AC−CE=22【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键．35．（2023·山东济宁·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD=∠B．(1)求证：DC为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，sinB=35【答案】(1)证明见解析(2)90【分析】（1）如图所示，连接OC，由直径所对的圆周角是直角得到∠BCA=90°，则∠OCB+∠OCA=90°，再根据等边对等角和已知条件证明∠ACD=∠OCB，推出∠OCD=90°，由此即可证明DC为⊙O的切线；（2）先解Rt△ABC，得到AC=6，BC=8，证明△ACD∽△CBD，得到ADCD=34，设AD=3x【详解】（1）证明：如图所示，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OC=OB，∴∠B=∠OCB，又∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠OCB，∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，∴DC为⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，AB=10∴AC=AB⋅sin∴BC=A∵∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴ACBC=AD设AD=3x，CD=4x，则在Rt△OCD中，由勾股定理得：O∴52解得x=30∴AD=3x=90【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键．36．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD(1)求证：FD是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求DF的长．【答案】(1)证明见解析(2)20【分析】（1）∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，得到∠CAB=∠BFD，推出FD∥AC；得到OD⊥FD，进而得出结论；（2）利用勾股定理先求解AC，再利用垂径定理得出AE的长，可得OE的长，证明△AEO∽△FDO，再利用相似三角形的判定与性质得出DF的长．【详解】（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD，∴FD∥∵OD垂直于弦AC于点E，∴OD⊥FD，∵OD是⊙O的半径，∴FD是⊙O的切线.（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵