《大学物理(上册)》课件-第9章

第9章恒定电流9.1电流强度和电流密度9.2欧姆定律、焦耳—楞次定律9.3电动势、含源电路欧姆定律9.4基尔霍夫方程组及其应用本章小结习题

9.1电流强度和电流密度

9.1.1

电流强度电荷的定向运动形成电流。要产生电流，首先要有可以自由运动的带电粒子，这些带电粒子称为载流子。载流子可以是金属导体中的电子，也可以是电解液或电离的气体中的正负离子，还可以是半导体中的“空穴”等。对一般的导体，在没有电场作用时载流子只进行无规则的热运动，宏观上不形成电流。当导体内部存在电场时，载流子将受电场力的作用进行定向运动而形成电流。由此可见，要形成电流，导体中要有电场或导体两端有电势差。

常见的电流是载流子沿着一根导线流动而形成的。为定量地描述电流的强弱，引进电流强度这一物理量。单位时间内通过导体某一截面的电量称为通过该截面的电流强度，通常用I表示，即

在国际单位制中，电流强度的单位是安培，简称安(A)。根据定义式(9-1)，1A＝1C/s。常用的单位还有毫安(mA)和微安(μA)。

电流强度是标量。通常所说的电流方向只是正电荷在导体中大致的流向(如从某一截面的A边到B边或从B边到A边)。如果载流子是负电荷，则电流的方向与载流子运动的方向相反。

9.1.2电流密度

1.电流密度的定义

在很多情况下，电流是载流子在大块导体中流动而形成的，如图9.1所示。在这种情况下，电流强度不足以描述电流的全部性质，还需要引进一个能够反映电流在导体中各处分布的物理量，这一物理量就是电流密度。

图9.1导体中电流的分布

如图9.2所示，在导体中某处作一垂直于载流子运动方向的面元dS^，如果通过dS^的电流强度为dI，则该处的电流密度大小定义为

即电流密度的大小等于通过垂直于载流子运动方向的单位面积的电流强度。在国际单位制中，电流密度的单位为A/m2。

图9.2电流密度

电流密度是一个矢量，导体中某点的电流密度的方向沿该点正电荷定向运动速度的方向，即

式中表示沿正电荷定向运动速度方向的单位矢量。

在一般情况下，导体中不同处的电流密度是不同的。为了形象地表示导体中各点的电流密度的分布，常在导体中作一系列曲线，使得曲线上每一点的切线方向表示该点的电流密度方向，曲线的密度(通过与曲线垂直的单位面积的曲线数)表示电流密度的大小，这些曲线称为电流线，如图9.2所示，其中带箭号的线表示电流线。

2.电流密度与载流子运动速度的关系

电流是载流子定向运动而形成的，所以电流密度与载流子的定向运动密切相关。在导体内部作一小圆柱体，其轴线沿载流子定向运动速度u的方向，底面积为dS^，长等于载流子在dt时间内运动的距离udt，如图9.3所示。

图9.3电流密度与载流子运动速度的关系

设导体中载流子密度为n，电量为e，则不难得到，dt时间内通过dS的电量为enudSdt，通过dS的电流强度为enudS，由此可得电流密度大小

式中ρ为载流子电荷密度。J的方向与u的方向一致，式(9-4)可用矢量式表示为

3.电流强度与电流密度的关系

电流强度和电流密度都是描述导体中电荷运动的物理量，它们之间必然存在着一定的关系。如图9.4所示，在导体中取一面元dS，它在垂直于正电荷运动方向的平面内的投影面积为dS^＝dScosθ，其中θ为dS与dS^之间的夹角。显然，通过dS的电流强度等于通过dS^的电流强度。根据式(9-2)可得其大小为

于是通过导体中某一曲面S的电流强度

式(9-6)表明，通过某一曲面的电流强度等于通过该曲面的电流密度的通量。

图9.4电流强度与电流密度的关系

9.1.3电流的连续性方程、恒定电流的条件

1.电流的连续性方程

在导体内任取一闭合曲面S，由式(9-6)可知，通过S的电流强度

根据电荷守恒定律，通过该闭合面的电流强度，即单位时间里由闭合曲面S内流出的电量，应等于同一时间内该闭合曲面所包围的电量的减少，即

式(9-7)称为电流的连续性方程。

2.恒定电流的条件

恒定电流是指导体中电流的分布，即各点的电流密度不随时间变化的电流。电流是载流子在电场力的作用下作定向运动而形成，为使导体中的电流分布不随时间变化，导体内的电场分布必须是恒定的。另一方面，电场是由电荷产生，恒定电场要求产生电场的电荷分布是不变的。由此可知恒定电流的条件为：导体内各点的电荷分布不随时间变化。按照这一条件，对导体内任一闭合曲面，必然有dq/dt＝0。由式(9-7)可知

式(9-8)为恒定电流条件的数学表达式。

9.2欧姆定律、焦耳—楞次定律

9.2.1欧姆定律及其微分形式

1.欧姆定律要使导体中有电流通过，导体内部必须存在电场，或导体两端维持有一定的电势差(电压)。导体两端的电压不同，通过导体的电流强度也不同。实验表明，通过一段导体AB的电流强度I和导体两端的电压UAB成正比，即IµUAB，也可以表示为

实验证明，欧姆定律适用于金属导体及其它纯电阻元件，但对真空管、半导体等元件不再适用。通常把电流和电压的关系满足欧姆定律的元件称为线性元件，而不满足欧姆定律的元件称为非线性元件。

导体的电阻与导体的粗细、长度和材料有关。对于粗细均匀，材料均匀的导体，如图9.5(a)所示，其电阻可由下式给出

其中l为导体的长度，S为导体的横截面积，ρ为由导体材料决定的参数，称为导体的电阻率。对于粗细不均匀或材料不均匀的导体，如图9.5(b)所示，其电阻应写成以下的积分形式

图9.5导体的电阻

2.欧姆定律的微分形式

欧姆定律反映了通过导体的电流强度与导体两端电压之间的关系。下面我们进一步深入到导体内部，研究导体内部某一点的电流密度与电场强度之间的关系。如图9.6所示，在导体内部作一轴线沿电流密度方向，底面积为dS^，长为dl的小圆柱体。

图9.6欧姆定律的微分形式

根据式(9-17)，导体中某一点的电流密度与该点的电场强度成正比。若导体的电导率g是均匀的，则导体中的电场强度的分布与电流密度的分布是相同的，电场线和电流线重合(选择适当的单位)。

9.2.2焦耳—楞次定律及其微分形式

1.焦耳—楞次定律

电流通过一段电路时，电场力对电荷做功。在做功的过程中，电势能转化成其它形式的能量，如热能、机械能、化学能等。假设在dt时间内有dq的电量从电路的一端A流到另一端B，A、B两端的电势差为UAB，则电场力所做的功

单位时间内电场力所做的功称为电功率。根据式(9-18)可得电功率

如果一段电路只包含纯电阻元件，则电场力做功将使电势能转化成热能，此时式(9-19)也表示这段电路所发出的热功率。根据纯电阻电路的欧姆定律，即I＝UAB/R，式(9-19)也可表示为

式(9-20)最初是焦耳(J.P.Joule)和楞次(H.F.E.Lenz)各自独立地从实验中总结出来的，所以称为焦耳—楞次定律。

2.焦耳—楞次定律的微分形式

将式(9-20)应用于图9.6中的小圆柱体，可得小圆柱体的热功率

定义导体单位体积中所产生的热功率为电流的热功率密度，并用w表示，则

【例9.1】如图9.7所示，有一球形电容器，内外极板半径分别为R1和R2，两极间充满介电常数为e，电导率为g的电介质。若两极间加上电压U，求：

①两极板间任一点的电流密度的大小。

②两极板间的电流强度。

③两极板间任一点电流的热功率密度。

④两极板间电流的热功率。

图9.7例9.1图形

9.3电动势、含源电路欧姆定律

9.3.1电源及电源的电动势

1.电源要维持电路上的恒定电流，必须保证导体内部有恒定的电场或电路两端有恒定的电势差。怎样才能维持电路两端有恒定的电势差呢？下面以电容器放电过程为例来说明这一问题。

如图9.8所示，一平行板电容器，开始时两极板A、B带电量分别为Q和-Q，两极板间的电势差为UAB。若通过一根导线把两极板连接起来，由于导线两端存在电势差，导线中将建立起电场，导线中的载流子将在电场力的作用下作定向运动而形成电流。随着电流的流动，正电荷不断地从A极板沿着导线流向B极板与其上面的负电荷中和，使得两极板上的电量和电势差都逐渐减小，电路中的电流也随之减小。当A极板上的全部正电荷经导线与B极板上的负电荷中和时，两极板间的电势差降为零，电路中的电流也随之停止。由此可见，如果没有来自外界的其它作用，电路中的电流无法长久地维持下去。

图9.8电源电动势

为了维持电路中有持续不断的恒定电流，必须有一个外来的作用力，它能够把每一个瞬间从A极板流向B极板的正电荷不断地送回到A极板，使得A、B极板上的电量保持恒定，以维持A、B两极板间有恒定的电势差。显然这种力不是静电力，因为静电力只能把正电荷从电势高的地方移动到电势低的地方，而不可能把它从低电势的B极板移动到高电势的A极板。这种不同于静电力的力称为非静电力。所谓电源，就是一个种能够提供非静电力的装置。电源所提供的非静电力在移动电荷时必须克服静电力而做功，从而把其它形式的能量转化为电势能。

一般的电源有两极，电势高的称为正极，电势低的称为负极。电源与外部的电路连接构成闭合回路。通常把电源内部正、负极之间的电路称为内电路，电源外部的电路称为外电路。在内电路，电源产生的非静电力把正电荷从负极移动到正极，此过程中非静电力克服静电力作功而把其它形式的能量转化为电势能；在外电路，正电荷在静电场力的作用下从电源的正极流入负极，电势能转化为别的形式的能量(如热能、机械能等)。

电源的种类有很多，例如干电池、蓄电池、燃料电池、太阳能电池和发电机等。各种电源的实质都是通过非静电力做功而把其它形式的能量转化为电势能，只是不同电源提供非静电力的方式及能量转化的方式不同而已。

2.电源的电动势

电源电动势是反映非静电力做功能力的物理量。设在电源内部作用在电量为q的电荷上的力为Fk，则作用在单位电量正电荷上的非静电力(通常称为非静电场强)为

把单位电量的正电荷从电源负极移动到正极的过程中，非静电力所做的功称为电源的电动势，用ε表示，即

由于在电源外部Ek＝0，所以式(9-24)也可表示为

即闭合回路中电源的电动势，等于把单位电量的正电荷沿闭合回路移动一周非静电力所做的功。式(9-25)比式(9-24)更有普遍性，它可适用于回路中存在多个电源，甚至整个回路中处处存在非静电力的情况。在这种情况下ε表示闭合回路中的总电动势。

电动势是标量，可以有正负号，但没有方向。不过在有些情况下，为了说明问题的方便，通常规定从负极指向正极的方向为电动势的方向。

根据电动势的定义不难看出，电动势与电势差具有相同的单位，在国际单位制中为伏特(V)。

9.3.2含源电路欧姆定律

当电路中存在电源时，电荷除了受到静电场力作用外，在电源内部还受到非静电场力的作用，此时欧姆定律的微分形式应推广为

即

考虑如图9.9所示的一段含源电路AB。该电路包含一个电阻和一个电源，电阻的阻值为R，电源电动势为e，电源内部的电阻(简称内阻)为r，通过该段电路的电流强度为I。

图9.9含源电路欧姆定律

我们可以得到

(9-28)

如果将图9.9所示的一段电路的A端和B端相联，则电阻R和电源组成一闭合电路，如图9.10所示。显然此时UA＝UB，于是根据式(9-28)可得

式(9-29)表明，闭合回路中的电流强度等于回路中电源的电动势除以回路的总电阻(外电路电阻和电源内阻的和)，这一结论称为闭合回路的欧姆定律。

图9.10闭合电路欧姆定律

在一般情况下，一段电路中可能包含有若干个电源和若干个电阻，且各部分的电流也可能不相同，此时A、B两端点之间的电势差一般可表示为

其中ΣIR表示从A到B的电路中所有电阻(含电源内阻)上的电势降落的代数和，Σε表示该段电路中所有电源电动势的代数和。表达式(9-30)称为一段含源电路欧姆定律，式中右边各求和项包含正负号，具体选取规则如下：

①如果通过电阻中电流的方向与从A到B的电路走向相同，该电阻上电势项前取“+”号，相反则取“-”号；

②如果电动势的方向与从A到B的电路走向相同，该电动势项前取“+”号，相反则取“-”号。

将式(9-30)应用于由若干个电源和若干个电阻串联组成的闭合回路。考虑到此时UA＝UB，且通过各电阻的电流强度I都相同，不难得到

式(9-31)为闭合回路欧姆定律更普遍的表达式。

【例9.2】如图9.11所示的电路中，ε1=8V，r1=1Ω，ε2=36V，r2=1Ω，R1=2Ω，R2=3Ω。求：

①回路中的电流强度。

②A、B两点的电势差。

图9.11例9.2图

【解】①根据式(9-35)，回路中的电流强度

电流强度的方向如图9.11所示。

②由式(9-34)可得A、B两点的电势差

UA-UB=IR1+Ir1-(-ε1)=4×2+4×1-(-8)=20(V)

9.4基尔霍夫方程组及其应用

9.4.1基尔霍夫方程组对于只有一个回路的电路，只要已知电路中各电源的电动势和各电阻元件的阻值，即可通过闭合电路欧姆定律求得回路中的电流强度，根据一段含源电路欧姆定律可进一步得到电路中任意两点之间的电势差。然而在实际中经常会碰到一些较为复杂的电路，它们包含多个由电源和电阻串联成的支路，这些支路又相互连接组成若干个闭合的回路，如图9.12所示。例9.12复杂电路

1.基尔霍夫第一方程组

基尔霍夫第一方程组是有关节点电流的方程组。三个或三个以上支路的交点，称为节点，如图9.12中A、B为电路中的两个节点。根据恒定电流的条件，对包含节点的任一闭合曲面，均有

用电流强度表示，则为

式中ΣI表示流出节点和流入节点的各电流的代数和，其中流出节点的电流取正值，流入节点的电流取负值。式(9-32)表明，电路中任一节点处，流出和流入节点的电流的代数和为零，这一结论称为基尔霍夫第一定律。对于图9.12中的节点A，根据基尔霍夫第一定律可得

I1-I2-I3=0

对于电路中的任一节点，均可根据基尔霍夫第一定律列出一个方程。可以证明，如果一个电路中总共有n个节点，则可以列出n-1个彼此独立的方程，这n-1个方程组成一个方程组，称为基尔霍夫第一方程组。

2.基尔霍夫第二方程组

基尔霍夫第二方程组是有关回路电势降落的方程组。根据一段含源电路欧姆定律，电路中任意两点A、B的电势差

若该段含源电路构成一个闭合回路，则UA=UB，由此得到

式(9-33)表明，任一闭合回路中各电阻上电势降落的代数和等于该回路中各电源电动势的代数和，这一结论称为基尔霍夫第二定律。式(9-29)中各求和项的正负号选取规则与式(9-30)的相同，只要将针对式(9-30)的“从A到B的电路走向”改成“回路的走向”即可。例如对图9.12中的回路ABCA，若选择顺时针方向为回路走向，则其回路方程为

对于电路中的任一闭合回路，都可以根据基尔霍夫第二定律列出一个回路方程，但这些方程不一定相互独立。判断一个新的回路方程与已有的回路方程是否独立的规则是：如果新选定的回路中至少有一段电路是已有方程对应的回路中未出现过的，则新的回路方程与已有的回路方程独立，否则不独立。例如，先选取图9.12中ABCA和ABDA两个闭合回路，这两个回路方程是相互独立的；但如果已经选取了这两个回路，那么闭合回路ACBDA的方程与前两个回路的方程就不独立了，因为其回路方程可以由前两个回路方程得出。一个电路中所有独立的回路方程也构成一个方程组，称为基尔霍夫第二方程组。

9.4.2基尔霍夫方程组的应用

基尔霍夫方程组的主要应用是求解复杂电路中各支路的电流强度，其解题要点可归纳如下：

①假定各支路的电流，并标明其方向。在一个复杂电路中，各支路的电流方向往往无法预先判断，在这种情况下，电流方向可任意假定。实际的电流方向由解出的结果来确定：若解出的电流为正，表明实际方向与假定方向相同；反之实际方向与假定方向相反。

②根据基尔霍夫第一定律列出所有独立节点的节点方程。

③选定独立回路并规定回路走向，对所有的独立回路根据基尔霍夫第二定律列出回路方程。

④联立节点方程和回路方程，求解方程组。

【例9.3】在图9.12所示的电路中，已知R1＝2Ω，R2＝4Ω，R3＝3Ω，ε1＝4V，ε2＝2V，ε3＝6V，各电源的内阻均可忽略。求各支路的电流。

【解】设三个支路的电流分别为I1、I2和I3，其方向如图9.12所示。电路中有两个节点A和B，但只有一个节点方程是独立的。对节点A列出节点方程得

(9-34)

选定ABCA和ABDA两个独立回路，并规定顺时针方向为回路走向，根据基尔霍夫第二定律可列出这两个回路方程

将数据代入以上两个方程得

(9-35)

(9-36)

联立方程(9-34)到方程(9-36)解得

I1和I3都小于零，表示这两个电流的实际方向与原来假定的方向相反。

本章小结

1.电流强度单位时间内通过导体某一截面的电量称为通过该截面的电流强度，即。

2．电流密度电流密度的大小等于通过垂直于载流子运动方向的单位面积的电流强度，即。

3.欧姆定律

导体中某一点的电流密度与该点的电场强度成正比，

即。

含源电路的欧姆定律。

4．焦耳—楞次定律

纯电阻电路的热功率为。

5．电源电动势

闭合回路中电源的电动势等于把单位电量的正电荷沿闭合回路移动一周非静电力所做的功，即。

6．基尔霍夫方程组

①对于电路中的任一节点，可以根据基尔霍夫第一定律列出一个节点方程。

②对于电路中的任一闭合回路，可以根据基尔霍夫第二定律列出一个回路方程

把电路中所有的节点方程和独立回路的回路方程构成基尔霍夫方程组。

一、选择题与思考题

9-1我国北京正负电子对撞机的储存环是周长为240m的近似圆形轨道，当环中的电流是10mA时(设电子的速度是3×107m/s)，则在环中运行的电子数目为()。

A、5×1011

B、5×1010

C、1×102

D、1×104

习题

9-2下面的说法中，正确的是()。

A、沿电流线的方向电势必降低

B、不含源支路中的电流必从高电势到低电势

C、含源支路中的电流必从高电势到低电势

D、支路两端电压为零时，支路电流必不为零

9-3有100Ω、1000Ω、10kΩ的三个电阻，它们的额定功率都是0.25W，现将三个电阻串联起来，如果1000Ω电阻实际消耗的电功率为0.1W，其余两个电阻消耗的功率各是()。

A、1W，10W

B、0.1W，1W

C、0.01W，