2024年高考数学（北京卷）真题详细解读及评析

2024年北京高考数学卷(以下简称北京卷)在命题思路和特点上展现了其独特之处，充分体现了“立德树人，服务选才，引导教学”的命题指导原则，并在此基础上实现了守正创新北京卷注重将数学知识与德育内容相融合，通过精心设计的题目，使考德育价值。例如，通过引入古代数学文化元素，让考生了解中华优秀传统文化的心和自豪感。同时，试卷还关注劳动教育和美育的考查，使考生在育价值。北京卷在命题上紧扣课标和教材，注重考查考生的数学基础知识、基本北京卷在命题中充分体现了首都特色和创新精神。试卷在题目设计和呈开放性问题、多项选择问题等，激发考生的探究兴趣和创新思维。同时，试卷还北京卷在保持命题稳定性的基础上，不断探索和创新。试卷在命题思路学科本质的理解、思想方法的领悟、应用探究能力的提升、创总的来说，2024年北京高考数学卷在命题上体现了全面育人、选拔人才和引导教学的理念，注重考查考生的数学素养和思维品质，彰显了首都特色和北京2024年高考数学题目设计在整体结构上与往年保持了一致性，依然注重考查学生对集合、复数、二项式定理、解析几何、立体几何、导数的综合运用等知识点的掌握情况。分题目设计得相对简单，旨在检验学生的基础知识与基本技能，预计这一部分的分值大约占100分左右。难题的数量相对较少，但加强了对学生思维能力的考查，强调学科核心素养的导向。数，旨在让不同层次的学生都能得到充分的展示机会。特别是第10、15、19、20、21题，这些题目设置得较为有区分度，能够拉开不同学生之间的水平差距。特别值得一提的是第21题，这道题目以新定义的形式出现，旨在为优秀的人才提供充分展现才华的空间，服务拔尖创新人才的选拔，助推素质教育的发展。整个试卷的设计避免了死记硬背和偏题怪题，引导中学数学教学从总结解题技巧转向培养学生的学科核心素养，体现了高考改革的新方向。题号题型模块(题目数)14分集合(共2题)24分复数的乘法4运算复数(共1题)34分直线与圆、点到直线的距离解析几何(共4题)44分二项式展开式中的系数二项式定理(共1题)54分平面向量(共1题)64分(共4题)74分函数(共3题)84分空间中点线面的位置关系及空间几何立体几何(共3题)94分指数函数和对数函数的单调性及基本函数(共3题)基本不等式(共1题)4分的思想去转化题目中的几何意义集合(共2题)函数(共3题)5分填空题抛物线的性质解析几何(共4题)5分填空题(共4题)5分填空题双曲线的基本性质解析几何(共4题)5分填空题积数列(共3题)空间几何体的体积(共3题)5分填空题征分析它们之间的性质数列(共3题)成对数据分析(共1题)13分(共4题)13分线面平行、面面所成角立体几何(共3题)14分古典概型、离散型随机变量分布列统计与概率15分关系解析几何(共4题)15分导数的综合运用导数(共1题)15分新定义、数列数列(共3题)我们不应仅仅满足于对知识点的记忆和背诵，而应深入理解知识的产生过程。这景、发展脉络以及其在整个学科体系中的位置和作用。通过追溯知识的根源识，增强记忆深度，同时培养我们的思维能力和探索精神。(2)以问题为导向的基础复习：问题导向的复习方法能够帮助我们更加有针对性地进行学习。通过设定问题，我们能够明确自己的学习目标，从同时，通过解决问题，我们能够加深对知识点的理解和记忆，形成更加完整和系统的知识体系。(3)重视教材的使用：教材是学科知识的载体，也是我们进行复习的主要工具。因此，利用教材，深入研读教材内容。通过反复阅读和思考教材内容，我们能够更好地对知识的印象。同时，教材上的例题和习题也是我们进行练习和巩固知识的重要资源。(4)题组教学，变式训练：题组教学和变式训练是提高学生解题能力和思维水平的有效方法典型的例题进行深入的解析和训练。通过题组教学，我们能够了解不同题的套路和技巧。同时，通过变式训练，我们能够拓展解题思路和方法，提高解题的灵活性和应变能在复习课之前，我们应该进行一番自我检测。通过回顾教材、笔记和之前的作业，梳识点，同时标出那些还存在疑惑或未掌握的内容。这样的预复习不仅能帮助我们听课时更有针对性地吸收知识。(2)动手做题，明确难点：课之前，我们可以尝试独立完成其中的例题。在解题过程中，我们可能会遇到一些难正是我们听课的重点，它们将引导我们更加深入地理解知识，并找出自己的不足。(3)听课有重点，多动脑思考：在听课时，我们要保持高度的专注力，认真听老师讲解每一个知识点和解题时遇到的难点，要特别留意老师的讲解，并多动脑思考，确参与课堂讨论，发表自己的观点和疑问，与老师和同学共同探讨，以加深对知识点的理解。(4)课后及时巩固与反思：课后，我们要及时巩固所学内容，通过做题、复习笔记等方式加深3.精准纠错，深化反思，完善知识体系(1)在高三的紧张复习阶段，我们需要积极“以错纠错”,即专门收集日常作业中的错误。随着复习的深入，我们将面对几十套甚至上百套的各类试题，每个错误都是我们成长的垫脚石。(2)若在做题时出错较多，建议在试卷上对错题进行标记，并旁边附上简短的评析。随后，妥善保存这些试卷。定期回顾这些“错题笔记”或标记了错题的试卷，将帮助我们有针对性地进行查漏补缺。(3)在阅读参考书时，不妨将精彩之处或错误的题目也做上标记。这样，在再次翻阅时就能有所侧重，实现精准复习。查漏补缺不仅是对知识的回顾，更是对自己思维方式的反思与提升。(4)除了逐一理解不同问题外，更要学会“举一反三”,及时归纳总结。每次订正试卷或作业时，都要在错题旁详细记录错误原因。常见原因包括：①无从下手解题；②概念模糊、理解不透彻；③方法选择不当；④知识点间迁移和综合存在问题；⑤情景设计理解困难；⑥熟练度不够，时间紧迫；⑦粗心大意或计算失误。通过一段时间的自查，建立一份个性化的补差档案，持续边查边改。随着时间的推移，重复犯错的频率会大幅降低。同时，随着自我认识的不断深化，考试时的自信心将增强，紧张情绪也将得到缓解。2024年高考数学真题完全解读(北京卷)2024年高考数学真题完全解读(北京卷)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|-4<x≤1},N={x|-1<x<3},则MUN=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-1<x≤1}c.{0,1,2}D.{【命题意图】本题考查集合的并集运算，考查数学运算的核心素养.难度：易.【点评】集合是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，考查热点一是集合的并集、交集、补集运算，二是集合之间的关系，所给集合多为不等式集、离散的数集或点集，这种考查方式多年来保持稳定.【知识链接】1.求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；(2)应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).A.1-iB.-iC.-1-i【命题意图】本题考查复数的乘法运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.【知识链接】(1)对于方程x²+y²+Dx+Ey+F=0(D,E,FA.6B.-6【命题意图】本题考查二项式展开式的系数问题，数学运算的核心素养。难度：易【答案】A令,解得r=2,故所求即为C2(-1)²=6.故选：A.【点评】相较于往年，今年的题目在难度上稍有提升，其中新加入了分数指数幂的知识点，为考生带来了新的挑战。然而，从总体方向来看，题目的主要考查点并未改变，仍旧聚焦于二项式展开式的系数问题，旨在检验考生对该知识点的掌握与运用。【知识链接】二项式展开式的通项公式Tk+1=Cha"⁻kbkA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算及命题与逻辑，数学逻辑推理及数学运算的核心素养。难度：易【答案】B【点评】平面向量在北京高考数学中占据着重要的必考地位，常以客观题的形式呈现。其考察热点主要集中在平面向量的线性运算及数量积的灵活运用上。这些题目既可以设置成基础题型，帮助学生扎实掌握基础知识点；又可以构造得相当复杂，通过融合平面几何、不等式、三角函数等多个知识领域，对学生的综合应用能力和解题策略提出更高层次的要求。特别是在较难的题目中，平面向量常与其他数学概念相交融，形成综合考察，考验着学生的逻辑思维深度和解题智慧。【知识链接】1.对于平面向量数量积的求解，有两种主要方法。当已知向量的模长和夹角时，可以利用公则a-b=x|x₂+yiy₂.2.在处理与平面几何相关的平面向量数量积的最值与范围问题时，常用的方法有以下两种。一是通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，再利用函数思想或基本不等式进行求解；二是通过引入角作为变量，将问题转化为求解三角函数的最值或范围问题。这两种方法都能够有效地处理这类问题，并帮助我们找到数量积的最值或范围。6.已知f(x)=sinwx(w>0),f(x)=-1,f(x₂)=1,,则W=A.1B.2【命题意图】本题考查三角函数最值以及周期性，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：中【答案】B的最小值点，x₂为f(x)的最大值点，【点评】学生们在解决涉及三角函数最值分析的问题时，可以利用周期性的概念进行深入理解，并结合三角函数最小正周期公式进行计算求解。相较于去年，今年的题目难度虽略有提升，但整体上依然较为友好，易于学生理解和把握，因此学生们在掌握相应知识点的基础上，较容易获得理想的分数。【知识链接】1.对于函数y=Asin(ox+φ)(A≠0,w≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.2.w由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的个周期(借助图象很好理解记忆).7.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总A.3N₂=2N₁B.2N₂=3N₁C.N²=N³【命题意图】本题考查对数的运算，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：中【答案】D【点评】通过将题目背景设置为现实生活情境，我们旨在让考生在解题的同时，深刻体会到数学既源于生活又服务于生活。本题特别强调了比较两个数的大小时，除了常见的作差法外，有时采用作比法可能更为恰当和有效。这样的设计旨在引导考生拓展思维，理解数学在实际问题中的灵活应用。该棱锥的高为().A.1B.2则PE⊥AB,EF⊥AB,且PE∩EF=E,PE,EFC平面PEF,过P作EF的垂线，垂足为0,即PO⊥EF,平面PEF,所以PO⊥平面ABCD,【点评】与去年相比，去年考察的是空间几何体的棱长之和，而今年的焦点则转向了空间几何体的高，从难度上看，今年的考查点显得更为直接和简单。解题过程中，首先利用面面垂直的性质推导出线面垂直，进而借助等体积法巧妙求解，使得整个解题过程变得清晰且易于操作。【知识链接】面面垂直的性质定理文字语言直线与另一个平面垂直图形语言a符号语言9.已知(x,y₁),(xz,y₂)是函数y=2*图象上不同的两点，则下列正确的是()【答案】A对于选项AB:可得可得,可得,对于选项D:例如x₁=-1,x可得3-3∈(-2,-1),即【点评】这道题目巧妙地运用了对数函数与指数函数模型，深入考察了基本不等式的应用。在北京高考中，基本不等式经常与其他数学知识点相互交融，而今年这一结合的方式显得尤为巧妙。题目不仅体现了数学公式的深度，还与函数的凹凸性有着微妙的关联，为考生提供了一次综合运用数学知识的机会。【知识链接】(1)指数函数的图像及性质指数函数y=a(a>0,且a≠1)图象0x0x定义域R性质过定点过定点(0,1),即x=0时，y=1函数值的变化当x>0时，0<y<1;当x<0时，y>1当x>0时，y>1;y=a'与的图象关于y轴对称(2)基本不等式：应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.10.已知1M={(x,y)ly=x+t(x²-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则()A.d=3,S<1【命题意图】本题考查集合的表示、函数图像的运用，考查数形结合、逻辑推理及数学运算的核心素养。难度：难【答案】C再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域如图阴影部分所示，其中A(1,1),B(2,2),C(2,4),可知任意两点间距离最大值d=|AC|=√10;阴影部分面积【点评】这道题目的设计极为巧妙，它巧妙地利用集合中的点集来代表平面图形，进而引导学生结合图像深入分析平面中两点的最值问题。作为选择题的压轴题，它不仅展示了数学的深度和美感，而且相较于去年，难度上有所降低，使得更多学生能够挑战并享受解题的过程。【知识链接】在运用数形结合的方法时，其核心在于“以形助数”,即在解题过程中，我们应着重培养这种思想意识。这不仅要求我们在脑海中形成清晰的图形形象，而且要做到每当看到数学表达式时，能够迅速联想到相关的图形。这样做能够极大地拓宽我们的解题思路。使用数形结合法的前提是题目中的条件能够明确转化为几何意义，解题时，我们需精准地把握条件、结论与几何图形之间的对应关系，巧妙地利用几何图形中的相关定理和结论来求解问题。二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线y²=16x,则焦点坐标为_【命题意图】本题考查抛物线的基本性质，考查数学运算的核心素养。难度：易【答案】(4,0)【解析】由题意抛物线的标准方程为y²=16x,所以其焦点坐标为(4,0).故答案为：(4,0).【点评】本题重在基础知识的考查，对学生要求不高。【知识链接】标准方程范围顶点对称轴x轴y轴焦点准线方程离心率e=1,P越大，抛物线的开口越大过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH'=2p公式12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若【命题意图】本题考查三角函数的对称性及由单调性求最值，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：易【答案】【解析】由题意β=α+π+2kπ,k∈Z,从而cosβ=cos(α+π+2kπ)=-cosa,因为所以cosα的取值范围是cosβ的取值范围是当且仅当,即时，cosβ取得最大值，且最大值为故答案【点评】通过巧妙地利用三角函数的对称性特性，我们可以建立β与α之间的关系，进而依托的cosa取值范围，精准地推导出本题的答案。这种解题方法不仅体现了对基础知识点的深入理解和应用，更展现了一种别样的考查视角，使得问题解答过程既富有挑战性又充满智慧。13.若直线y=k(x-3)与双曲线只有一个公共点，则k的一个取值为【命题意图】本题考查双曲线的基本性质及直线与双曲线的位置关系，考查数学运算及数形结合的核心素养。难度：易【答案】(或,答案不唯一)由题意得1-4k²=0或△=(24k²)²+4(36k²+4)(1-4k²)=0,解得或无解，即,经检验，符合题意.故答案为：(或,答案不唯一).【点评】本题为开放型题目，较去年的13题相比容易很多，直接借助直线与双曲线的位置关系联立方程组，令△=0从而求出k。【知识链接】设直线l:y=kx+m(m≠0),①双曲线C:),b>0),②当b²-a²k²=0,即时，直线l与双曲线C的渐近平行，直线与双曲线相交于一点.14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是禽、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm.325mm.325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为【命题意图】本题考查等比数列的通项公式及圆柱的体积，考查数学运算的核心素养。难度：中【答案】【解析】设升量器的高为h,斗量器的高为h₂(单位都是mm),则故h=23mm,【点评】【知识链接】(1)圆柱体积V=πr²h(r为底面半径，h为圆柱的高);(2)等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母9表示(q≠0)符号语言(或者三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(1)求∠A;条件①:b=7;条件②:;条件③:答计分.【答案】(1)(2)选择①,利用正弦定理得结合(1)问答案即可排除；选择②,首先求出再【解析】(1)由题意得,因为A为钝角，因为A为钝角，则(2)选择①b=7,则,因为则B为锐角，则此时A+B=π,不合题意，舍弃；因为B为三角形内角，则则代入选择③,解得c=5,则由正弦定理得,即解得因为C为三角形内角，则则算能力过关，该题得满分应该没有问题.【知识链接】应用正弦、余弦定理的解题技巧17.如图，在四棱锥P-ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,AD=3,PE=DE=2.(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD.(2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)取PD的中点为S,接SF,SC,可证四边形SFBC为平行四边形，由线面平行的判定定理可得BF//平面PCD.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB和平面PCD的法向量后可求夹角的余弦值.【解析】(1)取PD的中点为S,接SF,SC,则SFIIED,故BF//SC,而BF女平面PCD,SCc平面PCD,所以BF//平面PCD.因为ED=2,故AE=1,故AE//BC,AE=BC,而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED,则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),则PA=(0,-1,-2),PB=(1,-1,-2),PC=(1,0,-2),PD=(0,2,-2),故01234假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)【答案】(1)(2)(i)0.122万元(ii)0.1252万元【分析】(1)根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；从而可求E(X).(ii)先算出下一期保费的变化情况，结合(1)的结果可求E(Y).【解析】(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”,故E(Y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元)【点评】此题巧妙地以保险单为现实背景，深入生活，探寻数学的踪迹，将数学与日常过这一方式，不仅检验了学生的数学知识，更让他们深切地认识到数学源于生活XP我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.【分析】(1)由题意得b=c=√2,进一步得a,由此即可得解；由题意△=16k²t²-8(2k²+1)(t²-2)=8(4k²+2-r²)>0,即k,t应满足4k²+2-t²>0,若直线BD斜率为0,由椭圆的对称性可设D(-x₂,y₂),,在直线AD方程中令x=0,0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(或x当a≠0时，设一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式为4,则：4>0⇔直线与圆锥曲线C相交；4=0⇔直线与圆锥曲线C相切；4<0⇔直线与圆锥曲线C相离.20.设函数f(x)=x+kn(1+x)(k≠0),直线1是曲线y=f(x)(2)求证：1不经过点(0,0).个?(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)【命题意图】本题考查导数的几何意义及导数的综合运用，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：难【答案】(1)单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+0).(2)证明见解析(3)2【分析】(1)直接代入k=-1,再利用导数研究其单调性即可；(2)写出切线方程,将(0,0)代入再设新函数(3)分别写出面积表达式，代入2SAco=15SABO得到1再设新函数【解析】(1)f(x)=x-lnd+x)∴f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+0)上单调递增.则f(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+0).(2)切线l的斜率为假设l过(0,0),则F(t)在t∈(0,+0)存在零点.因为所以由零点存在性定理及h(t)的单调性，h(t)在综上所述，h(t)有两个零点，即满足2SAco=15SABOA有两个.【点评】在北京的高考数学考试中，导数解答题常出现在第19题或第20题的位置，这些题目通常以切线为核心展开，无论是探究极值、最值，还是研究零点问题、证明不等式，甚至解决多数情况都需要利用导数来分析函数的单调性，进而利用这一单调性来求解。因此【知识链接】曲线的切线问题(在型)已知：函数f(x)的解析式.计算：函数f(x)在x=x。或者(x。,f(步骤：第一步：计算切点的纵坐标f(x₀)(方法：把x=x₀代入第二步：计算切线斜率k=f'(x).根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀).21.已知集合M={(i,j,k,w)li∈{1,2},j∈{3,4},k∈{5,6},we{7,8},且i+j+k+w为偶数}.给定数列A:a₁,a₂,…,ag,和序列Ω:T,T₂,…T,,其中T,=(i,j,k,w,)∈M(t=1,2,…,s),变换：将A的第i,j,k₁,w₁项均加1,其余项不变，得到的数列记作T(A);将T(A)的第i₂,j₂,k₂,W₂项均加1,其余项不变，得到数列记作T₂T(A);……;以此类推，得到T,…T₂T(A),简记为Ω(A).(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1