2025年外研版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学下册阶段测试试卷249考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、函数f（x）的定义域为R，f（-2）=2013，对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2009的解集为（）

A.（-2；2）

B.（-2；+∞）

C.（-∞；-2）

D.（-∞；+∞）

2、已知抛物线的焦点坐标为则抛物线上纵坐标为-2的点到抛物线焦点的距离为（）

A.

B.

C.

D.

3、【题文】在中，则三角形的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4、【题文】已知直线与平行，则()A.3B.3或5C.5D.25、方程（t为参数）表示的曲线是（）.A.一条直线B.两条射线C.一条线段D.抛物线的一部分6、阅读如图的程序框图；运行相应的程序，输出S

的值为(

)

A.15

B.105

C.245

D.945

7、在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.

若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=32sin(100娄脨t)y2=3cos(100娄脨t+娄脨4)

则这两个声波合成后(

即y=y1+y2)

的声波的振幅为(

)

A.62

B.3+32

C.32

D.3

8、log39=(

)

A.5

B.2

C.3

D.4

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、一支田径队有男队员48人，女队员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体队员中抽取一个容量为21的样本，则抽取女队员的人数.10、如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为60°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA=5，则球的表面积为____．

11、已知二次函数y=a（a+1）x2-（2a+1）x+1，当a=1，2，，n，时，其对应的抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1，d2，，dn，，则d1+d2++dn=____．12、（几何证明选讲选做题）如图4，为圆的切线，为切点，圆的面积为则．13、【题文】在中，则=____．14、【题文】设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．15、【题文】已知函数与直线相交于两点,且最小值为则函数的单调增区间是____16、如图，四边形ABED内接于⊙O，AB∥DE，AC切⊙O于A，交ED延长线于C．若AD=BE=CD=1，则AB=______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共12分)24、如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设．

（1）用表示

（2）求AE的长？

25、证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解．评卷人得分五、计算题(共1题，共7分)26、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．30、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】

令g（x）=f（x）-x2-2009；则g′（x）=f′（x）-2x＜0；

∴函数g（x）在R上单调递减；

而f（-2）=2013；

∴g（-2）=f（-2）-（-2）2-2009=0．

∴不等式f（x）＞x2+2009；可化为g（x）＞g（-2）；

∴x＜-2．

即不等式f（x）＞x2+2009的解集为（-∞；-2）．

故选C．

【解析】【答案】构造函数g（x）=f（x）-x2-2009；利用对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．

2、D【分析】

依题意可知抛物线的准线方程为y=

∴纵坐标为-2的点到准线的距离为2+=

根据抛物线的定义可知纵坐标为-2的点与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离。

∴纵坐标为-2的点与抛物线焦点的距离为

故选D

【解析】【答案】先根据抛物线的方程求得准线的方程；进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．

3、C【分析】【解析】

试题分析：三角形是等腰三角形。

考点：正余弦定理解三角形。

点评：要判定三角形形状，一般转化出三边的长度关系或找到三个内角的大小关系，常借助于正余弦定理实现边与角的互相转化【解析】【答案】C4、B【分析】【解析】本小题考查了两直线平行的条件。因为这两条直线平行，所以经检验当k=3或5时；两直线不重合.所以k=3或5.

解本小题的关键是利用两直线平行的条件建立关于k的方程求出k值，要注意验证两直线重合的情况。【解析】【答案】B5、B【分析】解答：因为所以方程表示的是两条射线.分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据消参方法得到其普通方程分析即可6、B【分析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1隆脕3隆脕5隆脕隆脕(2i+1)

的值；

隆脽

跳出循环的i

值为4

隆脿

输出S=1隆脕3隆脕5隆脕7=105

．

故选：B

．

算法的功能是求S=1隆脕3隆脕5隆脕隆脕(2i+1)

的值；根据条件确定跳出循环的i

值，计算输出S

的值．

本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．【解析】B

7、D【分析】解：y=y1+y2=32sin(100娄脨t)+3cos(100娄脨t+娄脨4)

=32sin(100娄脨t)+3隆脕22[cos(100娄脨t)鈭�sin(100娄脨t)]

=3隆脕22[cos(100娄脨t)+sin(100娄脨t)]

=3sin(100娄脨t+娄脨4)

则这两个声波合成后(

即y=y1+y2)

的声波的振幅为3

．

故选：D

．

利用和差化积公式即可得出．

本题考查了和差化积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】D

8、B【分析】解：log39=log332=2log33=2

故选：B

根据对数的运算性质的计算即可。

本题考查了对数的运算性质，属于基础题【解析】B

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】试题分析：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是∵田径队有男运动员36人，∴男运动员要抽取人，考点：分层抽样.【解析】【答案】9.10、略

【分析】

连接OA，∵AB与AD都为圆O的切线，

∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，

∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，

∵PA、AD都是⊙O的切线，

∴∠OAP=∠PAD=60°，

在Rt△OPA中，PA=1cm，tan60°=

则OP=APtan60°=5cm，即⊙O的半径R为5cm．

则球的表面积S=4πR2=4π•（5）2=300π．

故答案为：300π．

【解析】【答案】连接OA；由AP与AD为圆O的切线，根据切线性质得到∠OPA与∠ODA都为直角，由∠BAC=60°，根据平角定义得到∠PAD为120°，再根据切线长定理得到∠OAP等于∠PAD的一半，得出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，根据锐角三角函数定义得出OP=APtan60°，进而求出OP的长，即为半径R，代入球的表面积公式即可求出．

11、略

【分析】

当a=n时，y=n（n+1）x2-（2n+1）x+1；

∴x1+x2=x1x2=

∴|x1-x2|===

∴d1+d2++dn=++=

故答案为：

【解析】【答案】当a=n时，y=n（n+1）x2-（2n+1）x+1，结合方程的根与系数关系可求dn；然后利用裂项求和方法即可求解．

12、略

【分析】由圆O的面积可知圆O的半径为根据切割线定理可知【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：由三角形正弦定理可得

考点：解三角形。

点评：解三角形时常采用正余弦定理，正弦定理【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】设z=a+bi(a、b为实数)，i(z＋1)=i(a+1+bi)=-b+(a+1)i=-3+2i,

因此b="3,a+1=2,"则z的实部a=1.【解析】【答案】115、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】16、略

【分析】解：∵AC是⊙O的切线。

∴∠CAD=∠AED

∵AB∥DE

∴∠BAE=∠AED=∠CAD

又四边形ABED内接于⊙O

∴∠B+∠ADE=180°=∠ADE+∠ADC

∴∠B=∠ADC

∴△ACD∽△AEB

∴

∴AB==2．

故答案为：2

证明△ACD∽△ABE即可得出从而可求AB．

本题考查圆內接多边形的性质，考查三角形相似的判断，证明三角形相似是关键．【解析】2三、作图题(共8题，共16分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共12分)24、略

【分析】

（1）根据向量的三角形法则得到。

=

（2）∵

=

=25+9+4+0+（20+12）•cos60°

=54

∴

即AE的长为．

【解析】【答案】（1）根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式；从向量的起点出发，沿着棱到终点．

（2）根据上一问表示出的结果；把要求的向量两边平方，把得到平方式展开，得到已知向量的模长和数量积的关系，代入数据做出结果．

25、略

【分析】【解析】试题分析：假设存在这样的复数，则原方程化简为设代入上述方程得方程组无实数解∴假设不成立，即原方程在复数范围内无解.考点：反证法及复数运算【解析】【答案】假设存在这样的复数，原方程化简为设代入得方程组无实数解∴假设不成立，即原方程在复数范围内无解五、计算题(共1题，共7分)26、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共4题，共28分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．29、【解答】（1）设等差数列{an}的公差为d；则。

∵S6=51，

∴{#ma