第三章 函数的概念与性质（16类题型清单）-2024-2025学年人教版高一数学必修第一册

第三章函数的概念与性质（题型清单）

01思维导图

函数的概念与性质

02知识速记

知识点01：函数的概念

一般地，设A,3是非空的实数集，如果对于集合4中的任意一个数x,按照某种确定的

对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数V和它对应，那么就称f:A-8为从集合A到

集合3的一个函数(function),记作y=/(x),xeA.其中，了叫做自变量，工的取值范

围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的丁值叫做函数值，函数值的集合{/(x)lxeA}

叫做函数的值域.

知识点02：求函数解析式

1、待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数，反比例等)，可用待定系数法.

2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数/(%)的解析式的问题，在使用换

元法时特别注意，换元必换范围.

3、配凑法：由已知条件/但(耳)=网力，可将/(九)改写成关于g(x)的表达式,

4、方程组(消去)法：主要解决已知/(%)与/(-%)、f的方程，求/(x)解析式。

知识点03：函数的单调性

1.1增函数

一般地，设函数/(x)的定义域为/,区间,如果e。，当石<马时，都有/(石)</(马)，

那么就称函数/(%)在区间。上单调递增.(如图：图象从左到右是上升的)

特别地，当函数/(%)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).

1.2减函数

一般地，设函数/(x)的定义域为/，区间。口/，如果Vxi，%e。，当％<%时，都有/(xj>/(%2),

那么就称函数/(%)在区间。上是单调递减.(如图：图象从左到右是下降的)

特别地，当函数/(x)在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).

2、函数的单调性与单调区间

如果函数y=/(x)在区间。上单调递增或单调递减,那么就说函数y=/(x)在这一区间具有(严格的)

单调性，区间。叫做y=/(x)的单调区间.

知识点04：函数的最大(小)值

1、最大值：对于函数y=/(x),其定义域为/,如果存在实数M满足：

①Wxel,都有

②玉()e/,使得/(%)=〃

那么称M是函数y=/(x)的最大值；

2、最小值：对于函数y=/(%),其定义域为/,如果存在实数加满足：

①Vxe/,都有/(x)>m

②使得/(%)=加

那么称加是函数y=/(x)的最小值；

知识点05：复合函数的单调性(同增异减)

一般地，对于复合函数y=/(g(%)),单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函

数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：

y=/(g(x))：令：。=8(%)和丁=

t=g(x)y=/Q)y=f(gW)

增增增

增减减

减增减

减减增

知识点06：函数的奇偶性

1、定义：

1.1偶函数：一般地，设函数/(%)的定义域为/,如果Vxe/,都有—xw/,M/(-%)=/(%),那么函

数/(%)就叫做偶函数.

1.2奇函数：一般地，设函数/(%)的定义域为/,如果Vxe/,都有—xe/,且/(—x)=—/(尤)，那么

函数/(九)就叫做奇函数.

1.3判断函数的奇偶性：

f(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论:

/(X)g(x)f(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

知识点07—：幕函数的概念

1、定义：一般地，函数>叫做累函数，其中x是自变量，a是常数.

2、募函数的特征

①>=/中％。前的系数为“1”

②y=中％。的底数是单个的自变量“X”

③丁二一中a是常数

知识点08：塞函数的图象与性质

1、五个塞函数的图象(记忆五个塞函数的图象)

当&=1,2,3,工,-1时，我们得到五个幕函数：

2

/(x)=X；/(X)=%2;/(%)=X3;/(x)=；/(X)=X-1

2、五个塞函数的性质

/(X)=X/(x)=必/(X)=Y/(X)=炉/(x)=一

定义域RRR[0,+co)(一8,0)(0,+oo)

值域R[0,+8)R[0,+co)(一8,0)(0,+co)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

在(—8,0)上

在R上单单调递减在R上单调在。+8)在(-8,0)上单调递减

单调性

调递增在(0,+oo)单递增单调递增在(0,+8)上单调递减

调递增

定点(1,1)

03题型归纳

题型一函数的定义域

《^定义域为(

例题1.(23-24高一上•四川乐山•期中)函数>=

A.[-3,3]B.(-3,3)

C.(―8,—3]。[3,+8)D.(—00,—3)(3,+oo)

【答案】B

【分析】根据解析式有意义列式计算即可.

【详解】由题知9一尤2>0,解得—3<x<3,

所以函数的定义域为(-3,3).

故选：B.

例题2.(23-24高一上.上海•期末)函数y=/(2x-l)的定义域为区间(0,1),则函数y=/(l-x)的定义域

为.

【答案】(0,2)

【分析】利用抽象函数定义域的求解方法可得答案.

【详解】因为函数y=〃2x-l)的定义域为区间(0,1),所以2x-l«-u),

令1—解得0<x<2,所以函数y=/（l-x）的定义域为（0,2）.

故答案为：（0,2）

例题3.（23-24高一上•江西新余•期中）若已知函数W+⑪+4定义域为R,则实数。的取值范围是—.

【答案】[-4,4]

【分析】由题意可得k2+ar+4N0对任意xeR恒成立，结合二次函数的性质求解即可.

【详解】解：由题意可得/+依+420对任意xeR恒成立，

所以A=02—16V0,

解得

所以实数。取值范围是[-4,4].

故答案为：-4,4]

巩固训练

1.（23-24高一上.江苏苏州.阶段练习）函数/（x+1）的定义域为[-2,1],函数g（"=£L,则g（x）的定

V2x+1

义域为（）

A.B.（T,+e）C.1-g,oJu（O,2）D.1-g，2

【答案】D

【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可.

【详解】由函数/（x+1）的定义域为『2』，可得T<x+lW2

函数的定义域为[T2],函数g（x）=£i%，

可得L+l>0,

解得-;<xW2,

所以函数g（尤）定义域为1g，2.

故选：D.

ax+\

2.（23-24高二下.江苏南京・期末）若函数y=/二，-的定义域为R,则实数。的取值范围

Tax-4办+2

是.

【答案】0，1

【分析】利用函数的定义域为R，转化为以2_4办+2>0恒成立，然后通过分类讨论aW0和a=0两种情况分

别求得a的取值范围，可得解.

【详解】y=/2”的定义域为R，是使双2-4办+2>0在实数集R上恒成立.

Tax-4ox+2

若。片0时，要使0x2-4办+2>0恒成立，则有。>0且A<0,

1

即A=（—4Q）—4x2a<0,解得。〈〃〈万.

若a=0时，办2-4以+2>0化为2〉0,恒成立，所以〃=0满足题意，

所以OWaJ

2

故答案为：o[j.

3.（2024高三・全国・专题练习）已知函数y=/（x-l）的定义域为[1,2],则函数y=/（2x-l）的定义域为

【答案】

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】：函数y=〃x—1）的定义域为[1,2],即"XV2,可得0<x—1V1,

；・函数y=〃x）的定义域为[0,1],

令0W2K1,解得工WxVl,

2

故函数y=〃2x—1）的定义域为1,1.

故答案为：

题型二求函数值域

例题1.（23-24高一上.浙江•阶段练习）函数y=J一的值域为（）

x2-x+l

（131<131<1311

I3」I3」（3」L：

【答案】B

【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解.

【详解】由y=3x,3x+4

可得y=3+-71

X—X+1

由于函数"“=~7+1=卜一3+14,所以0<T1v；

Mc1

故厂3+工石

故选：B

例题2.（23-24高一上.河南平顶山•期中）己知函数〃司=父-2W|+2,则的值域为（）

A.［T+oo）B.［1,+CO）C.[0,+=o)D.[0,4]

【答案】B

【分析】将函数整理成〃x）=（国-1丫+1,然后利用二次函数的性质即可求解

［详解］“X）=尤2-2同+2=|尤0-2国+2=（国-1）~+1,|x|e［0,+oo）,

故/"）„*=/（I）=1，故函数值域为［1，+8）.

故选:B

例题3.（23-24高一上•四川内江•阶段练习）函数y=l+x-VT公的值域为

【答案】

【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】设4］石=，则/20,x=^~,

]—产1o1

所以y=Id----------1=—t2TH—=——+1)2+2,

2222

因为£之0,y=—5（，+1）2+2在［0,+8）上单调递减，

所以所以函数y=i+x-ViF的值域为18T.

故答案为：卜与万.

例题4.（2024高三・全国・专题练习）函数》二3山x+92的值域为

【答案】（一8,3）0（3,+力）

【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是（-8,0）口（0,+”）,来求分式函数的值域.

【详解】因为y=^¥=3I+5=3+j又因为所以3+三R3,

X-LX-1X-1X-1X-1

3y_|_7

所以函数y=W.的值域为（-a,3）u（3,+力）.

X-L

故答案为：（―”,3）U（3,+8）.

巩固训练

2Y15

L⑵3高三・北京・强基计划）函数/（x）=K7的值域为（）

A.B.2

7537,

164

c.亍4D.以上答案都不对

【答案】C

【分析】利用判别式可求函数的值域.

【详解】设题中函数为，=/(%),则靖+(3〉-8口+4丫-15=0,

当y=0时，x=---；

8

当yw。时，视其为关于x的二次方程，

--<y<4

判别式A=(3y-8)2-4y(4y-15)N0n7一,一,

“0

综上，故值域为一34.

故选：C.

2.(23-24高一上.福建泉州.期中)函数/(x)=d-2x+2,xe［-l,4］的值域为.

【答案】MO］

【分析】对函数解析式配方后，即可求出最小值，再考虑区间端点函数值的大小，即可求解.

【详解】因为y(x)=f-2x+2=(x—iy+i,

则/(x)1mn=/⑴=1，又/(-I)=5</(4)=10,

故函数的值域为口』0］.

故答案为：口,14

3.(23-24高三.全国•课后作业)函数、=J-Y+2x+2的值域为.

【答案】［。，6］

【分析】根据题意可得04-/+2X+243,可求出结果.

【详解】令=+2%+2,贝ijOK//(x)=-x2+2X+2=-(X-1)2+3<3,

所以OKyK石.

故答案为：［。,百］.

4.(23-24高一上.浙江宁波.阶段练习)函数"X)=“2在x如R上的值域是_____.

x+%+4

【答案】目,蓝］

【分析】将函数变形为〃尤)=2+2"当x=0时.，/«=2；当XH0时，/。)=2+利

x2+x+4尤+—+1

勾函数的性质和不等式的性质可解.

2%2+3X+8_2(%2+X+4)

+%cX

【详解】函数f（x）=—=2+----------，

/+%+4%2+1+4x+x+4

当x=0时，/(%)=2；

当田时，/W=2+—

x+—+1

X

根据对勾函数的性质可知:

—^<111

4则°<

当x>0时,x+—>4,-4-5,所以2Vf(x)1-

xAHHl5

X

4--<——1——<05

当xv0时,A：+—<-4,则3-4,所以可？f(x)2,

Xr+

x

函数AM爸*在XCR上的值域是

综上所述,

故答案为:

题型三求函数解析式

例题1.（23-24高一上•内蒙古赤峰•期中）已知〃九）是一次函数，且"⑵-3/⑴=5,2/(0)-/(-1)=3,

则/(%)=()

A.3x—2B.3x+2

c91

C.—x——D.4x-1

22

【答案】D

【分析】根据题意设函数/（2=丘+仇左W。），列出方程组，求得匕方的值，即可求解.

【详解】由题意，设函数/（彳）=丘+次左W。），

因为2/(2)-3〃1)=5,2/(0)-/(-I)=3,

所以2(2左+6)—3(左+6)=5,2b-(-k+b)=3,

k—b=5

则kg'解得m

所以〃x)=4x-l.

故选：D.

1—Y2/、

例题2.（2024高三・全国•专题练习）已知函数“l-x）=L+（xwO）,则/（X）=（)

11

)w1)

-1(x^0B1

A.西7,(M

44

c.7~^-1(天声°)D.7-^-1(无力1)

(尤T)(1)

【答案】B

【分析】利用换元法令/=l-x求解析式即可.

【详解】令，=1一%,则％=且犬wO,则”1,

1-(1T)-1

可得，(。=-1,(/丰1)

(1-。2

1

所以〃x)=-l(xw1)

(1)2

故选：B.

例题3.(2024高一.江苏.专题练习)求下列函数的解析式:

(1)已知〃x+2)=2x+3,求〃x)；

(2)已知/■(石+1)=尤+2«,求“X)；

(3)已知是一次函数，且/(〃x))=16x—25,求〃x)；

(4)已知/■(%)为二次函数，且/(X+1)+/(X-1)=2Y_4X,求〃X)；

⑸定义在区间(-1,1)上的函数/⑺满足2/(x)-/(-x)=x2,求〃x)的解析式.

【答案】⑴〃x)=2x-l

(2)/(力=/一1。训

(3)/(%)=4%-5或/(力=-4》+不

(4)/(%)=X2-2X-1

⑸〃X)=X2(T<X<1)

【分析】利用配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法求解各题，注意定义域.

【详解】(1)因为/(x+2)=2x+3=2(x+2)-l,

所以/(x)=2x—l.

(2)解法一(换兀法)：令t=+1,t>\,则x=(t—1),

所以/(f)=(Z-l)2+2(Z-l)=?-l(/>l),

所以/(X)=X2T(XN1).

解法二(配凑法)：=%+26=(6+1)-1,

因为五+121,所以

(3)设〃x)=Ax+Z?(左w0),

贝Ijf^f^x^=k(kx+b)+b=lcx+kb+b=16x-25,

k=-4

k=4

所以人-5或725，

H解得b=——

3

75

所以/(x)=4x-5或〃x)=-4x+；

(4)设/(%)=口2+阮+。(々工。)，

贝ij/(x+l)+/(x-l)=4Z(x+l)2+Z?(x+l)+c+<2(x-l)2+。(％-1)+0=2/+2&r+2〃+2c=2%2-4%,

2a=24=1

所以2b=-4,解得<Z?=—2,

2a+2c=Qc=-l

所以“到=r—2x—1.

(5)对任意的有

由①

得"(T)-〃X)=(T)2,②

联立①②解得，/(^)=x2(-l<x<l).

巩固训练

1.（23-24高一上•广东江门•期中）已知了)

42°)

C.—

X+1

【答案】A

【分析】根据函数解析式利用换元法即可得出函数/（x）的解析式.

【详解】令/=：,则卷。且》=；‘所以“‘卜匚［"！”,。），因此〃同=三（中。）.

故选：A.

2.（2024高三.全国・专题练习）已知二次函数/⑺满足〃x+l）=〃x）-2x+2,且〃0）=2.求的解

析式.

【答案】/（X）=-X2+3X+2

【分析】设〃》）=依2+加+。（。30）,利用/'（尤+l）=f（x）-2x+2建立恒等式求解即可.

【详解】设二次函数/（%）=以2+b%+c（QW。），

因为/(0)=。=2,所以f(x)=ax2+bx+2,

由/(%+1)=f(x)—2x+2,得a(x+1)2+b(x+1)+2=ax2+bx+2-2x+2,

得ax2+(2a+b)x+a+b+2=ax2+(b—2)x+4,

2a+b=b—2Q=-1

所以,得

a+b+2=4b=3

故/(%)—一%?+3%+2.

3.（2023高一•江苏•专题练习）（1）已知函数/（叶l）=3x+2,求/（无）；

(2)已矢口/(x—最]=尤。+7，求/'(x)；

(3)已知/3+2/]£|=》(­0),求〃无).

【答案】(1)/W=3x-1;(2)〃力=犬+2；(3)/(x)=^-j(x^O).

【分析】（1）利用换元法或配凑法求函数解析式；

（2）利用配凑法求函数解析式；

（3）利用方程组法求函数解析式.

【详解】（1）法一（换元法）令x+l=f,=1,.•.〃。=3（"1）+2=3-1,...〃x）=3x-l.

法二(配凑法)/(x+l)=3x+2=3(x+l)—1,.\f(x)=3x-l.

(2)•.•小一J*+2,二〃x)=f+2.

(3)•.•〃尤)+2/Q]=x,.•.用工代替x得了(1+2〃尤)

消去得〃尤卜福一?龙二0）,

•••函数”X）的解析式为“X）0）.

5x3

题型四利用定义法证明函数的单调性

例题1.（23-24高二下.江苏徐州•阶段练习）已知函数〃x）=

⑴证明：“X）在［2,6］上单调递增；

（2）求〃x）在［2,6］上的最大值与最小值.

【答案】（1）证明见解析

9

（2）最小值是1,最大值是g

【分析】（1）根据单调性的定义，先任取%,%«2,6］,且王＜%,然后作差/（再）-/（9），变形判断符号

可得结论；

(2)由/(尤)在［2,6］上递增，可求出其最大值和最小值.

【详解】(1)证明：%,9目2,6］,且玉＜马，贝1J

了(占)—区)=^^一在］

玉一1x2-1

=(2%—3)(%—1)—(2%—3)(为一1)

—(^-1X^-1)

玉—x2

二(-1)

由2?再x2?6,得玉一工2＜。，(%一1)(尤2—1)＞。，

所以/(%)—/(尤2)＜。，即/&)＜/(%).

所以函数/("=在区间［2,6］上单调递增.

X—1

(2)因为函数/(无)=二^在区间［2,6］上单调递增，

所以函数/(元)在区间［2,6］的两个端点上分别取得最小值和最大值，

即x=2时取得最小值，最小值为"2)=芸异=1,

x=6时取得最大值，最大值为/(6)=¥^=3.

0—15

9

故/(X)的最小值是1,最大值是二

例题2.(23-24高三上.甘肃定西•阶段练习)已知函数〃尤)=/+摄+1的图象经过(1,4),(-2,-2)两点.

(1)求的解析式；

⑵判断在［2,4］上的单调性，并用定义法加以证明.

2

【答案】⑴)(力=尤+［+1

(2)单调递增，证明见解析

【分析】(1)待定系数法求解析式.

(2)利用函数单调性的定义证明函数的单调性，即任取的，马e［2,4］,设玉＜%,求/(%)与/(%)的大

小关系.

【详解】⑴因为函数〃x)=x"+q+l的图象经过(1,4),(-2,-2)两点，

所以l+b+l=4,(-2)+—+1=-2,

角军得1=1,b=2.

故的解析式为“x）=x+：+l.

（2）/（x）在[2,4]上单调递增.

证明如下：

设X],6[2,4],且占＜%，

2（2、

/（%）—/（%）=玉—+1-x2+—+1

%I%2/

_,22_（入一9）（卒2-2）

二%H------%------=------------------------•

X{X2%々

因为X],Xje[2,4],所以玉%＞2,

因为%＜%,所以%-%＜。，贝一2）＜0,即/&）＜/（%）.

故"X）在[2,4]上单调递增.

例题3.（2024高一.全国.专题练习）已知f（x）定义域为R,对任意x,yeR都有/（x+y）=/（x）+/（y）-2,

且当x＞0时，f（x）＜2.试判断/（x）的单调性，并证明；

【答案】/（X）在R上为减函数，证明见解析

【分析】

利用赋值法，结合函数的单调性定义即可证明.

【详解】任取占，ZeR,且占＞马，

因为/（西）一/（赴）=/（西一々+%）一/（%2），/（x+y）=/（x）+/（y）-2,

所以/（西）一/（々）=/（西-々）+/（%）一2—7（%2），故/（西）一/（%）=/（西一々）一2,

因为尤2，所以占-%＞。，又因为当尤＞0时，f（x）＜2,所以/（百一马”？，

所以/任一%）一2＜0,所以/&）一/（%）＜0,即/（%）＜〃马），所以〃x）在R上为减函数.

巩固训练

Y1

1.（24-25高一上•全国•假期作业）函数/（》）=-判断函数Ax）在[3,+8）上的单调性，并加以证明.

【答案】函数/（X）在[3,+8）上单调递减，证明见解析

【分析】利用单调性的定义证明，先对函数变形，然后任取4%C[3,+8）,设再＜X2,再对函数值作差

/（石）-/（々），化简后判断符号，即可得结论.

【详解】函数/5）在[3,+8）上单调递减，证明如下:

Y+13

函数”元）=--=1+-

x—2x—2

任取石,9e［3,+8）,设再＜々,

33_3(%2—玉)

则/(占)-/(%)=--刀

xx-2%2—2(%—2)(%—2)

因为％,%e[3,+8),xl<x2,

所以W-玉>0,项一2>0,4-2>。,

故小）一（/）=五w＞。，即小）＞〃/）,

故函数/（X）在［3,+8）上单调递减.

2.（2024高一・全国・专题练习）已知函数/（盼的定义域为（0,+8）,当》＞1时，/。）＞0,且/（双）=/。）+/（历，

试判断函数Ax）在定义域上的单调性.

【答案】/（无）在（0,口）上单调递增

【分析】

由题意，设。＜%＜%，结合三=恐小和定义法证明函数的单调性，即可求解.

xl

【详解】设不力是区间（0,+8）上的任意两个实数，且玉＜马,

所以/（石）一/（9）=/（占）一/逗时］=/（占）一/%］+/（占）=-/—\

（%）L7J7

/、

因为冷马€（°，+°°）且为,所以e＞1,所以/—＞0,

尤1I玉J

所以〃苔）一“马）＜0,即■/"（%）＜〃/）,

所以/（X）在（0,+8）上单调递增.

3.（23-24高一上.河南安阳・期末）已知函数了（彳）=三土£,且/⑴=2.

X

⑴求a.

（2）用定义证明函数/（X）在上是增函数.

（3）求函数/（幻在区间［3,6］上的最大值和最小值.

【答案】⑴1

（2）证明见解析

（3）最大值为《37，最小值为10:

63

【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案;

（2）根据函数单调性的定义，即可证明结论；

（3）根据函数的单调性，即可求得答案.

【详解】（1）由题意知函数〃x）=E^,且/⑴=2,

X

故］_+"=2,贝!Ja=1

1

/+］

（2）证明：由（1）知/»=土上二x+1七,

XX

任取石，%2£（1，物）且石<%2，

X

则/(%)—/(9)=%12=Xl~X2+--=(%—々)1一

xix2x1x2I

0

因为石，九2£（1,+°）且芯<X2,可得玉一冗2<。,％送2>1，。<---<1，则1---->0，

%马XxX2

所以〃石）一/（%2）=（占一马）1一-<0,即/（石）</（%2），

所以函数/（尤）在（1,y）上为单调递增函数.

（3）函数/（X）在［3,6］上为单调递增函数，

3710

所以小『了⑹­"⑴”/⑶一，

所以函数/⑺在区间［3,6］上的最大值为g最小值为三.

63

题型五根据单调性求参数

例题1.（2024.山东.二模）已知函数〃耳=2/_侬+1在区间［-1,内）上单调递增，则”1）的取值范围是

（）.

A.［7,+w）B.（7,-H»）

C.（-oo,7］D.（-oo,7）

【答案】A

【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得加WT,再由/⑴=3-根，进而求得了⑴的取值范围.

【详解】由函数/（%）=2/-初x+1的对称轴是尤=（,

因为函数在区间上是增函数，所以:V-1,解得

又因为了⑴=3­〃，因此3-租27,所以/■⑴的取值范围是［7,内）.

故选：A.

例题2.（23-24高一上.海南海口.阶段练习）若函数/（量/：1+°在［1,+8）上是增函数,则实数。的取

值范围是（）

A.(-<»,4]B.[0,1]C.(-co,5]D.[1,2]

【答案】C

【分析】变形换元得至=f+—，te[2,”），考虑“一1<0,a-l=0和。一1>。三种情况，结合对勾函数

性质得到不等式，求出实数。的取值范围.

.、¥々刀Y£（、%2+2x+cia—]

【详解】f（x）=-------------=x+l+——，

X+lX+1

令x+1=/£[2,+oo）,故y=♦~i—--,t[2,+oo^,

当a-l<0,即a<l时，y=r+?在[2,+助上单调递增，满足要求，

当a-l=0,即a=l时，？=/在[2,+。）上单调递增，满足要求，

当即a>l时，由对勾函数性质得到y=r+在[7^工+℃）上单调递增，

故。<V^?42,解得l<aW5,

综上，实数。的取值范围是（e,5].

故选：C

fX?+Q/7X+3X<1

例题3.（23-24高一上•浙江杭州•期中）若函数〃x）='一是减函数，则”的取值范围是（）

[ax+l,x>1

A.[-3,-1]B.

C.[-1,0）D.[-3,0）

【答案】A

【分析】由题意先分段，由单调递减依次得aW-1,〃<0,但还需保证l+2a+3之，+1,由此即可求解.

【详解】由题意当时，/（%）=%2+2办+3=（%+々）2+3_〃2单调递减，则_々21,即Q4-l,

当工〉1时，/（1）=办+1单调递减，则〃<0,

+2ax+3丫<]

要保证/（%）={1「一单调递减，则还需l+2a+3之a+l,解得。2-3,

[ax+l,x>I

综上所述，4的取值范围是[-3,-I].

故选：A.

巩固训练

+

I.（多选）（23-24高一上•内蒙古赤峰•期末）若函数〃x）=f12a在R上单调递增，贝匹的取值

ax+4,x>-1

可以是（)

3

A.0B.1C.-D.2

2

【答案】BC

【分析】先判断出/（"=-/+24在（.「I］上的单调性，然后根据条件列出关于。的不等式组，由此求解

出。的取值范围，则正确选项可知.

【详解】因为当xVT时，函数/（x）=-f+2a为单调递增函数，

又函数〃无）在R上是单调函数，则需满足_i+2a＜_a+4,解得

所以实数。的范围为,所以满足范围的选项是BC,

故选：BC.

2.（23-24高一上•内蒙古赤峰•期中）若函数〃x）=f-3侬+18（meR）在（0,3）上不单调，则实数，”的取

值范围为.

【答案】（0,2）

【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到不等式，求出答案.

【详解】=3mr+18的对称轴为x=—等=芋，

由题意得0＜三＜3,解得0＜相＜2,

故实数m的取值范围为（0,2）

故答案为：（0,2）

3.（23-24高一上.河南.阶段练习）已知〃司=空■在区间（华,3）上是增函数，贝心的取值范围是_____.

x-3

【答案】（-00,-g）.

【分析】先将分式函数用常数分离法转化成简分式，再根据函数的单调性即可求得参数范围.

【详解】由”X"丝3"1）+1+341+3a

=a+

x-3

因为“X）在区间（Y,3）上是增函数，所以l+3av0,解得

故答案为：

题型六根据单调性解不等式

例题1.（23-24高二上•四川眉山・期末）已知函数Ax）为R上的增函数，则满足/（口＞〃1）的实数x的取

值范围是（）

A.(-1.DB.(0,1)

C.(-1,0)(0,1)D.(-w,-l)u(l,+^)

【答案】C

【分析】根据函数单调性可得H>I,即可由不等式求解.

【详解】由于/⑴为R上的增函数，故由⑴可得|>1，

因此二且"0,

解得一Ivxvl且xwO,

故选：C

例题2.(23-24高一上.山东聊城.期末)定义在R上的函数〃x)满足+2)为偶函数，且〃x)在(-/,2)

上单调递减，若xe；,3,不等式依)</(x-2)恒成立，则实数。的取值范围为.

【答案】|<«<1

【分析】求出〃x)的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将〃依),〃x-2)转化为6,x-2的关系,

再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出。.

【详解】定义在R上的函数〃x)满足〃x+2)为偶函数，所以关于x=2对称，

因为〃x)在(3,2)上单调递减，所以〃尤)在(2,+8)上单调递增，

所以/'(x)越靠近对称轴x=2函数值越小，

所以由〃依)<〃x_2)得|依一2|<卜_2-2|,

由于彳£；,3,所以％—4〈依—2<4—%,

可得1一即xei3时1一2<a<9_i恒成立,

xx[_2」兀x

可得

211

由于y=l—-在工£个3时单调递增,

X|_2_3

“1

y=—1在—,3时单调递减,1=1，

x|_2_Xmin

所以:<a<1恒成立，则实数a的取值范围

故答案为：

【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下

(1)若函数“X)满足/(。+%)=/(。一彳)或〃2。-力=〃彳)或/(2。+彳)=/(—力,则/'(X)的一条对称轴

为X=〃；

(2)若函数〃x)满足〃a+x)+/(a-x)=»或〃2a—x)+/(x)=%或〃2a+x)+/(r)=26,则的

一个对称中心(4,6).

例题3.(23-24高一上.河南•期中)定义在(0,+8)上的函数“X)满足：对”,当«0,”)，且X产尤2,都

有电〃再)一%〃％)>0成立,且〃2)=4,则不等式〃x)>2x的解集为()

Xx—X2

A.(4,-H»)B.(0,4)C.(0,2)D.(2,+8)

【答案】D

【分析】由条件」"“)一"/伍)>。和所求〃x)>2x的特征,考虑构造函数g(x)=&2,将不等式

玉-x2X

/(x)>2x转化为g(x)>g(2),再利用函数g(x)在(0,+8)上的单调性即可求得.

【详解】由题意，X产超且3％,«0,+8)，则将>0两边同除以六马,即得：

Xx-X2

/(%))(%2)

%%)0，

玉一/

令g(x)=—,则可知函数g(x)在(0,+8)上为增函数.

由〃x)>2x两边同除以X得：」?>2,因g(2)=-=2,则得：g(x)>g(2),故得：%>2.

故选：D.

【点睛】思路点睛：本题主要考查利用题设不等式构造函数，利用其单调性求不等式解集.属于较难题.

解题思路是，观察题设不等式的特征和所求不等式的联系，通过等价转化构造新函数，通过判断其单调性，

将抽象不等式转化为具体不等式求解.

巩固训练

1.(23-24高一上•重庆・期中)若函数丁=/(尤)在R上是减函数，且〃加-2)>/(-附，则实数机的取值范

围是()

A.B.C.(T»,T)D.(-8,1)

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用单调性脱去法则求解不等式即得.

【详解】由函数y=/（x）在R上是减函数，A〃L2）＞/（-㈤，得2＜T",解得m＜1,

所以实数加的取值范围是（-8,1）.

故选：D

2.（23-24高一上.辽宁阜新.阶段练习）若函数y=〃x）单调递增，求满足不等式/（2"＞〃-1）的x的取

值范围为.

【答案】［卜〉一；｝

【分析】利用函数的单调性，解出不等式即可.

【详解】因为y=单调递增，M/（2x）＞/（-