导数五类题型-2025年高考数学冲刺大题专项练习（新高考专用）

专题06五类导数题型

2025年高考数学大题秒杀技巧及专项练习（原卷版）

导数问题一般分为五类：

类型1：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）；

类型2：利用导函数研究恒成立能成立问题；

类型3：利用导函数研究函数零点问题；

类型4：利用导函数研究函数的隐零点问题；

类型5：利用导函数研究函数的极值点偏移问题；

类型1：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）

利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）专题训练

1.已知函数/（%）=6（炉一3）+1（。。0）.

⑴讨论函数/（力的单调性；

⑵若/（%）有三个零点4%2,忍（七＜%2〈%），且/（%）在％处的切线经过点（%，。），为工再，

求证：%二一2%.

3

2./（%）=21n1—av--.

ax

⑴讨论了（%）的单调性；

（；2）g（x）=〃x）+d+—,若g（x）有两个极值点占,三,且为＜々，试求g&）-2g（项）的最

ax

大值.

3.已知函数/(x)=x2+〃ln(l—x),awR.

1

⑴讨论函数“X）的单调性；

（2）若函数/（X）有两个极值点玉，且玉<多，求证：f（xl'）-ax2>-a.

4.已知函数〃x）=e£（x2+办+q）.

⑴求函数〃x）的单调区间；

⑵若〃x）<X%，+1恒成立，求实数。的取值范围.

2

5.已知函数/（%）=-x—l—〃ln%,awO.

e

⑴求函数/（X）的单调区间；

⑵当«=1时，若关于X的方程了（力=机（机为实数）有两个不相等的实数根%,三，且

求证：x2-xl<e（/7J+l）.

类型2：利用导函数研究恒成立能成立问题

利用导函数研究恒成立能成立问题专项训练

6.已知函数/'（X）=e'+x-l,g（x）=^x2+ax~^，其中a>0,e是自然对数的底数.

⑴若/（尤）Ng（尤）在（0,y）上恒成立，求实数。的取值范围；

InX

（2）设以幻=——，在（1）的条件下，讨论关于X的方程以，（尤））=久g（x））在（。,+8）上解的个

X

数.

2

7.设/(x)=e“，g(x)=lnx,h(x)=sinx+cosx.

h(x\

(i)求函数y=,xe(0,3兀)的单调区间和极值;

f(x)

⑵若关于无不等式/(x)+办+2在区间［0,+句上恒成立，求实数a的值；

(3)若存在直线其与曲线>为和丫=对立共有3个不同交点4(/。，B(x,,Z),

C(x3,t)(xl<x2<x3),求证：占,多,退成等比数列.

8.已知函数/'(x)=xe'-Inx-l.

⑴求函数/(x)在x=l处的切线方程；

⑵若不等式/(x)>ax(aGR)恒成立，求实数a的取值范围.

9.已知函数/(x)=—,g(x)=Alnx,h(x)=kx-l(k>0,kv=l).

⑴求曲线y=/(x)-g(x)在x=i处的切线方程；

⑵求使得〃力之可力2g(力在xe(0,+«)上恒成立的左的最小整数值.

3

10.已知函数/(力=0'-办-1.

⑴当。=1时，求“X)的单调区间与极值；

⑵若在xe[0,—)上有解，求实数。的取值范围.

类型3：利用导函数研究函数零点问题

利用导函数研究函数零点问题专项训练

11.已知函数/(x)=2-lnx-a,其中。为常数，e=2.71828…是自然对数的底数.

⑴当。=1时，求曲线y=F(x)在x=l处的切线方程；

⑵当。>1时，问/'(x)有几个零点，请说明理由.

12.已知函数_/(x)=e、'T-ox?,qeR.

(1)若/(元)的图象在x=l处的切线与直线V=-gx+2垂直，求。的值及切线方程；

⑵若a>0,函数8(尤)=〃尤)+Gin(依)在其定义域上存在零点，求实数。的取值范围.

4

Inx

13.已知函数/（元）=—7（。＞0）.

ax+l

⑴当"时，求〃尤）的单调区间；

⑵若函数y=/（x）+，有两个不同的零点，求。的取值范围.

ax

14.已知函数/（尤）=了山》+“一or（acR）.

（1）若a=l,求函数〃力的极值；

（2）若函数/（X）在区间［l,e］上有且只有一个零点，求实数a的范围.

15.已知函数/'（尤）=g1—lnx—1,oeR.

⑴若a=l,求函数〃x）的单调区间；

⑵若有且只有2个不同的零点，求。的取值范围.

类型4：利用导函数研究函数的隐零点问题

利用导函数研究函数的隐零点问题专项训练

CL—\

16.设函数/（x）=Inx,g（x）=QX+-------3（。GR）.

x

5

⑴求函数。(X)=/«+g(x)的单调增区间；

(2)当。=1时，记/z(x)=/(x).g(x),是否存在整数4,使得关于x的不等式242/z(x)有解？若

存在，请求出4的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据：1112x0.6931,1113=1.0986)

17.设函数〃力=/-6-2,其导函数为广(x).

(1)求函数〃力=/-依-2的单调区间；

(2)若a=l,左为整数，且当x>0时，(x—%)/'(x)+x+l>0,求人的最大值.

18.已知函数/⑺

⑴若x=l是〃x)的极值点，求。；

⑵当时，证明：/(x)<e%-2-l.

19.设函数〃x)=e*-办一2,aeR,其导函数为尸(x).

⑴求函数〃”的单调区间；

(2)若a=l,左为整数，且当x>0,(x—%)/'(x)+x+l>0,求上的最大值.

6

1vytyyj

20.已知0V机＜1,函数=------7

XXX

（1）讨论函数/（可在（2,+8）上的单调性；

⑵讨论函数在（0,+。）上值是否存在最小g（〃。？若存在，求出g（加）的值域;若不存在,

请说明理由.

类型5：利用导函数研究函数的极值点偏移问题

利用导函数研究函数的极值点偏移问题专项训练

21.已知函数/（彳）=］一了出》-依-1（4€14）有两个零点.

⑴求a的取值范围；

⑵设为，三是/（X）的两个零点，证明：xY+x2＞2.

22.已知函数/（x）=。山工+/一（a+2）x,其中。为常数，且awO.

（1）当。＞0时，若了（力在（0,e］上的最大值为1,求实数。的值；

⑵若。＜0,且函数Ax）有两个不相等的零点七，X?,证明：国+々＞2.

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23.已知函数〃x）=xlnx-*|x2-x+l,a&R.

⑴若函数y=〃x）的图象在点（L〃l））处的切线方程为>=-2尤+1,求实数0的值;

⑵若函数〃x）在定义域内有两个不同的极值点看，巧.

（0求实数a的取值范围；

vyi

（H）当0V根<2时，证明：玉+兀2>一.

24.已知函数外加.加+“*（…，。为常数）在（。⑵内有两个极值点

和％2