第九章 概率（解析版）-2024年高中数学学考考点归纳与测试

第九章概率

目录

知识梳理............................................................1

考点精讲精练........................................................2

考点一：随机事件与概率..........................................2

考点二：事件的相互独立性........................................6

考点三：频率与概率..............................................11

概率实战训练.......................................................14

知识梳理

1、概率与频率

一般地,随着试验次数〃的增大,频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率力(A)会逐渐稳定于事

件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率力(A)来估计概率

P⑷.

2、古典概型

试验具有如下共同特征：

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个;

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

3、古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含九个样本点，事件A包含其中的左个样本点，则定义事件

A的概率P(A)=V=号/■.

n〃(Q)

其中，"(A)和“(Q)分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个数.

4、概率的基本性质(性质1、性质2、性质5)

性质1：对任意的事件A,都有P(A)20；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(O)=1,P(0)=O；

性质5：如果那么P(A)<P(5),由该性质可得，对于任意事件A，因为004口0,所以

O<P(A)<1.

5、互斥事件的概率加法公式(性质3)

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AU3)=P(A)+P(3)；

注意：只有事件A与事件6互斥，才可以使用性质3,否则不能使用该加法公式.

6、对立事件的概率(性质4)

性质4：如果事件A与事件5互为对立事件，那么P(5)=l—P(A),P(A)=1-P(B)；

7、相互独立事件

对任意两个事件A与5，如果P(AB)=P(A)P(3)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually

independent),简称为独立.

性质1:必然事件。、不可能事件0与任意事件相互独立

性质2：如果事件A与B相互独立，则A与耳，了与8,不与否也相互独立

贝I：P(A》)=P(A)P0),P(Afi)=P(A)P(fi),P(AS)=P(A)P(S)

考点精讲精练

考点一：随机事件与概率

真题讲解

例题L(2023•广东•高三学业考试)明明同学打靶时连续射击三次，事件"至少有一次中靶"的互斥事件是

()

A.三次均未中靶B.只有两次中靶

C.只有一次中靶D.三次都中靶

【答案】A

【详解】样本空间为："三次均未中靶"，”只有一次中靶"，"只有两次中靶"和"三次都中靶"，

事件“至少有一次中靶"包含"只有一次中靶"、”只有两次中靶"和"三次都中靶”，

所以选项B、C、D中的事件与事件"至少有一次中靶"不互斥，

事件"三次均未中靶〃与事件"至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误；

故选：A.

例题2.（2023春・浙江温州•高二统考学业考试）从5张分别写有数字1,2,3,4,5的卡片中随机抽取1

张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（）

1234

A.-B.-C.—D.一

5555

【答案】C

【详解】设随机抽取一张卡片为事件4抽取卡片数字为奇数为事件8,则“A）=5,“5）=3,则相应

n（B\3

概率为尸

n（A）5

故选：C

例题3.（2023•江西宜春•高一江西省宜丰中学校考学业考试）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,

现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值

的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，

经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730

257,据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

1355

A.—B.-C.—D.一

48128

【答案】A

【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137,271,436共3个，

所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率尸==371.

124

故选：A

例题4.（多选）（2023秋•福建•高二统考学业考试）袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球,

3个黑球.现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（）

A."恰有一个红球"和"都是红球"是对立事件

B."恰有一个黑球"和"都是黑球”是互斥事件

C."至少有一个黑球"和"都是红球"是对立事件

D."至少有一个红球"和"都是红球"是互斥事件

【答案】BC

【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为。={0』,2}.

对于A项，

"恰有一个红球"可用A={1}来表示，“都是红球"可用事件B={0}来表示.

所以，事件互斥，但A2不是对立事件，故A项错误；

对于B项，

"恰有一个黑球"可用A=｛1｝来表示，"都是黑球"可用事件。=｛2｝来表示.

所以事件AC互斥，故B项正确；

对于C项，

“至少有一个黑球〃可用事件。=｛1,2｝来表示，，，都是红球，，可用事件3=｛0｝来表示.

所以，事件民D为互斥事件，也是对立事件，故C项正确；

对于D项，

"至少有一个红球”可用事件£=｛0,1｝来表示，“都是红球"可用事件3=｛0｝来表示.

所以，事件3口E=｛。｝，即交事件为“都是红球"，故D项错误.

故选：BC.

例题5.（2023•天津•高二学业考试）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的分别选派3,1,2名运动员参加某次

比赛，甲协会运动员编号分别为4，4，A，乙协会编号为丙协会编号分别为应，4,若从这6名

运动员中随机抽取2名参加双打比赛.

⑴写出这个试验的样本空间及样本点总数；

（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；

⑶求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.

【答案】①答案见解析，15个样本点

【详解】（1）Q=｛（A，4）,（4，A），（A，4）,（4，A）,（4,4），（4,4），（4，，），（4，A），（4,4），（4,4），（4,4），

（A，4）,（4,4），（4,&），（4,&）｝共is个样本点；

（2）因为（1）中的15个样本点出现的可能性是相等的，

事件"丙协会至少有一名运动员参加双打比赛"包含的样本点有（A，A）,（A，4）,（4,A）,（4，A）,（4，A）,

（A，A）,（4，A），（4，A），（A，A）共9种,

故所求事件的概率尸毛9=13.

（3）事件〃两名运动员来自同一协会〃包含的样本点有（4,4）,%4）,（4,&），（&4）共4种，

4

故所求事件的概率

真题演练

1.（2023春•天津南开•高一学业考试）口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从

口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为（）.

A.0.32B.0.45C.0.67D.0.77

【答案】A

【详解】•••口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，

从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23,

口袋中有100-45-0.23x100=32个黑球，

,摸出黑球的概率尸=诋=0.32.

100

故选：A.

2.（2023春•福建,高二统考学业考试）"敬骅号"列车一排共有A、B、C、。、产五个座位，其中A和尸座

是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A或F座的概率为（）

1234

A.-B.-C.-D.一

5555

【答案】B

【详解】小曾购票的不同结果有5个，它们等可能，而小曾选到A或尸座的结果有2个，所以购票时选到A

2

或尸座的概率为

故选：B

3.（2023春•湖南邵阳•高三统考学业考试）一个盒子中装有红、黄、白三种颜色的球若干个，从中任取一

个球，已知取到红球的概率为:，取到黄球的概率为!，则取到白球的概率为（）

/n

【答案】D

【详解】设盒子中装有红、黄、白三种颜色的球的个数分别为a，6，c,因为取到红球的概率为取到黄球

的概率为Z,

O

a

22b1

则“+小得至（Ja=3"c=2。，所以取到白球的概率为〃

bJ_a+b+c6b3

++c6

故选：D.

4.（2023•北京•高三统考学业考试）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0,1,2,9中的

四个数字随机组成（如〃0013〃）.用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇

数的概率为（）

【答案】A

【详解】验证码的最后一个数字有10种不同结果，其中奇数占5种,

所以收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为方.

故选：A

5.(2023春・新疆•高二统考学业考试)从3名男生a,6,c和2名女生苍，中随机选出2人参加社区志愿者活

动，每人被选到的可能性相同.

(1)写出试验的样本空间；

(2)设M为事件"选出的2人中恰有1名男生和1名女生”，求事件M发生的概率.

【答案】(1)答案见解析

(2)1

【详解】([)试验的样本空间为：

,共10种结果.

(2)选出的2人中恰有1名男生和1名女生的所有结果为(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)共6

种，

因此事件M发生的概率为P(M)=*=|.

考点二：事件的相互独立性

真题讲解

例题1.(2023,浙江温州•高二统考学业考试)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为x,

乙中靶的概率为0.9,且两人是否中靶相互独立.若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26,则()

A.两人都中靶的概率为0.63B.两人都中靶的概率为0.70

C.两人都中靶的概率为0.72D.两人都中靶的概率为0.74

【答案】C

【详解】依题意xx(1—0.9)+(l-x)x0.9=0.9-0.8x=0.26,

解得x=0.8,

所以两人都中靶的概率为。.8x0.9=0.72.

故选：C

例题2.(2023•江西宜春,高一江西省宜丰中学校考学业考试)从高一(男、女生人数相同，人数很多)抽三

名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生"，事件B为"三名学生都是男生"，事件C为"三名学

生至少有一名是男生"，事件。为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是()

A.尸(A)=(B.P(C)^P(D)

o

C.事件A与事件8互斥D.事件A与事件C对立

【答案】B

【详解】由所抽学生为女生的概率均为则尸==g,A正确;

A,B两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；

C事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生,

其对立事件为A,D正确；

。事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生,

与C事件含义相同，故尸(C)=P(D),B错误；

故选：B.

例题3.(2023秋•广东•高三统考学业考试)袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球

2个、黑球1个，现从中任取两个球.对于下列各组中的事件A和事件3：

①事件A：至少一个白球,,事件8：都是红球；

②事件A：至少一个白球,,事件8：至少一个黑球；

③事件人至少一个白球,,事件8：红球、黑球各一个；

④事件A：至少一个白球,,事件8：一个白球一个黑球.

是互斥事件的是,.(将正确答案的序号都填上)

【答案】①③

【详解】①"至少一个白球"与"都是红球"不能同时发生，且不为对立事件，故为互斥事件；

②“至少一个白球"与"至少一个黑球"均包含"一黑一白〃的情况，故不为互斥事件；

③"至少一个白球"与"红球、黑球各一个"不能同时发生，且不为对立事件，故为互斥事件；

④"至少一个白球"与"一个白球一个黑球"均包含"一黑一白”的情况，故不为互斥事件.

综上，①③为互斥事件.

故答案为：①③

例题4.(2023春・浙江•高二统考学业考试)浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道

工序，第一道工序成功的概率分别为1:和［3第二道工序成功的概率分别为£1和彳2.根据生产需要现安排甲小

组开发芯片A,乙小组开发芯片8,假设甲、乙两个小组的开发相互独立.

(1)求两种芯片都开发成功的概率；

(2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政

府奖励的概率.

【答案］⑴士

【详解】(工)甲小组研发芯片A成功的概率为口=三I><l5=l6，乙小组研发芯片5成功的概率为2=£3*2鼻2=不

由于甲、乙两个小组的开发相互独立，

121

所以A,2两种芯片开发都成功的概率尸=口.P?=记x1=石.

(2)该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功，

根据对立事件可知获奖的概率：

1?9323

P=l-(l-A)(l-p2)=l-(l--)(l--)=l--x-=-.

12

例题5.(2023,云南•高二统考学业考试)甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为若.

(1)求甲、乙都成功破译密码的概率；

(2)求至少有一人成功破译密码的概率.

【答案】⑴；；

(2)i-

12

【详解】(1)令甲破译密码成功的事件为A,乙破译密码成功的事件为B,则尸(A)=5，P(B)=§,A,B

相互独立，

121

甲、乙都成功破译密码的事件为A3,因此P(A8)=P(A)P(B)=5X§=§,

所以甲、乙都成功破译密码的概率

(2)至少有一人成功破译密码的事件其对立事件应=豆5，

———121

则P(M)=P(A)P(B)=(1--)(1--)=-,

236

—5

所以至少有一人成功破译密码的概率尸(M)=1-P(M)=:

真题演练

1.(2023春•新疆•高二统考学业考试)甲、乙两人进行射击比赛，若甲中靶的概率为0.6,乙中靶的概率为

0.3,甲、乙射击是否中靶相互独立，则至少有一人中靶的概率为()

A.0.9B.0.72

C.0.28D.0.18

【答案】B

【详解】至少有一人中靶的对立事件为没有人中靶,

则两人没有人中靶的概率为尸=0.4x0.7=0.28,

所以至少有一人中靶的概率P=1-0.28=0.72.

故选：B

2.(2023春•河北•高二统考学业考试)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜,

约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为g，乙每次投篮投中的概率为:，

且各次投篮互不影响.则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为()

,1452

A.—B.—C.-D.一

3993

【答案】B

【详解】设4，线分别表示甲、乙在第左次投篮时投中，则P(A)=g，尸(为)=3，(%=1，2)，记"投

篮结束时，乙只投了1个球"为事件D

则P(D)=尸伍闻+PR瓦4)=P0)P(BJ+P(B)PW)P(4)

故选：B

3.(2023•山西•高二统考学业考试)某人参与一种答题游戏，需要解答三道题.已知他答对这三道

题的概率分别为小P，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为:.

(1)求P的值；

(2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率.

2

【答案】(l)P=§

(2)-

3

【详解】(I)记解答46c三道题正确分别为事件，及尸，则尸(0=尸⑷=p,p(r)=g,

因为各题答对与否互不影响，且全部答对的概率为

122

2

所以P(DEF)=P(D)P(E)P(F)=-p=-f解得p=1

(2)记事件G为至少答对2道题，则由题意得

尸(G)=P(DEF)+P(DZF)+P(DEF)+P(DEF)

22<02<2>|1<2^21221

33121313)2(3J32332

所以他获奖的概率为g

9

4.（2023春・湖南邵阳•高三统考学业考试）甲、乙两名运动员进行投篮比赛，已知甲投中的概率为:，乙

3

投中的概率为二，甲、乙投中与否互不影响，甲、乙各投篮一次，求下列事件的概率

⑴两人都投中；

⑵甲、乙两人有且只有1人投中.

2

【答案】（1）（

⑵工

15

【详解】（1）设4="甲投中"，8="乙投中"，印="甲没投中"，万="乙没投中"，依题意知A与8,A与豆，A

与B,4与豆都互相独立.

P（A）=|,P（A）=|,JP（B）=|,P（B）=|,

AB="甲、乙都投中"

P（AB）=JP（A）P（B）=|x|=|

（2）A^UM="甲、乙两个有且只有1个投中"

且A不与初互斥

P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)

2--2137

=---1-----—=-----

353515

5.（2023,河北•高三学业考试）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了

15个，乙同学猜对了8个.假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A为"任选一灯谜，甲猜对"，事件8为

“任选一灯谜，乙猜对

（1）任选一道灯谜，记事件C为"恰有一个人猜对"，求事件C发生的概率；

（2）任选一道灯谜，记事件。为"甲、乙至少有一个人猜对"，求事件。发生的概率.

1117

【答案】⑴P（C）=-；（2）P（D）=-.

IC<2QO

【详解】解：（1）由题意可得P（A）=茄="P（B）=-=-，

11

P(C)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=

20

（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为:

P（丽）=尸㈤尸⑻=1一|3

20

尸（0=j邯）=1-＞会

考点三：频率与概率

真题讲解

例题L（2023•重庆•高二统考学业考试）王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一

个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（）

组别数学小组写作小组体育小组音乐小组科技小组

频率0.10.20.30.150.25

A.10人B.9人C.8人

【答案】A

【详解】参加科技小组的频率0.25,则本班报名参加科技小组的人数是0.25x40=10人.

故选：A

例题2.（2023,河北•高三学业考试）下列说法正确的是（）

3

A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为不，则比赛5场，甲胜3场

B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈

C.随机试验的频率与概率相等

D.天气预报中，预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%

【答案】D

【详解】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；

B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；

C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；

D选项,概率为90%,即可能性为90%.

故选D.

例题3.（2023秋,广东佛山•高三统考学业考试）一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下

表：

组别[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数1213241516137

则样本数据落在［10，40）上的频率为.

【答案】0.52

【详解】样本数据落在［10，40）上的频数为13+24+15=52.

则样本数据落在［10，40）上的频率为同=0.52.

故答案为：0.52

例题4.（2023春，宁夏银川,高二统考学业考试）某中学为了解高二学生的体质情况，在一次体质测试中，

随机抽取了10名男生的引体向上测试成绩如下：5,7,8,10,10,12,12,15,20,21

（1）求这10名同学引体向上的中位数和平均数；

（2）如果15个（含15）以上为优秀，估计该校男生引体向上的优秀率.

【答案】⑴中位数11;平均数12

（2）30%

【详解】（1）这组数据为：5,7,8,10,10,12,12,15,20,21.

所以，中位数为中间两个数10,12的平均数11.

f%%-5+7+8+10+10+12+12+15+20+21

平均数x=----------------------------------------------------=12.

3

（2）在抽查的10名同学中有3人在15个以上，所以估计该校的优秀率为mxl00%=30%.

真题演练

1.（2023•山西•高二统考学业考试）某工厂生产的产品的合格率是99.99%,这说明（）

A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件

B.该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件

c.该厂生产的10000件产品中没有不合格的产品

D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%

【答案】D

【详解】对于A：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件，

可能是多件或者没有，故A错误；

对于B：该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件，故B错误；

对于C：该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品，故C错误；

对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%,故D正确；

故选：D.

2.（2023春・天津河北•高二学业考试）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频

率分布直方图.根据标准，产品长度在区间［20,25）上的为一等品，在区间口5,20）和区间［25,30）上的为二

等品，在区间［10,15）和［30,35］上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二

等品的概率为（）

【答案】D

【详解】组距为5,二等品的概率为1-（0.02+0.06+0.03>5=0.45.所以，从该批产品中随机抽取1件，

则其是二等品的概率为0.45.,所以选D

3.（2023•河北•高三学业考试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，

发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.4,0.4B.0.5,0.5C.0.4,0.5D.0.5,0.4

【答案】C

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，正面朝上出现了40次，

40

所以出现正面朝上的频率为砺=04,

因为每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5,

所以出现正面朝上的概率是0.5,

故选：C

4.（2023•湖南衡阳•高二统考学业考试）为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600

名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在［40,100］上.将这些成绩分成六段［40,50）,［50,60）,一

（1）求抽出的60名学生中分数在［70,80）内的人数；

⑵若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校的优秀人数.

【答案】①15人

（2）135人

【详解】（1）由频率分布直方图可知,所有小矩形面积和为1,则分数在［70,80）内的频率为

1-（0.005+0.01+0.02+0.035+0.005）x10=0.25

所以人数为0.25x60=15人.

（2）成绩不小于85分的频率为

+0Q05）x10=0.225

则该校的优秀人数为0.225x600=135A.

第九章概率实战训练

一、单选题

1.（2023春•湖南•高二统考学业考试）某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践

基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（）

111।

A.—B.—C.—D."

6432

【答案】D

【详解】任选一个基地研学，共有4种选择，则红色教育基地有2种选择，所以选择红色教育基地的概率

是！，

故选：D

2.（2023•湖南衡阳•高二统考学业考试）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件"至少有1次中靶”的对立

事件是（）.

A.至多有1次中靶B.2次都中靶

C.2次都不中靶D.只有1次中靶

【答案】C

【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件"至少有1次中靶"的对立事件是"2次都不中靶

故选：C.

3.（2023春•安徽马鞍山•高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）从2名男生和2名女生中任选

2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A."恰有1名男生"与"全是男生"

B."至少有1名男生"与"全是女生"

C."至少有1名男生"与"全是男生"

D."至少有1名男生"与"至少有1名女生”

【答案】A

【详解】对于A,“恰有1名男生"与"全是男生"不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对

立事件；

对于B,"至少有1名男生"与"全是女生”是对立事件；

对于C,"至少有1名男生"与"全是男生"能同时发生，所以不是互斥事件；

对于D,“至少有1名男生"与"至少有1名女生"能同时发生，所以不是互斥事件；

故选：A.

4.（2023•湖南长沙•高二长郡中学校考学业考试）已知尸（4）=04,P（B）=0.3,如果尸（AB）=0,那么

P（AUB）=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【答案】A

【详解】P（AB）=0,

.A,B互斥,

P（AUB）=P（A）+P（B）=0.4+0.3=0.7.

故选：A.

5.（2023春•福建福州•高二福建省福州延安中学校考学业考试）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取

两个球，那么互斥而不对立的事件是（）

A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球

C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球

【答案】B

【详解】解：对于A,事件："至少有一个白球"与事件："都是红球"不能同时发生，但是对立，故A错误;

对于B,事件："恰好有一个白球"与事件："都是红球"不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是

两个都是白球，

所以两个事件互斥而不对立，故B正确；

对于C,事件："至少有一个白球"与事件："都是白球"可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错

误；

对于D,事件："至少有一个白球"与事件："至少一个红球”可以同时发生，即"一个白球，一个红球”，所以

这两个事件不是互斥的，故D错误.

故选：B.

6.（2023•广东•高三统考学业考试）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取

3张卡片，则下列判断不正确的是（）

A.事件"都是红色卡片”是随机事件

B.事件"都是蓝色卡片”是不可能事件

C.事件“至少有一张蓝色卡片"是必然事件

D.事件"有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件

【答案】C

【详解】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，

在A中，事件"都是红色卡片"是随机事件，故A正确；

在B中，事件"都是蓝色卡片"是不可能事件，故B正确；

在C中，事件"至少有一张蓝色卡片"是随机事件，故C错误；

在D中，事件"有1张红色卡片和2张蓝色卡片"是随机事件，故D正确.

故选：C.

7.（2023•河北•高二统考学业考试）某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，

由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地.若他用"抓阉"的方法从中随机选取2个城市，则选

出的2个城市都在国内的概率是（）

,3113

A.—B.-C.一D.—

523

【答案】D

【详解】设国外的2个城市和国内的3个城市分别为：&4,4，鸟,反，

则随机选取2个城市的基本事件为：（A，4）,（A，4），（A，耳），（A，B,），（4,男），

（4也），（人工》色鸣乂耳也乂厘矽共io种，

选出的2个城市都在国内的情况为：（环耳）,（耳,鸟）,（段名）共3种，

故所求概率「=本

故选：D.

8.（2023•上海•高三统考学业考试）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,

0.1,则该射手在一次射击中不够8环的概率为（）

A.0B.0.3C.0.6D.0.4

【答案】D

【详解】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1.

所以在一次射击中不够8环的概率为1-0.2-0.3-0.1=04,

故选：D

9.（2023春•河北•高三统考学业考试）某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40

名同学成绩恰在［60,90］内，绘成频率分布直方图（如图所示），从［60,70）中任抽2人的测试成绩，恰有一

人的成绩在［60,65）内的概率是（）

【答案】B

【详解】由频率分布直方图知［60,65）内有2人，不妨记为a,b；在［65,70）内有4人，不妨记为1,2,3,

4.从6人中任取2人的基本事件为{。向,{。,1},32},{a,3},他,4},{41},{a2},{43},{44},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},

Q

共15个，事件"恰有一人的成绩在解,65）内〃的基本事件有8个，所以所求的概率为百.

故选：B.

10.（2023春・河北•高二统考学业考试）从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10

人，测得他们的身高分别为（单位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150,根据

样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm-170.5cm之间的人数约为

（）

A.18000B.15000C.12000D.10000

【答案】C

【详解】在随机抽取10人中，身高在155.5cm-170.5cm之间的人数为4人，

所以从所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm-170.5cm的概率为

42

—所以从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随

2

机抽取一人身高在155.5cm-170.5cm之间的人数约为30000x^=12000人.

故A,B,D错误.

故选：C.

11.（2023・广东•高三统考学业考试）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品},事件3={抽

到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P（A）=Q65,P（B）=0.2,P（C）=0.1,则事件"抽到的产品不

是一等品"的概率为（）

A.0.2B.0.35

C.0.5D.0.4

【答案】B

【详解】"抽到的产品不是一等品"的事件的对立事件是"抽到一等品”的事件，而事件4={抽到一等品},且

尸(A)=0.65,

于是得1一尸(A)=1-0.65=0.35,

所以事件"抽到的产品不是一等品"的概率为0.35.

故选：B

12.(2023•广东•高三统考学业考试)从一批产品中取出三件，设人="三件产品全不是次品"，B="三件产品

全是次品"，C="三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是().

A.A与C互斥B.B与C互斥C.任两个均互斥D.任两个均不互斥

【答案】B

【详解】A为｛三件产品全不是次品｝,指的是三件产品都是正品，B为｛三件产品全是次品｝,

C为｛三件产品不全是次品｝,它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件

由此知：A与C是包含关系，不是互斥事件，B与C是互斥事件，

故选：B.

13.(2023•重庆•高二统考学业考试)袋中有4个红球，5个白球，6个黄球，从中任取1个，则取出的球

是白球的概率为()

1211

A.—B.-C.-D.一

3325

【答案】A

【详解】在任取I个球的事件中，取记4为取的是第i个红球，记及为取的是第i个白球，记c,为取的是第

i个黄球，记取出的球是白球的事件为

所以样本空间。=｛4,4,4,4,4，用,33,34,35，£，。26©«，。6｝,

取出的球是白球的事件加=｛旦,与，号用，片｝，

则取出的球是白球的概率为A=

故选：A.

14.(2023,广东•高三统考学业考试)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击

中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为0.6和尸，且甲、乙两人各射击一次

得分之和为2的概率为0.45.假设甲、乙两人射击互不影响，则产值为

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.25

【答案】B

详解：设"甲射击一次，击中目标"为事件A,"乙射击一次，击中目标"为事件B,

则"甲射击一次，未击中目标"为事件X，"乙射击一次，未击中目标"为事件百，

3_32

贝ljP(A)=g,P(A)=1--=y，P(B)=P,P(B)=1-P,

依题意得：|3x(1-p)+=2XP=9A，

3

解可得，P二;，

4

故选B.

二、填空题

15.（2023秋,广东•高三统考学业考试）城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯

而通行的概率分1别1为（2则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为.

【答案】A7

【详解】•••设汽车分别在甲乙丙三处的通行为事件AB，C,停车为才,反。，

p（A）=g,p⑻=；,P（C）=j

•.•停车一次即为事件（ZBC）5A豆C）5AB。），

乙D121人211（2、7

所求概率为：P=］一鼻XTXT+-XL--XT+-X-X=­.

、jJZJJ\LJJJ£\JJ1o

7

故答案为：—.

Io

16.（2023・河北•高三学业考试）一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出

一个球，记人=｛摸出黑球｝,3=｛摸出白球｝,C=｛摸出绿球｝,。=｛摸出红球｝,则P（A）=；

P（B）=；P（CuD）=.

?39

【答案】:痴痴

QoQ

【详解】由古典概型公式易知：P（A）=^=|,「⑻弋，

P（CuD）=P（C）+P（£＞）=—+—=—,

'7v7v7202020

17.（2023春・天津南开•高一学业考试）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为:，则甲、乙两人

在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率.

【答案】1/0.5

【详解】根据题意可设事件A="甲在罚球线投球命中"，3="乙在罚球线投球命中”；

1o

即尸网=5,尸⑻=吊

则两人各投一次，恰好命中一次的概率尸=尸（初）+尸（旃一|）=；.

故答案为：3

三、解答题

18.（2023春•湖南•高二统考学业考试）自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，

规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图1为我国2018年至2022年农村

电商行业农产品网络零售额的变化情况，图2为