北师大版中考数学专项复习：认识一元二次方程【十大题型】解析版

专题2.1认识一元二次方程【十大题型】

【北师大版】

A题型梳理

【题型1辨别一元二次方程】....................................................................1

【题型2由一元二次方程的定义求字母的值】.....................................................3

【题型3由一元二次方程的定义字母的取值范围】.................................................4

【题型4由一元二次方程的一般形式识别系数】...................................................6

【题型5由一元二次方程的一般形式求字母的值】.................................................8

【题型6由一元二次方程的解求字母或代数式的值】..............................................10

【题型7由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】............................................11

【题型8根据实际问题列一元二次方程】.........................................................13

【题型9由一元二次方程的解求另一方程的解】..................................................15

【题型10一元二次方程与一元一次方程的综合】..................................................17

►举一反三

知识点1：一元二次方程的定义

等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫

做一元二次方程。

【题型1辨别一元二次方程】

【例1】（23-24九年级下.黑龙江哈尔滨•阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.尤+2y=lB.ax2+bx+c=0C.3x+；0D.x2-2=0

【答案】D

【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，

是一元二次方程，进行判断即可.

【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；

B、当a=0时，ax?+》久+c=0不是一元二次方程，不符合题意；

C、是分式方程，不符合题意；

D、是一元二次方程，符合题意；

故选D.

【变式1-1］（23-24九年级上.上海长宁•期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A.^—1=0B.y/x=5x2C.ax2+x—6—0D.x(x+1)=5x—1

【答案】D

【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程是解题的关键.根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A.之-1=0中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B.«=5%2,不是整式方程，故本选项不符合题意；

C.当。=0时，a/+%一6=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D.汽(％+1)=5%-1是一元二次方程，故本选项符合题意.

故选：D.

【变式1-2](23-24九年级上.四川成都.期末)下列方程中，关于x的一元二次方程的是()

A.(X-2)(x-3)=0B.%+-=4

C.ax2+bx+c—0D.-3x2+2x3=1

【答案】A

【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程是解题的关键.

根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A.(x-2)(%-3)=0,整理可得/一5x+6=0,是一元二次方程，故此选项符合题意；

分母中含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意；

B.%+X-=4,

C.ax2+bx+c^0,仅当aH0时，原方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；

D.-3/+2/=1,最高次项的次数为3,故此选项不符合题意；

故选：A.

【变式1-3](23-24九年级上•新疆伊犁•期末)下列方程，是一元二次方程的是()

@3x2+x—20,②2%2—3孙+4=0,@x2—1=4,@x2—0.

A.①②B.①②④C.①③④D.①④

【答案】D

【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫

一元二次方程.据此对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：①3/+尤=20是一元二次方程；

②2久2一3xy+4=0含有两个未知数，不是一元二次方程；

③/一工=4不是整式方程，不是一元二次方程；

X

@x2=0是一元二次方程.

故选：D.

【题型2由一元二次方程的定义求字母的值】

[例2]（23-24九年级下•江苏扬州•期末）已知关于x的方程（k-3）x同一+Qk-3）x+4=0是一元二次方

程，则上的值应为（）

A.±3B.3C.-3D.不能确定

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未

知数.

【详解】解：由关于久的方程（k-3）x冈-1+（2卜一3）%+4=0是一元二次方程，得

|Zc|-1=2且k—340.

解得k——3.

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，

然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

【变式2-11（23-24九年级下•河北保定•期末）关于x的方程丁-7一3%—2=0是一元二次方程，则a=.

【答案】±3

【分析】根据一元二次方程的定义解题即可.

【详解】解：由题意得。2-7=2,

解得：a=±3,

故答案为：±3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次

方程，一般形式是a/+bx+c=0（a力0）.特别要注意aK0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识

点.

【变式2-2]（23-24九年级下•安徽合肥・期末）若关于x的方程（爪+l）xm+1+5x-4=0是一元二次方程,

则ni的值是（）

A.1B.-1C.0D.±1

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.理解一元二次方程的定义,

需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；

结合一元二次方程的定义，可以得到关于小的方程和不等式，求解即可得到小的值.

【详解】解：••・关于久的方程（m+l）xm2+1+5%-4=0是一元二次方程，

fm+10

,•tm2+1=2）

解得m=1.

故选：A.

【变式2-3]（23-24九年级上•新疆乌鲁木齐•期末）标久降-2|+3%-7=。是一元二次方程，贝”〃=.

【答案】4

【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则m-2|=2,然

后选出合适的值即可.

【详解】解：标+3*_7=0是一元二次方程，

|m-2|=2,yjm丰0,

•••m-4或0,m0,

.・.m=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键.

【题型3由一元二次方程的定义字母的取值范围】

【例3】（23-24九年级上•福建泉州•期末）关于龙的方程a/一万一1=0是一元二次方程，贝b的取值范围是

（）

A.a>0B.aKOC.a<0D.a为任意实数

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键.只含有一个未知数，并

且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出a即可.

【详解】解：•••方程a/—%—1=0是关于x的一元二次方程，

:・aH0.

故选：B.

【变式3-1］（23-24九年级上•北京大兴・期末）若（a-3）x2-3x-4=0是关于x的一元二次方程，则a的

取值范围是.

【答案】a片3

【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方

程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可.

【详解】、•方程（a-3）/—3x—4=0是关于x的一元二次方程，

a—3彳0,

解得aH3.

故答案为：a片3.

【变式3-2］（23-24九年级上.四川遂宁.期中）若方程（a-2）x?+迎x=3是关于x的一元二次方程，则a的范围

是（）

A.a，2B.a>0C.aK）且存2D.a为任意实数

【答案】C

【详解】试题分析：由于方程是一元二次方程，所以二次项系数必定不等于零，即a-2羊。，所以a羊2,

又因为被开方式大于或者等于零，即a20,所以选C.

考点：一元二次方程的二次项不等于零，被开方式大于或者等于零

点评：这类题目在考试中一般出现于选择题，一元二次方程的各项系数确定，都要遵循一元二次方程的一

般式，既然为一元二次方程，那么二次项系数必定存在，即二次项系数应该不为零，而被开方式大于或者

等于零，由此可以确定a的取值范围.

【变式3-3］（23-24九年级下.重庆・期末）如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且关于

y的方程（爪-2）f+my+1=0是一元二次方程，则符合条件的所有整数加之和为.

【答案】8

【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且仅有三个整数解确定出〃，的取值，再由关于y的方程

（m—2）y2+my+i=。是一元二次方程，求出满足题意整数比的值，进而求出和.

【详解】fm-4X>4®,

1%V3%+7（2）

由①得》<二一1,

4

由②得x>

V不等式组有且仅有三个整数解，

：.--<x<--1,

24

即x可取—3,—2,—1,

：.-1<--1<0,

4

0<m<4,

关于y的方程（血一2）y2+my+1=0是一元二次方程，

m—20,解得mW2,

0<m<4且mH2,

・•・m—1,3,4,

1+3+4=8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以

及一元二次方程的定义是解题的关键.

知识点2：一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0（a#0）>其中，ax?就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是

一次项系数；c就是常数项。

【题型4由一元二次方程的一般形式识别系数】

【例4】（23-24九年级下.山东烟台・期中）一元二次方程3--4x—1=0的二次项系数、一次项系数、常数

项分别是（）

A.3,-4,-1B.3,4,1C.3,4,-1D.3,-1,-4

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：。%2+版+©=0（a,b,c是常数且aW0）,特别要注

意a彳0的条件.在一般形式中，a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据概念作答即可.

【详解】解：一元二次方程3产一4万—1=0的二次项系数是3,一次项系数—%常数项—1.

故选A.

【变式4-1］（23-24九年级下•广西梧州•期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）

A.(x—l)2=4B.3(x-2)2=27C.5x2-3x=0D.y/2x2+2x—8

【答案】c

【分析】本题主要考查的是一元二次方程的一般形式等知识点，一般地，任何一个关于X的一元二次方程经

过整理，都能化成如下形式a/+bx+c=O(a#O),这种形式叫一元二次方程的一般形式，据此判定即可

得解，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.

【详解】A.(%-1)2=4不是一元二次方程的一般形式，故A错误，不符合题意；

B.3(%-2尸=27不是一元二次方程的一般形式，故B错误，不符合题意；

C.5/-3%=0是一元二次方程的一般形式，故C正确，符合题意；

D.+2%=8不是一元二次方程的一般形式，故D错误，不符合题意；

故选：C.

【变式4-2](23-24九年级上.甘肃天水•期中)将一元二次方程2(%+3)(%-4)=/-10化成它的一般形式

为—,

【答案】%2-2x-14=0

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a40),据此，对原方程通过去括

号、移项即可将原方程转化为一般式方程.

【详解】原方程去括号得，

2%2—8%+6%—24=%2—10,

移项，合并得：X2-2X-14=0,

故答案为：/_2%—14=0.

【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键.

【变式4-3](23-24九年级下•山东烟台•期中)若将关于x的一元二次方程3/+x-2=ax(x-2)化成一般

形式后，其二次项系数为1,常数项为-2,则该方程中的一次项系数为()

A.5B.3C.—5D.-3

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为a/+"+c=0(aK0),把原

方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案.

【详解】解：3x2+x—2=ax(x—2),

3x2+x-2=ax2—2ax,

(3-a)/+(1+2a)x—2=0,

••・将关于x的一元二次方程3/+%-2=ax(x-2)化成一般形式后，其二次项系数为1,

•••3—a=1,

解得：a=2,

•••l+2a=l+2x2=5,

则该方程中的一次项系数为5,

故选A.

【题型5由一元二次方程的一般形式求字母的值】

【例5】(23-24九年级.上海•假期作业)已知关于x方程-产+6乂―3m=5x的各项系数与常数项之和为2,

求ni的值.

【答案】m=-2

【分析】首先把关于x方程-/+仅光-3m=5x化为一般形式，根据各项系数与常数项之和等于2,求出m

的值即可.

【详解】解：整理方程得——+(m-5)x-3m=0,

化为一般形式即为/+(5—m)x+3m=0,

方程的各项分别为(5-ni)x,3m,其中未知项系数分别为1,(5-m),

依题意即有1+(5-m)+3m=2,

解得：m=-2.

【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是：a/+以+。=oQ,B,。是常数且。丰0)特别要注意a丰0

的条件.

【变式5-1](23-24九年级上•山东青岛•期中)关于x的一元二次方程(m+3)x2+(m2-5)x-3=0的一次

项系数为4,则根的值为()

A.3B.0C.3或一3D.0或3

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知,

一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是(巾+3)确定巾+340,另外一次项系

数等于4,确定巾2=?据此解答.

【详解】解：：一元二次方程(加+3)/+(加2—5次—3=0的一次项系数等于4,

病—5=4

即爪2=9,

.".m=3或TH=—3.

又•.•二次项系数不为0,

.,.771+3丰0,

解得m芋一3,

m=3.

故选：A.

【变式5-2](23-24九年级上.江苏徐州•期中)关于尤的一元二次方程/+ax=3x+5化为一般形式后不含

一次项，则根的值为()

A.0B.±3C.3D.-3

【答案】C

【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的一般形式，将一元二次方程化为

一般式，根据不含一次项可得一次项系数为0,求解即可.

【详解】解：方程/+m久=3%+5化为一般形式为：x2+(m-3)x-5=0

由题意可得：m-3=0

解得m=3

故选：C

【变式5-3](23-24九年级上.全国.专题练习)若关于x的一元二次方程(2ax+1)(%-a)=a-2的二次项

系数是-4,则。的值为.

【答案】-2

【分析】本题考查多形式乘以多项式，一元二次方程的一般形式，根据多项式乘以多项式化简得出一元二次

方程为：2ax2-+%一2a+2=0,得出2a=-4,求解即可得出答案.

【详解】解：：(2ax+l)(x—a)-2ax2—2a2x+x—a—a—2,

...一元二次方程为：2ax2-2a2x+x-2a+2=0,

根据题意可得：2a=-4,

解得：a——2,

故答案为：-2.

知识点3：一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程

的解得定义就是解方程过程中验根得依据。

【题型6由一元二次方程的解求字母或代数式的值】

【例61(23-24九年级下•江苏•专题练习圮知a是方程/+2%—1=。的一个根,则代数式(a+I)2+a(a+2)

的值

【答案】3

【分析】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知识点，准确熟

练地进行计算是解题的关键.

根据一元二次方程的解的意义可得2a-1=0,从而可得a2+2a=l,然后再对多项式进行去括号，

合并同类项，最后把a?+2a=1代入化简后的式子进行计算即可.

【详解】解：是方程/+2x-l=0的一个根，

•*.a?+2a—1=0,

.".a2+2a=1,

(a+I)?+a(a+2)=a?+2a+1+a?+2a—2a?+4a+1,

当a?+2a—1时，原式=2(a2+2a)+l=2xl+l=3.

故答案为：3.

【变式6-11(23-24九年级上•黑龙江•期中)已知一元二次方程/—4x+爪=。有一个根为2,则加值为.

【答案】4

【分析】把％=2代入原方程，解方程即可.

【详解】解：一元二次方程/—4x+爪=。有一个根为2,

所以，22-4X2+TH=0,

解得，m=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的意义，代入未知数的值求解.

【变式6-21(23-24九年级上•江苏南京•期末)若是关于久的方程a/+bx+5=0的一个根，则azn?+bm-7

的值为()

A.-2B.1C.12D.-12

【答案】D

【分析】把x=m代入已知方程，可得：。巾2+历?1+5=0,贝［Jani?+/mi=-5,将其整体代入所求的代数

式进行解答即可.

【详解】解：由题意得：am2+bm+5=0,

am2+bm=-5,

am2+bm—7=—12,

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，把根代入方程得到的代数式巧妙变形来解题是一种不错的解

题方法.

【变式6-3X23-24九年级上•广东广州•期中）已知。是方程/—2022%+1=0的一个根,则a?-2021a+等

a2+l

的值为.

【答案】2021

【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键.

根据题意可得：把％=a代入方程X2—2022x+1=0中得：a?-2022a+1=0,从而可得a2+1=

2022a,a2=2022a-1,a-2022+-=0,进而可得a+-=2022,然后代入式子中进行计算，即可解答.

aa

【详解】解：由题意得：把％=Q代入方程%2-2022%+1=0中得：@2一2022。+1=0,

•,*小+1=2022a,a?=2022a—1,CL—2022H—=0,

a

uH—=2022,

a

•••a2-2021a+等=2022a-1-2021a+=a-1+工=2022—1=2021

a2+l2022aa

故答案为：2021.

【题型7由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】

【例7】（23-24九年级上•山西长治•期中）将关于x的一元二次方程/-「久+q=o变形为/=p%-q,就

可以将/表示为关于x的一次多项式，也可以将/表示为=%（px—勺）=…，从而达到“降次，，的目的，

我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.若/+“一1=0,则久3+2久2+

2023的值为（）

A.2025B.2024C.2023D.2022

【答案】B

【分析】此题考查一元二次方程，整体代入法：根据方程变形得到/=I-X,x2+x=l,仿照已知整体代

入化简即可得到答案，正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键.

【详解】•••/+X—1=0,

.".X2=1—X,X2+X=1,

.,.久3+2x2+2023

=x(l-x)+2x2+2023

—x—x2+2x2+2023

—x+x2+2023

=1+2023

=2024

故选：B.

【变式7-1](23-24九年级上•黑龙江大兴安岭地•期中)已知m是方程/+尤-1=0的根，则式子/+2/+2020

的值为()

A.2018B.2019C.2020D.2021

【答案】D

【分析】先利用%是方程/+x-l=0的根得到m2=-m+l,则可表示出m3=2m-l,然后利用整体代入的方法计算

即可.

【详解】解：是方程/+x-l=0的根，

m2+m-1=0,

m2=-m+l,

m3=m(-m+1)=-m2+m=m-1+m=2m-1

m3+2Mi2+2020=2m-1+2(-/〃+1)+2020=2m-1-2/77+2+2020=2021.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

【变式7-2](23-24•重庆•一模)己知相为方程/+x—3=0的一个根，则代数式63+2^2一2爪+6的值

为.

【答案】9

【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题.先将，”代入方

程得Hi?+m=3,再将Hi?+m=3代入+2)—2(m—3)变形后的式子进行化简求值即可.

【详解】解：根据题意得：m2+m=3,

m3+2m2-2m+6

=m3+m2+m2-2m+6

=m(m2+m)+m2—2m+6

=3m+m2—2m+6

=m2+m+6

=3+6

=9.

故答案为：9.

【变式7-3］（23-24九年级上•上海徐汇・阶段练习）已知〃是关于%的一元二次方程％2—%—11=0的一个

a2-ll

根，则的值等于.

2a3-3a2+ll

【答案】蔡

【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的

值得到十一。一11=0,进而得到小一。=11,a2-11=a,再把所求式子转化为,据此

2a(a2-a)-(a2-ll)

整体代入求解即可.

【详解】解：•.%是关于x的一元二次方程/—X—11=0的一个根,

・'・—d—11=0,

.'.a2—a—11,a2—11=a,

**2a3-3a2+ll

a

(2a3—2a2)—(a2—11)

a

2a(q2—ci)—(小—11)

a

22a—a

i

=五,

故答案为：

【题型8根据实际问题列一元二次方程】

【例8】（23-24九年级下•重庆•期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本

是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩.据不完全统计，第一周票房约5

亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x,则方程可以列为

（）

A.5+5%+52=20B.5(1+%)2=20

C.5(1+x)3=20D.5+5(1+x)+5(1+x)2=20

【答案】D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约5(1+x)亿元、第三天票房约5(1+万尸亿元，根据

三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：•••第一天票房约5亿元，增长率为x,

二第二天票房约5(1+x)亿元，第三天票房约5(1+x)2亿元.

依题意得:5+5(1+%)+5(1+x)z=20.

故选：D.

【变式8-1](23-24•山西晋中•二模)某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出100件，每

件获利30元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这款文创产品的售价每

降低1元，那么平均每天可多售出10件.商场要想平均每天获利3640元，这款文创产品每件应降价多少元？

设这款文创产品每件降价x元，根据题意可列方程为()

A.(30+x)(100-10x)=3640B.(30+^)(100+10x)=3640

C.(30-x)(100+10%)=3640D.(30-x)(100-10%)=3640

【答案】C

【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价x元，根据题意列出方程即可，根据题

意列出方程是解题的关键.

【详解】解：设这款文创产品每件降价x元，

根据题意可列方程为：(30-x)(100+10x)=3640,

故选：C.

【变式8-2](23-24・广西南宁•二模)2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛

制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一

场比赛，已知中国队所在的小组有〃支队伍，共安排了6场小组赛.根据题意，下列方程正确的是()

A.|n(n+1)=6B.|n(n—1)=6

C.n(n+1)=6D.n(n-1)=6

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.每一支队伍都要和

另外的(n-1)支队伍进行比赛，于是比赛总场数=每支队的比赛场数x参赛队伍+重复的场数，即可解答.

【详解】解：共有〃支队伍参加比赛，根据题意,

可列方程为-1)=6；

故选：B.

【变式8-3](23-24九年级下.全国・专题练习)一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字

与十位数字的平方和比这两位数小4,设个位数字为％,则方程为()

A.x2+(x-4)2=10(%—4)+%—4B.%2+(%+4)2=10%+%—4—4

C.x2+(x+4)2=10(x+4)+x—4D.x2+(x+4)2=10x+(x—4)—4

【答案】C

【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解.根据

个位数与十位数的关系，可知十位数为％+4,那么这两位数为：x+10(x+4),这两个数的平方和为：x2+

(x+4)2,再根据两数的值相差4即可得出答案.

【详解】解：依题意得：十位数字为：x+4,这个数为：x+10(x+4)

这两个数的平方和为：/+0+4)2,

•••两数相差4,

%24-(%+4)2=x+10(x+4)—4.

故选：C.

【题型9由一元二次方程的解求另一方程的解】

[例9](23-24九年级下•山东淄博•期中)若关于久的一元二次方程a/+b久+5=0(a片0)有一根为2022,

则方程a(x+I)2++1)=-5必有根为()

A.2022B.2020C.2019D.2021

【答案】D

【分析】设t=x+1,即a(x+I)2+b(x+1)=-5可改写为at?+bt+5=0,由题意关于x的一元二次方

程a/+bx+5=0(a力0)有一根为x=2022,§Pat2++5=。有一个根为t=2022,所以x+1=2022,

x=2021.

【详解】由a(%+I)2+b(x+1)=一5得到a(%+I)2+b(x+1)+5=0,

对于一元二次方程a(%+I)2+b(x+1)=-5,

设£=久+1,

所以a/+从+5=0,

而关于x的一元二次方程a/+板+5=0(a不0)有一根为x=2022,

所以砒2+%+5=0有一个根为t=2022,

则x+1=2022,

解得x=2021,

所以一元二次方程a(x+I)2+b[x+1)=—5有一根为%=2021.

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程的解.掌握换元法解题是解答本题的关键.

【变式9-1](23-24九年级下•江苏南通•阶段练习)若关于x的一元二次方程a/+版+2=0(a片0)有一根

为x=2021,则一元二次方程a。-l)2+bx-b=-2必有一根为()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】D

【分析】对于一元二次方程a(x-I)2+b(x-1)+2=0,设t=x—1得到a/+bt+2=0,利用at?+bt+

2=0有一个根为t=2021得到x-1=2021,从而可判断一元二次方程a(x-I)2+b(x-1)=一2必有一根

为x=2022.

【详解】解：,；a(x—I)2+bx—b=—2,

•*.CL(^X—1)2+b(x—1)+2—0,

设t=x-1,

at2+bt+2—0,

而关于x的一元二次方程a/+加；+2=0(aH0)有一根为x=2021,

Aat2+bt+2=0有一个根为t=2021,

则％-1=2021,

解得x=2022,

一元二次方程a(x-l)2+bx-b=-2必有一根为x=2022.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方

程的解.

【变式9-2](23-24九年级上•江苏连云港•阶段练习)关于x的方程a(x+m)2+b=0的根是xi=5,X2—6,(a,

b,m均为常数，aRO),则关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的根是

【答案】xi=3,X2=-8

【分析】将方程a(x+m+2)2+b=0变形为a(x+2+m)2+b=0,对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6,

解之可得答案.

【详解】解：♦.•关于x的方程a(x+m)2+b=0的根是xi=5,X2=-6,

丁・关于x的方程a(x+m+2)2+b=0,即a[(x+2)+m]2+b=0,

.*.a[(x+2)+m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6,

解得xi=3,X2=-8,

故答案为：xi=3,X2=-8

【点睛】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简

便计算.

【变式9-3](23-24九年级上•四川凉山•阶段练习)已知关于久的一元二次方程血(％-Zip一女=o(ni,h,k均

为常数，且znWO)的解是%i=2,%2=5,则关于％的一元二次方程—h+3)2=Z的解是.

【答案】%1=一1,%2=2

【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令x+3=y,由题意得到(y-h)2=5的解为%=2,%=5,解

方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键.

【详解】解：•・,关于％的一元二次方程-九)2-k=0(皿九,々均为常数，且znHO)的解是%1=2,%2=5,

即(％-h)2=5的解为均=2,X2=5；

令％+3=y,

.,・关于》的一元二次方程zn。—h+3)2=k化为zn(y—ft)2=fc,

2

(%-/i)='的解为=2,x2=5,

・・・(y-h)2=5的解为％=2/2=5,即％+3=2或％+3=5,

,,,%]——1,%?=2,

・,・关于％的一元二次方程?-h+3尸=k的解是%1=-l,x2=2,

故答案为：Xi=-l,x2=2.