初三数学总复习知识点

初三数学知识点

第一章二次根式

1二次根式：形如右(6Z>0)的式子为二次根式；

性质：4a(6；>0)是一个非负数；

(V^)2=a(a>0);

-a(a>0)o

2二次根式的乘除：Va•=4ab(a>0,Z?>0);

*书L2b>0)。

3二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式

进行合并。

4海伦一秦九韶公式：S=⑪(p~)(p-b)(p-c),S是三角形的面积，p为p=a+b+c。

第二章一元二次方程

1一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是2的方程。

2一元二次方程的解法

配方法:将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方；

、,,.-b+^lb2-4ac

公式法：x=---------------------

2a

因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。

3一元二次方程在实际问题中的应用

4韦达定理：设看,％2是方程口必+bx+c=O的两个根,那么有

bc

Xy+%2=,玉•%2二一

aa

第三章旋转

1图形的旋转

旋转：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换

性质：对应点到旋转中心的距离相等；

对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角

旋转前后的图形全等.

2中心对称：一个图形绕一个点旋转180度，和另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称；

中心对称图形：一个图形绕某一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合，则说这个

图形是中心对称图形；

3关于原点对称的点的坐标

第四章圆

1圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义

2垂直于弦的直径

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；

垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧；

平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。

3弧、弦、圆心角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4圆周角

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

5点和圆的位置关系

点在圆外d>r

点在圆上d=r

点在圆内d〈r

定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的垂直平分线的

交点，叫做三角形的外心。

6直线和圆的位置关系

相交d<r

相切d=r

相离d>r

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；

切线的判定定理：经过圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切

线的夹角。

三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆为它的内切圆，圆心是三角形的三条角平分线的交点,

为三角形的内心。

7圆和圆的位置关系

外离d>R+r

外切d=R+r

相交R—r<d<R+r

内切d=R-r

内含d<R-r

8正多边形和圆

正多边形的中心：外接圆的圆心

正多边形的半径：外接圆的半径

正多边形的中心角：没边所对的圆心角

正多边形的边心距：中心到一边的距离

9弧长和扇形面积

n7ir

弧长/=-----

180

扇形面积：s=----

360

10圆锥的侧面积和全面积

侧面积：

全面积

11（附加）相交弦定理、切割线定理

第五章概率初步

1概率意义：在大量重复试验中，事件A发生的频率,稳定在某个常数p附近，则常数p叫做事件A

n

的概率。

2用列举法求概率

一般的，在一次试验中，有n中可能的结果，并且它们发生的概率相等，事件A包含其中的m中

结果，那么事件A发生的概率就是p（A）二竺

n

3用频率去估计概率

下册

第六章二次函数

1二次函数y=ax2+bx+c-c^x+—>|——

I2aJ4a

a>0,开口向上；a〈0,开口向下；

b

对称轴：X=------；

2a

、2a'4aJ'

图像的平移可以参照顶点的平移。

2用函数观点看一元二次方程

3二次函数与实际问题

第七章相似

1图形的相似

相似多边形的对应边的比值相等，对应角相等；

两个多边形的对应角相等，对应边的比值也相等，那么这两个多边形相似；

相似比：相似多边形对应边的比值。

2相似三角形

判定：

平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么两个三角形相似；

如果一•个三•角形的两个角与另一■个三角形的两个角对应相等，那么两个三角形相似。

3相似三角形的周长和面积

相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形（多边形）的面积的比等于相似比的平方.

4位似

位似图形：两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形

叫位似图形，相交的点叫位似中心。

第八章锐角三角函数

1锐角三角函数：正弦、余弦、正切；

2解直角三角形

第九章投影和视图

1投影：平行投影、中心投影、正投影

2三视图：俯视图、主视图、左视图.

3三视图的画法

初三数学知识点

一、《一元二次方程》

1o一元二次方程的一般形式：a去。时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关

问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b,、c可能是具

体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2.一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适

用范围较小；公式法虽然适用范围大,但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简

便,是首选方法；配方法使用较少.

3o一元二次方程根的判别式：当ax2+bx+c=0(aHO)时，A=b2—4ac叫一元二次方程根的判别式。请注意

以下等价命题:

△>0<=>有两个不等的实根；△=()<=>有两个相等的实根；

A<0<=>无实根；△,()<=>有两个实根(等或不等)。

4.一元二次方程的根系关系：当ax，bx+c=0(a/0)时，如△》()，有下列公式:

—b±Vb^-4acbC

⑴X[2="；(2)Xj+x=X1X2=

2a2aa

X5.当ax，bx+c=0(a#=0)时，有以下等价命题:

(以下等价关系要求会用公式xx=--，X[X=-;A=b2—4ac分析，不要求背记)

1+2a2a

(1)两根互为相反数0一2二0且Ub=0且△20;

a

(2)两根互为倒数0-=1且△2()0a=c且△》()；

a

⑶只有一个零根U-=0且一已#=0Uc=0且b#=0;

aa

(4)有两个零根L)-=0_EL--=00c=0且b=0;

aa

(5)至少有一个零根£二00c=0;

a

(6)两根异号0-<00a、c异号；

a

(7)两根异号，正根绝对值大于负根绝对值0且—已>0。a、c异号且a、b异号；

aa

(8)两根异号，负根绝对值大于正根绝对值09Vo且一BvOOa、c异号且a、b同号；

aa

(9)有两个正根0—>0,-P>0且△与00a、c同号，a、b异号且AHO;

aa

(10)有两个负根0£>0,—已<0且△》()ua、c同号，a、b同号且A20。

aa

6.求根法因式分解二次三项式公式：注意：当△<0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax2+bx+c=a(x-Xi)(x—X2)或ax2+bx+c=ax------x---------------

2a2a

7.求一元二次方程的公式：

X2—(X1+X2)X+X1X2=0o注意：所求出方程的系数应化为整数。

8.平均增长率问题-------------应用题的类型题之一(设增长率为x):

(1)第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)：

(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.

9.分式方程的解法：

(1)去分母法画碧^简验增根代入最简公分母(或原方程的每个分母)，值*0.

公分母

(2)换元法凑勺T兀'验增根代入原方程每个分母,值*0.

换兀.

10o二元二次方程组的解法：

(1)代入消元法---方程组中含有一个二元一次方程;

(2)分解降次法---方程组中含有能分解为()()=0的方程;

乂2应分组为!卜)=。!(2)=。

(3)注意:

)(4)=0-[(3)=0[(4)=0[(4)=01(3)=0

※门.几个常见转化：

22222

(1)+x|=(Xj+x2)-2x^2；(Xj-x2)+x2)-4XJX2；x+^-=(x+—)-2；

2

一一一一~~XX

(x1—X2)2=J(X]+X2)2_4X]X2(x]之X2)

或X2+^-=(x--)2+2；

X1-X2

x2XV(X1—x2)2=_J(X]+X2)2—4X]X?(X]<X2)

,1，.分类为Xi-X2=2和Xi-X2=-2

(2)X]—X2=2n<J

11”.两边平方为(X1-X2)2=4

(1)分类为'=3和^=--

X1416、

⑶(或”=§)=><x23x23

X23xy

2(2)两边平方一般不用因为增加次数

(4)如X]=sinA,x2=sinB且NA+NB=90。时,由公式sin?A+cos2A=1,cosA=sinB

可推出x：+x：=L注意隐含条件：X]>O,x2>0.

(5)X-X2若为几何图形中线段长时，可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形面积

等式,公式)推导出含有X],X2的关系式注意隐含条件：Xj>0,x2>0.

(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件，可把它们转化为某

些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.

(7)方程个数等于未知数个数时，一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一

般求不出未知数的值，但总可求出任何两个未知数的关系

二、《圆》

几何A级概念：(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)

1o垂径定理及推论：几何表达式举例：

如图：有五个元素，“知二可推三"；需记忆其中四个定CD过圆心

理，：CDLAB

即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”。

C___________，AE=BE

平分优弧

AC=BC

(°1)过圆心

AD=BD

\E——4—垂直于弦

AXTT7B平分弦

平分劣弧

2。平行线夹弧定理：/一■>、几何表达式举例：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。/\

,/AB//CD

L2J

・cc

、“D・・AC=BD

3.“角、弦、弧、距”定理：(同圆或等圆中)几何表达式举例：

“等角对等弦”；“等弦对等角“；(1)VZAOB=ZCOD

“等角对等弧”；“等弧对等角“；AB=CD

“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧及嬉、\

(2)AB=CD

“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦)

/.ZAOB=ZCOD

D

4.圆周角定理及推论：几何表达式举例：

(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；

(1)VZACB=-ZAOB

(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如2

图)

(3)“等弧对等角”“等角对等弧”；(2)・.・AB是直径

(4)“直径对直角”“直角对直径”；(如图)・・・ZACB=90°

(5)如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角(3)・.,ZACB=90°

形是直角三角形.(如图)AB是直径

(4)CD=AD=BD

AABC是RtA

5.圆内接四边形性质定理：几何表达式举例：

圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外ABCD是圆内接四边

角都等于它的内对角.形

，ZCDE=ZABC

ZC+ZA=180°

6.切线的判定与性质定理：几何表达式举例：

如图：有三个元素，“知二可推一”；(1):oc是半径

需记忆其中四个定理。

VOC±AB是半径

(1)经过半径的外端并且垂直于这条AAB是切线垂直

半径的直线是圆的切线；(2);OC是半径是切线

(2)圆的切线垂直于经过切点的半径；VAB是切线

X(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;.\OC±AB

X(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(3)................

7.切线长定理：几何表达式举例：

从圆外一点引圆的两条切线,PA、PB是切线

它们的切线长相等；圆心和这一,PA=PB

点的连线平分两条切线的夹角。VP0过圆心

AZAPO=ZBP0

8.弦切角定理及其推论：几何表达式举例:

(1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；(1)VBD是切线，BC是

(2)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相弦

等；(如图)，ZCBD=ZCAB

(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。(如图)

(2)cc

'：EF=AB

ED,BC是切线

c

BD

BC

ZCBA=NDEF

(1)(2)

9.相交弦定理及其推论：几何表达式举例：

(1)圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相(1)VPA•PB=PC•PD

等；

(2)如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成(2)...AB是直径

的两条线段长的比例中项.•/PC±AB

APC-PA•PB

10.切割线定理及其推论：几何表达式举例：

(1)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与(1)♦PC是切线,

圆交点的两条线段长的比例中项；PB是割线

(2)从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的.,.PC-PA•PB

交点的两条线段长的积相等.(2)VPB,PD是割线

APA•PB=PC•PD

11.关于两圆的性质定理：几何表达式举例：

(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;(D是圆心

(2)如果两圆相切，那么切点一定在连心线上..二0,02垂直平分

AB

(2)V©1,。2相切

.*.0i、A、02三点

一线

12.正多边形的有关计算：公式举例：

(1)中心角a”半径屈，边心距r„,、360°

(1)an=------;

边长an,内角bn,边数n;n

(2)有关计算在Rt^AOC中进行。⑵工幽

2n

Hn

几何B级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)

—基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高

三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦

切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内(外)

公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正

多边形的中心角.

二定理：

1.不在一直线上的三个点确定一个圆。

2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3.正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形。

AB

三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2nR；（2）弧长L=型；（3）圆的面积5=111?2.（4）扇形面积

180

S扇衫=四二=』LR;（5）弓形面积S弓阳二扇形面积SAOB±AAOB的面积。（如图）

3602

2o圆柱与圆锥的侧面展开图：

（1）圆柱的侧面积：S=2nrh：（r:底面半径；h:圆柱高）

（2）圆锥的侧面积：SLR.（L=2nr,R是圆锥母线长；r是底面半径）

2

四常识：

1.圆是轴对称和中心对称图形。

2.圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3.三角形的外心0两边中垂线的交点0三角形的外接圆的圆心；

三角形的内心0两内角平分线的交点0三角形的内切圆的圆心.

4.直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）

直线与圆相交0d<r；直线与圆相切0d=r;直线与圆相