2025七年级数学上册压轴题专练：规律探究（含答案及解析）

专题05规律探究（压轴题专项讲练）

■i典例精析

【典例11观察下列各式：

p+23=1+8=9,而(1+2)2=9,.-.13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,.\13+23+33=(1+2+3)2；

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,A13+23+33+43=(1+2+3+4)2；

猜想并填空：

(1)13+23+33+43+53=2=2；

根据以上规律填空：

(2)l3+23+33+...W=2=2；

(3)求解:163+173+183+193+203.

【思路点拨】

(1)通过观察材料中算式的计算规律进行计算；

(2)通过观察材料中算式的计算规律进行计算；

(3)利用(2)中的结论进行计算.

【解答过程】

解：(1)由题意可得：

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152,

故答案为：(1+2+3+4+5)；15；

(2)l3+23+33+...W=(l+2+3+...+w)2=[^^^]2,

故答案为：(1+2+3+...+«)；广(；+、；

(3)原式=(13+23+33+...+163+173+183+193+203)-(13+23+33+...+153)

=(1+2+3+...+20)2-(1+2+3+...+15)2

.2OX(l+2O)]2_15X(1+1S)]2

=F22

=2102一I2。2

=44100-14400

=29700.

e.学霸必刷

36912

1.(2021•昭阳区校级模拟)按一定规律排列的单项式：-十n，：n，一n^，n之，…，则第"

24816

个单项式是()

A.(-1)'-1关B.(7)嘤

C.(-1)"呼D.(-1)

2n2n-1

2.(2021•五华区二模)列数81，82,83,84,82022,其中个位数字是8的数有()

A.672个B.506个C.505个D.252个

3.(2023秋•天桥区期末)对一组数(x,y)的一次操作变换记为P(x,y),定义变换

法则如下：P\(x,y)=(x+y,x-y)；且规定P”(x,y)=p(Pn-i(尤，y))为大于1

的整数.如Pi(b2)=(3,-1),P2(1,2)=Pi(Pi(1,2))=P\(3,-1)=(2,

4),P3(1,2)=Pi(P2(L2))=Pi(2,4)=(6,-2),则=尸2021(1，-1)=

()

A.(0,-21010)B.(21010,-2皿。)

C.(0,21011)D.(21011,21011)

4.(2021•房县一模)将正整数按如图所示的位置顺序排列：

3-►47-►8BAc

♦+♦+♦+

1*25*69*.4D

根据排列规律，则2021应在()

A.A处B.B处C.C处D.D处

5.（2023秋•巴南区期末）如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形

来研究数.例如：图1表示数字1,图2表示数字5,图3表示数字12,图4表示数字22,…,

依次规律，图6表示数字（

6.（2021•玉林）观察下列树枝分杈的规律图，若第〃个图树枝数用％表示，则Y9-Y4=

（）

第1个图H=1第2个图由=3第3个图为=7第4个图％=15

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

7.（2021•北倍区校级模拟）汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样

大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆

点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律则，

图⑧中共有圆点的个数是（）

8.（2021•城中区四模）观察下面三行数:

-3,9,-27,81,-243,...；①

0,12,-24,84,-240,.

-1,3,-9,27,-81,...；（3）

然后在每行中取第6个数，则这三个数的和为.

9.（2023秋•天桥区期末）小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果:

第1行：3-2=1

第2行：8+7-6-5=4

第3行：15+14+13-12-11-10=9

第4行：24+23+22+21-20-19-18-17=16

根据以上规律，“2021”在第机行，从左往右数第〃个，那么用+〃=

10.（2021•蚌埠二模）观察下列等式：

第1个等式：12=p；

第2个等式：（1+2）占：P+23；

第3个等式：（1+2+3）2=13+23+33；

第4个等式：（1+2+3+4）2=13+23+33+43；

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：；

（2）写出第〃（〃为正整数）个等式：（用含〃的等式表示）；

（3）利用你发现的规律求1P+123+133+…+10（）3值.

11.(2021春•庐阳区校级期末)观察下列等式：

①人=1x(1-i)；②工=”；③工=1x(---)...

1X3233x52355x7257

根据上述等式的规律，解答下列问题：

(1)请写出第④个等式：;

(2)写出你猜想的第w个等式(用含有w的等式表示)，并证明这个等式.

(3)应用你发现的规律，计算：

12.(2023秋•福田区期末)如果我们要计算l+2+22+23+...+299+2i°°的值，我们可以用如下

的方法：

解：设S=1+2+2?+23+…+299+21°°式

在等式两边同乘以2,则有2s=2+22+23+…+299+21。°+21°1式

式减去式，得2S-S=2101-1

即S=2101-1

即1+2+22+23+...+2"+2100=2101-1

【理解运用】计算

(1)1+3+32+33+...+3"+3100

(2)1-3+32_33+...-3"+3100

13.(2021春•祁江区校级期末)(1)填空：2-2°=2'＞、22-21=2'〉、23-

22=2(＞、…

(2)探索(1)中式子的规律，请写出第九个等式：；

(3)直接计算：22°0-2199-2198-...-22-21=；

(4)利用(2)中发现的规律计算：21000+21001+21002+...+22020+22021.

11

_____i_______I_________1_________I-...-L2021

14.(2021•西城区校级开学)计算:11r1i1T丁

（1+如1+飘1+分”（1+感）

15・（2021•西城区校级开学）G+1+-+盛）+（1+：+•••+£）+（1+]+•••+六）

z20192019、2020

+...+v-----1-----）H-----.

202020212021

16.（2021•安徽模拟）观察下列图形与等式:

(1)1X0+1=12

1x2+2=22

(l+2)x2+3=32

(1+2+3)x2+4=42

(l+2+3+4)x2+5=52

（1）观察图形，写出第（7）个等式:根据图中规律，写出第n

个图形的规律:（用含有〃的式子表示）

(2)求出10+11+...+80的值.

17.（2021•瑶海区二模）将围棋的白色棋子按如图所示的方式排列，图中的白色棋子被折

线隔开分成若干层，第一层有1个白色棋子，第二层有3个白色棋子，第三层有5个白色棋

子，第四层有7个白色棋子，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：

（1）第w层有个白色棋子，图中从第一层到第〃层一共有个白色

棋子；

（2）利用发现的规律计算：1921+1923+1925+...+2021的和.

18.（2021•扬山县一模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.

（1）第5个图中4个数的和为.

(2)a=_________

（3）根据此规律，第〃个正方形中，d=2564,则〃的值为

19.（2023秋•海淀区校级期中）德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合,

做如下：

取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；

将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；

再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；

...>

一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多.

如图是最初几个阶段，

（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为；

（2）当达到第"个阶段时（〃为正整数），去掉的线段的长度之和为.（用含〃的

式子表示）

20.（2023秋•锦江区校级期中）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，

最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了w层.将图1倒置后与

原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数.

图（1）图（2）图（3）图（4）

（1）当图（1）中小圆圈有10层的时候小圆圈的个数是：:

（2）图（2）中的小圆圈一共有个（用含力的代数式表示）

（3）如果图（1）中的圆圈共有13层，图（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方

式填上一串连续的正整数1,2,3,4,则最底层最左边第三个圆圈中的数是；

（4）我们自上往下，在每个圆圈中都按图（4）的方式填上一串连续的整数-23,-22,-

21,....一共填写13层，求图（4）中所有圆圈中各数的绝对值之和.

专题05规律探究（压轴题专项讲练）

n典例精析

【典例11观察下列各式：

,+23=1+8=9,而(1+2)2=9,.\13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,.*.13+23+33=(1+2+3)2；

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,A13+23+33+43=(1+2+3+4)2；

猜想并填空：

(1)13+23+33+43+53=2=2；

根据以上规律填空：

(2)l3+23+33+...W=2=2；

(3)求解：163+173+183+193+203.

【思路点拨】

(1)通过观察材料中算式的计算规律进行计算；

(2)通过观察材料中算式的计算规律进行计算；

(3)利用(2)中的结论进行计算.

【解答过程】

解：(1)由题意可得：

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152,

故答案为：(1+2+3+4+5)；15；

(2)l3+23+33+...W=(I+2+3+...+H)2=［也罗］2,

故答案为：(1+2+3+...+71);广(:1)］；

(3)原式=(13+23+33+...+163+173+183+193+203)-(13+23+33+...+153)

=(1+2+3+...+20)2-(1+2+3+...+15)2

='OX(l+2O)]2_[15X(1+15)]2

=2102-KO2

=44100-14400

29700.

e.学霸必刷

a3a6n9n12

1.（2021•昭阳区校级模拟）按一定规律排列的单项式：-则第n

24816

个单项式是（）

ia3n

A.(-1)n-121__B.(-1)

2nT2"

心一】）

C.(-1)nD.(-1)

2nT

【思路点拨】

由所给的单项式可看出，分母为2",分子为03",奇数项为负，偶数项为正，据此即可作答.

【解答过程】

3,3Xl

解：V-yn=(-1)&号n,

.6.3X2

A(-i)2x%，

9八3x3

卜n「1）号n,

“12.3X4

*=「1)4X%,

.♦.第"个单项式为：（一1）”穿.

故选：B.

2.（2021•五华区二模）列数81，82,83,84,82022,其中个位数字是8的数有（）

A.672个B.506个C.505个D.252个

【思路点拨】

前面5个数的个位数分别是8,4,2,6,8,从而发现这列数的个位数字以8,4,2,6,每

4个数循环出现，据此可解答.

【解答过程】

解：:81的个位数字是8,

82的个位数字是4,

83的个位数字是2,

84的个位数字是6,

85的个位数字是8,

86的个位数字是%

这列数的个位数字以8,4,2,6,每4个数循环出现，

：2022+4=505…2,

...第2021个数的个位数是8,

个数数字是8的个数为：505+1=506(个).

故选：B.

3.(2023秋•天桥区期末)对一组数(x,y)的一次操作变换记为P(x,y),定义变换

法则如下：Pi(x,y)=(尤+y,x-y)；且规定P”(尤，y)=P\(P„-i(x,y))为大于1

的整数.如Pi(1,2)=(3,-1),P2(1,2)=Pi(Pi(1,2))=Pi(3,-1)=(2,

4),P3(1，2)=P(P2(1,2))=Pi(2,4)=(6,-2),则=尸2021(1，-1)=

()

A.(0,-21010)B.(21010,-21010)

C.(0,21011)D.(21011,21011)

【思路点拨】

根据数字的变化规律进行计算即可.

【解答过程】

解：根据题意的数字变换可知:

Pi(1,-1)=(0,2)，

Pi(1,-1)=(2,-2),

「3(1,-1)=(0,4)，

(1,-1)=(4,-4),

P4

P5（1，-1)=(0,8),

P6(1,-1)=(8,-8)，

发现规律：

当"为奇数时，

n+1

Pn(1,-1)=(0,2~),

•••/2021(I，T)=(0,21011),

故选：C.

4.（2021•房县一模）将正整数按如图所示的位置顺序排列:

47♦8B*C

♦♦♦i♦♦

1*25*69-►—-*AD->•••

根据排列规律，则2021应在（)

A.A处B.B处C.C处D.。处

【思路点拨】

规律：在A位置的数被4除余2,在8位置的数被4除余3,在C位置的数被4整除，在。

位置的数被4除余1；由2021+4=505..」，即可得出结果.

【解答过程】

解：2021+4=505..」，

.1.2021应在1的位置，也就是在D处.

故选：D.

5.（2023秋•巴南区期末）如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形

来研究数.例如：图1表示数字1,图2表示数字5,图3表示数字12,图4表示数字22,一,

依次规律，图6表示数字（）

D.52

【思路点拨】

由图形可看出每一条边的小石子数是一样的，从而不难发现每增加一层，其增加的小石子数

为3n-2,从而可求解.

【解答过程】

解：观察图形发现:

图1有1个小石子,

图2有1+(3x2-2)=5个小石子,

图3有1+(3x2-2)+(3x3-2)12个小石子,

图4有1+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)=22个小石子,

图5有1+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)=35个小石子,

图6有1+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)+(3x6-2)=51个小石子,

故选：C.

6.（2021•玉林）观察下列树枝分杈的规律图,若第n个图树枝数用匕表示，则Y9-以=

()

第个图

171=1第2个图%=3第3个图巧=7第4个图%=15

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

【思路点拨】

根据已知图中规律可得：7„=1+2+22+23+24+25+26+27+―+2«-h相减可得结论.

【解答过程】

解：由题意得：

第1个图：71=1,

第2个图：匕=3=1+2,

第3个图：匕=7=1+2+22,

第4个图：乂=15=1+2+22+23,

•••

第9个图：%=1+2+22+23+24+25+26+27+28,

45678423444

：.Y9-KI=2+2+2+2+2=2(1+2+2+2+2)=2X(3+4+8+16)=2x31.

故选：B.

7.(2021•北培区校级模拟)汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样

大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆

点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律则，

图⑧中共有圆点的个数是()

【思路点拨】

观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后一个“汉

字''前半部分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等，后一个“汉字”的后半部分的圆点数

总是前一个“汉字”后半部分顶部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进而解决

该题.

【解答过程】

解：在图①中，圆点个数为以=12个.

在图②中，圆点个数为竺=刃+2+4=18个.

在图③中，圆点个数为乃="+2+5=25个.

在图④中，圆点个数为/=》+2+6=33个.

以次类推，在图⑧中，圆点个数为丫8=>7+（2+10）="+（2+9）+12

=g+（2+8）+11+12

=%+（2+7）+10+11+12

=33+9+10+11+12

=75.

故选：B.

8.（2021•城中区四模）观察下面三行数：

-3,9,-27,81,-243,...；①

0,12,-24,84,-240,...；②

-1,3,-9,27,-81,...；③

然后在每行中取第6个数，则这三个数的和为.

【思路点拨】

根据题目中的数字，可以写出每行的第〃个数，从而可以发现第②行数与第①行数的关系,

然后写出每行中的第6个数，再相加即可.

【解答过程】

解：：-3,9,-27,81,-243...；①

0,12,-24,84,-240...；②

-1,3,-9,27,-81...；③

第一行的第n个数为（-3）",第二行的第n个数为（-3）"+3,第三行的第n个数为亨,

.••第②行数与第①行数的关系是：第②行数的数字等于对应的第①行的数字加3；

当”=6时，第一行的数为(-3)6,第二行的数为(-3)6+3,第三行的数为等,

(-3)6+[(-3)6+3]+等

=729+(729+3)+—

3

=729+732+243

=1704,

故答案为：1704.

9.(2023秋•天桥区期末)小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：

第1行：3-2=1

第2行：8+7-6-5=4

第3行：15+14+13-12-11-10=9

第4行：24+23+22+21-20-19-18-17=16

根据以上规律，“2021”在第加行，从左往右数第w个，那么〃任〃=.

【思路点拨】

根据左起第一个数3,8,15,24…的变化规律得出第〃行左起第一个数为(n+1)2-1,每

一行数的个数为2〃+1,由此估算出2021所在的行数，以及所在行数的位置即可.

【解答过程】

解：(43+1)2-1=1935,

(44+1)2-1=2024,

/.2021这个数出现在第44行，左起第2024-2021+1=4个数.

.*.m=44,n=4,

；・m+n=44+4=48,

故答案为48.

10.(2021•蚌埠二模)观察下列等式：

第1个等式：12=1；

第2个等式：(1+2)』P+23；

第3个等式：(1+2+3)2=13+23+33；

第4个等式：(1+2+3+4)2=13+23+33+43；

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第5个等式：；

(2)写出第n(n为正整数)个等式：.(用含n

的等式表示)；

(3)利用你发现的规律求1P+123+133牛…+1003值.

【思路点拨】

(1)根据题目中给出的等式的特点，可以写出第5个等式；

(2)根据题目中等式的特点，可以写出第〃个等式；

(3)结合(2)可以求出所求式子的值.

【解答过程】

解：(1)根据题意可知：第5个等式为：(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53；

故答案为：(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53；

(2)根据(1)可得:第"(〃为正整数)个等式为:(l+2+3+4+5+...+n)2=l*M3+33+43+53+...n3；

故答案为：(I+2+3+4+5+...+W)2=13+23+33+43+53+...»3；

(3)113+123+133+...+1003

=13+23+33+43+53+...1003-(13+23+33+43+53+...103)

=(1+2+3+...+100)2-(1+2+3+...+10)2

=50502-552

25499475.

11.（2021春•庐阳区校级期末）观察下列等式:

G111、G11zllx11/11、

①而"x(i-/；②G.Xq-J；③公—x(「)•••

根据上述等式的规律，解答下列问题:

(1)请写出第④个等式:

(2)写出你猜想的第〃个等式（用含有w的等式表示），并证明这个等式.

(3)应用你发现的规律，计算:

2

1X3+A3X5+A5X7+—7X9•••+——2019x-2021

【思路点拨】

（1）根据题目中的例子写出第④个式子即可;

⑵由所给的例子不难看出第，个等式为：声品丽亚岛-熹］，把等式右边进

行运算即可证明;

（3）所求的式子先提取一个2出来，再利用发现的规律进行运算即可.

【解答过程】

解：（1）第④个等式为：木=->

故答案为:可="（》》；

111

⑵=(l-i）,整理得:■);

(2xl-l)x(2xl+l)2x1-12x1+1

整理得1=iX(-11

(2X2-1)X(2X2+1)2'2；X2-12X2+1

111

③S（曰），整理得:=-x(■）；

(2X3-1)X(2X3+1)2\2X3-12X3+1

11r11I

・••第〃个等式为:"X［罚一

(2九一1)(271+1)

证明：右边=3乂匕2n+l2n-l

(2n-l)(2n+l)(2n-l)(2n+l)

—_1v_2_n_+__l_-_2_n_+_l_

2(27l—1)(271+1)

=_X-----------

2(2n-l)(2n+l)

_1

一(271—1)(2?1+1)’

.,.左边=右边.

,.22222

⑶百+热+公+两+…+2019X2021

=2x+—+—+—+---)

1X33X55X77X92019x2021

1/i1.11,11.11,.11、

2335577920192021

=1--

2021

_2020

-2021'

12.(2023秋•福田区期末)如果我们要计算l+2+22+23+...+299+2i°°的值，我们可以用如下

的方法：

解：设1+2+22+23+...+2"+2100式

在等式两边同乘以2,则有2s=2+22+23+...+299+21。°+21°1式

式减去式，得25-5=2皿-1

即S=2101-1

BP1+2+22+23+...+2"+2100=2101-1

【理解运用】计算

(1)1+3+32+33+...+3"+3100

(2)1-3+32_33+...-3"+3100.

【思路点拨】

(1)利用题中的方法求出原式的值即可；

(2)根据题中的方法利用加法即可.

【解答过程】

解：(1)设S=l+3+32+33+...+3i°°,①

①式两边都乘以3,得35=3+32+33+...+31叫②

②-①得：25=3101-1,BP5=^—^

则原式=

2

(2)设S=1-3+32-33+...+3i°°,①

①式两边都乘以3,得3s=3-32+33-...+3101,②

②+①得：4S=3101+l,即5=①q101上I-1，

13.（2021春•干B江区校级期末）（1）填空：21-2°=2<\22-2!=2（\23-22

=2（>、...

（2）探索（1）中式子的规律，请写出第"个等式：；

（3）直接计算：22°0-2199_2198_...-22-2.；

（4）利用（2）中发现的规律计算：21000+21001+21002+...+22020+22021.

【思路点拨】

（1）通过计算即可填空；

（2）结合（1）中式子的规律，即可写出第〃个等式;

（3）根据（2）中式子的规律，即可计算；

（3）利用（2）中发现的规律计算即可.

【解答过程】

解:(1)2一2°=2°、22-21=2］、23-22=22,

故答案为：0、1、2；

(2)第w个等式：2"-2"-1=2"一1；

故答案为：2"-2"-1=2"%

(3)2200-2199-2198-...-22-21

=2'"-2198-...-22-21

=2198-...-22-21

=22-21

=2l

=2；

故答案为：2；

(4)21000+21001+21002+-|-22020+22021

(21001-21000)+(21002-21001)+(21003-21002)++(22022-22021)

1003100220222021

—21001_2iooo+2ioo2_21001+2-2++2-2

=22022_2100°

11

14.（2021•西城区校级开学）计算：逐节+4+…+2021

【思路点拨】

将各项化简然后提取2倍，再裂项相消计算即可.

【解答过程】

3.5+…+_______2021_______

解：原式=+1~4~52022

—X——X—X—--X-X—X...X--------

232342342021

12.12.,12

=-x-+-x-+...+——X-------

344520212022

zl1,11..11、

=2x(-X-+-X-+...+——X——)

344520212022

=2x1+—-A-)

344520212022

=2x

673

1011

15・(2021•西城区校级开学)G+1+-+盛)+(|+：+“，+£)+©+:+•••+嘉)

z20192019、2020

+...+[----1----)H----.

202020212021

【思路点拨】

先去括号通分，然后找规律计算即可.

【解答过程】

解：原式=3+詈+1+2+3+1+2+3+4++1+2+3+...+2020

452021

22222

1+2+3+4+…+2020

2

2020X(2020+1)

2

2

=505x2021

=1020605.

16.（2021•安徽模拟）观察下列图形与等式:

1x0+1=12

1x2+2=22

(1+2)X2+3=32

(1+2+3)x2+442

(l+2+3+4)x2+5=52

（1）观察图形，写出第（7）个等式：;根据图中规律,

写出第n个图形的规律：；（用含有n的式子表示）

（2）求出10+11+...+80的值.

【思路点拨】

（1）观察图形的变化可得第（7）个等式，进而可得第n个图形的规律;

（2）根据（1）中第w个图形的规律即可进行计算.

【解答过程】

解：(1)根据图形的变化可知：第(7)个等式为：(1+2+3+4+5+6)x2+7=72；

所以第w个图形的规律为：(l+2+3+...+w-1)x2+〃=/；

故答案为：(1+2+3+4+5+6)x2+7—72；(1+2+3+…+〃T)X2+H—H2；

(2)因为(1+2+3+4+...+80)x2+81=812,

(1+2+3+4+..+9)x2+10=102,

1+2+3+4+…+80=丫=3240,

1+2+3+4+...+9=空3=45,

2

所以10+ll+...+80=(1+2+3+4+...+80)-(1+2+3+4+...+9)=3195.

17.(2021•瑶海区二模)将围棋的白色棋子按如图所示的方式排列，图中的白色棋子被折

线隔开分成若干层，第一层有1个白色棋子，第二层有3个白色棋子，第三层有5个白色棋

子，第四层有7个白色棋子，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：

(1)第w层有个白色棋子，图中从第一层到第n层一共有个白色棋子;

(2)利用发现的规律计算：1921+1923+1925+...+2021的和.

oo

_O]OOIOoo

oo|opoO

oooloOO

ooooO0

oooo

oooooo

【思路点拨】

(1)根据已知数据即可得出每一小层白色棋子个数是连续的奇数，进而得出答案；

(2)利用前面的规律即可得出答案.

【解答过程】

解：(1)根据题意得，

第一层有2X1-1=1个白色棋子，

第二层有2X2-1=3个白色棋子，

第三层有2X3-1=5个白色棋子,

第四层有2x4-1=7个白色棋子,

二第〃层由2〃-1(个)白色棋子；

从第一层到第二层共有1+3=4=22个白色棋子；

从第一层到第三层共有1+3+5=9=32个白色棋子；

从第一层到第四层共有1+3+5+7=16=42个白色棋子;

，图中从第一层到第〃层一共有1+3+5+7+•••+(2H-1)=〃2(个)白色棋子；

故答案为：(2〃-1)；〃2.

(2)1921+1923+1925+...+2021

=(1+3+5+7+-H-2021)-(1+3+5+74--+1919)

=10"2-9602

=100521.

18.(2021•丽山县一模)如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.

第1个图第2个图第3个图第4个图第也个图

根据此规律，回答下列问题:

(1)第5个图中4个数的和为.

(2)a=；c=.

(3)根据此规律，第〃个正方形中，d=2564,则〃的值为

【思路点拨】

(1)观察图形可得第5个图中4个数，相加即可求解；

(2)由已知图形得出a=(-1)n-2nl,b=2a=(-1)"«2",c=b+4=(-1)"・2"+4,即

可求解；

(3)根据d=a+/?+c=5x(-1)"・2"-"4=2564求解可得.

【解答过程】

解：(1)第5个图形中的4个数分别是-16,-32,-28,-76

4个数的和为:-16-32-28-76=-152.

(2)a=(-1)

b=2a=(-1)"・2",

c=b+4=(-1),,«2,,+4.

(3)根据规律知道，若d=2564>0,

则”为偶数，

当”为偶数时。=2"一1,b=2n,c=2"+4,2nl+2n+2"+4=2564,

依题意有2"-1+2"+2"=2560,

解得n=10.

故答案为：-152；(-1)"•2"-1；(-1)"・2"+4；10.

19.(2023秋•海淀区校级期中)德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合,

做如下：

取一条长度为1