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文档简介
专题05规律探究(压轴题专项讲练)
■i典例精析
【典例11观察下列各式:
p+23=1+8=9,而(1+2)2=9,.-.13+23=(1+2)2;
13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,.\13+23+33=(1+2+3)2;
13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,A13+23+33+43=(1+2+3+4)2;
猜想并填空:
(1)13+23+33+43+53=2=2;
根据以上规律填空:
(2)l3+23+33+...W=2=2;
(3)求解:163+173+183+193+203.
【思路点拨】
(1)通过观察材料中算式的计算规律进行计算;
(2)通过观察材料中算式的计算规律进行计算;
(3)利用(2)中的结论进行计算.
【解答过程】
解:(1)由题意可得:
13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152,
故答案为:(1+2+3+4+5);15;
(2)l3+23+33+...W=(l+2+3+...+w)2=[^^^]2,
故答案为:(1+2+3+...+«);广(;+、;
(3)原式=(13+23+33+...+163+173+183+193+203)-(13+23+33+...+153)
=(1+2+3+...+20)2-(1+2+3+...+15)2
.2OX(l+2O)]2_15X(1+1S)]2
=F22
=2102一I2。2
=44100-14400
=29700.
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36912
1.(2021•昭阳区校级模拟)按一定规律排列的单项式:-十n,:n,一n^,n之,…,则第"
24816
个单项式是()
A.(-1)'-1关B.(7)嘤
C.(-1)"呼D.(-1)
2n2n-1
2.(2021•五华区二模)列数81,82,83,84,82022,其中个位数字是8的数有()
A.672个B.506个C.505个D.252个
3.(2023秋•天桥区期末)对一组数(x,y)的一次操作变换记为P(x,y),定义变换
法则如下:P\(x,y)=(x+y,x-y);且规定P”(x,y)=p(Pn-i(尤,y))为大于1
的整数.如Pi(b2)=(3,-1),P2(1,2)=Pi(Pi(1,2))=P\(3,-1)=(2,
4),P3(1,2)=Pi(P2(L2))=Pi(2,4)=(6,-2),则=尸2021(1,-1)=
()
A.(0,-21010)B.(21010,-2皿。)
C.(0,21011)D.(21011,21011)
4.(2021•房县一模)将正整数按如图所示的位置顺序排列:
3-►47-►8BAc
♦+♦+♦+
1*25*69*.4D
根据排列规律,则2021应在()
A.A处B.B处C.C处D.D处
5.(2023秋•巴南区期末)如图,古希腊人常用小石子(小黑点)在沙滩上摆成各种图形
来研究数.例如:图1表示数字1,图2表示数字5,图3表示数字12,图4表示数字22,…,
依次规律,图6表示数字(
6.(2021•玉林)观察下列树枝分杈的规律图,若第〃个图树枝数用%表示,则Y9-Y4=
()
第1个图H=1第2个图由=3第3个图为=7第4个图%=15
A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24
7.(2021•北倍区校级模拟)汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样
大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字,其中,图①中共有12个圆
点,图②中共有18个圆点,图③中共有25个圆点,图④中共有33个圆点…依此规律则,
图⑧中共有圆点的个数是()
8.(2021•城中区四模)观察下面三行数:
-3,9,-27,81,-243,...;①
0,12,-24,84,-240,.
-1,3,-9,27,-81,...;(3)
然后在每行中取第6个数,则这三个数的和为.
9.(2023秋•天桥区期末)小刚在做数学题时,发现下面有趣的结果:
第1行:3-2=1
第2行:8+7-6-5=4
第3行:15+14+13-12-11-10=9
第4行:24+23+22+21-20-19-18-17=16
根据以上规律,“2021”在第机行,从左往右数第〃个,那么用+〃=
10.(2021•蚌埠二模)观察下列等式:
第1个等式:12=p;
第2个等式:(1+2)占:P+23;
第3个等式:(1+2+3)2=13+23+33;
第4个等式:(1+2+3+4)2=13+23+33+43;
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式:;
(2)写出第〃(〃为正整数)个等式:(用含〃的等式表示);
(3)利用你发现的规律求1P+123+133+…+10()3值.
11.(2021春•庐阳区校级期末)观察下列等式:
①人=1x(1-i);②工=”;③工=1x(---)...
1X3233x52355x7257
根据上述等式的规律,解答下列问题:
(1)请写出第④个等式:;
(2)写出你猜想的第w个等式(用含有w的等式表示),并证明这个等式.
(3)应用你发现的规律,计算:
12.(2023秋•福田区期末)如果我们要计算l+2+22+23+...+299+2i°°的值,我们可以用如下
的方法:
解:设S=1+2+2?+23+…+299+21°°式
在等式两边同乘以2,则有2s=2+22+23+…+299+21。°+21°1式
式减去式,得2S-S=2101-1
即S=2101-1
即1+2+22+23+...+2"+2100=2101-1
【理解运用】计算
(1)1+3+32+33+...+3"+3100
(2)1-3+32_33+...-3"+3100
13.(2021春•祁江区校级期末)(1)填空:2-2°=2'>、22-21=2'〉、23-
22=2(>、…
(2)探索(1)中式子的规律,请写出第九个等式:;
(3)直接计算:22°0-2199-2198-...-22-21=;
(4)利用(2)中发现的规律计算:21000+21001+21002+...+22020+22021.
11
_____i_______I_________1_________I-...-L2021
14.(2021•西城区校级开学)计算:11r1i1T丁
(1+如1+飘1+分”(1+感)
15・(2021•西城区校级开学)G+1+-+盛)+(1+:+•••+£)+(1+]+•••+六)
z20192019、2020
+...+v-----1-----)H-----.
202020212021
16.(2021•安徽模拟)观察下列图形与等式:
(1)1X0+1=12
1x2+2=22
(l+2)x2+3=32
(1+2+3)x2+4=42
(l+2+3+4)x2+5=52
(1)观察图形,写出第(7)个等式:根据图中规律,写出第n
个图形的规律:(用含有〃的式子表示)
(2)求出10+11+...+80的值.
17.(2021•瑶海区二模)将围棋的白色棋子按如图所示的方式排列,图中的白色棋子被折
线隔开分成若干层,第一层有1个白色棋子,第二层有3个白色棋子,第三层有5个白色棋
子,第四层有7个白色棋子,…,以此类推,请观察图形规律,解答下列问题:
(1)第w层有个白色棋子,图中从第一层到第〃层一共有个白色
棋子;
(2)利用发现的规律计算:1921+1923+1925+...+2021的和.
18.(2021•扬山县一模)如图,下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.
(1)第5个图中4个数的和为.
(2)a=_________
(3)根据此规律,第〃个正方形中,d=2564,则〃的值为
19.(2023秋•海淀区校级期中)德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合,
做如下:
取一条长度为1的线段三等分后,去掉中间段,余下两条线段,达到第1阶段;
将剩下的两条线段分别三等分后,各去掉中间段,余下四条线段,达到第2阶段;
再将剩下四条线段分别等三等分后,各去掉中间段,余下八条线段,达到第3阶段;
...>
一直如此操作下去,在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多.
如图是最初几个阶段,
(1)当达到第5个阶段时,余下的线段条数为;
(2)当达到第"个阶段时(〃为正整数),去掉的线段的长度之和为.(用含〃的
式子表示)
20.(2023秋•锦江区校级期中)图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,
最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了w层.将图1倒置后与
原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数.
图(1)图(2)图(3)图(4)
(1)当图(1)中小圆圈有10层的时候小圆圈的个数是::
(2)图(2)中的小圆圈一共有个(用含力的代数式表示)
(3)如果图(1)中的圆圈共有13层,图(1)我们自上往下,在每个圆圈中都按图3的方
式填上一串连续的正整数1,2,3,4,则最底层最左边第三个圆圈中的数是;
(4)我们自上往下,在每个圆圈中都按图(4)的方式填上一串连续的整数-23,-22,-
21,....一共填写13层,求图(4)中所有圆圈中各数的绝对值之和.
专题05规律探究(压轴题专项讲练)
n典例精析
【典例11观察下列各式:
,+23=1+8=9,而(1+2)2=9,.\13+23=(1+2)2;
13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,.*.13+23+33=(1+2+3)2;
13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,A13+23+33+43=(1+2+3+4)2;
猜想并填空:
(1)13+23+33+43+53=2=2;
根据以上规律填空:
(2)l3+23+33+...W=2=2;
(3)求解:163+173+183+193+203.
【思路点拨】
(1)通过观察材料中算式的计算规律进行计算;
(2)通过观察材料中算式的计算规律进行计算;
(3)利用(2)中的结论进行计算.
【解答过程】
解:(1)由题意可得:
13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152,
故答案为:(1+2+3+4+5);15;
(2)l3+23+33+...W=(I+2+3+...+H)2=[也罗]2,
故答案为:(1+2+3+...+71);广(:1)];
(3)原式=(13+23+33+...+163+173+183+193+203)-(13+23+33+...+153)
=(1+2+3+...+20)2-(1+2+3+...+15)2
='OX(l+2O)]2_[15X(1+15)]2
=2102-KO2
=44100-14400
29700.
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a3a6n9n12
1.(2021•昭阳区校级模拟)按一定规律排列的单项式:-则第n
24816
个单项式是()
ia3n
A.(-1)n-121__B.(-1)
2nT2"
心一】)
C.(-1)nD.(-1)
2nT
【思路点拨】
由所给的单项式可看出,分母为2",分子为03",奇数项为负,偶数项为正,据此即可作答.
【解答过程】
3,3Xl
解:V-yn=(-1)&号n,
.6.3X2
A(-i)2x%,
9八3x3
卜n「1)号n,
“12.3X4
*=「1)4X%,
.♦.第"个单项式为:(一1)”穿.
故选:B.
2.(2021•五华区二模)列数81,82,83,84,82022,其中个位数字是8的数有()
A.672个B.506个C.505个D.252个
【思路点拨】
前面5个数的个位数分别是8,4,2,6,8,从而发现这列数的个位数字以8,4,2,6,每
4个数循环出现,据此可解答.
【解答过程】
解::81的个位数字是8,
82的个位数字是4,
83的个位数字是2,
84的个位数字是6,
85的个位数字是8,
86的个位数字是%
这列数的个位数字以8,4,2,6,每4个数循环出现,
:2022+4=505…2,
...第2021个数的个位数是8,
个数数字是8的个数为:505+1=506(个).
故选:B.
3.(2023秋•天桥区期末)对一组数(x,y)的一次操作变换记为P(x,y),定义变换
法则如下:Pi(x,y)=(尤+y,x-y);且规定P”(尤,y)=P\(P„-i(x,y))为大于1
的整数.如Pi(1,2)=(3,-1),P2(1,2)=Pi(Pi(1,2))=Pi(3,-1)=(2,
4),P3(1,2)=P(P2(1,2))=Pi(2,4)=(6,-2),则=尸2021(1,-1)=
()
A.(0,-21010)B.(21010,-21010)
C.(0,21011)D.(21011,21011)
【思路点拨】
根据数字的变化规律进行计算即可.
【解答过程】
解:根据题意的数字变换可知:
Pi(1,-1)=(0,2),
Pi(1,-1)=(2,-2),
「3(1,-1)=(0,4),
(1,-1)=(4,-4),
P4
P5(1,-1)=(0,8),
P6(1,-1)=(8,-8),
发现规律:
当"为奇数时,
n+1
Pn(1,-1)=(0,2~),
•••/2021(I,T)=(0,21011),
故选:C.
4.(2021•房县一模)将正整数按如图所示的位置顺序排列:
47♦8B*C
♦♦♦i♦♦
1*25*69-►—-*AD->•••
根据排列规律,则2021应在()
A.A处B.B处C.C处D.。处
【思路点拨】
规律:在A位置的数被4除余2,在8位置的数被4除余3,在C位置的数被4整除,在。
位置的数被4除余1;由2021+4=505..」,即可得出结果.
【解答过程】
解:2021+4=505..」,
.1.2021应在1的位置,也就是在D处.
故选:D.
5.(2023秋•巴南区期末)如图,古希腊人常用小石子(小黑点)在沙滩上摆成各种图形
来研究数.例如:图1表示数字1,图2表示数字5,图3表示数字12,图4表示数字22,一,
依次规律,图6表示数字()
D.52
【思路点拨】
由图形可看出每一条边的小石子数是一样的,从而不难发现每增加一层,其增加的小石子数
为3n-2,从而可求解.
【解答过程】
解:观察图形发现:
图1有1个小石子,
图2有1+(3x2-2)=5个小石子,
图3有1+(3x2-2)+(3x3-2)12个小石子,
图4有1+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)=22个小石子,
图5有1+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)=35个小石子,
图6有1+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)+(3x6-2)=51个小石子,
故选:C.
6.(2021•玉林)观察下列树枝分杈的规律图,若第n个图树枝数用匕表示,则Y9-以=
()
第个图
171=1第2个图%=3第3个图巧=7第4个图%=15
A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24
【思路点拨】
根据已知图中规律可得:7„=1+2+22+23+24+25+26+27+―+2«-h相减可得结论.
【解答过程】
解:由题意得:
第1个图:71=1,
第2个图:匕=3=1+2,
第3个图:匕=7=1+2+22,
第4个图:乂=15=1+2+22+23,
•••
第9个图:%=1+2+22+23+24+25+26+27+28,
45678423444
:.Y9-KI=2+2+2+2+2=2(1+2+2+2+2)=2X(3+4+8+16)=2x31.
故选:B.
7.(2021•北培区校级模拟)汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样
大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字,其中,图①中共有12个圆
点,图②中共有18个圆点,图③中共有25个圆点,图④中共有33个圆点…依此规律则,
图⑧中共有圆点的个数是()
【思路点拨】
观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处,得出每两个相邻的“汉字”中后一个“汉
字''前半部分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等,后一个“汉字”的后半部分的圆点数
总是前一个“汉字”后半部分顶部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点,进而解决
该题.
【解答过程】
解:在图①中,圆点个数为以=12个.
在图②中,圆点个数为竺=刃+2+4=18个.
在图③中,圆点个数为乃="+2+5=25个.
在图④中,圆点个数为/=》+2+6=33个.
以次类推,在图⑧中,圆点个数为丫8=>7+(2+10)="+(2+9)+12
=g+(2+8)+11+12
=%+(2+7)+10+11+12
=33+9+10+11+12
=75.
故选:B.
8.(2021•城中区四模)观察下面三行数:
-3,9,-27,81,-243,...;①
0,12,-24,84,-240,...;②
-1,3,-9,27,-81,...;③
然后在每行中取第6个数,则这三个数的和为.
【思路点拨】
根据题目中的数字,可以写出每行的第〃个数,从而可以发现第②行数与第①行数的关系,
然后写出每行中的第6个数,再相加即可.
【解答过程】
解::-3,9,-27,81,-243...;①
0,12,-24,84,-240...;②
-1,3,-9,27,-81...;③
第一行的第n个数为(-3)",第二行的第n个数为(-3)"+3,第三行的第n个数为亨,
.••第②行数与第①行数的关系是:第②行数的数字等于对应的第①行的数字加3;
当”=6时,第一行的数为(-3)6,第二行的数为(-3)6+3,第三行的数为等,
(-3)6+[(-3)6+3]+等
=729+(729+3)+—
3
=729+732+243
=1704,
故答案为:1704.
9.(2023秋•天桥区期末)小刚在做数学题时,发现下面有趣的结果:
第1行:3-2=1
第2行:8+7-6-5=4
第3行:15+14+13-12-11-10=9
第4行:24+23+22+21-20-19-18-17=16
根据以上规律,“2021”在第加行,从左往右数第w个,那么〃任〃=.
【思路点拨】
根据左起第一个数3,8,15,24…的变化规律得出第〃行左起第一个数为(n+1)2-1,每
一行数的个数为2〃+1,由此估算出2021所在的行数,以及所在行数的位置即可.
【解答过程】
解:(43+1)2-1=1935,
(44+1)2-1=2024,
/.2021这个数出现在第44行,左起第2024-2021+1=4个数.
.*.m=44,n=4,
;・m+n=44+4=48,
故答案为48.
10.(2021•蚌埠二模)观察下列等式:
第1个等式:12=1;
第2个等式:(1+2)』P+23;
第3个等式:(1+2+3)2=13+23+33;
第4个等式:(1+2+3+4)2=13+23+33+43;
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式:;
(2)写出第n(n为正整数)个等式:.(用含n
的等式表示);
(3)利用你发现的规律求1P+123+133牛…+1003值.
【思路点拨】
(1)根据题目中给出的等式的特点,可以写出第5个等式;
(2)根据题目中等式的特点,可以写出第〃个等式;
(3)结合(2)可以求出所求式子的值.
【解答过程】
解:(1)根据题意可知:第5个等式为:(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53;
故答案为:(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53;
(2)根据(1)可得:第"(〃为正整数)个等式为:(l+2+3+4+5+...+n)2=l*M3+33+43+53+...n3;
故答案为:(I+2+3+4+5+...+W)2=13+23+33+43+53+...»3;
(3)113+123+133+...+1003
=13+23+33+43+53+...1003-(13+23+33+43+53+...103)
=(1+2+3+...+100)2-(1+2+3+...+10)2
=50502-552
25499475.
11.(2021春•庐阳区校级期末)观察下列等式:
G111、G11zllx11/11、
①而"x(i-/;②G.Xq-J;③公—x(「)•••
根据上述等式的规律,解答下列问题:
(1)请写出第④个等式:
(2)写出你猜想的第〃个等式(用含有w的等式表示),并证明这个等式.
(3)应用你发现的规律,计算:
2
1X3+A3X5+A5X7+—7X9•••+——2019x-2021
【思路点拨】
(1)根据题目中的例子写出第④个式子即可;
⑵由所给的例子不难看出第,个等式为:声品丽亚岛-熹],把等式右边进
行运算即可证明;
(3)所求的式子先提取一个2出来,再利用发现的规律进行运算即可.
【解答过程】
解:(1)第④个等式为:木=->
故答案为:可="(》》;
111
⑵=(l-i),整理得:■);
(2xl-l)x(2xl+l)2x1-12x1+1
整理得1=iX(-11
(2X2-1)X(2X2+1)2'2;X2-12X2+1
111
③S(曰),整理得:=-x(■);
(2X3-1)X(2X3+1)2\2X3-12X3+1
11r11I
・••第〃个等式为:"X[罚一
(2九一1)(271+1)
证明:右边=3乂匕2n+l2n-l
(2n-l)(2n+l)(2n-l)(2n+l)
—_1v_2_n_+__l_-_2_n_+_l_
2(27l—1)(271+1)
=_X-----------
2(2n-l)(2n+l)
_1
一(271—1)(2?1+1)’
.,.左边=右边.
,.22222
⑶百+热+公+两+…+2019X2021
=2x+—+—+—+---)
1X33X55X77X92019x2021
1/i1.11,11.11,.11、
2335577920192021
=1--
2021
_2020
-2021'
12.(2023秋•福田区期末)如果我们要计算l+2+22+23+...+299+2i°°的值,我们可以用如下
的方法:
解:设1+2+22+23+...+2"+2100式
在等式两边同乘以2,则有2s=2+22+23+...+299+21。°+21°1式
式减去式,得25-5=2皿-1
即S=2101-1
BP1+2+22+23+...+2"+2100=2101-1
【理解运用】计算
(1)1+3+32+33+...+3"+3100
(2)1-3+32_33+...-3"+3100.
【思路点拨】
(1)利用题中的方法求出原式的值即可;
(2)根据题中的方法利用加法即可.
【解答过程】
解:(1)设S=l+3+32+33+...+3i°°,①
①式两边都乘以3,得35=3+32+33+...+31叫②
②-①得:25=3101-1,BP5=^—^
则原式=
2
(2)设S=1-3+32-33+...+3i°°,①
①式两边都乘以3,得3s=3-32+33-...+3101,②
②+①得:4S=3101+l,即5=①q101上I-1,
13.(2021春•干B江区校级期末)(1)填空:21-2°=2<\22-2!=2(\23-22
=2(>、...
(2)探索(1)中式子的规律,请写出第"个等式:;
(3)直接计算:22°0-2199_2198_...-22-2.;
(4)利用(2)中发现的规律计算:21000+21001+21002+...+22020+22021.
【思路点拨】
(1)通过计算即可填空;
(2)结合(1)中式子的规律,即可写出第〃个等式;
(3)根据(2)中式子的规律,即可计算;
(3)利用(2)中发现的规律计算即可.
【解答过程】
解:(1)2一2°=2°、22-21=2]、23-22=22,
故答案为:0、1、2;
(2)第w个等式:2"-2"-1=2"一1;
故答案为:2"-2"-1=2"%
(3)2200-2199-2198-...-22-21
=2'"-2198-...-22-21
=2198-...-22-21
=22-21
=2l
=2;
故答案为:2;
(4)21000+21001+21002+-|-22020+22021
(21001-21000)+(21002-21001)+(21003-21002)++(22022-22021)
1003100220222021
—21001_2iooo+2ioo2_21001+2-2++2-2
=22022_2100°
11
14.(2021•西城区校级开学)计算:逐节+4+…+2021
【思路点拨】
将各项化简然后提取2倍,再裂项相消计算即可.
【解答过程】
3.5+…+_______2021_______
解:原式=+1~4~52022
—X——X—X—--X-X—X...X--------
232342342021
12.12.,12
=-x-+-x-+...+——X-------
344520212022
zl1,11..11、
=2x(-X-+-X-+...+——X——)
344520212022
=2x1+—-A-)
344520212022
=2x
673
1011
15・(2021•西城区校级开学)G+1+-+盛)+(|+:+“,+£)+©+:+•••+嘉)
z20192019、2020
+...+[----1----)H----.
202020212021
【思路点拨】
先去括号通分,然后找规律计算即可.
【解答过程】
解:原式=3+詈+1+2+3+1+2+3+4++1+2+3+...+2020
452021
22222
1+2+3+4+…+2020
2
2020X(2020+1)
2
2
=505x2021
=1020605.
16.(2021•安徽模拟)观察下列图形与等式:
1x0+1=12
1x2+2=22
(1+2)X2+3=32
(1+2+3)x2+442
(l+2+3+4)x2+5=52
(1)观察图形,写出第(7)个等式:;根据图中规律,
写出第n个图形的规律:;(用含有n的式子表示)
(2)求出10+11+...+80的值.
【思路点拨】
(1)观察图形的变化可得第(7)个等式,进而可得第n个图形的规律;
(2)根据(1)中第w个图形的规律即可进行计算.
【解答过程】
解:(1)根据图形的变化可知:第(7)个等式为:(1+2+3+4+5+6)x2+7=72;
所以第w个图形的规律为:(l+2+3+...+w-1)x2+〃=/;
故答案为:(1+2+3+4+5+6)x2+7—72;(1+2+3+…+〃T)X2+H—H2;
(2)因为(1+2+3+4+...+80)x2+81=812,
(1+2+3+4+..+9)x2+10=102,
1+2+3+4+…+80=丫=3240,
1+2+3+4+...+9=空3=45,
2
所以10+ll+...+80=(1+2+3+4+...+80)-(1+2+3+4+...+9)=3195.
17.(2021•瑶海区二模)将围棋的白色棋子按如图所示的方式排列,图中的白色棋子被折
线隔开分成若干层,第一层有1个白色棋子,第二层有3个白色棋子,第三层有5个白色棋
子,第四层有7个白色棋子,…,以此类推,请观察图形规律,解答下列问题:
(1)第w层有个白色棋子,图中从第一层到第n层一共有个白色棋子;
(2)利用发现的规律计算:1921+1923+1925+...+2021的和.
oo
_O]OOIOoo
oo|opoO
oooloOO
ooooO0
oooo
oooooo
【思路点拨】
(1)根据已知数据即可得出每一小层白色棋子个数是连续的奇数,进而得出答案;
(2)利用前面的规律即可得出答案.
【解答过程】
解:(1)根据题意得,
第一层有2X1-1=1个白色棋子,
第二层有2X2-1=3个白色棋子,
第三层有2X3-1=5个白色棋子,
第四层有2x4-1=7个白色棋子,
二第〃层由2〃-1(个)白色棋子;
从第一层到第二层共有1+3=4=22个白色棋子;
从第一层到第三层共有1+3+5=9=32个白色棋子;
从第一层到第四层共有1+3+5+7=16=42个白色棋子;
,图中从第一层到第〃层一共有1+3+5+7+•••+(2H-1)=〃2(个)白色棋子;
故答案为:(2〃-1);〃2.
(2)1921+1923+1925+...+2021
=(1+3+5+7+-H-2021)-(1+3+5+74--+1919)
=10"2-9602
=100521.
18.(2021•丽山县一模)如图,下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.
第1个图第2个图第3个图第4个图第也个图
根据此规律,回答下列问题:
(1)第5个图中4个数的和为.
(2)a=;c=.
(3)根据此规律,第〃个正方形中,d=2564,则〃的值为
【思路点拨】
(1)观察图形可得第5个图中4个数,相加即可求解;
(2)由已知图形得出a=(-1)n-2nl,b=2a=(-1)"«2",c=b+4=(-1)"・2"+4,即
可求解;
(3)根据d=a+/?+c=5x(-1)"・2"-"4=2564求解可得.
【解答过程】
解:(1)第5个图形中的4个数分别是-16,-32,-28,-76
4个数的和为:-16-32-28-76=-152.
(2)a=(-1)
b=2a=(-1)"・2",
c=b+4=(-1),,«2,,+4.
(3)根据规律知道,若d=2564>0,
则”为偶数,
当”为偶数时。=2"一1,b=2n,c=2"+4,2nl+2n+2"+4=2564,
依题意有2"-1+2"+2"=2560,
解得n=10.
故答案为:-152;(-1)"•2"-1;(-1)"・2"+4;10.
19.(2023秋•海淀区校级期中)德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合,
做如下:
取一条长度为1
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