北师大版七年级数学上册专项复习：一元一次方程（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第五章元一次方程

课标要求

（1）经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效

的数学模型；

（2）了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及在解方程中的作用；

（3）会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想。了解一元一次方程解法的一般步

骤，并能正确、灵活应用；

（4）会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合

理；

（5）通过实践与探索，经历”问题情境一一建立数学模型一一解释、应用与拓展”的过程，体会数学建模

思想，提高分析和解决实际问题的能力；

（6）在学习和探索一元一次方程的解法和应用中，通过自主学习，提高学习能力，增强合作意识。

基础知识归纳

知识点1一元一次方程

1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；

标准式：ax+b=O（x是未知数，a^b是已知数，且aWO）；

2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值

知识点2等式的性质

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；

如果a=b,那么a土c=b±c;

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等;

如果a=b,那次么ac=bc;

­a二一b

如果a=b,c*0,那么cc.

知识点3含参一元一方程

1、次数含参：主要考察一元一次方程定义

2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题

3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数

知识点4解一元一次方程

解一元一次方程的步骤：

1.去分母

两边同乘最简公分母

2.去括号

(1)先去小括号，再去中括号，最后去大括号

(2)乘法分配律应满足分配到每一项

注意：特别是去掉括号，符合变化

3.移项

(1)定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；

(2)注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边.

4.合并同类项

(1)定义：把方程中的同类项分别合并，化成“ax=b”的形式(。中0)；

(2)注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变.

5.系数化为1

(1)定义：方程两边同除以未知数的系数a,得x=-

a;

(2)注意：分子、分母不能颠倒

知识点5：一元一次方程的应用

【题型1和、差、倍、分问题】

【题型2行程问题】

距离=速度•时间

【题型3工程问题】

工作量=工效X工时

工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量

【题型4顺水逆水问题】

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程

【题型5商品利润问题】

售价=定价；利润率=销售J1成本义100%利润问题常用等量关系：售价-进价=利润

成本

【题型6分配问题】

【题型7配套问题】

【题型8数字与日历问题】

【题型9方案选择问题】

【题型10分段计费问题】

【题型11隧道或过桥问题】

【题型12几何图形问题】

重要题型

【题型1方程及一元一次方程的定义】

【典例1-11下列各式中，是方程的是（）

A.7x-4=3xB.4x-6C.4+3=7D.2x<5

【典例1-2】下列方程中是一元一次方程的是（）

A.工___B.4^=24C.x+y=80D-；+2=6

60702x

【变式1-1】下列式子中，是一元一次方程的是（）

A.x+l=OB.x2-x=QC.x+y=lD.1-2=1

X

【变式1-1］在下列方程中，是一元一次方程的是（）

A.2xy=4B.1C.2x=0D.x+y=2

【题型2利用一元一次方程的定义求值】

【典例2】若（加-2）x心=5是关于x的一元一次方程，则机的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【变式2-1］若方程（a-2）卅7=a+3是关于x的一元一次方程，则a的值是（）

A.2B.-2C.±2D.±1

【变式2-2］已知关于x的方程3-（m+1）4词=0是一元一次方程，则机的值为（）

A.1B.-1

C.1或-1D.以上结果均不正确

【题型3方程的解】

【典例3】已知x=3是关于x的方程ax+2x-3=O的解，则a的值为（）

A.-1B.-2C.-3D.1

【变式3-1］已知x=-3是方程ax-6=a+10的解，则。=

【变式3-2］如果x=-1是方程x+a=3的解，则a=.

【变式3-3］若2是方程2a-3x=2的解，则a=

【题型4利用等式的性质变形】

【典例4】下列变形中，不正确的是（)

A.若a-3=6-3,则a=6B.若ac=bc,则a=6

C.若a=b,贝Ia-3=6-3D.若2则a=b

【变式4-1】运用等式性质进行的变形，不一定成立的是（）

A.如果a=0,那么ac=Z?c

B.如果a=0,那么3-2a=3-2。

C.如果/=2a,那么a=2

D.如果包上，那么4a=36

34

【变式4-2】下列运用等式性质正确的是（）

A.如果a=0,那么a+c=6-c

B.如果ac=bc,那么a=6

C.如果包=_L,那么a=b

cc

D.如果/=那么a=b

【变式4-3】下列说法正确的是（）

A.如果a=0,那么a+c=6-c

B.如果a=0,那么ac=6c

C.如果a=6,那么—_一^

x2-11x2-1

D.如果。=-5,那么〃+廿＞0

【题型5方程的解中遮挡问题】

【典例5】下面是一个被墨水污染过的方程:2%-2=3x+二七修，答案显不此方程的解是X--

2

1,被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）

A.1B.-1C.-1D.1

22

【变式5-1】下面是一个被墨水污染过的方程：2x-l=lx-«,答案显示此方程的解是％=

22

5,被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是()

3

A.2B.-2C.1D.-1

22

【变式5-2］下面是一个被墨水污染过的方程：2x」=3x+・，答案显示此方程的解是x=l,

3

被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是()

A.5B.-5C.二D.1

33

【变式5-3】下面是一个被墨水污染过的方程：2x-1=3x+★，答案显示此方程的解是x=-1,

2

被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是()

A.1B.-1C.-1D.1

22

【题型6解一元一次方程】

【典例6】解方程：

(1)3x+5=4x+l；(2)—X_J^X+5=AX_2.

844

【变式6-1】解方程：

(1)5尤+3=-lx-11；⑵智口号

【变式6-2】解方程：

(1)3(2x-7)=1-(x+8)；(2)3X+5_2X-1

2二3

【变式6-3］解下列方程:

(1)3(x-1)+5(%-1)=16.(2)3x-l_1=5x-7

46

【题型7根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】

【典例7】若2（a+3）的值与-5互为相反数，则a的值为（）

ATBc-4D.5

【变式7-1］若多项式3x+5与5x-7的值相等，则X的值为（）

A.6B.5C.4D.3

【变式7-21当x=—时，代数式2x-1的值与代数式3x+3的值相等.

【变式7-3］若代数式3a+l的值与代数式3（a-1）的值互为相反数，则a=—.

【题型8错解一元一次方程的问题】

【典例8］某同学解方程3x-l=Qx+3时，把口处数字看错后解得x=-2,那么他把口处看

成了（）

A.4B.-4C.5D.-5

【变式8-1】某同学在解方程5x-l=・x+3时，把■处的数字看错了，解得％=-9，则该同

3

学把■看成了（）

A.3B.-3C.-8D.8

【变式8-2】同学小明在解关于x的方程5x-4=（）》时，把（）处的数看错，得错

解》=-L则小明把（）处看成了—.

【题型9一元一次方程的解在新定义中运用】

【典例9】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，

如：方程2x=6和3x+9=0为“友好方程”.

（1）若关于x的方程3x+m=0与方程2x-6=4是“友好方程”，求机的值.

（2）若某“友好方程”的两个解的差为6,其中一个解为〃，求〃的值.

【变式9-1】定义一种新运算③：a0b=4a+b,试根据条件回答问题

（1）计算：2*（-3）=；

（2）若恺（-6）=30x,请求出x的值；

（3）这种新定义的运算是否满足交换律，若不满足请举一个反例，若满足，请说明理由.

【变式9-2］对有理数a,6规定新运算※的意义是：a^b=a+2b,则方程3佟尸2-x的解是

（）

A.1B.3C.-3D.」

33

【变式9-3】新华商店店庆促销，有一种新型书包，原价每个x元，第一次降价打八折，第二

次降价每个又减10元，经两次降价后售价为70元.则所列方程是（）

A.70-0.8x=10B.0.08%-10=70

C.0.8x-10=70D.x-0.8x-10=70

【变式9-4】新定义一种运算规定=-瓦若2^x=x^2,则x的值为.

【变式9-5】新定义一种运算符号'△工规定-3»已知2△机=6,则m的值为一.

【题型10和、差、倍、分问题】

【典例10］某班举行了“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班长安排张小明购买奖品，如图

两幅图是张小明买回奖品时与班长的对话情况：

请根据图1、图2的信息，解答下列问题：

（1）张小明买了两种笔记本各多少本？（说明：要求列一元一次方程解决问题）

（2）请你解释为什么班长说不可能找回68元钱.

【变式10-11A种饮料比3种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶3种饮料，一

共花了13元，如果设A种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是（）

A.2（尤-1）+3x=13B.2（x+1）+3x=13

C.2x+3(x+1)=13D.2x+3(x-1)=13

【变式10-2］方方同学用50元钱去购买笔记本和彩色水笔共20件，已知每本笔记本4元，每

支彩色水笔2元，设方方同学买了x本笔记本，则()

A.2x+4(20-x)=50B.2(20-x)+4x=50

C.2x+4(50-x)=20D.2(50-x)+4x=20

【变式10-3】青骄课堂2023年禁毒知识竞赛答题，共设20道选择题，要求每题必答，每答对

一题得5分，答错一题扣1分，小新一共得了82分，他答对了一道题.

【题型11行程问题】

【典例n】甲、乙两列火车分别从A、§两城同时相向开出，当两车相遇后，又继续前进，甲

车行了全程的2时，乙车恰好行了全程的_£这时两车相距364km.A、B两城相距多少千

35

米？

【变式甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程

缩短了40千米.已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的

平均速度.

【变式11-2】甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/

时：快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米时.设慢车

行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题.

(1)当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；

(2)当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程.

【变式11-31两辆汽车同时从相距300千米的两地相对开出，2小时后相遇.已知两辆车的速

度比是2：3,求较慢的一辆车每小时行驶多少千米？

2小时2小时

30（）千米

【题型12工程问题】

【典例12】整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然

后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先

安排多少人工作？

【变式12-1】学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来甲和乙两

名工人.已知甲单独完成需要4天，乙单独完成需要6天.

（1）两个人一起做需要天完成；

（2）现由乙先做1天，再由两个人一起做，还需要多少天可以完成这项工作？

【变式12-2】某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40/

刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷30源的墙面.

（1）求每个房间需要粉刷的面积；

（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需

要几天完成？

【题型13顺水逆水问题】

【典例13］两架飞机从同一机场同时出发反向而飞，甲飞机顺风飞行，乙飞机逆风飞行.已

知两飞机在无风的速度都是500千米每小时，风速是a千米每小时.

(1)甲、乙飞机飞行时的速度分别是多少？

(2)3小时后两机的行程分别是多少？

(3)求3小时后两机相距多远？

(4)3小时后，甲飞机比乙飞机多航行多少千米？

【变式13-11一架飞机在A,3两城市之间飞行，风速为20而防，顺风飞行需要8力，逆风飞

行需要8.5瓦求无风时飞机的飞行速度和A,3两城市之间的航程.

【变式13-2】在风速为24切防的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到3机场要用2.8〃，它逆

风飞行同样的航线要用3儿求

(1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速；

(2)两机场之间的航程是多少？

【变式13-31一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时.顺风飞行需要2小时，逆风飞行

需要3小时，求无风时飞机的速度.

【变式13-41一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时，逆风飞行

需要3小时.

（1）求无风时飞机的飞行速度;

（2）求两城之间的距离.

【题型14商品利润问题】

【典例14］某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好

为2600元，达两种节能灯的进价、预售价如表：（利润=售价-进价）

型号进价（元/只）预售价（元/只）

甲型2025

乙型3540

（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？

（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售

出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380

元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只.

【变式14-1】一件大衣按其进价提高50%后标价.由于季节原因，现以标价的七折售出，结

果仍盈利18元.这件上衣的进价是多少元？（提示：利润=售价-进价）

【变式14-21一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是

600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标

价是多少元？

【变式14-3】我校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每条

80元的价格购进了某品牌裤子500条，并以每条120元的价格销售了400条，商场准备采

取促销措施，将剩下的裤子降价销售.

（1）前400条裤子的利润是多少元？

（2）当每条裤子降价多少元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标？

【题型15分配问题】

【典例15】《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；

人出八，不足三.问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，

则差45元；每人出8元，则差3元.求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据

题意可列方程为（）

A.6x+45=8x+3B.6x+45=8x-3

C.6x-45=8x+3D.6x-45=8x-3

【变式15-1】我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每

人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两.问银子共有几两？设银子共有x两，则可列

方程为（）

A.7x+4=9x-8B.lx-4=9x+8C.D.

7979

【变式15-2】近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活.某快递分派站现有包裹若干件需

快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，

设该分派站有x名快递员，则可列方程为（）

A.10x-6=12x+6B.10x+6=12x-6

Cx-6_x+6Dx+6_x_6

•10=12・10=12

【变式15-31某学校有x间男生宿舍和y个男生，若每间宿舍住8个人，则还多4个人无法

安置；若每间宿舍安排10个人，则还多6张空床位，据此信息列出方程，下列4个方程中

正确的是（）

①8x-4=10x+6；②上宜H；③Ztl上3@8x+4=10x-6.

810810

A.①③B.②④C.①②D.③④

【变式15-4】为了阻断新冠疫情传播，疫情居家期间，居民购买的蔬菜包由志愿者统一派送.若

每位志愿者派送8个蔬菜包，则少5个；若每个志愿者派送6个，则剩下4个未送，设安

排x个志愿者派送，则下面所列方程中正确的是（）

A.8x-5=6x+4B.8x+5=6x+4C.8x+5=6x-4D.8x-5=6x-4

【题型16配套问题】

【典例16】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调

整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人.

（1）求调入多少名工人；

（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2

个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？

【变式16-1】现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料

可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套.设用x立方米的木料做桌子，则依

题意可列方程为（）

A.4%=5（90-x）B.5x=4（90-x）

C.x=4(90-x)X5D.4%X5=90-x

【变式16-2】某车间有28名工人生产螺丝和螺母,每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母,

现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套.为求x,可列方程（）

A.1200%=1800（28-%）B.2X1200%=1800(28-%)

C.2X1800=1200（28-%）D.1800%=1200(28-%)

【题型17数字与日历问题】

【典例17］观察下列三行数：

-24-8-16-3264...①

-1248-1632...②

0'6-6'18-3066...③

（1）第①行数中的第〃个数为（用含〃的式子表示）;

（2）取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于-318?如果能，求出7/的值；如果不

能，请说明理由;

（3）如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数之和为-156,

求方框中左上角的数.

【变式17-1】一个两位数，个位数字与十位数字的和是9,若将它的个位数字与十位数字对调,

则所得的新数比原两位数大9,求原来的两位数是多少？

【变式17-2】表中给出的是某月的月历，任意选取型框中的7个数（如阴影部分所示）,

请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（）

A.63B.84C.96D.105

【题型18方案选择问题】

【典例18】甲，乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价40元,

乒乓球每盒定价5元.而甲，乙两店的促销方案不同，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球,

乙店全部按定价的九折优惠.该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）.

（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？

（2）若购买15盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪一家商店购买？为什么？

【变式18-1】为抗击新冠肺炎疫情，某药店对消毒液和口罩开展优惠活动.消毒液每瓶定价

10元，口罩每包定价5元，优惠方案有以下两种：①以定价购买时，买一瓶消毒液送一包口

罩；②消毒液和口罩都按定价的80%付款.现某客户要到该药店购买消毒液30瓶，口罩x包

（尤>30）.

（1）若该客户按方案①购买需付款—元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买

需付款—元（用含x的式子表示）；

（2）若x=50时，通过计算说明按方案①，方案②哪种方案购买较为省钱？

（3）试求当x取何值时，方案①和方案②的购买费用一样.

【变式18-2］在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案.

方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；

方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元.

设交费时间为x个月，方案一的购买费和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费和垃圾处

理费共为N元.

（1）分别用x表示N；

（2）若交费时间为12个月，哪种方案更合适，并说明理由.

（3）交费时间为多少个月时，两种方案费用相同？

【变式18-3］按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批排球和跳绳，经

过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根.某体育用品商店提供A、3两种优惠方案

（顾客只能选择其中一种方案）：

A方案：买一个排球送一根跳绳；

B方案:排球和跳绳都按定价的90%付款.

已知要购买排球50个，跳绳x根（x>50）.

（1）若按A方案购买，一共需付款—元；若按3方案购买，一共需付款一元；（用

含x的式子表示）

（2）购买多少根跳绳时，A、3两种方案所需要的钱数一样多？

【变式18-4］随着5G时代的来临,张老师换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐.运

营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费0.4元/G&第二种

是没有月租费，但流量资费0.6元/G3.设张老师每月使用流量xGB.

（1）张老师按第一种套餐每月需花费一元，按第二种套餐每月需花费—元；（用含X

的代数式表示）

（2）若张老师这个月使用流量200GB,通过计算说明哪种套餐比较合算；

（3）张老师每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？

【题型19分段计费问题】

【典例9】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的

目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，加表示立方米）：

价目表

每月用水量单价

不超出6m3的部分2元/机3

超出6加不超出10m3的4jE/m3

_______部分

超出10m3的部分87C/m3

请根据上表的内容解答下列问题：

（1）填空：若该户居民2月份用水4/，则应收水费一元；

（2）若该户居民3月份用水8/，则应收水费多少元？

（3）若该户居民4月份用水卬疗（其中则应收水费多少元？（用含。的代数式

表示，并化简）；

（4）若该户居民5月份的水费为36元，则5月份的用水量是多少立方米？

【变式19-1】“水是生命之源”，某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取

水费：

用水量/月单价（元/加）

不超过20m32.8

超过20疗的部分3.8

另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费

（1）根据上表，用水量每月不超过20V,实际每立方米收水费一元；

如果1月份某用户用水量为19m3,那么该用户1月份应该缴纳水费一元；

（2）某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2