北师大版九年级数学上册压轴题：期中测试压轴题考点训练（1-4章）（解析版）

期中测试压轴题考点训练(1-4章)

一、单选题

1.如图是由一些棱长为1的小正方体搭成的几何体的三视图.若在所搭几何体的基础上(不

改变原几何体中小正方体的位置)，继续添加相同的小正方体，以搭成一个长方体，至少还

需要小正方体的个数为()

年且

主视图左视图

<

俯视图

A.24B.25C.26D.27

【答案】C

【分析】首先根据该几何体的三视图确定需要的小立方块的块数分布情况，然后确定搭成一

个大长方体需要的块数.

【详解】解：由俯视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1

小立方体，其小正方块分布情况如下：

俯视图

那么共有7+2+1=10个几何体组成.若搭成一个大长方体，共需3x4x3=36个小立方体，所

以还需36-10=26个小立方体.

故选C.

【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方

面的考查.如果掌握口诀"俯视图打地基,主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

2.某厂今年3月的产值为40万元，5月上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率

是多少？若设平均每月增长的百分率为x,则列出的方程是()

A.40(l+x)=72B.40(l+x)+40(l+x)2=72

C.40(l+x)x2=72D.40(l+x)2=72

【答案】D

【分析】可先表示出4月份的产值，那么4月份的产量x(1+增长率)=5月份的产值，把相

应数值代入即可.

【详解】4月份的产量为40x(1+x),5月份的产量在4月份产量的基础上增长X,为40x(1«)

x(1+x),则列出的方程是40(1+x)2=72.

故选D.

【点睛】本题考查了求平均变化率的方法.若设变化前的量为。，变化后的量为6,平均变

化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1+r)2=b.

3.如图，在中，a4cB=90。，分别以其三边向外作正方形，过点C作CA0AB交

于点K,延长即交AG于点L若点工是AG的中点，4RC的面积为20,则CK的值

为()

A.4B.5C.2A/5D.475

【答案】B

【分析】延长KC交于点分别延长〃/、CK,并相交于点N,连接。N；根据正方形

和平行线的性质，得NCAM=ZABL,通过证明△BC4s△乙针，根据相似三角形性质得

CA=2CB,结合题意计算得CB、CA；通过证明ANTCsEa,得w=C£>,根据矩形性

质，得IK=DK,再根据直角三角形斜边中线和勾股定理的性质计算，即可得到答案.

【详解】如图，延长KC交A8于点M,分别延长HI、CK,并相交于点N,连接DN

根据题意，得四边形4BFG、BCDE、AH/C均为正方形

田AD//LE,HIIIAC,NGAB=NHIC=900,AG=AB,IC=CA,CD=CB

^1ZCAM=ZABL

回妫C3=90°

团Z\5C4s

CBAL

团---=----

CAAB

团点£是人6的中点

CBAL1

团==一

CAAB2

团C4=2C5

团AABC的面积为20

a|cAxCB=20,即G4xCB=40

^\2CBxCB=40

0CB=2A/5

aCD=CB=2非

团CA=46

团/C=CA=4行

^ZMCB^ZABC=90°

RZICN=ZMCB,ZCAB-^-ZABC=90°

^\ZICN=ZCAB

团N印。=90。

^IZNIC=180°-ZHIC=90°

0ANICSRCA

INCB

田——=

ICCA2

SlN=—=2y/5,0IN=CD=2下

2

EINN“7=9O°,HIIIAC,BPHN//AD,回四边形CZMD为矩形

回点K为矩形Cn®对角线交点，SIK=DK

S\ZICD=ZACB=90°

SCK=-ID=-V/C2+CO2=5,故选：B.

22

【点睛】本题考查了平行线、正方形、矩形、直角三角形、相似三角形的知识；解题的关键

是熟练掌握相似三角形、直角三角形斜边中线、正方形、勾股定理的性质，从而完成求解.

4.如图1,点尸从菱形ABC。的顶点A出发，沿A-ZXB以lcm/s的速度匀速运动到点3,

图2是点尸运动时，AEBC的面积(cm?)随时间x(s)变化的关系图像，则“的值为()

As/cm2

AFD

K.

BCo]aa+5x/s

图1

图2

4C.小1D.空

A.5B.

26

【答案】D

【分析】通过分析图像，点/从点A到。用as,此时，AFBC的面积为2a,依此可求菱形

的高。E,再由图像可知BD=5,应用勾股定理分别求BE和a即可.

【详解】解：过点。作DE^BC于点E,

AD

上

BEC

由图像可知，点/由点A到点。用时为as,△FBC的面积为2tzcm2.

她。=°

^DE-AD=2a

回£>4=4

点方从。到8,用了5s

国3。二5,

Rt^DBE中，

BE=yjBD2-DE2=/52-42=3,

0ABCD是菱形，0EC=a-l,DC=a

耳△DEC中,a2=42+(a-3)2

解得的乡25.

6

故选D.

【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图像性质，解答过程中要注意函数图像变化与

动点位置之间的关系是解题的关键.

5.如图，点尸是菱形对角线3D上一动点，点E是线段BC上一点，且CE=43E,连接昉、

CF,设8尸的长为无，EF+C〃=y，点E从点8运动到点D时，＞随天变化的关系图象，

图象最低点的纵坐标是（）

A.-B.■'^5C.4&D.

55

5月

F

【答案】B

【分析】由函数图象可知：BC=5,BD=6,连接4c交2。于点。，连接物，证明当A,E,

12

F三点共线时，y取最小值为AE,作交于点P,利用EPCS^BOC求出腓=二,

PC=J,进一步求出AP=m再利用勾股定理即可求出AE.

【详解】解：由函数图象可知：当尸与2重合时，EF+CF=y,^BE+BC=y=6,

41

0CE=45E,EBC=5,CE=—BC=4,BE=—BC=1,

55

当B与。重合时，BD=6,

连接AC交8。于点O,连接以，

C

0A2CO是菱形,

a4c和互相垂直平分,

SFC^FA,

团EF+CF=EF+FA=AE,

当A,E,尸三点共线时，y取最小值为AE,

作交于点P,

0BC—5,BD=6,

0OC=4,

0EP〃BD,

国EPCs/\BOC,

EPPCEC口门EPPC4

团---=---—即——=——=—

BOOCBC'345，

…12「16…c1624

团"二——，PC=—,AP=S——=

555y

^AE=yjEP2+AP2

故选：B

【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，解题的挂件是根据函

数图象求出BC=5,BD=6,再证明当A,E,尸三点共线时，y取最小值为AE.

6.如图，尸为等腰Rt^ABC的斜边4B上的一动点，连接CP,AF1CP,BELCP,垂

足分别为点及F,己知AC=4,以下结论错误的是（）

A.CE=AFB.若CF=FP,则所=

C.EF=AF-BED.若=时，ZAFB=135°.

【答案】D

【分析】先证明△ACF四△CBE,可得CE=AF,CF=BE,可判断A,C选项；当CF=FP

A尸f—

时，AP=AC=4,可得=-4，再根据△4/方—㈤石，可得中=.2+1,从而得

BE

?\EFAF_RFAFr-

至u——二—~l=y/2,可判断B选项；当ZAFB=135。时，△BEF是等腰直角三角

BEBEBE

形，可得EF=BE=CF,从而得至!JAF=2B石，再由△AP尸,可判断D选项，即可.

【详解】解：等腰Rt^ABC中，AC=BC,ZACB=90°9

SZACF+ZBCE=90°,

国AFLCP,BE1CP,

0ZAFC=ZE=9O°,

0ZACF+ZC4F=9O°,

^1ZBCE=ZCAF,

SZkACF^ACBE,

•.CE=AF,CF=BE,故A选项正确，不符合题意；

国EF=CE—EF=AF—BE,故C选项正确，不符合题意;

当Cb=fP时，AP=AC=4,

^AB=y/AC2+AB2=4y/2，

团5尸=4忘一4，

回AFLCP,BE1CP,

团AF〃鹿，

孤APFsBPE,

,BE_BP

AF~AP4

AF1r-.

即标=FT忘+1'

EFAF-BE

=-------1=A/2+1—1=-y/2,

BE~BEBE

EF=42BE＞故B选项正确，不符合题意;

当ZAFB=135。时，ZEFB=45°,

此时ABEF是等腰直角三角形,

SEF=BE=CF,

■.CE=2BE,

即AF=2BE,

B^APF^^J3PE,

,BEBP1

AP=2BP,故D选项错误，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三

角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直

角三角形的判定和性质是解题的关键.

7.在矩形ABC。中，BC=2,DC=屈,取A。中点E,连接80、BE,将ABOE沿BE翻

折至ABEF,过点A作AG^BF于G,则AG的值为（）

【答案】C

【分析】连接并延长BC交。产于点M,根据等腰三角形三线合一得出EM0£»F,FM=

DM,利用勾股定理求出3E,再根据442比劭〃汨得出EM,连接AE根据是AA。尸的

中位线得出AF,利用勾股定理求BG,再用勾股定理得出AG即可.

【详解】解：连接。尸并延长BE交。产于点M,如图所示，

BC

豳BDE沿36翻折得到△3跖，

⑦BF=BD,aFBE=aDBE,

团3M为等腰三角形尸5。的中线，高线，角平分线,

由EMHDF,FM=DM,

WC=AD=2,E为AO的中点，

^\DE=EA=1,

国BD=JBC2+CD2=瓜,

^BE=^AB2-^-AE2=V3，

^1BAE=BDME=9O\^\AEB=^MED,

^\BAE^DME,

BAAEBE

p?j_____—_____—_____

DM-ME-DE'

即正=J_=@,

DMME1

EDM=—,ME=—,

33

连接AF,

回〃是。尸的中点，E是4。的中点，

I3ME是AA。尸的中位线，

S\ME=-AF,

2

EAF=2ME=—,

3

SBD=BF=y/6.,

设BG=x,则八7="一了，

由勾股定理得：BA2-BG2=AF2-FG2=AG2,

4r-

即2-d=--（V6-x）2,

解得x=地，

9

回AG12—（还^二述,

V99

故选：C.

【点睛】本题主要考查图形的翻折，矩形的性质，三角形的中位线，等腰三角形三线合一,

勾股定理等知识点，熟练应用三角形形似得线段比例求值是解题的关键.

8.如图有两张等宽的矩形纸片，矩形不动，将矩形ABC。按如下方式缠绕：如图所

示，先将点B与点E重合，再先后沿FG、E”对折，点A、点C所在的相邻两边不重叠、

无空隙，最后点。刚好与点G重合，则图中45=14,则PG的长度为（）

An

A.12B.10C.7A/2D.7否

【答案】B

【分析】先证明0ABA函结合折叠性质证得aBMN为等边三角形，再证明丽尸MEBGHP

得到仇0=尸打，设BN=a,AN=b,可求得EH=2a+b,AD=3a+b,在0A2N中，利用含30。的直

角三角形的性质可得到。=2b,进而可求得EH=56,AD=7b,由A£>=14可求得b=2,进而求

得EH即可求解.

【详解】解：如图，

A

回两张纸片是矩形且等宽,

SAB=EF^HG,EH=FG,SF=^ABM^FBH^H^0°,BMSNQSiPG,EHB\FG,

SS\ABN+^NBM=^\FBM+^NBM=90°,

^S\ABN=^FBM,

^EABNSEFBM(ASA),

0BN=BM,

由折叠性质得：MN=NQ=PQ,BN=MQ=NP,

@BN=BM=MN,贝腼BMN是等边三角形，

EHNBM=60°,贝l]MBM=0ABN=3O°,

S\BM5\NQS\PG,EHSFG,

^HPG^NBM^FMB,5U3\F^H^0°,BF^HG,

WFMSSGHP(A4S),

SFM=PH,

设BN=a,AN=b,

则EH=2a+6,AD=3a+b,

在0ABN中，0A8N=3O。，BA=90°,

则8N=2AN,即。=26,

国EH=5b,AD=7b,

0AD=14,

勖=2,则EH=10,

^FG=EH=W,

故选B

【点睛】本题考查折叠性质、矩形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性

质、含30。的直角三角形的性质、平行线性质等知识，理解折叠过程，找准对应边的关系，

证得aBMN为等边三角形是解答的关键.

9.如图，点P,Q分别是菱形ABCD的边AD,BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为

875,最小值为8,则菱形ABCD的边长为()

D

B

A.4瓜B.10C.12D.16

【答案】B

【分析】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ0BC时，PQ的

值最小，利用这两组数据，在Rt回ABQ中，可求得答案.

【详解】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，PQ=8也

D

当PQI3BC时，PQ的值最小，回PQ=8,[3Q=90°,

在RtZkACQ中，CQ=«8⑸-8?=16.

在RtAABQ中，设AB=BC=x,则BQ=16-x,

IBAQ2+BQ2=AB2即82+(16-x)2=x2,解之：x=10.

故答案为：B.

【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ

最大和最小的情况.

10.如图，在YA3CD中，点E、F在BC的延长线上，连接AE、DF,AE//DF,则下列式

子错误的是（）

CECGEGCGEGCECEEG

A.-----=-----B.-----------C-----=-----D.-----=-------

ADGDDFAB•DFBECBDF

【答案】D

【分析】先根据题目意思证明ACEG〜AZXG,根据相似得到线段的比例，再证明

△CEG〜NCFD,利用相似三角形的性质即可得到答案.

【详解】解：回四边形ABCD是平行四边形，点E、F在BC的延长线上,

^ZDAE=ZBEA,ZADC=NFCD,CD=AB,

SACEG-ADAG,

CECG,,一红

回正=而‘故A正确;

又回AE//DF,

SZAEB^ZDFB,ZEGC=ZFDC,

SACEG-ACFD,

「EGCG

团----=-----,

DFCD

又IBCD=AB,

EGCG,心—

回加=商’故B正确;

又由题意可知四边形AEFD是平行四边形,

回AD=EF=BC,

ECF=BE,

y^\CEG~\CFD,

EGCE

团----=-----,

DFCF

故：彘FG二C笠F（等量替换），故c正确;

DFBE

不能得到mCF=为FG，故D错误,

CBDF

故选D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握判

定方法与熟记相关性质是解题的关键.

二、填空题

11.如果x2-2x-m=0有两个相等的实数根，那么x2-mx-2=0的两根和是.

【答案】-1

【分析】本题是一元二次方程根的判别式和根与系数关系的综合试题，本题可以通过根的情

况求出m的取值，然后利用根与系数的关系求解即可.

【详解】取J2x-m=0有两个相等的实数根，

H3=b2-4ac=0,

即（-2）2-4x（-m）=0,

解得m=-l,

所以方程x2-mx-2=0为x2+x-2=0,

则两根的和是一1，

故答案为：一L

【点睛】此题考查根的判别式和根与系数的关系，解题关键在于掌握运算公式.

12.如图是由几个相同的小正方体组成的几何体，从三个方向看到的图形如下，则组成该几

从正面看从左面看从上面看

【答案】6

【分析】根据主视图和左视图确定每个位置小正方体的个数，即可得出结果.

【详解】解：根据俯视图定位置，主视图和左视图确定个数，可知每个位置上的小正方体的

从正面看从左面看从上面看

团组成该几何体的小正方体有：1+1+3+1=6个；

故答案为：6.

【点睛】本题考查根据三视图确定几何体中小正方体的个数.熟练掌握俯视图定位置，主视

图和左视图确定个数，是解题的关键.

13.如图，中，AB=AC,尸是延长线上一点，C/W1P干凡D,E分别为8c和

AC的中点，连EDEF,若0APB=4O。，则盟）度.

A

【答案】100

【分析】根据邻补角的性质可得回3b二团。尸尸+团尸二130。，再根据三角形中位线定理得到

DE//AB,则团皮然后由直角三角形的性质得到成三EC,得至胆瓦下二团及C最后

结合图形计算即可.

【详解】解：团"IMP,0APB=4OO

团团3C尸二团。尸尸+回尸=130°,BP0EC£>+0ECF=13O°

0AB=AC

函A5CM3AC5,

团。、E分别为3。和AC的中点

国DE//AB

瓯EOO0A3C

^\EDC=^\ACB

^\DEC=180°-2^ACB

团。加4尸，E为AC的中点，

0EF=EC,

mECF=^\EFC

WCEF=180°-2^ECF

^1DEF=BDEC+^CEF=180O-2^ACB+180O-2^ECF=360O-2X13Q=W0O.

故填100.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角

形内角和定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键.

14.若关于x的方程-5.+6)尤2_(3-"?)》+!=0无解，则m的取值范围是____.

4

【答案】m>3

【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①苏-5m+6=0时，有-(3)=0此时方

程无解，可求出m的值；②加2-5m+630时，由根的判别式/<0,即可求出m的取值范

围.

【详解】解：根据题意，

国关于x的方程(w2—5m+6)尤2—(3—ni)xH—=0无解，

①当川-5m+6=0时，则原方程是一元一次方程，即-(3-m)x+；=。；

m2-5m+6=0

则有:解得：m=3；

—(3-m)=0

②当/-5,〃+6w0时，则原方程为一元二次方程，12g3,机W2,

13A=[-(3-//?)]2-4x(m2-5/n+6)x—<0,解得：zn>3；

4

综合上述，m的取值范围是〃让3；故答案为：m>3.

【点睛】本题考查了方程无解问题，根的判别式求参数的取值范围，以及解一元二次方程,

解题的关键是熟练掌握方程无解问题，注意运用分类讨论的思想进行解题.

15.已知点A&,%),凤孙％)在双曲线>=:(左>。)上，且满足何+3=3,住+劣=3.若

(另+1)(%+1)=14,则后=

【答案】A/10

【详解】试题解析：根据题意可知：4(菁,弘),3(々,％)是双曲线，=：与一次函数版+k3的

两个交点，联立方程消去尤得，y2-3y+k2=0.

kx+y=3,

由韦达定理得，%+%=3,%%=%\

(%+1)(%+1)=%%+X+%+1=14.

左？+3+1=14.k=±J10.

­.•^>o.：.k=故答案为回.

16.如图，在RtZXABC中，NBAC=90°,AB=8,AC=6,以BC为一边作正方形BOEC设

正方形的对称中心为。，连接A。，则A0=.

【答案】7立；

【分析】连接AO、BO、CO,过。作FOMO,交AB的延长线于F,判定EIAOCEHFOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,进而得到AF=8+6=14,EFAO=45",根据AO=AFxcos45°进行计算

即可.

【详解】解：连接A。、BO、CO,过。作FOEIAO,交AB的延长线于F,

00是正方形DBCE的对称中心，

0BO=CO,0BOC=9O°,

0FO0AO,

00AOF=9O°,

EEBOC=0AOF,

1P0AOC+EIBOA=0FBO+EBOA,

00AOC=0FBO,

EEBAC=90°,

团在四边形ABOC中，0ACO+0ABO=18O°,

EEFBO+0ABO=18O",

EBAC0=[3FB0,

在回AOC和EIFOB中，

ZAOC=ZFOB

<A0=F0,

ZACO=ZFBO

00AOC00FOB(ASA),0AO=FO,FB=FC=6,

I3AF=8+6=14,E1FAO=EIOFA=45°,

EIAO=AFxcos450=14x与=1也.故答案为7行.

【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线

来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算.

17.如图，在菱形ABCD中，/3=60。，E,H分别为A3,BC的中点，G,尸分别为线

段HD,CE的中点.若线段的长为8,则FG的长为.

D

【答案】2x/3

【分析】连接CG并延长，交相）于点M,连接根据菱形的性质证明△MGD丝ACG”,

再根据三角形中位线定理可得尸G=；EM,在△AEM中，根据等腰三角形的性质、30度角

的直角三角形性质以及勾股定理可求出ME的长度，即可求出FG的长度.

【详解】解回连接CG并延长，交AD于点连接£M,

团四边形ABCD为菱形，NB=60。，AB=8

^AD//BC,AB^BC=AD=8,

EZA=120°,ZDMG=ZHCG,

回点G为HD的中点，

BHG=DG,

0NMGD=/CGH,

回AMGD^ACGH(AAS),

^MG=CG,MD=CH=-BC=-AD,

22

团点G为MC的中点，点M为的中点，

EF,G分别为CE和CM的中点，

EIFG是ACEM的中位线，

0FG=-EM,

2

BE,M分别为AB和AO的中点，

SAE=AM=4,

回/A=120°,

^\ZAEM=ZAME=30°,

过A作AOLEN于点O,

SAE=AM^4,

^AO=-AE=2,EM=2EO,

2

根据勾股定理，得EO=7AE2-A(92=2A/3，

HEM=2EO=45/3,

又FG=LEM,

2

0FG=273.

故答案为：2上.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角

形的判定与性质等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质.

18.如图，正方形A3CD中，E为其外面一点，且/AEB=45。，AE,BE分别交8于歹，

G,若CG=3,FG=1,则AF=.

【答案】2M

【分析】作AHL3G交BG于点/,交BC于点H,连接打，延长CB至点J,使B7=。/，

连接利用十字架模型证AAB"三ABCG(ASA),得BH=CG=3.由

ZAEB=45。得ZHAF=45。.利用SAS证明AA7H三AAFH(半角模型)，推出阳=~,

设正方形ABCD的边长为x,利用勾股定理解RtAFCH即可求出x,进而利用勾股定理求AB.

【详解】解：如图所示，作AHL8G交BG于点/,交BC于点、H,连接HE延长CB至点

J,使BJ=DF,连接JA.

团四边形ABCD是正方形，

0ZABC=Z1+Z2=9O°,AB=BC,

国AH_LBG,

回N3+N2=90。，

0Z3=Z1,

在AA5H与A5CG中,

Z=/l

<AB=BC,

/ABH=NBCG

团AABH=AfiCG(ASA),

©BH=CG=3.

国AHLBG,ZAEB=45°f

回ZHAF=900-ZAEB=45°.

团N4+N3=90。—ZH4/=45。.

在AADF与AABJ中，

AD=AB

<ZADF=NABJ,

DF=BJ

团AADF=AABJ(SAS),

国N4=N5,AF=AJ,

回N3+N5=45。，即ZMH=45。，

在AA〃7与中，

AJ=AF

</JAH=ZFAH,

AH=AH

团AV"工AAFH(SAS),

@JH=FH,

设正方形ABCD的边长为x,

则D尸=£>。一。6—尸6=X一3—1=了-4,CH=BC-BH=x-3,

@FH=JH=JB+BH=DF+CG=x—4+3=x—l,

在RtAFCW中，FH2=尸C?+CH2,

回(I)?=(3+1)2+(X-3)2,

解得x=6,

0AD=6,£>F=6-4=2,

HIAF=7AD2+DF2=>/62+22=2M-

故答案为：2a.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，用到了十字架模

型、半角模型，有一定难度，正确作辅助线，熟练运用几何模型是解题的关键.

19.已知a、b是方程2x2-2x-1=0的两个根，则2/+°+36的值是.

【答案】4

【分析】根据根与系数的关系得a+b=l,因为a为方程的解，根据解的定义得2aJ2a-l=0,两

式结合即可求解.

【详解】解：由题意知，a+b=l,2x2=2x+l,即2a2=2a+l,

02a2+a+3b=2a+l+a+3b=3(a+b)+l=3xl+l=4.

故答案为4.

【点睛】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，掌握用根与系数的关系与代数式

变形相结合进行解题是解答此题的关键.

20.如图，四边形ABCD,AO〃BC,对角线8£>_LBC,NBDC=45°,点E为AB上一点，

BE=BD,连接CE并延长交8。于点E交ZM延长线于点G,AD=8,BF=9,则AG的长

为.

【答案】2

【分析】首先证明3D=3C=8E,再证明AG=AE,设。F=x,运用勾股定理可得

AB=&+18x+145，从而得4G=,心+18尤+145—(9+x)，证明AG£>尸〜△CB/，根据相

似三角形的性质可得炉+18尤=144,从而可求出A3,2。的值，进一步得出结论.

【详解】解：^\DB.LBC,

=90°,

团回BDC=45°,

配18co=45°,

⑦NBDC=NBCD,

田BD=BC,

团BE=BD,

团BE=BD=BC,

质BEC=/BCE,

^\AEG=ZBECf

幽BCE=NAEG,

RGD〃BC,

团团G=NBCE,

回团G=NAEG,

团AG=AE,

设。斤=%,・・・BF=9,

团BE=BD=BC=9+x,

^AD//BC,

00ADB=ZCBD=90°,,

在HrAAD3中，AD=8,BD=9+xf

SAB=yjAD2+BD2=褥+(9+4=Jd+18x+145,

EIAG=AE=Jd+i8x+145-(9+x),

^GD=AG+AD=8+&+18x+145-(9+x)=7^+8%+145-(1+x)，

SGD//BC,

^GDF~\CBF

2

GD_FDA/X+18X+145-(1+X)尤

M—,Kp--------------------------------------------=—9

BCFB9+x9

整理，得：&+18彳+145=八片9

2

n(x+18^+9?

Ex2+18^+145=---------------

81

设"V+i8x,则上式变形为：

.._厂+18f+81

Z+145=---------------

81

解得，「1444=一81(舍去)

EX2+18X=144,

EAB=7144+145=7289=17，

^BP=y/AB2-AD2=V172-82=15，

E19+x=15,

0x=6

团AG=AE=17—(9+6)=2.

故答案为2.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质,

证明^GDF〜ACBb是解答本题的关键.

21.如图，E、F是口ABCD的边AD上的两点，EIEOF的面积为4,I3B0C的面积为9,四边形

ABOE的面积为7,则图中阴影部分的面积为.

BC

【答案】10

【分析】将国ECD向左平移，使CD边与AB边重合，已知SAEFOEISABOC=4[39,且EIEFOEEICBO,

根据相似三角形的性质可得BO：OF=3E2,从而得OFElBF=2ia5,继而得O'FEIBF=2回5,所以

SAE,F,O,0SAE,BF=4EI25,再由回E'F'O'的面积为4,可得5\£,"=25,再求得S四边彩OFAB=10,由S四边

形FOCD=S四边形O'F'AB即可得图中阴影部分的面积.

【详解】如图，将回ECD向左平移，使CD边与AB边重合，

团BO：0F=3团2,

国OF国BF=2回5,

回OF回BF=2回5,

0SAE,F,O,0SAE,BF=4[2]25，

团S@BF=1x4=25,

团S四边形0下7\8=25-2*4-7二10，

团S四边形FOCD=S四边彩O'F'AB=10.

故答案为：10.

【点睛】本题为相似三角形和平行四边形的综合题，利用平移的性质做出辅助线是解题的关

键.

22.如图，四边形ABCP是边长为4的正方形，点E在边CP上，PE=1；作EfMC,分别

交AC、AB于点G、F,M.N分别是AG、8E的中点，则的长是.

【答案】2.5

【分析】先判断四边形BCEF的形状，再连接尸加、FC,利用正方形的性质得出A"G是等

腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出MN=；PC即可.

【详解】回四边形ABCP是边长为4的正方形，EF//BC,

回四边形3CEF是矩形，

回PE=1,

ECE=3,

连接FM、FC,如图所示：

回四边形是正方形，

0ZBAC=450,AAFG是等腰直角三角形,

IBM是AG的中点，即有AAf=MG,

^FMLAG,ARV/C是直角三角形,

又回N是尸C中点，MNJFC,

2

^FC=4BF1+BC1=5

回MV=2.5,

故答案为：2.5.

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的

关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解.

EF5

23.矩形ABCD中，E、F、G分别为边AD、AB、BC上一点，且AF=4,BF=3,——=—,IUEFG=135°,

GF3

则线段AE的长为

【答案】572-4

【分析】在AB上作AH=AE,BI=BG,易知AAHE与ABIG是等腰直角三角形，易证变闻叫至,

设AE=x,利用等腰直角三角形性质与相似三角形性质，用X表示出IB与FI,列出方程

IB+FI=FB=3,解出x即可

【详解】在AB上作AH=AE,BI=BG,如图

易知AAHE与ABIG是等腰直角三角形

故13AHE=45°,又因为I3AHE=EIHFE+I3HEF

因为EIEFG=135°,所以EIHFE+固FG=45。

得至胆IHEF=EIIFG,又EIGIF=[aEFG=1.35°

所以△GIFEBFHE

dFEFEH5

贝I]有——=——=——=-

IGGFFI3

333

故设AE=x,贝(JHE=岳，HF=4-x,IG=-(4-x),IB=-^(4-x),Fl=-V2x

因为FB=3,所以+512(4-x)=3,解得x=5行-4

【点睛】本题主要考查相似三角形性质与等腰直角三角形性质，属于较难题型，本题关键是

能够构造出相似三角形

24.在正方形ABCD中，AB=6,连接AC,BD,尸是正方形边上或对角线上一点，若PD

=2AP,则AP的长为.

【答案】2或或回-◎

【分析】根据题意分情况画出符合题意的图形，然后针对每一个图形利用勾股定理进行求解

即可得到答案.

【详解】解:田四边形ABCD是正方形，

E|AD=AB=6,0BAD=9O°,0DAC=45°,

HAC=BD=y/AB2+AD2=6-s/2;

如图1,当点P在AD上时，

回AP+PD=AD=6,PD=2AP,

13Ap=2；

图1

如图2,当点P在AB上时,

EBPAD=90",

0AP2+AD2=DP2,

0AD=6,PD=2AP,

0AP2+36=4AP2,

0AP=25/3;

AD

图2

如图3,当点P在AC上时，作PNI3AD于点N,

设AN=x,贝有DN=6-x,PN=x,

由勾股定理得AP=0x,PD=JX2+（6-X）2,

回PD=2AP,

0^X2+（6-X）2=272x,

回x=«-l或X=_J7_1（不符合题意，舍去），

回AP=-y/2x=J14--\/2，

图3

当点P在其余边或对角线上时，不存在可以使PD=2AP的点，

综上，AP的长为2,2TLV14-V2.

故答案为2或或JT?-④.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用等，难度较大，解题的关键是正确画出

符合题意的图形.

25.如图，在矩形ABC。中，E是BC边上的一点，连接AE,将沿AE翻折，点B的

对应点为足若线段的延长线经过矩形一边的中点，AB=2,AD=4,则BE长为.

【分析】主要分三种情况进行讨论：①当线段AP的延长线AG经过BC的中点时，②当线

段A尸的延长线经过AD的中点时，③当线段A尸的延长线AG经过CZ）的中点时，进行一

一求解即可.

【详解】解：分三种情况讨论，

①当线段AF的延长线AG经过BC的中点时，如图1,此时8G=CG=2,

由折叠的性质可得：AP=A3=2,EA产E=®B=90。，

SRt^ABG中，AB=BG=2,

0AG=2应，a4G8=45°,

回尸G==AG—AF=20一2，EF=FG,

团BE=EF=FG=2A/2-2;

②当线段A尸的延长线经过A。的中点时，如图2,此时8E=CE=2,

1c

图2

由折叠的性质可得：AF=AB=2,0AFE=0B=9O°,

团四边形ABEP是正方形，

^BE=AF=2,

③当线段AF的延长线AG经过CO的中点时，如图3,止匕时QG=CG=L

图3

由折叠的性质可得：AF=AB=2,0AFE=0B=9Ot',

SRt^ADG中，A£>=4,0G=1,0AG=>]AD2+DG2=742+12=历>^FG=AG-AF=V17-2,

设BE=x,贝l]EF=x,CE=4-x,

0EG2=EF2+FG2,EG2=EC2+CG2,EEF2+FG2=EC2+CG2,

E(^-2)2+X2=12+(4-X)2,解得：x=^T,@BE=^J,

故答案为：2逝-2或空匚或2.

【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解决本

题的关键.

三、解答题

26.如图，EL48C中，0C=9O°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A沿AC边向C点以lcm/s

的速度移动，在C点停止，点。从C点开始沿C8边向点8以2cm/s的速度移动，在2点

停止.

2

(1)如果点尸，0分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，SAQPC^_cm；

(2)如果点尸从点A先出发2s,点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S/QPC=4cm2?

(3)如果点尸、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ=2Q?

【答案】(1)8；(2)2s；(3)-10+8应

【分析】本题可设尸出发期后，S.眄符合已知条件：

在(1)中，AP-xm,PC=(6-x)m,QC=2xm,得出工纱。=；(6-x>2x,即可求出经过2

秒钟后的面积；

在(2)中，AP^xm,PC=(6-x>,QC=2(x-2)m,进而可列出方程，求出答案；

在(3)中，PC=(6-x)m,QC=2xm,BQ=8-2x,利用勾股定理和PQ=BQ列出方程，

求出答案.

【详解】解：(1)尸、。同时出发，经过x秒钟，S&QPC=^6-X).2X,

当x=2,

S^QPC=5(6-=—x4x4=8,

故答案是：8.

(2)设尸出发ts时则。运动的时间为(x-2)秒，由题意得：

-(6-x).2(x-2)=4,

2

/.X2-8x4-16=0，

解得：±=%=4

因此经4秒点尸离A点lx4=4cm,点。离。点2x(4-2)=4的，符合题意.

2

答：P先出发2s,。再从。出发2s后，S^QPC=4cm.

(3)设经过x秒钟后PQ=5Q,则尸。=(6-％)加，QC=2xm,BQ=8-2x,

(6-X)2+(2X)2=(8-2X)2,

解得石=-10+80,々=-10—80(不合题意，舍去)

答：经过TO+80秒钟后尸。=3Q.

【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另

外，还要注意解的合理性，从而确定取舍.

27.综合与实践

【项目学习】

配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函

数的顶点坐标等.所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个

完全平方式的和的方法.其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义

解决某些问题.

例1：把代数式Y+8x+25进行配方.

解：原式=f+8x+16+9=(x+4y+9.

例2：求代数式-/+4x-7的最大值.

解：原式=-(尤2-4x+4)-3=-(x-2)—3.

v(x-2)2>0,.'.-(%-2)2<0,

.-.-(%-2)2-3<-3,.-.-x2+4尤一7的最大值为一3.

【问题解决】

(1)若〃/,k,/?满足2疗=+/?,求左+/，的值.

(2)若等腰AABC的三边长“，b,c均为整数，且满足片+262—8a-206=-66,求"RC的周

长.

⑶如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a,b,c是Rt^ABC和

RtAD所的三边长，根据勾股定理可得==我们把关于x的一元二次方程

依2+夜次+6=0称为"勾系一元二次方程已知实数P，4满足等式q-/+15p-48=0,

且P+4的最小值是"勾系一元二次方程”加+&cx+6=0的一个根.四边形ACDE的周长为

6a,试求AABC的面积.

【答案】⑴T

(2)等腰三角形“1BC的周长为13或14

(3)1

【分析】(1)将等式2历-12m+11=2(机-左丫+方的右边展开，再对应相等得到

4k=12,2k2+h=ll,求出晨场的值即可；

(2)将式子配方可得(a-4y+2(6-5)2=0,由偶次方的非负性可求出a=4,b=5,再分

两种情况：当。=4为腰长时，当6=5为腰长时，利用等腰三角形的性质进行计算即可；

(3)由q—p?+15P_48=0两边同时力口〃可得p+q=//_i5〃+p+48=(p—7)2,求出

P+4的最小值，从而得出x=-l是依2+"：龙+6=0的一个根，得至!Ja+6=0c，由四边形

AC7汨的周长为60求出c=2,再由勾股定理可得"+》2=©2=4,最后由

2"=(4+6)2_.2+〃)，求出血的值即可得到答案.

【详解】(1)解：1.'2m2-\2m+\\-2^m-k^+h,

2m2—12m+ll=2m2—4km+2k?,

:Ak=n,2k2+h=U,

k=3jh=—7,

.,.左+/z=3+(—7)=T；

(2)解：・.・/+2〃一8a—20人=—66,

(a2-8a+16)-16+2(Z?2-1