北师大版九年级数学上册压轴题：相似三角形中的动点问题的三种考法（原卷版）

专题10相似三角形中的动点问题的三种考法

类型一、相似三角形存在性问题

例1.如图，正方形ABC。的边长为4,E是2C的中点，点P在射线上，过点尸作垂足为足当

点尸在射线AD上运动时，若以尸、F、E为顶点的三角形与0ABE相似，则B4的值为.

AFD

BEC

例2.如图，在直角J1BC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,点D是BC的中点，点E是A3边上的动点,

DF±DE交射线AC于点F.

AA

LxK

CDBCBcB

（备用图）（备用图）

Cl）求8C的长；

（2）连接E/，当£5//3。时,求8E的长；

（3）连接当“。即和一相似时，请直接写出BE的长.

【变式训练1】建立如图所示们平面直角坐标系xOy中，矩形3BC的点A（2,0）,C（0,3）,RtPBE以点B为

旋转中心，BC为起始边，逆时针方向，直角边3尸交OC射线于点尸，直角边8E交尤轴于点E.

（1）当NCBP=45。时，求点E的坐标；

⑵在旋转过程中，是否存在以P、。、E为顶点的三角形与㈤龙相似.若存在，诗求出点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

【变式训练2】如图，ZACB=9Q°,A(3,0),C(-1,0),AB=5.

（1）直接写出线段BC的长是，点2的坐标是

⑵己知点。在x轴上（不与点C重合），连接D8,若.ADB与.ABC相似，则点。坐标是

⑶在（2）的条件下，点P、。分别是AZ）和A3上的动点，连接PQ,^AP=BQ=k,是否存在上的值，使

△AP。与ADB相似？若存在，请求出上的值；若不存在，请说明理由.

类型二、几何图形存在性问题

例1.如图，在“1BC中，ZC=90°,AC=12cm,3C=16cm,E、O分别是AC、AB的中点，连接DE.Q

从点E出发，沿西方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点尸从点2出发，沿54方向匀速运动，速度为4cm/s，

当点。停止运动时，点尸也停止运动。连接。P，设运动时间为t(O<t<4)s.答下列问题:

备用图

⑴请直接用含f的代数式表示8、9的长；

(2)当f为何值时，以点P、。为顶点的三角形与VADE相似?

⑶当f为何值时，VDPQ为等腰三角形(直接写出)

例2.如图，在平面直角坐标系中，矩形Q4BC的两边(M,OC分别在x轴、,轴的正半轴上，。4=4,

OC=2.点尸从点。出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,

设点尸运动的时间是f秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点。，点O随点尸的运动而运动，

连接DP,DA.

图1图2图3

⑴当/=2时，点。的坐标是」

(2)请用含，的代数式表示出点D的坐标」

⑶在点尸从。向A运动的过程中，DR4能否成为直角三角形？若能，求f的值.若不能，请说明理由.

例3.综合与探究：己知：如图①，在RtaABC中，NC=9。。，AC=8cm,8c=6cm,点尸由8出发沿54

方向向点A匀速运动，速度为lcm/s；点。由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ.若

设运动的时间为4s)(0</<4),解答下列问题：

图①图②

(1)当AP=AQ时，求/的值；

(2)点P,。同时出发，/为何值时，以A,P,。为顶点的三角形与_ABC相似；

⑶如图②，连接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC,那么是否存在某一时刻入使四边形

PQPC为菱形？若存在，直接写出此时/的值；若不存在，说明理由，(不写求解过程)

【变式训练如图，在矩形ABCD中，8。是对角线，AS=6cm,BC=8cm,点E从点O出发，沿DA

方向匀速运动，速度是2cm/s；点/从点8出发，沿3。方向匀速运动，速度是lcm/s.两点同时出发，设

运动时间为f(s)(O</<4),请回答下列问题：

(1)当，为何值时，EF//AB?

⑵设四边形ABEE的面积为S(cm2),求S与f之间的函数关系式；

⑶当t为何值时，四边形的面积S等于矩形ABQ?面积的?？

O

⑷当/为_时，△EED是等腰三角形.

【变式训练2】如图1,矩形ABCD中，AB=4cm,AD=8cm,E为AB上一点,尸为AB延长线上一点，

且8尸="0".点尸从A点出发，沿AD方向以4c〃?/s的速度向。运动，连结PE、PF,尸尸交BC于点H.设

点P运动的时间为r(s),AfAE的面积为y(a〃2),当owrwi时，的面积乂。机)关于时间［s)的函数

图象如图2所示.

(1)AE的长是_。根；

(2)当a=2cm,APAEAE4P时，求/的值;

(3)如图3,将AHB尸沿线段所进行翻折，与CB的延长线交于点连结AM,当/为何值时，四边形

PAMH为菱形?

图1图2图3

【变式训练3］已知：在ABC中，AB=AC=4y/2,ZBAC=90°,AD1BC于点。，点E是AC边的中

点，动点P在线段8上，将线段PE绕点E逆时针旋转90。得到线段QE,2。与AD交于点尸.

(1)如图1,当点尸与点C重合时，线段上的长为；

(2)如图2,当点尸与C,。两点均不重合时，

①求证：PD=2DF；

②问：是否存在点尸，使以尸，E,尸为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出PC的长；若不存

在，请说明理由，

类型三、最值问题

例.如图，在平面直角坐标系中，四边形O4BC的顶点坐标分别为0(0,0),A(12,0),8(8,6),C(0,6).动

点P从点。出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点A运动；动点。从点8同时出发，以每秒2

个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，作于点G,设运动的时间为t秒，则AG的最大值

是.

【变式训练1】如图，妫8。中A8=AC,A(0,8),C(6,0),。为射线AO上一点，一动点尸从A出发，运

动路径为4好。好C,点P在上的运动速度是在CO上的g倍，要使整个运动时间最少，则点。的坐标应

为.

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4,0),点8在第一象限内，45=4/540=60。，

点E是线段上的一个动点，连接8E,将射线EB绕点E顺时针旋转60。交AB于点凡当3f最短时点尸

的坐标是.

2

【变式训练3】在RtABC中，乙4。8=90。,47=41。=3,点。是./5。内一动点,且满足8=2,则4。+耳3。

的最小值__________.的最小值______

课后作业

1.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E在边AZ)上，且AE:匹=1:3,动点尸从点A出发，沿A3

运动到点8停止，过点E作防，。£交射线BC于点。设O是线段EQ的中点，则在点P运动的整个过程

中，点。运动路线的长为.

2.如图，正方形ABC。的对角线上的两个动点M、N,满足=点P是BC的中点，连接AM

PM,若A3=6,则当⑷V+PM的值最小时，线段A7V的长度为.

3.如图，在一ABC中AB=AC=6cm,BC=8cm,点E是线段BC边上的一动点(不含8、C两端点)，连

接AE,作NAED=NB,交线段A3于点。.

⑴求证：ABDESMEA

(2)设跖=x,AD=y,请求y与x之间的函数关系式.

(3)£点在运动的过程中，VADE能否构成等腰三角形？若能，求出班的长；若不能，请说明理由.

4.如图，平面直角坐标系中，四边形Q4BC为矩形，点A3坐标分别为(4,0),(4,3),动点M、N分别从

同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿Q4向终点A运动，点N沿BC向终点C运动过动点M

作交AC于P,连接NP,设M、N运动时间为r秒，(0<r<4)

⑴当f=3秒时，尸点的坐标为(—，),PC=

(2)当/为何值时，以C、P、N为顶点的三角形与..ABC相似；

⑶在平面内是否存在一个点E,使以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出，的值，若

不存在，说明理由.

5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZZMB=90°,AB=6cm,BC=8cm,AD=4cm.点尸从点A

出发沿AO向点。匀速运动，速度是lcm/s；同时，点。从点C出发沿C4向点A匀速运动，速度是lcm/s,

当一个点到达终点，另一个点立即停止运动.连接PQ，BP,BQ,设运动时间为f(s),解答下列问题：

⑴当f为何值时，PQ//CD?

(2)设的面积为s(cn?),求s与f之间的函数关系式;

⑶连接3。，是否存在某一时刻,,使得3尸平分27出0?若存在，求出此时/的值；若不存在，说明理由.

6.如图，在，ABC中，A