北师大版八年级数学重难点专项复习：直角三角形中的“锐角平分线”模型（解析版）

重难点01直角三角形中的“锐角平分线”

模型

O【知识梳理】

运用句股定理计算是中考必考知识点，如何巧妙地构造直角三角形是关键.有些难题，同学

们找到了直角三角形，但是还是不会求解，关键一点就是忽略了设未知数列方程来求解.

勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么。2+庐=,2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+庐=,2的变形有：«=^c2_b2,6=几项下及c=疗彳.

(4)由于/+廿=02>/,所以c>°,同理c>6,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中

的每一条直角边.

二.翻折变换(折叠问题)

1、翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到

图形间的关系.

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求

的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含尤的代数式表示其他线段的长度，选择适

当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设

出正确的未知数.

【考点剖析】

勾股定理（共1小题）

1.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6,BC=8,将直角边48折叠使它落

在斜边AC上，折痕为A。，则BD=3.

【分析】设点8落在AC上的E点处，连接。E,如图所示，由三角形ABC为直角三角

形，由与8c的长，利用勾股定理求出AC的长，设8O=x,由折叠的性质得到即

=BD=x,AE=AB=6,进而表示出CE与CO,在直角三角形DEC中，利用勾股定理列

出关于x的方程，求出方程的解得到尤的值，即可确定出8。的长.

【解答】解：设点2落在AC上的£点处，连接。E,如图所示，

;△ABC为直角三角形，AB=6,BC=8,

根据勾股定理得：

AC=A/AB2+BC2=IO,

设无，由折叠可知：DE=BD=x,AE=AB=6,

可得：CE=AC-AE=10-6=4,CD=BC-BD=8-x,

在Rt/XCDE中，

根据勾股定理得：（8-x）2=42+/,

解得：x=3,

则BD=3.

故答案为：3.

【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理的解本题的关键.

二.翻折变换（折叠问题）（共11小题）

2.如图，直角三角形纸片ABC中，AC=3,BC=4,折叠纸片使边AC落在斜边A8上，折

痕为AD,则CD的长为（

23

【分析】首先根据勾股定理计算出AB的长，再根据折叠可得AC=AE=3,CD=DE,BE

=5-3=2,然后设CD=OE=x,则80=4-x,再在直角△BOE中利用勾股定理即可算

出x的值.

【解答】解：在直角△ABC中：AB=yjAC2+BC—V9+16—5,

根据折叠可得AC=AE=3,CD=DE,BE=5-3=2,

设CD=OE=x,则BD=4-x,

在直角△B£)E中:(4-x)2=X2+22,

解得：x=—.

2

故选：B.

【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，解题时，我们常常设要求的线段长为X,然后

根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，

运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知

数.

3.如图所示，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,AC^Scm,BC=6cm,将斜边AB翻折，

使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为A。，则CE的长为()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB,已知AC的

长，可将CE的长求出.

【解答】解：在RtZ\ABC中，AB=JAC?+BC2=«82+62=

根据折叠的性质可知：AE=AB=W

VAC=8

CE=AE-AC=2

即CE的长为2

故选:B.

【点评】此题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破

口.

4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边长AB=6,8C=8,将直角边48折叠，使它落

在斜边AC上，折痕为AD,则C。长是（）

【分析】设点B落在AC上的E点处，连接。E,如图所示，由三角形ABC为直角三角

形，已知A3与2C的长，利用勾股定理求出AC的长，设20=无，由折叠的性质得到即

=BD=x,AE=AB=6,进而表示出“与CD,在直角三角形。EC中，利用勾股定理列

出关于x的方程，求出方程的解得到无的值，进而得到。的长.

【解答】解：设点8落在AC上的E点处，连接。E,如图所示，

:△ABC为直角三角形，AB=6,8c=8,

根据勾股定理得：AC=AB2+BC=.

设2£）=无，由折叠可知：DE=BD=x,AE=AB=6,

可得：CE=AC-AE=10-6=4,CD=BC-BD=8-x,

在RtZ\CDE中，根据勾股定理得：（8-x）2=42+?,

解得：x=3,

；.CD=8-3=5.

故选：C.

A

B

D

【点评】本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属

于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此

题的关键.

5.如图，有一块直角三角形纸片ABC,NC=90°.两直角边AC=6on,BC=8cm,现将

该纸片沿直线折叠，使点C落在斜边A8上的点E处，则折痕人。=二遥

C力6

【分析】先根据勾股定理求得A3的长，再根据折叠的性质求得AE,3E的长，从而利用

勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得AD

【解答】解：-：AC=6cm,BC=8cm,ZC=90°

.\AB=10cm,

\'AE=6cm(折叠的性质)，

BE=4cm,

设CD=x,

则在中，

42+X2=(8-x)2,

/.x=3cm.

CD=3cm,

在RtAACZ)中，AD=7AC2-K：D2=3V5.

故答案为3遥.

【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△。国的

三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键.

6.有一块直角三角形纸片，两直角边A8=6,BC=8,将该纸片折叠，使直角边48落在斜

边AC上，折痕为AD,则BD=3.

【分析】作出图形，利用勾股定理列式求出AC,再根据翻折变换的性质可得AE=A8,

DE=BD,然后求出CE,设尤，表示出C。，再利用勾股定理列出方程求解即可.

【解答】解：如图，：两直角边A8=6,8C=8,

斜边AC=VAB2+BC2=762+82=1°，

由翻折的性质得，AE=AB,DE=BD,

：.CE=AC-AE=lO-6=4,

设3O=x,则CD=8-x,

在RtZ\CDE中，D£2+C£2=C£)2,

BP?+42=(8-x)2

解得尤=3,

即BD=3.

【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是

解题的关键，作出图形更形象直观.

7.如图所示，有一块直角三角形纸片，NC=90°,AC^Scm,BC=6cm,将斜边AB翻折，

使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD则2。的长为卫.

—3—

【分析】根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，AE=A8,已知AC的

长，可将CE的长求出，再根据勾股定理可求8。的长.

【解答】解：在中，

Rt^ABCAB=^AC2+BC2=IO,

根据折叠的性质可知：AE=AB=10,DE=BD

：AC=8

：.CE=AE-AC=2

在RtZXCDE中，DEL=CD1+CE1.

C.BD1^(BC-BD)2+32.

:4日=(6-BD)2+4

：.BD=—

3

故答案为此

3

【点评】本题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破

口.

8.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6,BC=8,将三角形ABC折叠，使

AB落在斜边AC上得到线段折痕为AD,则BD的长为3.

【分析】设点B落在AC上的E点处，连接。E,如图所示，由三角形ABC为直角三角

形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，设B£)=x,由折叠的性质得到即

=BD=x,AE=AB=6,进而表示出CE与CD,在直角三角形DEC中，利用勾股定理列

出关于x的方程，求出方程的解得到尤的值，即可确定出8。的长.

【解答】解：:△ABC为直角三角形，48=6,BC=8,

根据勾股定理得：

AC=^AB2+BC2=IO,

设2£)=无，由折叠可知：DB'=BD=x,AB'=AB=6,

可得：C2'=AC-A2'=10-6=4,CD=BC-BD=8-x,

在中，

根据勾股定理得：(8-尤)2=42+.r2,

解得：x=3,

则BD=3.

故答案为：3.

【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理的解本题的关键.

9.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=3,BC=4,将直角三角形纸片ABC折叠，

使直角边AC落在斜边48上，折痕为AD,则立.

一2一

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再设BD=x,则CD=4-x,由图形翻折变换的

性质可得出AC=AC',C£>=C'。，再在RtZXBC'。中利用勾股定理即可求出x的值，

进而可得出BD的长.

【解答】解：：RtZ\ABC中，两直角边AC=3,8C=4,

•'-AB=VAC2+BC2=V32+42=5)

设BD=x,则CD=4-x,

\9ACr=AC=3,CD=CD=CB-DB=4-x,BC'=AB-AC=5-3=2,

・••在RSU。中，BC2+CfD1=BD2,

即22+(4-x)2=x2,

解得尤=9,

2

：.BD=^-.

2

故答案为：—.

2

【点评】本题考查的是图形的翻折变换及勾股定理，解答此类题时常常设要求的线段长

为无，然后根据折叠和轴对称的性质用含尤的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直

角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

10.如图，有一块直角三角形纸片，NC=90°,AC^4cm,BC=3cm,将斜边AB翻折，使

点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD则C。的长为.

A

【分析】易求A8=5cm,则CE=lon.设CZ)=x,则a>=D8=3-%.根据勾股定理求

解.

【解答】解：VZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,

••AB=5CJTL.

根据题意，AE=AB=5,ED=BD.

；・CE=lcm.

设CD=x,贝UED=3-x.

根据勾股定理得

f+]2=(3,x)2,

解得x=—cm.即CD长为里cm.

33

故答案为4。”.

3

【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系.

11.如图，直角三角形纸片的两直角边AC=6c〃z,BC=8cm.现将直角边AC沿A。折叠,

使它落在斜边上，点C与点E重合.求CD的长.

【分析】由折叠的性质知CD=DE,AC=AE.根据题意在中运用勾股定理求

DE.

【解答】解：：△ABC是直角三角形，AC=6cm,BC=8cm,

•*-AB=VAC2+BC2=VS2+82=10（CM）,

AA£D是△AC。翻折而成，

.\AE=AC=6cmf

设DE=CD=xcm,ZAED=90°,

BE=AB-AE=10-6=4cm,

在中，BD1=DE1+BE1,

即（8-x）2=42+?,

解得x=3.

故CD的长为3cm.

【点评】本题考查了翻折变换及勾股定理，解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然

后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度，选择适当的直角三角

形，运用勾股定理列出方程求出答案.

12.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6on,BC=8cm,现将直角三角形纸片沿

直线AD折叠，使点C恰好落在斜边AB上点E处.

（1）求A8的长；

（2）直接写出AE、BE的长及皮）的度数；

（3）求C。的长.

【分析】（1）由有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,利用勾股定理

即可求得AB的长；

(2)由折叠的性质即可求得AE的长与/A即的度数，继而求得8E的长与NBEZ)的度

数；

(3)设CO=xc%,由勾股定理即可求得方程：X2+42=(8-x)2,解此方程即可求得答

案.

【解答】解：(1):在RtZvlBC中，两直角边AC=6an,BC=8cm,

,'MS=VAC^+BC^=10(cm)；

(2):由折叠的性质可得：AE=AC=6cm,NAED=/C=90；

：.BE^AB-AE^IO-6=4(cm),/BED=9U°；

(3)设CD=xcm,

则DE=CD=xcm,BD=BC-CD=8-x(cm),

在片中，£>E2+BE2=BZ)2,

则/+42=(8-x)2,

解得：x=3.

故CD=3cm.

【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理.此题难度不大，注意掌握折叠前后图形

的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

廿【过关检测】

一.选择题(共7小题)

1.(2021秋•定州市期末)如图，在△ABC中，ZC=90°,A。是△ABC的角平分线，若

CD=3,则点。到AB边的距离为()

【分析】作。于E,根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.

【解答】解：作OELA3于E,

是△ABC的角平分线，NC=90°,DELAB,

：.DE=DC=3,

故选：D.

c

D

AEB

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等

是解题的关键.

2.（2022秋•海曙区期中）如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为。，AF

平分NCAB,交CD于点E,交C3于点?若AC=9,AB=15,则CE的长为（）

【分析】根据三角形的内角和定理得出NCAF+NCE1=9O°,ZFAD+ZAED^9Q°,根

据角平分线和对顶角相等得出/CEF=NC/芯，即可得出EC=BC,再证明RtA4C/丝Rt

△AGF得AG,最后利用勾股定理列出方程进行解答.

【解答】解：过点/作FGLAB于点G,

VZACB=90°,CDLAB,

AZCDA=90°,

：.ZCAF+ZCFA^9Q°,ZFAD+ZAED^9Q0,

平分NCAB,

：.ZCAF^ZFAD,

：.ZCFA=/AED=ZCEF,

：.CE=CF,

尸平分NCAB,ZACF=ZAGF=9Q°,

：.FC=FG,

VZACB=90°,AC=9,AB=15,

.-.BC=^AB2_AC2=12,

在RtAACF和RtAAGF中,

[AF=AF,

(AC=AG，

.'.RtAACF^RtAAGF(HL〕,

：.AC=AG=9,

设CE=无，则PC=FG=x,BF=U-x,BG=15-9=6,

VFG2+BG2=BF2,即/+62=(12-x)2,

解得x=空，

2

即CE=生,

2

故选：B.

【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理

以及勾股定理的应用等知识，关键是推出和由勾股定理列出方程，体现

了方程思想.

3.(2022•雁塔区模拟)如图，RtAABC中，NC=90°,平分NBAC交BC于点Z),DE

〃AB交AC于点E,己知CE=3,CD=4,则长为()

【分析】根据勾股定理求出DE,根据平行线的性质、角平分线的定义得到NCAZ)=/

ADE,得出AE=DE=5,进而求出AC,根据勾股定理计算即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,CE=3,CO=4,

由勾股定理得：DE={cM火42+32=5,

'：DE//AB,

：.ZBAD=ZADE,

:A£)平分4BAC,

；./BAD=/CAD,

：.ZCAD^ZADE,

：.AE=DE=5,

：.AC=AE+EC=8,

；•A。=VAC2<D2=V82+42=4爬,

故选：D.

【点评】本题考查的是勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义，如果直角三角形的两

条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+62=02.

4.（2021秋•西湖区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则（）°

（点A,B,尸是网格交点）.

A.30B.45C.60D.75

【分析】延长AP交格点于。，连接根据勾股定理得到92=8。2=1+22=5,PB2

=12+32=10,求得PD，DB2=PB2,于是得到NPZM=90°,根据三角形外角的性质即

可得到结论.

【解答】解：延长AP交格点于连接2D

贝ljPD2=BD2=l+22=5,PB2=l2+32=10,

:.PD2+DB2^PB2,

：.ZPDB=90°,

：.ZDPB=ZPAB+ZPBA=45°,

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角

形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

5.（2021秋•杏花岭区校级期中）已知△ABC中，a、b、c分别为/A、NB、NC的对边，

则下列条件中：

①“2-庐=°2；②层:b2：c2=l：3：2；③NA：ZB：NC=3：4：5；④/A=2/B=2

ZC.

能判断△ABC是直角三角形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可.

【解答】解：①次-62=02,是直角三角形；

②/：必：＜?2=1：3：2,△ABC是直角二角形；

③/A：ZB：/C=3：4：5,△ABC不是直角三角形;

④NA=2NB=2NC,△ABC是等腰直角三角形.

故选：c.

【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答.

6.（2022秋•江阴市期中）以下四组代数式作为△ABC的三边，能使△ABC为直角三角形的

有（）

①3小4〃，5n（〃为正整数）；

②小n+\,n+2（w为正整数）；

③层-1,2n,/+1（力22,“为正整数）；

④京-£2mn,m^+n2（m>〃,m,”为正整数）.

A.1组B.2组C.3组D.4组

【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可.

【解答】解：①3%4m5n（〃为正整数），（3«）2+（4〃）2=（5"）2,能构成直角三角

形；

②"，n+l,71+2（〃为正整数），后+（〃+1）V（/2）2,不能构成直角三角形；

③〃2-1,2n,按+i（G2,〃为正整数）,（n2-1）2+（层+1）2=⑵）2,能构成直角三

角形；

④加2_〃2,2mn,nP'+r^Gn>n,“z,a为正整数），（MI2-n2）2+（2nm）（m2+n2）2,

能构成直角三角形.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关

键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形

是直角三角形.

7.（2022•东莞市校级一模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6c»i,BC=8cm,

现将△AC。沿直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（）

cm.

C.3D.3

2

【分析】先根据勾股定理求得A2的长，再根据折叠的性质求得AE,BE的长，从而利用

勾股定理可求得的长.

【解答］解：\'AC^6cm,BC=8cm,NC=90°,

AAB=VAC2+BC2=762+82=10(CM),

由折叠的性质得：AE=AC=6cmfZAED=ZC=90°,

BE=l0cm-6cm=4cm,NBED=9U°,

设CD=x,则CO=8-x,

在RtZ\O硬中，BE2+DE2=B£>2,

即42+/=(8-x)2,

解得：％=3(cm),

CD=3cm,

故选：C.

【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出的

三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键.

二.填空题(共7小题)

8.(2022秋•海口期末)如图，在RtZXABC中，ZC=90°,N8AC的平分线交于点O,

DE//AB,交AC于点E,。b_LA8于点/，若DE=5,DF=3,则AC的长为9.

【分析】根据角平分线的性质得到NC4O=NA4O,CD=DF=3,由平行线的性质得N

EDA=NBAD,则NEDA=CA。，△AOE为等腰三角形，因此。E=AE=5,再根据勾股

定理得CE={DE2-CD2Ws2-B2=4,最后由AC—AE+CE即可求解.

【解答】解：•.9。平分/24。，ZC=90°,DFLAB,

：.ZCAD=ZBAD,CD=DF=3,

9：DE//AB,

：.ZEDA=ZBAD,

：.ZEDA=ZCAD,

•••△AOE为等腰三角形，

：.DE=AE=5,

在Z\CED中，由勾股定理得2_g2=4，

：.AC=AE+CE=9.

故答案为：9.

【点评】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股

定理，解题关键是学会利用数形结合的思想，熟练运用所学知识答题.

9.（2021秋•陵城区期中）如图，在△ABC中，/C=90°,于。，交AC于点E,

若BC=BD,AC^6cm,BC=8an,AB^lOcm,则△ADE的周长是8cm

【分析】连接BE,利用HL证明RtABCE与Rt/\BDE全等，利用全等三角形的性质解

答即可.

【解答】解：连接8E,

VZC=90°,DELABD,

；.NC=/BDE=90°,

在RtABCE与RtABDE中，

[BE=BE,

lBC=BD，

.*.RtABC£^RtAB£)E(HL),

:.DE=CE,

AB=10cm,BC—Scm,AC—6cm,

AADE的周长=DE+4E+4£)=CE+AE+AB-BD=AC+AB-3c=6+10-8=8(cm),

故答案为：8cm.

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL得出RtABCE与RtABDE

全等解答.

10.(2021秋•鹿城区校级期中)△ABC中，AB=AC=5,BC=8,3。为AC边的高线，则

BD的长为建.

—5―

D

A

BC

【分析】过A作于点区利用勾股定理得出AE,进而利用三角形的面积公式解

答即可.

【解答】解：过A作AELBC于点E,

：.BE=EC=4,

•■•A£=VAB2-BE2=V52-42=3;

7

SAABC-|BC-AE=JAC-BD-

•'•yX8X3=yX5XBD-

5

故答案为：24.

5

【点评】此题考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出AE.

11.（2021秋•金牛区校级期中）如图，在4X4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点

A,B,C都在格点上，则下列结论：①48=2丁5；②△ABC的面积为10；③/BAC=

90°；④点A到直线BC的距离是2.其中正确的结论是①③④.（填序号）

【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可.

【解答】解：©VAB2=22+42=20,

:.AB=2事，,故正确；

@VAC2=l2+22=5,AB2=22+42=20,BC2=32+42=25,

:.AC2+AB2=BC2,

：.ZBAC^9Q°,故正确；

②SAABC=4X4-2X3X4-LxiX2-2X2X4=5,故错误；

222

④设点A到直线BC的距离为h,

VBC2=32+42=25,

：.BC^5,

则」iX5></z=5,

2

解得，h=2,即点A到直线BC的距离是2,故正确；

故答案为①③④.

【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长

分别是a,b,斜边长为c,那么。2+d=02.

12.（2022秋•城阳区校级期末）如图，在RtaABC中，/B=90；AB=3,BC=4,将4

ABC折叠，使点8恰好落在边AC上，与点8'重合，AE为折痕，贝|EB'=1.5.

【分析】首先根据折叠可得8£=硬,，AB'=AB=3,然后设=尤，则EC=

4-x,在RtZXABC中，由勾股定理求得AC的值，再在RtZXB'EC中，由勾股定理可得

方程/+2?=（4-尤）2,再解方程即可算出答案.

【解答】解：根据折叠可得,AB'=A3=3,

设BE=EB'=x,则EC=4-尤，

VZB=90°,AB=3,BC=4,

...在RtAABC中，由勾股定理得，AC=VAB）+BC23+42=5，

：.B'C=5-3=2,

在RtZXB'EC中，由勾股定理得，/+22=（4-x）2,

解得x=1.5,

故答案为：1.5.

【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的.

13.（2022秋•苗泽月考）如图，在RtZiABC中，/B=90°,AB=30,BC=40,将△ABC

折叠，使点B恰好落在边AC上，与点8重合，AE为折痕，则£8=15.

B'

BEC

【分析】由翻折不变性可知：A8=A8'=33EB=EB'^EB=EB'=无，在RtZ\CEB'

中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：在RtZXABC中，：A8=30,BC^40,

22=

.'.AC=^3Q+405O,

由翻折不变性可知：AB^AB'=30,EB=EB',设EB=EB'=尤，

在中，则有：（40-无）2=/+2（）2,

.*.x=15,

故答案为15.

【点评】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解

决问题，属于中考常考题型.

14.（2021秋•连云港期中）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=9,8C=12,点D在

边AB上，AD=AC,AE1CD,垂足为凡与BC交于点,E,则8E的长是生.

—2―

【分析】利用等腰三角形的性质可知AE是C。的垂直平分线，利用勾股定理求出AB的

长，再利用等积法求出。E的长，再利用勾股定理求8E即可.

【解答】解：VAD=AC,AE±CD,

是CD的垂直平分线.

:.CE=DE.

：.ZADE=ZACB=9Q°,

在Rt^ABC中，由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=792+122=15-

：.BD=AB-AD=6.

SMBC=SAACE+SAABE,

；・ACXBC=ACXCE+ABXDE,

：.9X12=9CE+15DE,

:.DE=£,

2

在RtZ^BDE1中，由勾股定理得:

B£=7DE2+BD2=^(-1)2+62=y

故答案为：生

2

cE

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，运用等积

法求出DE的长是解题的关键.

三.解答题(共7小题)

15.(2021秋•盘山县期末)如图，RtZkABC中，ZC=90°,AD是/A4C的平分线，DEL

AB,垂足为点E.若AB=15C7W,AC=9cm,求8E的长度.

BDC

【分析】先利用角平分线的定义得到DE=DC,再结合题中条件得出RtAADE^RtAADC,

从而可知AE—AC—9cm,所以求得BE—AB-AE—15-9—6cm.

【解答】解：：AD平分/3AC,ZC=90°,DELAB,

:.DE=DC.

5L'：AD=AD,

：.RtAADE^RtAADC(HL),

.\AE=AC=9cmf

：.BE=AB-AE=15-9=6(cm).

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质及角平分线的性质，判定

两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,SSA.HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三

角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须

是两边的夹角.证出。E=OC是证明三角形全等的前提.

16.(2023春•大石桥市月考)如图，在Rt^ABC中，NB=90°,AB=1cm,AC^25cm.点

产从点A出发沿AB方向以lcm/s的速度向终点2运动，点。从点3出发沿BC方向以

6cro/s的速度向终点C运动，P,。两点同时出发，设点P的运动时间为f秒.

(1)求BC的长；

(2)当f=2时，求P,。两点之间的距离；

(3)当AP=CQ时，求，的值？

A

【分析】(1)在直角△ABC中，根据勾股定理来求BC的长度;

(2)在直角△BPQ中，根据勾股定理来求尸。的长度；

(3)由路程=时间X速度求出AP,BQ,再根据等量关系：AP=CQ列出方程求解即可.

【解答】解：(1)在RtZXABC中，ZB=90°,AB=lcm,AC=25cm,

BC=VAC2-AB2=24CW-

(2)如图，连接尸。

8P=7-2=5,

80=6X2=12,

在直角△BP。中，由勾股定理得到：^G=VBP2+BQ2=13(cm)；

(3)设r秒后，AP=CQ.则

t~—24-6/,

解得r=24.

7

答：P、。两点运动建秒，AP^CQ.

7

A

【点评】本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义.解题时，需要熟悉路程=时间X

速度，以及变形后的公式.

17.(2021秋•东海县期中)如图，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AB=10cm,AC^6cm,

动点P从点B出发沿射线BC以Xcm/s的速度运动，设运动时间为t(5).

(2)当△ABP为等腰三角形时，求f的值.

【分析】(1)根据勾股定理得出2尸即可；

(2)根据勾股定理先求出BC=8cm,再由△A2P为等腰三角形，只要求出BP的长即可,

分三类，当AB=A尸时，则BP=22C=16c〃z；当BA=BP=lQcm；当阴时，如图:

设2P=%=x,贝l|PC=8-尤，在RtZ\ACP中，由勾股定理列出方程可求出8尸的长.

【解答】解：(1)当△ABC为直角三角时，BC=7AB2-AC2=7102-62=8(cm),

①当/AP8=90°时，点尸与点C重合，

BP=BC=8,

•**t=8f

②当N3AP=90°,BP=t,CP=t-S,AC=6,

在RtZ^AC尸中，AP2=62+(f-8)2,

在RtZXBAP中，AB2+AP2=BP2,

：.102+[62+(r-8)2]=产，

解得：/=空，

2

综上所述，r=8或空；

2

(2)在△ABC中，ZACB=90°,

由勾股定理得：BC—-V10-62~(cm),

•••△ABP为等腰三角形，

当A8=A尸时，则8P=2BC=16aw,即f=16；

当A4=8尸=IOCMI时，贝i]f=10；

当用=尸8时，如图：设BP=B4=x,则PC=8-x,

在RtaACP中，由勾股定理得：

PC2+AC2=AP2,

(8-尤)2+62=X2,

解得尤=空，

4

"V

综上所述：f的值为16或10或雪.

4

【点评】本题主要考查了勾股定理、以及等腰三角形的性质，运用分类思想是正确解题

的关键.

18.(2021秋•二道区期末)如图，在△ABC中，NC=90°,AC=12,BC=5,平分/

ABC.动点尸从点B出发，沿折线A4-AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当

点尸不与点D重合时，连结P、B、D三点.设点尸的运动时间为f秒.

(1)线段的长为13；

(2)当。尸_LAB时，t=5；

(3)求线段8。的长；

(4)当NDBP与/。PB相等时，直接写出r的值.

【分析】(1)利用勾股定理计算即可；

(2)利用三角形的全等求得BP的长，用时间等于路程除以速度关系式即可求得结论；

(3)利用角平分线的性质定理求出8,再利用勾股定理即可得出结论；

(4)利用分类讨论的思想分两种情况讨论解答：①点P在AB上，②点尸在AC上，分

别利用等腰三角形的性质求得点尸的运动距离即可求得结论.

【解答】解：(1)VZC=90°,AC=12,BC=5,

；•AB=VAC2+BC2=V122+52=13•

故答案为：13.

(2)平分NABC,DPLAB,DC±CB,

J.DC^DP.

在RtADCB和RtAOPB中，

[BD=BD,

IDC=DP'

.,.RtADCB^RtAOPB(HL).

:.BC=BP=5.

尸+1=5.

故答案为：5.

(3)：8。平分/ABC,

•.•-A-D=-A-B-.

CDBC

•.•-1-2---C-D----13-•

CD5

解得：改.

3

在RtACDB中，

BD=VCD2+BC2=-^Y^-

（4）①当点尸在A5上时，

•：NDBP=NDPB,

：.DB=DP.

过点。作DELA8于点E,如图,

：.BE=BC=5.

■:DB=DP,DELAB,

；・PE=BE=5.

：.PB=2BE=10.

：.t=BP^l=10；

②当点P