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文档简介
第04讲平方根
[学蒋目标]
i.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方
根.
3.掌握平方根与算术平方根的有关运算
[豳基础知.
---------------------llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllt-----------------------
知识点1:平方根
1.算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a,即f=a,那么这个正数X叫做。的算术平方根(规定
0的算术平方根还是0);。的算术平方根记作、石,读作的算术平方根”,。叫做被
开方数.
注意:当式子女有意义时,。一定表示一个非负数,即&N0,a20.
2.平方根的定义
如果好=。,那么x叫做。的平方根.求一个数。的平方根的运算,叫做开平方.平方与
开平方互为逆运算.a(aNO)的平方根的符号表达为土&(a20),其中&是a的算术
平方根.
知识点2:平方根和算术平方根的区别与联系
1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同:土和
2.联系:(1)平方根包含算术平方根;
(2)被开方数都是非负数;
(3)0的平方根和算术平方根均为0.
注意:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负
数没有平方根.
(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个
平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点3:平方根的性质
a6/>0
=\a\=<0a=0
-aa<Q
(G)=a(a>0)
知识点4:平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者
向左移动1位.例如:J62500=250,7625=25,7625=2.5,,0.0625=0.25.
IG考点剖析
------------------lllllllllllllllllllllllllilllllllllllllll-----------------------
考点一:平方根的概念和表示
例1.(2023八上东方期末)实数9的平方根是()
A.3B.±3C.+百D.81
【答案】B
【解答]解:;(±3)2=9,
.*.9的平方根为±3.
故答案为:B.
【变式1-1](2023八上.平昌期末)实数4的平方根为().
A.16B.2C.±2D.±V2
【答案】C
【解答】解::(±2)2=4,
.'.4的平方根为±2,
故答案为:C.
【变式1-2】(2022八上.莲湖月考)计算俄的平方根结果是()
A.±2B.±4C.2D.4
【答案】A
【解答】解:V16=4,4的平方根是±2.
故答案为:A.
【变式1-3】(2022八上.西安月考)已知后二1+|8-4|=0,则年的平方根是()
A.迎B.+3C.+止D.显
2~2-44
【答案】B
【解答】解:•:7a_3+|b—4|=0
a=3,b=4
3
--故平方根为:±4
代入得,4
2
故答案为:B.
考点二:平方根的性质
V2.(2022八上•电白期中)已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9.
(1)求a和m的值;
(2)求关于x的方程ax2-16=0的解.
【答案】(1)解:由题意得:a+6+2a-9=0,
解得:a=l,
•'-m=(a+6)2=49;
(2)解:原方程为:%2—16=0)
*'•X2=16,
解得:x=±4.
【变式2-1】(2022八上.龙华期中)若巾+4与巾―2是同一个正数的两个平方根,则m
的值为()
A.3B.-3C.1D.-1
【答案】D
【解答】解::巾+4与m—2是同一个正数的两个平方根,
-'-m+4与m—2互为相反数,
••m4-4+m—2=0,
•*m=—
故答案为:D.
【变式2-2](2022春•仁怀市校级月考)若根是169的正的平方根,〃是121的负的平方
根,求:
(1)m+n的值;
(2)(m+n)之的平方根.
【解答】解:(1)V132=169,
Am=13,
(-11)2=⑵,
・"=-11,
.,・加+〃=13+(-11)=2;
(2)(m+n)2=4=(±2)2,
(m+n)2的平方根是±2.
故答案为:(1)2,(2)±2.
【变式2-3](2021秋•河南月考)已知一个数m的两个不相等的平方根分别为〃+2和3a
-18.
(1)求〃的值;
(2)求这个数
【解答】解:(1);数根的两个不相等的平方根为〃+2和3〃-18,
・'・(。+2)+(3〃-18)=0,
,4〃=16,
解得〃=4;
(2)・・・。+2=4+2=6,3a-18=3X4-18=-6,
.\m=(±6)2=36,
・・・加的值是36
考点三:利用开平方解方程
例3.(2022秋•莲湖区校级月考)求下列各式中x的值.
(1)9/-25=0;
(2)(x-1)2=36.
【解答】解:(1)移项得,9/=25,
两边都除以9得,
9
由平方根的定义得,X=±9;
3
(2)(x-1)2=36,
由平方根的定义得,x-1=土6,
即尤=7或x=-5.
【变式3-1](2022秋•江阴市校级月考)求下列各式中尤的值:
(1)x2-4=0;
⑵(x-1)2-9=0.
【解答】解:(1)/-4=0,
1=4,
x=+2.
(2)(x-1)2-9=0,
(xT)2=9,
x-1=±3,
x—4或苫=-2.
【变式3-2](2022秋•新城区期中)已知2?-8=0,求x的值.
【解答】解:2?-8=0,
2X2=8,
/=4,
x=±2.
考点四:算术平方根的概念
r、一例4.(2022八上.顺义期末)4的算术平方根是()
A.2B.±2C.y/2
D.16
【答案】A
【解答】解:4的算术平方根是日=2;
故答案为:A.
【变式4-1】(2023八上•达州期末)已知产=彳是二元一次方程组『久+叼=?的解,则
(y=1(nx—my=1
2m-n的算术平方根为()
A.±2B.y/2C.2D.4
【答案】C
【解答】解:..卡二悔二元一次方程组1黑」笥二:的解,
.(2m+n=8①
(2n—m=1②
由①+②x2得
5n=10,
解之:n=2,
;・2m+2=8,
解之:m=3,
..•方程组的解为{々二:
/.2m-n=2x3-2=4
,2m-n的算术平方根为2.
故答案为:C
【变式4-2](2022八上•绵阳竞赛)质的算术平方根是.
【答案】3
【解答】解:V81=9,炳=3,
二9的算术平方根是3,
故答案为:3.
考点五:算术平方根的非负性
例5.(2021八上.河源期末)若|3x-2y+l|+“+y一3=0,则xy的算术平方根
是.
【答案】V2
【解答】解:|3x-2y+l|+J%+y—3=0,
.(3x—2y=-1
,,Ix+y=3'
解得:『=
ly=2
则xy=2,2的算术的平方根是北,
故答案为:V2
【变式5-1](2021秋•滨海县期末)已知实数无,y满足JU+(y+l)2=0,则x-y等于
()
A.1B.-1C.-3D.3
【答案】D
【解答】解:工+(y+1)』0,而(尹1)220,
.*.X-2=0,y+l=0,
解得x=2,y=-1,
.'.x-y=2-(-1)=2+1=3.
故选:D.
【变式5-2](2022春•绥江县期中)若(a-1)2+再工=0,则Q-b)202』()
A.1B.-1C.0D.2022
【答案】A
【解答】解::(a-1)2+匹工=0,而(a-1)220,匹工20,
'.a-1=0,b-2=0,
解得a=l,b=2,
・・・(〃-。)2022=(一i)202』i.
故选:A.
考点六:算术平方根的应用
例6.(2022秋•南岗区校级期中)小李同学想用一块面积为400c源的正方形纸片,
沿着边的方向裁出一块面积为300c病的长方形纸片,使它的长宽之比为2:3,他不知道
能否裁得出来,正在发愁,这时小于同学见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸
片裁出一块面积小的纸片.”
(1)长方形纸片的长和宽是分别多少
(2)你是否同意小于同学的说法?说明理由.
【解答】解:(1)解:设长方形纸片的长为3x(x>0)cm,则宽为2尤cm,依题意得,
3x・2x=300,
6^=300,<=50,
Vx>0,
•'.x=V50=5V2>
长方形纸片的长为15&cm,
答:长方形纸片的长是15,5<:小,宽是
(2)不同意小于同学的说法.
理由:V50>49,
A5近>7,
.*.15V2>21.
长方形纸片的长大于20sj,由正方形纸片的面积为400c/«2,可知其边长为200",
长方形纸片的长大于正方形纸片的边长,
不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【变式6](2022秋•市北区期中)某新建学校计划在一块面积为256〃,的正方形空地上建
一个面积为150加2的长方形花园(长方形花园的边与正方形空地的边平行),要求长方
形花园的长是宽的2倍.请你通过计算说明该学校能否实现这个计划.
【解答】解:长方形花坛的宽为加t,长为
•・,建一个面积为150疗的长方形花园,
/.2x*x=150,
:・j?=75,
Vx>0,
2X=1OV3»
•・,正方形的面积为256m2,
・,•正方形的边长为16m,
:10我>16,
...当长方形的边与正方形的边平行时,学校不能实现这个愿望.
[域真题演练
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1.(2022•攀枝花)2的平方根是()
A.2B.±2C.V2D.士加
【答案】D
【解答】解:因为(土&)2=2,
所以2的平方根是士&,
故选:D.
2.(2021•济南)9的算术平方根是()
A.3B.-3C.±3D.a
【答案】A
【解答】解::32=9,
•••9的算术平方根是3.
故选:A.
25.(2021•通辽)小诬的平方根是()
A.±4B.4C.±2D.+2
【答案】C
【解答】解:A/16=4-士\/1=土2,
故选:C.
3.(2021•南充)如果/=4,贝Ux=.
【答案】±2
【解答】解:/=4,
开平方得*=±2;
故答案为:土2.
4.(2018•广东)一个正数的平方根分别是无+1和x-5,贝Ux=.
【答案】2
【解答】解:根据题意知x+l+x-5=0,
解得:x=2,
故答案为:2
5.(2022•泸州)若(a-2)2+|Z?+3|=0,则浦=.
【答案】二国
【解答】解:由题意得,a-2=0,6+3=0,
解得a—2,b=-3,
所以,ab=2X(-3)=-6.
故答案为:-6.
6.(2021•南充)如果/=4,贝Ux=.
【答案】±2
【解答】解:7=4,
开平方得%=±2;
故答案为:±2.
7.根据图中呈现的运算关系,可知a=,b=.
【答案】-2020,-2020
【解答】解:依据图中呈现的运算关系,可知2020的立方根是巾〃的立方根是-如
/.m*123=2020,(-m)3=a,
'.a—-2020;
又•・”的平方根是2020和b,
:.b=-2020.
故答案为:-2020,-2020.
1昼过关检测门:
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1.(2022八上.南宁开学考)a的算术平方根是4,那么a的值是()
A.8B.16C.2D.±2
【答案】B
【解答】解:•••a的算术平方根是4,
CL—16•
故答案为:B.
2.(2022八上.沈北新期中)若一个正数的两个平方根分别是2m—4与3m-1,则m的
值是()
A.1B.-1C.-3D.-3或1
【答案】A
【解答】解:•••一个正数的两个平方根分别是2n1-4与3m-1,
/.2m-4+3m-l=0,
m=l;
故答案为:A.
3.(2022八上•宝鸡月考)若实数x,y满足|x-3|+所[=0,则(x+y)3的平方根为
()
A.4B.8C.±4D.±8
【答案】D
【解答】解:由题意得:
v|x-3|+Jy—1=0,
|x-3|=0,yjy—1=0>解得x=3,y=
A(%+y)3=(3+l)3=64,
・・・(x+的平方根为土V64=±&
故答案为:D.
4.(2021八上•紫金期末)已知仔二:是二元一次方程组产"+ny=?的解,贝IJ2m-n的
(y=1(nx-my=1
平方根为()
A.+2B.V2C.2D.4
【答案】A
【解答】解:•.干=彳是二元一次方程组产+政=?的解,
(y=1(nx-my=1
・(2m+n=8
*l2n—m=1'
解得{鲁二,
2m-n=4,
••2m-ri平方根为±2,
故答案为:A.
5.(2022八上•江都月考)已知VZT=1.449,V21=4,573>则A/21000的值是()
A.457.3B.45.73C.1449D.144.9
【答案】D
[解答]解:,/x/21000=V2.1X10000=100VZ1-
而VZ1=L449,
•,-V21000=1.449x100=144.9.
故答案为:D.
6.(2023八上•宁强期末)若好=64,则x的值为.
【答案】±8
【解答】解:M=64
X=±V64=±8
故答案为:士8.
7.(2022八上•将乐期中)若a,b是2022的两个平方根,则a+b-a、=.
【答案】2022
【解析】【解答】解::a,b是2022的两个平方根,
--a=V2022,b=一,2022,
-,-a+b-ab=V2022+(-V2022)-72022x(-V2022)=2022,
故答案为:2022.
7.(2022八上•渭滨月考)若一2档一叩2与3X4y2m+"是同类项,则巾_3力的平方根
是.
【答案】±2&
【解答】解:•••-2/-叼2与3X4y2m+r是同类项,
.(m—n=4
,12771+n=2'
解得:[m=\,
m=-2
,,m—3n=2—3x(-2)=8,
二巾-3n的平方根是±2近,
故答案为:±2&.
8.(2021八上.榆林期末)已知V19在两个连续的整数a和b之间,贝Ua+匕的平方
根为
【答案】±3
【解答】解:由题意,
,•"V16<V19<V25>
••4<V19<5,
a=4,b=5,
,a+b=4+5=9,
.,.a+b的平方根为±3
故答案为:±3.
9.(2021八上•沈阳期中)若丫=遮F+4,则x2+y2的算术平方根
是.
【答案】5
【解答】解:根据题意
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