北师大版八年级数学专项复习：平方根（解析版）

第04讲平方根

［学蒋目标］

i.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方

根.

3.掌握平方根与算术平方根的有关运算

［豳基础知.

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知识点1:平方根

1.算术平方根的定义

如果一个正数x的平方等于a,即f=a,那么这个正数X叫做。的算术平方根(规定

0的算术平方根还是0)；。的算术平方根记作、石，读作的算术平方根”，。叫做被

开方数.

注意：当式子女有意义时，。一定表示一个非负数，即&N0,a20.

2.平方根的定义

如果好=。，那么x叫做。的平方根.求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.平方与

开平方互为逆运算.a(aNO)的平方根的符号表达为土&(a20),其中&是a的算术

平方根.

知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系

1.区别：(1)定义不同；(2)结果不同：土和

2.联系：(1)平方根包含算术平方根；

(2)被开方数都是非负数；

(3)0的平方根和算术平方根均为0.

注意：(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负

数没有平方根.

(2)正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个

平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

知识点3：平方根的性质

a6/>0

=\a\=<0a=0

-aa<Q

（G）=a（a>0）

知识点4：平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者

向左移动1位.例如：J62500=250,7625=25,7625=2.5,,0.0625=0.25.

IG考点剖析

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考点一：平方根的概念和表示

例1.（2023八上东方期末）实数9的平方根是（）

A.3B.±3C.+百D.81

【答案】B

【解答］解：；（±3）2=9,

.*.9的平方根为±3.

故答案为：B.

【变式1-1］（2023八上.平昌期末）实数4的平方根为（）.

A.16B.2C.±2D.±V2

【答案】C

【解答】解：：（±2）2=4,

.'.4的平方根为±2,

故答案为：C.

【变式1-2】（2022八上.莲湖月考）计算俄的平方根结果是（）

A.±2B.±4C.2D.4

【答案】A

【解答】解：V16=4,4的平方根是±2.

故答案为：A.

【变式1-3】（2022八上.西安月考）已知后二1+|8-4|=0，则年的平方根是（）

A.迎B.+3C.+止D.显

2~2-44

【答案】B

【解答】解：•：7a_3+|b—4|=0

a=3，b=4

3

--故平方根为：±4

代入得,4

2

故答案为：B.

考点二：平方根的性质

V2.（2022八上•电白期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9.

（1）求a和m的值;

（2）求关于x的方程ax2-16=0的解.

【答案】（1）解：由题意得：a+6+2a-9=0,

解得:a=l,

•'-m=（a+6）2=49;

（2）解：原方程为：%2—16=0）

*'•X2=16，

解得：x=±4.

【变式2-1】（2022八上.龙华期中）若巾+4与巾―2是同一个正数的两个平方根，则m

的值为（）

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】D

【解答】解：：巾+4与m—2是同一个正数的两个平方根，

-'-m+4与m—2互为相反数，

••m4-4+m—2=0，

•*m=—

故答案为：D.

【变式2-2](2022春•仁怀市校级月考)若根是169的正的平方根，〃是121的负的平方

根，求：

(1)m+n的值；

(2)(m+n)之的平方根.

【解答】解：(1)V132=169,

Am=13,

(-11)2=⑵，

・"=-11,

.,・加+〃=13+(-11)=2；

(2)(m+n)2=4=(±2)2,

(m+n)2的平方根是±2.

故答案为：(1)2,(2)±2.

【变式2-3](2021秋•河南月考)已知一个数m的两个不相等的平方根分别为〃+2和3a

-18.

(1)求〃的值；

(2)求这个数

【解答】解：(1);数根的两个不相等的平方根为〃+2和3〃-18,

・'・(。+2)+(3〃-18)=0,

，4〃=16,

解得〃=4；

(2)・・・。+2=4+2=6,3a-18=3X4-18=-6,

.\m=(±6)2=36,

・・・加的值是36

考点三：利用开平方解方程

例3.(2022秋•莲湖区校级月考)求下列各式中x的值.

(1)9/-25=0；

(2)(x-1)2=36.

【解答】解：(1)移项得，9/=25,

两边都除以9得，

9

由平方根的定义得，X=±9；

3

(2)(x-1)2=36,

由平方根的定义得，x-1=土6,

即尤=7或x=-5.

【变式3-1](2022秋•江阴市校级月考)求下列各式中尤的值：

(1)x2-4=0；

⑵(x-1)2-9=0.

【解答】解：(1)/-4=0,

1=4,

x=+2.

(2)(x-1)2-9=0,

(xT)2=9,

x-1=±3,

x—4或苫=-2.

【变式3-2](2022秋•新城区期中)已知2?-8=0,求x的值.

【解答】解：2?-8=0,

2X2=8,

/=4,

x=±2.

考点四：算术平方根的概念

r、一例4.(2022八上.顺义期末)4的算术平方根是()

A.2B.±2C.y/2

D.16

【答案】A

【解答】解：4的算术平方根是日=2；

故答案为：A.

【变式4-1】(2023八上•达州期末)已知产=彳是二元一次方程组『久+叼=?的解，则

(y=1(nx—my=1

2m-n的算术平方根为()

A.±2B.y/2C.2D.4

【答案】C

【解答】解：..卡二悔二元一次方程组1黑」笥二:的解,

.（2m+n=8①

（2n—m=1②

由①+②x2得

5n=10,

解之：n=2,

；・2m+2=8,

解之：m=3,

..•方程组的解为｛々二:

/.2m-n=2x3-2=4

，2m-n的算术平方根为2.

故答案为：C

【变式4-2］（2022八上•绵阳竞赛）质的算术平方根是.

【答案】3

【解答】解：V81=9，炳=3,

二9的算术平方根是3,

故答案为：3.

考点五：算术平方根的非负性

例5.（2021八上.河源期末）若|3x-2y+l|+“+y一3=0,则xy的算术平方根

是.

【答案】V2

【解答】解：|3x-2y+l|+J%+y—3=0,

.（3x—2y=-1

,,Ix+y=3'

解得：『=

ly=2

则xy=2,2的算术的平方根是北，

故答案为：V2

【变式5-1］（2021秋•滨海县期末）已知实数无，y满足JU+（y+l）2=0,则x-y等于

()

A.1B.-1C.-3D.3

【答案】D

【解答】解：工+（y+1）』0,而（尹1）220,

.*.X-2=0,y+l=0,

解得x=2,y=-1,

.'.x-y=2-（-1）=2+1=3.

故选：D.

【变式5-2］（2022春•绥江县期中）若（a-1）2+再工=0,则Q-b）202』（）

A.1B.-1C.0D.2022

【答案】A

【解答】解：：（a-1）2+匹工=0,而（a-1）220,匹工20,

'.a-1=0,b-2=0,

解得a=l,b=2,

・・・（〃-。）2022=（一i）202』i.

故选：A.

考点六：算术平方根的应用

例6.（2022秋•南岗区校级期中）小李同学想用一块面积为400c源的正方形纸片，

沿着边的方向裁出一块面积为300c病的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3,他不知道

能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸

片裁出一块面积小的纸片.”

（1）长方形纸片的长和宽是分别多少

（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由.

【解答】解：（1）解：设长方形纸片的长为3x（x>0）cm,则宽为2尤cm,依题意得,

3x・2x=300,

6^=300,<=50,

Vx>0,

•'.x=V50=5V2>

长方形纸片的长为15&cm,

答：长方形纸片的长是15，5<:小，宽是

（2）不同意小于同学的说法.

理由：V50>49,

A5近>7,

.*.15V2>21.

长方形纸片的长大于20sj,由正方形纸片的面积为400c/«2,可知其边长为200",

长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，

不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【变式6]（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256〃，的正方形空地上建

一个面积为150加2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方

形花园的长是宽的2倍.请你通过计算说明该学校能否实现这个计划.

【解答】解：长方形花坛的宽为加t,长为

•・,建一个面积为150疗的长方形花园，

/.2x*x=150,

:・j?=75,

Vx>0,

2X=1OV3»

•・,正方形的面积为256m2,

・,•正方形的边长为16m,

：10我>16,

...当长方形的边与正方形的边平行时，学校不能实现这个愿望.

[域真题演练

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1.（2022•攀枝花）2的平方根是（）

A.2B.±2C.V2D.士加

【答案】D

【解答】解：因为（土&）2=2,

所以2的平方根是士&,

故选：D.

2.（2021•济南）9的算术平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.a

【答案】A

【解答】解：：32=9,

•••9的算术平方根是3.

故选：A.

25.（2021•通辽）小诬的平方根是（）

A.±4B.4C.±2D.+2

【答案】C

【解答】解：A/16=4-士\/1=土2,

故选：C.

3.（2021•南充）如果/=4,贝Ux=.

【答案】±2

【解答】解：/=4,

开平方得*=±2；

故答案为：土2.

4.（2018•广东）一个正数的平方根分别是无+1和x-5,贝Ux=.

【答案】2

【解答】解：根据题意知x+l+x-5=0,

解得：x=2,

故答案为：2

5.（2022•泸州）若（a-2）2+|Z?+3|=0,则浦=.

【答案】二国

【解答】解：由题意得，a-2=0,6+3=0,

解得a—2,b=-3,

所以，ab=2X（-3）=-6.

故答案为：-6.

6.（2021•南充）如果/=4,贝Ux=.

【答案】±2

【解答】解：7=4,

开平方得％=±2；

故答案为：±2.

7.根据图中呈现的运算关系，可知a=,b=.

【答案】-2020,-2020

【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是巾〃的立方根是-如

/.m*123=2020,(-m)3=a,

'.a—-2020；

又•・”的平方根是2020和b,

：.b=-2020.

故答案为：-2020,-2020.

1昼过关检测门:

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1.（2022八上.南宁开学考）a的算术平方根是4,那么a的值是（）

A.8B.16C.2D.±2

【答案】B

【解答】解：•••a的算术平方根是4,

CL—16•

故答案为：B.

2.（2022八上.沈北新期中）若一个正数的两个平方根分别是2m—4与3m-1,则m的

值是（）

A.1B.-1C.-3D.-3或1

【答案】A

【解答】解：•••一个正数的两个平方根分别是2n1-4与3m-1,

/.2m-4+3m-l=0,

m=l；

故答案为：A.

3.（2022八上•宝鸡月考）若实数x,y满足|x-3|+所［=0，则（x+y）3的平方根为

（）

A.4B.8C.±4D.±8

【答案】D

【解答】解：由题意得：

v|x-3|+Jy—1=0,

|x-3|=0,yjy—1=0>解得x=3,y=

A(%+y)3=(3+l)3=64，

・・・(x+的平方根为土V64=±&

故答案为：D.

4.（2021八上•紫金期末）已知仔二:是二元一次方程组产"+ny=?的解，贝IJ2m-n的

（y=1（nx-my=1

平方根为（）

A.+2B.V2C.2D.4

【答案】A

【解答】解：•.干=彳是二元一次方程组产+政=?的解，

（y=1（nx-my=1

・（2m+n=8

*l2n—m=1'

解得｛鲁二，

2m-n=4,

••2m-ri平方根为±2，

故答案为：A.

5.（2022八上•江都月考）已知VZT=1.449,V21=4,573>则A/21000的值是（）

A.457.3B.45.73C.1449D.144.9

【答案】D

［解答］解：,/x/21000=V2.1X10000=100VZ1-

而VZ1=L449,

•,-V21000=1.449x100=144.9.

故答案为：D.

6.（2023八上•宁强期末）若好=64，则x的值为.

【答案】±8

【解答】解：M=64

X=±V64=±8

故答案为：士8.

7.(2022八上•将乐期中)若a,b是2022的两个平方根，则a+b-a、=.

【答案】2022

【解析】【解答】解：:a,b是2022的两个平方根，

--a=V2022,b=一,2022,

-,-a+b-ab=V2022+(-V2022)-72022x(-V2022)=2022，

故答案为：2022.

7.(2022八上•渭滨月考)若一2档一叩2与3X4y2m+"是同类项，则巾_3力的平方根

是.

【答案】±2&

【解答】解：•••-2/-叼2与3X4y2m+r是同类项，

.(m—n=4

,12771+n=2'

解得：［m=\,

m=-2

,,m—3n=2—3x(-2)=8,

二巾-3n的平方根是±2近,

故答案为：±2&.

8.(2021八上.榆林期末)已知V19在两个连续的整数a和b之间，贝Ua+匕的平方

根为

【答案】±3

【解答】解：由题意，

,•"V16<V19<V25>

••4<V19<5，

a=4，b=5，

，a+b=4+5=9，

.,.a+b的平方根为±3

故答案为：±3.

9.(2021八上•沈阳期中)若丫=遮F+4,则x2+y2的算术平方根

是.

【答案】5

【解答】解：根据题意