北师大版八年级数学专项复习：二次根式的加减（解析版）

第09讲二次根式的加减

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学习目标

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i.理解同类二次根式的定义；

1.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法

2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算

3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算

［豳基础知£

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知识点1:同类二次根式

1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并

的依据式乘法分配律，如mja+n4a=+>0）

知识点2：二次根式的加减

1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进

行合并。

2.二次根式加减运算的步骤：

①化：将各个二次根式化成最简二次根式；

②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；

③合：合并被开方数相同的二次根式一一将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开

方数保持不变。

知识点3：二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有

括号的先算括号里面的（或先去掉括号）

Q考点剖析

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考点一：同类二次根式的判断

（2023春•白云区期中）下列二次根式中与加是同类二次根式的是（)

【答案】B

【解答】解：A.J逋=W§,K巧与我不是同类二次根式，故本选项不符合题意;

B.718=372>'及与&是同类二次根式,故本选项符合题意；

c.患坐，堂与&不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

D.也坐,呼与&不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

故选：B.

【变式1-1］（2023春•海珠区校级期中）下列二次根式中，与述是同类二次根式的是（

【答案】C

【解答】解：A、近§=3加,与我不是同类二次根式，故A不符合题意;

B、g=2«,与我不是同类二次根式，故3不符合题意;

与我是同类二次根式，故C符合题意;

D、患=喙，与近不是同类二次根式，故。不符合题意;

故选：C.

【变式1-2］（2023春•潜江月考）下列二次根式中，不能与百合并的是（）

A.V32B.-V27c.ED.栏

【答案】A

【解答】解:A、732=4721故A符合题意；

B、-&?=-3我，故B不符合题意；

C、任=2加，故C不符合题意；

D、患=与，故。不符合题意.

故选：A.

【变式1-3］（2023•嘉定区二模）下列根式中，与为同类二次根式的是（）

A.V2B.V3C.V5D.V6

【答案】A

【解答】解：丁比=3近，

所以，与。五为同类二次根式的是加.

故选：A.

考点二：求同类二次根式中的参数

例2.（2023春•潮阳区校级期中）己知最简二次根式心工与可以合并，则a

的值为（）

A.2B.5C.11D.14

【答案】B

【解答】解：：最简二次根式/了工与笳可以合并，

••a-2=3,

••4^5,

故选：B.

【变式2-1]（2023春•庐阳区校级期中）若最简二次根式亚其与囱石是同类二次根式,

则a的值为（）

A.0B.8C.2D.2或8

【答案】C

【解答】解：由题意得：

2〃-1=9-3。,

2。+3。=9+1,

5a=10,

4=2,

故选：C.

【变式2-2]（2023春•淮北月考）已知二次根式缶石与泥是同类二次根式，则。的值

可以是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解答】解：M:啦,

A、当a=2时，V2a-4=0.所以＞2a-4与&不是同类二次根式;

B、当。=3时，V2a-4=V2＞所以＞2a-4与&是同类二次根式;

C、当。=4时，J2a-4=2,所以—2a-4与&不是同类二次根式;

。、当。=5时，V2a-4=V6-所以＞2a-4与&不是同类二次根式.

故选：B.

【变式2-3]（2023春•伊犁州期中）如果最简二次根式病了与我是同类根式，那么a

的值是（

A.a=5B.〃=3C.a--5D.a—-3

【答案】B

【解答】解：由题意可知：弧=2近,

3a-7=2

4=3

故选：B.

考点三：二次根式加减运算

例3.计算下列各题：

（1）4A/2+3V2-672-572；（2）5我-工我+旦«+』«.

2442

【答案】⑴-472；

（2）工愿.

2

【解答】解：（1）原式=-4&；

（2）原式=3料+工百=工收.

22

【变式3-1］（2023春•海淀区校级期中）计算：V24+V27-CV6+5V3）.

【答案】V6-2V3.

【解答】解：V24W27-（V6+5V3）

=vT^>+3V3-Vs-5V3

-V6-2V3.

【变式3-2］（2023春•上海期中）计算:

【答案】

【解答】解：3&-右（泥1A/^）

=3^/^~~^\[5-V5-^V6

=V^-2^-

【变式3-3］（2022春•贺州期中）计算:+378）+2加.

【答案】476+672.

【解答】解：（4泥_

=476-2V2+6V2+2V2

=4五+6&.

考点四：二次根式的混合运算

4.(2023春•东丽区校级期中)计算:

⑴V20-V5+V45；(2)XV8-V27-^73:

⑶V24-3^-W6(4)(4+75)(4-V5)-(3-V2)2-

【答案】(1)4病；

(2)-1；

(3)岖；

2

(4)6A/2.

【解答】解：(1)V20-V5+V45

=2泥-75+375

=4\,r5；

⑵栏XV8-V27-^73

=V4-V9

=2-3

■1:

⑶V24/+V6

=2通-旦+在

2

=5遍.

---,

2

⑷(4+^5)(4-^5)-(3-V2)2

=16-5-(9-672+2)

=16-5-9+6&-2

=6版.

【变式4-1](2023春•海淀区校级期中)计算:

(DI--/31+-'/12-3柠

(2)(2+73)(2-V3)-V18^V2.

【答案】(1)273；

(2)-2.

【解答】解：(1)I-V3I+\412-

=V§+2我-V3

—2V3;

(2)(2+V3)(2-V3)-718-：-V2

=22-(5产3

=4-3-3

=-2.

【变式4-2](2023春•东城区期中)计算下列各题:

⑴(V3-2V2)义正-矗；

⑵(V3-l)2+(V5+3)(V5-3)-

【答案】(1)手__4«；

⑵-273-

=明日

(2)(V3-1)2+(V5+3)(V5-3)

=4-2^3+5-9

=-273.

考点五：已知字母的值化简求值

、—例5・(2023春•朝阳区校级期中)先化简再求值：

-^~Va^b+-Vb)Wb)J其中：。=3，b=2.

【答案】a-b,1.

【解答】解：原式=运--b

bab

=运-叵+a-b

bb

=〃-b,

当〃=3,。=2时，原式=3-2=1.

【变式5-1】(2023春•上杭县校级月考)先化简，再求值：@亚令/示+3后，其中

〃=2,b=3.

【答案12。ab,2V•

【解答】解：原式=yab-2。ab+3。ab

=2Vab>

当a=2,b=3时，原式=2A/^.

【变式5-2】(2023春•潜江月考)先化简，再求值：，丽-不信+H'其中x=-1，

y=-8.

【答案】(3-2lxl+|yl)V^y-20.

【解答】解：.9xy-Nx3y+/xy，

=sVxy-2IxiVxy+|yiVxy

=(3-2IxI+|yI)Vxy-

当尤=V，产-8，原式=(3-2x1+8)『J(9)X(-8)=l0X2=20.

考点六：已知条件化简求值

例6.(2023春•南昌期中)已知a=^W§，»=辰-M，求下列各式的值.

I一二I(1)和〃。；(2)次+必+序.

【答案】(1)2A/5;2；(2)18.

［解答］解：(1)〃+。=病+«+粕-«=2遥；

ab=(V5+V3)(泥-百)

=(返)2-(V3)2

=5-3

=2；

(2)c^-^-ab+b1

=(4+。)1-ab

=(2V5)2-2

=20-2

=18.

【变式6-1](2023春•拱墅区期中)已知X—/M+6，y=V5-6,求下列各式的值:

(1)x2-2孙+9；

(2)%2-y2.

【答案】⑴144；

(2)24遍

【解答】解：(1)Vx=V5+6,y=y/5~6,

.'.x-y=(V5+6)-(V5-6)=12,x+y=(V5+6)+(^5~6)

.,.x2-2孙+/

=(x-y)2

=122

=144；

(2)f『

=(x+y)(x-y)

=25/5x12

=24心

【变式6-2](2022秋•北塔区期末)已知x=J5-l，y=V2+L求x-2xy+y的值.

22

x-y

【答案】-①.

2

【解答】解：y=&+l，

.x2-2xy+y2

22~

x-y

2

=(x-y)

(x+y)(x-y)

x-y

x+y

=V2-1-V2-1

V2-1W2+1

=-2

2V2

=一亚

2

【变式6-3](2023春•中山市期中)已知。=夜+2,b=y[7-2,求下列代数式的值:

(1)a2-lab+b1-,

(2)a2-b2.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：a=V7+2,b=V7-2,

."+6=77+2+77-2=277.

a-b=(W+2)-(V7-2)=4,

（1）a1-lab+b1

=（«-/?）2

=42

=16；

（2）a2-b2

=（q+。）（〃-b）

=277X4

=8V7.

考点七：二次根式的新定义运算

例7.（2021春•科左中旗期末）对于任意不相等的两个实数a,b,新定义一种运

一算“※”如下：〃兴仁干乂瓜,则2X6=___.

Vb_a_1

【答案】2.

【解答】解：£=成义促

V6-2-1

=V12

VT

谓

=y

=2,

故答案为：2.

卜”力口不.〃奶=石乂五，

【变式7-1】对于任意不相等的两个正实数a,b,新定义一种运算外

Vb-a-1

那么2*6=_____.

【答案】见试题解答内容

【解答］解："£=虐乂疾=*=）

V6-2-1V3

故答案为：2.

在此定义下，计算：（居-

【变式7-2］对于实数。、》作新定义：a@b—ab,a^b—ab,

昼@V12-（V75-473）派2=_____.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：I©-◎©氏-（氏-4a）※2

=（2V1__V6_）x273-（V75-4A/3）2

32

=（4-3V2）-3

=1-3V2.

故答案为：1-3^2-

考点八：二次根式的应用

\例8.（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板

1—1上截出两个面积分别为12加和27加的正方形木板.

（1）求原矩形木板的面积；

（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5血，宽为1血的长方形木条,

估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由.

【解答】解：（1）:两个正方形的面积分别为12血,和27加，

，这两个正方形的边长分别为而和3、用成，

，原矩形木板的面积为3我（273+3V3）=45（加）；

（2）最多能裁出3块这样的木条.理由如下：

464,向-1.732,

3.464-1«=3（块），

1.73+1.5-1（块）,

3X1=3（块）.

从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5成，宽为1成的长方形木条，最多能裁出3

块这样的木条.

【变式8-1］（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50c君的正方形纸板，现将

该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小

正方形，此小正方形的边长为&

（1）求长方体盒子的容积；

（2）求这个长方体盒子的侧面积.

【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：（572-272）2X&=1@^（加），

答：长方体盒子的容积为18

（2）长方体盒子的侧面积为：（5V2-2V2）XV2X4=24（cnh,

答：这个长方体盒子的侧面积为24CE

【变式8-2］（2022秋•社旗县期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是

常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及.据研究，高

空物体自由下落到地面的时间”单位：S）和高度以单位：加近似满足公式（不

考虑风速的影响，^9.8t/s）.已知一幢大楼高78.4处若一个鸡蛋从楼顶自由落下，

求落到地面所用时间.

【解答】解：将力=78.4,g=9.8代入公式力=杷，

得：Q、匡翦=4,

V9.8

答：落到地面所用时间为4s.

【变式8-3］（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形的绿地，长8c为诋

米，宽48为府米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴

影部分），每个长方形花坛的长为（、万与+1）米，宽为（W3-1）米.

月I----------------------------------------------\D

---------------------------------------------------------------IC

（1）求矩形465的周长.（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米

的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

【解答】解：（1）（V128+V50）X2

=（8&+5&）X2

=13&X2

=26&（米），

答：矩形46"的周长为26、历米；

（2）V128XV50-2X（-/13+1）X（V13-1）

=872X572-2X（13-1）

=80-24

=56（平方米），

6X56=336（元），

答：购买地砖需要花费336元.

［臧真题演练」?

-----Illlllllllllllllllllillilllllllllllllllll------

1.（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）

A.M与如B.&与gC.神与任D.阮与亚

【答案】D

【解答】解：A、弧=2a和气不是同类二次根式，本选项不合题意；

B、g=2次与血不是同类二次根式，本选项不合题意；

C、近与我不是同类二次根式，本选项不合题意；

D、J元=5我，&7=3百是同类二次根式，本选项符合题意.

故选：D.

2.（2022•宁夏）下列运算正确的是（）

33626

A.-2-2=0B.-、叵=".尼C.x+x=2xD.（-尤D=%

【答案】D

【解答】解：A.-2-2=-4,故此选项不合题意；

B.我-a=&,故此选项不合题意；

C.X3+X3=2X3,故此选项不合题意；

D.（-x3）2=x6,故此选项符合题意；

故选：D.

3.（2020•绥化）化简内力-3|的结果正确的是（）

A.V2-3B.-V2-3C.V2+3D.3-72

【答案】D

【解答】解：vV2-3<0,

•••lV2-3|="（V2-3）=3-V2.

故选：D.

4.（2022•安顺）估计（2^+5>巧）■的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【答案】B

【解答】解：原式=2+近5，

-->3<V10<4,

5<2+715<6,

故选：B.

5.（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）

A.V2+/3=V5B.4V3-3V3=1c.712-^2=76D.V2xV3=V6

【答案】D

【解答】解：A、弧与我不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；

B、473-373=V3>故8不符合题意；

C、V12-r2=V3>故C不符合题意；

D、V2xV3=V6,故。符合题意；

故选：D.

6.（2021•包头）若x=J5+l,则代数式无2-2x+2的值为（）

A.7B.4C.3D.3-2近

【答案】C

【解答】解：：x=&+l,

'.x-1=V2，

（x-1）2=2,BPx2-2x+l=2,

-2尤=1,

-2x+2=1+2=3.

故选：c.

7.（2022•德州）-我

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=3企-2&

故答案为：V2-

8.（2022•荆州）若3-我的整数部分为a,小数部分为b,则代数式（2+-Qa）%的值

是.

【答案】2.

【解答】解：

Al<3-V2<2,

:若3-的整数部分为a,小数部分为6,

'.a=\,b=3-V2_1=2-y[2,

：.（2+V2fl）・b=（2+V2）（2-V2）=2,

故答案为：2.

9.（2022•天津）计算（。而+1）（>/19-1）的结果等于.

【答案】18.

【解答】解：原式=（V19）2-P

=19-1

=18,

故答案为：18.

10.（2022•内蒙古）已知x,y是实数，且满足工，则的值是____.

'8

【答案】见试题解答内容

【解答】解：y—Vx-2+V2-x+—>

8

.'.x-220,2-x20,

/•x=2>y=-^-，

8

则原式=企乂虐^=

故答案为：1

2

11.（2022•陕西）计算：5X（-2）+&X&-（_1）

3

【答案】-9.

【解答】解：原式=-10+V16-3

=-10+4-3

=-9.

12.（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+26）2+（a+26）（a-26）+2a（b-a）,其中a

=V3-72-6=«+&.

【答案】6ab,6.

【解答】解：原式=/+4d+4"+/-4■+2"-2a2

=6ab,

\'a=y/3~V2，0=F+&，

•二原式=6次？

=6X（V3-V2）（V3+V2）

=6.

13.（2022•济宁）已知°=2+-n，b=2-后,求代数式/6+用的值.

【答案】-4.

【解答】解：：。=2+泥，b=2-后

crb+ab2

=ab（4+。）

=（2+病）（2-V5）（2+V5+2-V5）

=（4-5）X4

=-1X4

=-4.

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1.（2023春•上思县月考）下列各式与祀是同类二次根式的是（）

A.VO72B.712c.V20D.V32

【答案】D

【解答】解：五”“£,与&不是同类二次根式，

5

故A不符合题意；

V12=273-与&不是同类二次根式，

故8不符合题意；

V20=275.与祀不是同类二次根式，

故C不符合题意；

V32=472.与&是同类二次根式，

故。符合题意，

故选：D.

2.（2022秋•深口区期末）后方是经过化简的二次根式，且与述是同类二次根式，则x

为（）

A.1B.-5C.-1D.5

【答案】A

【解答】解：：后五是经过化简的二次根式，且与灰是同类二次根式，

：.7-2x=5,

解得X=l.

故选：A.

3.（2023春•仁化县期中）计算：

（Di+M：V27W12-6^1-+|W3|-⑵计算：/？-百（如W5）,

【答案】（1）0；（2）376+2.

【解答】解：（1）原式=3A/^-2AB-6X与阳

O

=3V3-2V3-273+V3

=0；

⑵原式=（右）2+2瓜+（V2）2-3+V6

=3+2>/6+2-3+V6

=3^6+2.

4.（2023春・3匕京期中）计算：折一&X“+J（-2）2.

【答案】诉-2.

【解答】解：727-V2xV8+V（-2）2

=V27-V16+V4

=3V3-4+2

=3V3-2.

5.（2022•长安区校级开学）计算：（J底-107^）-3（/后4'）.

【答案】573-11V5.

【解答】解：原式=4我-10义近.-3（3泥-1）

53

—4^3-2^5-9V5+V3

=573-11V5.

6.（2023春•拱墅区校级期中）计算：

⑴V5+710X倔.

（2）（2V2+V3）X（V3-V2）.

【答案】（1）11V5；

（2）V6-1.

【解答】解：（1）V5+V10xV50

=V5+V500

=V5+loV5

=1