2025中考数学专项复习：相似三角形（考点清单）原卷版

考点清单6-1相似三角形

(9个考点梳理+16种题型解读+10种方法解读)

两条线段长度的比

线段的比|------------------

【注意】求线段的比时，两条线段先统一长度单位

比例线段

在四中，如果其中两^£8的移于另外两的比

成比例成比例线段

其中a,b,c,d是成比例线段

娥个寸T【注意】不能写成其它形式

角分别相等，边成叱例

--------------:---------------19比例中项

相似比：相似多边形对应边的比|-------在比例式产彳，若b=c—b2=ad-b叫做a和d的比例中项

相似多边形

。对应角相等

--------------------1蜩

❷对应边成比例-------

相平行线分线基本事实两条线段被一对应的线段成比例

।——)(三个角相等似段成比例组平i亍线所截

图

|相似--------------1两个三角形中定义图

1——1三条刎既।产2--------------------截其它两边

形

形ffiie平行于三角形所得对应阚EM

截两边的延长线

的一条边的直线

相

似相似i图形

对应点连线交于一点

对应线段平行或共线

2-广守❷先判断是否相似

判断方法|-T--------------------

------------❷再看对应点的连线是否经过位似中心

位似图腕似

■对应边互相平行或者共线

❷两角分别相等对应点到位似中心的距离之比=相似比

定中心确定位似中心

-----------------1❸两边外-角

夹角相等卜~^-------判定连线位似中心和原图关键点

与其它两❹平行于三角形延长

所构哪三角形-虻角形边相交的联1-画法-定点确定位似图关键点下

❺斜边和苴角边成比例(&)

连线顺次连接

易错原点为中心，树以比为k对应点的坐标的比等于kgg-k

考点侪单

【清单01】比例线段

比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线

段，简称比例线段.四条线段a,b,c,d,如果幺=—，那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d叫

bd

做比例外项，线段b,c叫做比例内项.

77K)

比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即。：人二人"或一=—,那么线段b叫做线段a,c的

bc

比例中项.

【清单02】比例性质的基本性质

基本性质：色=&。)

1)ad=be(bdw0

—=^(&,c,d不为0)

2)推论:—=—<—=—(a,b,d不为0)

bdbav)

—=—d不为0)

ca

a+bc+daca-bc-d心c、

3)合比性质：a=±o(bdwO)，分比性质:=—=------=-------(bdwO)

bdbdbdbdI)

AR

4）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB>BC）,满足叫=至（此时线段AB是线

ABAC

段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它

J5-1

们的比值为二一，近似值为0.618.

2

ABC

【清单03】平行线分线段成比例

定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有第=瞿或黄=瞿或盖=高或差=整或祟=番等等.

卜卜卜卜下下下下卜下

2）对应线段成比例可用语言形象表示：===或k=k或;=；或｝=《或丁=士等等.

下下全全上上全全上下

推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例.

CD

AC

【清单04】

相似图形：把形状相同的图形叫做相似形.

【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；

2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；

3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关.

【清单05】相似多边形

相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做

相似多边形.

相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.

相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“S”，读作“相似于”.

【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；

2）全等多边形的相似比是1,即全等图形是一种特殊的相似图形;；

3）当用符号“s”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.

【清单06】相似三角形

相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如AABC和4DEF

相似可表示为△ABCS/\DEF.

【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.

【注意事项】符号“s”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如

△ABC^ADEF,表示顶点A与D,B与E,C与F分别对应；

【易错点】如果仅说aABC与4DEF相似，没有用“s”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.

【清单07】相似三角形的性质与盘底

相似三角形的性质：

1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

3）相似三角形周长的比等于相似比.

4）相似三角形面积比等于相似比的平方.

5）传递性：若△ABCS^BDC,AABC^AADB,则△BDCS^ADB.

相似三角形的判定方法：

1）判定三角形相似的常用定理：

①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

②三边成比例的两个三角形相似；

③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

④两角分别相等的两个三角形相似.

2）直角三角形相似的判定方法：

①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.

②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.

③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.

【清单08】位似图形

定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这

个交点叫做位似中心.

判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中

2.位似图形的性质

1）位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.

2）位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等.

3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.

5）一对对应边与位似中心（不在同一直线上）形成的两个三角形相似

3.画位似图形

位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换.

【清单09】位似图形的坐标特征

一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的

相似比为k,那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.

【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标

符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.

盛型陆单

【考点题型一】成比例线段

【解题思路】

1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条线段的比与

后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例；

2）成比例的线段是有顺序的，比如：已知a，b,c,d成比例，贝钎:即：在1=嘉）或a：b-d,要注

意位置不能随意颠倒.

1.⑵-24九年级上•江苏扬州•期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（)

A.4,5,8,10B.5,6,7,8C.2,4,6,8D.3,4,6,7

2.（23-24九年级上•江苏泰州•期中）已知线段a、b、c,当a=4,b=5时，则a、b的比例中项c等于

)

A.±2V5B.2V5C.±6D.6

3.（22-23九年级上•广东河源・期中）已知四条线段4,x,2,3成比例,若%为整数，贝!=

4.⑵-24九年级上•江苏宿迁•期中）已知点尸把线段分割成AP和尸8Q4P>8P）两段，如果AP是AB和

PB的比例中项，那么BP:力P的值等于—.

【考点题型二】图上距离与实际距离

【解题思路】比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位）

1.（23-24九年级上.江苏盐城•期末）在比例尺为1:38000的扬州旅游地图上，某条道路的长为5cm,则这

条道路实际长km.

2.（22-23九年级上•江苏无锡•阶段练习）在比例尺为1:20000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为

2.5厘米，则其实际距离为米.

【考点题型三】利用比例的性质求解

解题方法：与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果.

1.（23-24九年级上.江苏无锡・期中）若？=则唉=（）

b2a+b

123，

A.-B.-C.-D.-

3353

2.（23-24九年级上•江苏南京・期末）如果a:b:c=2:3:4,a+b+c=36,那么2。一3b+4c=_.

3.（20-21九年级上•全国•课后作业）已知线段a,b,c满足色=2=£,且a+2b+c=26.

326

（1）求线段a,b,c的长.

（2）若线段巾是线段a,6的比例中项，求线段小的长.

【考点题型四】黄金分割

1.（23-24九年级上•江苏盐城•期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，尸为4B的黄

金分割点（4P>PB）,如果48的长度为10cm,那么4P的长度是（）

B

A.（5V5-10）cmB.（15-5V5）cmC.（5V5-5）cmD.（SVS+5）cm

2.（23-24九年级上.江苏扬州•期中）如图，点尸是线段48的黄金分割点，且4P<BP.如果2B=2,那

么BP=.

III

APB

3.（22-23九年级上•江苏南京•期末）已知线段48=2,若C,。是4B的两个黄金分割点，则CD长

为.

4.（23-24九年级上.江苏连云港•期末）（1）在图①中按下列步骤作图：

I|||

ACAB

图①图②

第一步：过点C画CD14C,使

第二步：连接力D,以点。为圆心，DC的长为半径画弧，交2D于点E；

第三步：以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点反

（2）在所画图中，点8是线段2C的黄金分割点吗？为什么？

（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你在图

②中以线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.（不写作法，保留作图痕迹）

【考点题型五】相似图形的识别

1.（23-24九年级上.江苏宿迁•期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（）

2.（22-23九年级下•山东青岛•开学考试）下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中

不一定是相似图形的是（）

3.（22-23八年级下•山东烟台・期末）以下命题中，①两个直角三角形一定相似；②两个等边三角形一定相

似；③两个菱形一定相似；④任意两个矩形一定相似；⑤两个正六边形一定相似.其中真命题的个数是

()

A.I个B.2个C.3个D.4个

【考点题型六】利用相似图形的性质求解

1.（20-21九年级上.江苏扬州•假期作业）图，四边形ABCD与四边形4BO相似，若NB=65。，ZC=

82°,NA=110°,则ND=°.

2.（20-21九年级上•江苏南通•阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,剪去一个矩形ABEF

后，余下的矩形EFDCs矩形BCDA,则EC的长为

AFD

BEC

3.（23-24九年级上•山西太原•期中）五边形ABCDEs五边形AB'C'O'E',相似比为1：3,若2B=2,则

A'B'=_________

4.（23-24九年级上•吉林长春・期中）如图，四边形ABCDs四边形EFG”.若48=18,EF=4,FG=6,

NB=77。，ZC=83°,NE=117。，求线段BC的长和NH的大小.

【考点题型七】利用平行线分线段成比例求解

模型介绍。A型4X型9

图示QED

A

A

BC二BC二

..„..ADAE^ADAE,..4DAE-^,4DAE,

几何表达」.DEIIBC..——=——或——=—P.DE//BC..——=——或——=—Q

4BACBDCEABACBDCE

解题方法：当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线

段的比例式，把线段的长代人比例式，通过解方程求出线段的长“

1.（20-21九年级上.江苏南京.期末）如图，直线为12%，直线。、b与小I2、G分别交于点A、B、C和点

D、E、F,若4B:BC=1:2,DF=6,则5T的长为（）

A.2B.3C.4D.5

2.（23-24九年级上•江苏无锡・期中）如图，直线a||b||c,直线AC分别交a,b,c于点4B,C；直线DF分

别交a,b,c于点D,E,F.若蔡=|,则案=（）

3

cD.

-12

3.（23-24九年级上.云南昆明•阶段练习）如图，AB||CD||EF,若祭=BC=6,贝UCE的长=

4.（23-24九年级上.江苏淮安・期中）如图，已知28IIC0IEF,它们依次交直线12,于点人、E和点

B、D、F,若力C:CE=2:3,BF=9,求DF的长.

【考点题型八】作平行线构造成比例线段

解题方法：当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图

形，构造出“A型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建,

准确识别是处理此类问题的关键.

1.（23-24九年级上•河北邯郸•阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一

条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段BC=3cm,则线段AC的长是（）

C.4.5cmD.5cm

2.（22-23八年级下•江苏无锡・期末）如图，在中，。在ZC边上，AD-.DC=1:2,。是80的中点，连

接4。并延长交BC于点E,若BE=1,则EC的长为（）

A

D

/^70\

BEC

A.2B.2.5C.3D.4

3.(23-24九年级上•四川内江・期中)如图，△4BC中，。在力C上，且AD:DC=1:3,E为BD的中点，AE的

延长线交BC于F,那么芸的值为.

4.(22-23八年级下•江苏盐城•期中)本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答

以下问题：

(1)三角形中位线定理是：_；

(2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中

位线.如图①，EF就是梯形A8CD的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？

小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接2F并延长，交BC的延长线于点G.先证△4。尸和小

GCF全等，再说明EF是AABG的中位线.经过你的分析，请写出梯形的中位线EF和两底4。、8c之间的关

(3)已知梯形的中位线长为7cm,高为6cm,则梯形面积是_cm2；

(4)如图③，直线/为团ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、。分别作直线/的垂线段BE、AF,CG、

DH,请探索线段BE、AF,CG、之间的数量关系，并证明.

图③

【考点题型九】选择或补充条件证明两个三角形相似

解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法.有时条件不具备，需从以下几个方面探求：

1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；

2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；

3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；

4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；

5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例.

1.（22-23九年级上•江苏泰州•期末）如图，点E为△48C外两点，给出下列信息：①4BAD=4CAE；

®^ADB=AAEC；®AABC=^ADE.

请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由.你选择

的补充条件是，结论是.（填写序号）

2.（22-23九年级上•江苏镇江•期末）如图，N1=N2

（1）要使△ABC“△ADE,需要添加什么条件，说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果4B=24D,DE=2,贝ijBC=_

3.（20-21九年级上.江苏镇江.期末）如图，已知华=华.

ADAE

（1）添加条件（答案不唯一，写出一个即可），使得△ABC“△4DE；

（2）由（1）,你还能得到哪两个三角形相似？说明理由.

AE

BD

【考点题型十】利用相似三角形的性质求解

解题方法：利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运

用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.

1.（23-24九年级上.江苏扬州.期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：

5,且三角板的一边长为10cm.则投影三角板的对应边长为（）

A.25cmB.12cmC.4cmD.3.2cm

（23-24九年级上.江苏无锡・期末）如图，△ADCsZkBAC,下列结论错误的是（

AD_DC

A./.ADC=A.BACAB—BC

C.以平分/BCDD.AC2=BC-CD

3.（23-24九年级上•北京门头沟.期中）如图，在AABC中，D、E分别是边4B、4C上的点，且DEIIBC,若

AD:DB=2:3,贝IJAADE与AABC的面积比等于.

4.（22-23九年级下•江苏南京•期中）如图，在平行四边形A8CD中，点E在4D上，AE=2ED,射线BE交

CD的延长线于点R若SADE尸=L贝US"CF的值为.

F

AE

D

B

【考点题型十一】相似三角形性质与判定综合

1.（23-24九年级上.江苏扬州.期末）如图，正方形2BCD的边长为4,BF=1,E为4B的中点.

求证:

{\)^AEDS&BFE.

(2)£T1ED.

2.（23-24九年级上•江苏南京•期末）如图，在四边形ABC。中，点、E,尸在边BC上，连接2E,AF,DF,

A—B=—AE,Z.BAAFV=Z.LEA4DC.

AFAD

D

(2)若NB=NC,AB=5,^1=|,贝UCF=_.

3.（23-24九年级上•江苏苏州•期中）如图