北师大版八年级数学专项复习：二次根式的乘除（原卷版）

第08讲二次根式的乘除

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学习目标

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1.掌握二次根式的乘法法则：瓜・、乐=而(。20/20),能利用其进行计算，并能逆

用法则进行化简

2.掌握二次根式的除法法则:-j==^a>0,b>0),能利用其进行计算，并能逆用法

则进行化简。

3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最

简形式。

||雷基础知识f

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知识点1:二次根式的乘法法则

1,二次根式的乘法法则:品=疝(a>0,b>0)

(二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变)

2.二次根式的乘法法则的推广

(1)Va-Vb-4c=Vabc(a>0,&>0,c>0)

(2)a7b-cVd=acVbd(^>0,J>0),即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘

单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。

3.二次根式的乘法法则的逆用

疝=布•瓜a>0,b>0)(二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质)

4.二次根式的乘法法则的逆用的推广

Jabcd=Va-Vb-Vc-4d,(a>0,Z?>0,c>0,J>0)

知识点2：二次根式的除法法则

1.二次根式的除法法则

^=^(a>0,b>0)(二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变)

2.二次根式的除法法则的推广

,x/a-+y/~b+y[c—Ya+b+c(a20,Z?A0,c20)

注意:

(1)a20,b>0时,

7厂成才有意义;

(2)如果被开方数时带分数，应先化成假分数

y

知识点3：最简二次根式

1.最简二次根式的概念

(1)被开方数不含分母

(2)被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式

2.化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方V8=74^2=272

若被开方数中含有带分「p2V3

数,先将被开方数化成假

分数

若被开方数中含有小数，Vo9=!!=更=巫

先将小数化成分数■V10vioo10

化去根号下的分母若被开方数时分式，先将1__5a_15a-3c_115ac_4l5ac

正之26bc

分式分母化成能转化为2^c—X12b,3c—X36b,c—

平方的形式，再进行开方

(a>0,b>0,c>0)

运算

被开方数时多项式的要先因式分解,X，2xy+y2"(x+Y)=x+y

(x20,y20)

3.分母有理化

(1)分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的

根号。

Q考点剖析^

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考点一：求字母的取值范围

1.（2022秋•永兴县期末）若'x（x-6）=47x-6则（）

A.x26B.%20

C.(XW6D.%为一切实数

（2°23春.西城区校级期中）若底=等£成立’则x的取值范围为（

【变式1-lJ

A.B.GO或xVlC.X<1D.0«l

【变式1-2]（2023春•城区校级期中）化简（加彳）2+1%-2|结果为（)

A.0B.2x-4C.4-2xD.4

【变式1-3】（2022春•尧都区期中）若心亚.心耳=«软2则a的取值范围是（

A.B.-2C.g24D.-2

考点二：二次根式乘除的运算

2.（2021秋•浦东新区校级月考）计算：2V3XV12X-^Vs-

【变式2-1]（2023春•鹿城区校级期中）计算：-近Xj7=（)

A.^14B.-V14C.277D.-2^7

【变式2-2]（2021秋•古冶区期末）计算:

(1)V3X6;(2)V27-

|例3.（2021春•铁西区期末）计算：J药X洞+2泥.

【变式3-1]（2022春•周至县期末）计算：伍X4假小J欣.

【变式3-2]（2021春•静安区校级期中）计算：3V3^2A/2X4V3.

【变式3-3]（2021春•西吉县期末）计算:小(3728)x(-

考点三：二次根式符号的化简

例3.（2021春•闵行区校级期中）计算:

b2

【变式3-1]（2020秋•浦东新区校级期中）计算:

【变式3-2]（2020秋•宝山区校级月考）计算:

考点四：最简二次根式的判断

4.（2023春•南昌县期中）下列根式中属于最简二次根式的是（）

2

A.VQ75B.V8C.V27D.7a+l

【变式4-1]（2023春•北京期中）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.V3B.VT5C.旧D.V8

【变式4-2]（2023春•朝阳区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（

A.V5B.'工C.D.g

考点五：化简最简二次根式

Q1例5.（2022秋•南关区期末）将杉化为最简二次根式的结果是

【变式5-1】（2023春•东湖区校级期中）将化为最简根式是.

【变式5-2]（2023春•雄县月考）化成最简二次根式：.

【变式5-3]（2022秋•长宁区校级期中）二次根式中：A/a2+b2,疝缶、伍、J春是

最简二次根式的是.

考点六：已知最简二次根式求参数

例6.（2023•商丘二模）写出一个实数x,使J启是最简二次根式，则x可以

【变式6-1]（2023春•金乡县月考）若最简二次根式方际元与最简二次根式倔W相

等，贝Im+n=.

【变式6-2]（2022秋•南关区校级月考）若最简二次根式而I与，正是同类二次根式，

贝！Jm=.

考点七：分母有理化

例7.（2022秋•南安市期末）化简：-1=,=.

【变式7-1]（2022秋•徐汇区期末）计算：_尸、

V3W2

【变式7-2]（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：—。

3-V10

[变式7-3]（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法,化简：1

考点八：比较二次根式的大小

例8.（2021秋•曲阳县期末）比较大小：

【变式8-1]（2021春•金坛区期末）比较大小:11（填写“>”或“=”

2-V2V2-1

或.

【变式8-2]（2020•昆山市一模）设b=2+M，c=—1—,则a、b、c从小到

V3W2

大的顺序是.

考点九：分母有理化的应用

「、一例9.(2022春•青秀区校级期中)阅读材料，并解决问题：

।-----'定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.如：将「2厂分母有理化，

V5-V3

解：原式=2至吗)=(V5+V3).运用以上方法解决问题:

(V5-V3)(V5W3)

(1)将1分母有理化;

V3+2

(2)比较大小：(在横线上填或一)

①11

V6-VsW-V6

②L(〃、2,且“为整数)；

Vn-Vn-1Vn+1-Vn

(3)化简：+]+

l+v2v2+v3爽+v4V2021W2022

【变式9-1](2022秋•济南期末)阅读材料：我们已经知道，形如厂0厂的无理数的化

Va±Vb

简要借助平方差公式：

33X(23)

例如:,=_L_6+蓊=6+3电«.下面我们来看看

2^3(2^3)(2W3)22-(V3)4-3

完全平方公式在无理数化简中的作用.

问题提出：M7+4日该如何化简?

建立模型：形如dm+24的化简,只要我们找到两个数。，b,使a+b=m,ab=n,这样

(Va)2+(Vb)2=m,Va'Vb

那么便有：7m±2Vn=V(Va±Vb)2=Va±Vb(。＞匕)，

问题解决：化简：V7+473.

解：首先把J7+4内化为47+2后，这里根=7,”=12,由于4+3=7,4X3=12,即

(V4)2+(V3)2=7,xV3=V12

•,•V7+4V37+2712=7(VI+V3)2=2+>/3-

模型应用1:利用上述解决问题的方法化简下列各式:

（1）V6+275；

⑵V13-4\<10；

模型应用2：

（3）在RtZXABC中，NC=90°,AB=4-AC=、/§,那么边的长为多少？（结

果化成最简）.

（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如摩

33X75_3r=（_）

洛第=逗（二）

V3V3X33

2=2（愿-1）（三）

V3+1（V3+1）（V3-1）（V3）2-l2'

以上这种化简的步骤叫做分母有理化

2=3-1=（“）2-J=（a+i）（«1）%_1；（四）

V3+1V3+1V3+1V3+1

⑴化简房=—遂―点=—哈―

（2）请用不同的方法化简

V5W3

①参照（三）式得

V5W3

②步骤（四）式得厂2=

V5W3———

（3）化简:

__11+___1+…+______1_______

V3+1娓用V7-tV5V2n+1+V2n-1

［域真即演练［I

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1.（2022•桂林）化简J五的结果是（）

A.2A/3B.3C.2A/2D.2

2.（2022•青岛）计算（V27-V12）X患的结果是（）

A.返B.1C.V5

D.3

3

3.（2022•武汉）计算（（一2产的结果是-

4.（2022•天津）计算（W3+1）（JR-1）的结果等于_____

5.（2022•安顺）估计（道+2/^）乂电的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

(V3+^-)XA/6,

6.（2021•兰州）计算:

7.（2022•济宁）已知°=2+遥，6=2-遍，求代数式/计%的值.

8.（2021•西宁）计算：（遍+3）（V5-3）-（V3-1）2.

l］总过关检测［l

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1.（2022秋•海口期末）化简（-五）2的结果是（）

A.9B.±3C.-3D.3

2.（2022秋•卧龙区校级期末）计算后X电的结果是（）

A.1B.gC..L/ZD.3

4V2

3.（2022春•桓台县期中）当。＜0时，化简J石的结果是（）

A.-4。B.4aC.-44D.4〃

4.（2022秋•济南期末）二次根式疝化成最简二次根式是.

5.（2022春•宿城区期末）若二次根式痴百是最简二次根式，则x可取的最小整数

是.

6.（2022秋•安乡县期末）若等式成立，则尤的取值范围是.

7.（2022秋•浦东新区校级月考）分母有理化一^=.

2^15

8.（2020秋•成华区期中）比较大小：2+"®__