2025中考数学专项复习：锐角三角函数（考题猜想）解析版

考题猜想7-1锐角三角函数

（热考+压轴必刷53题12种题型专项训练）

盛理人集合

＞利用锐角三角函数的概念求三角函数值＞解直角三角形的相关计算

＞网格中求锐角三角函数值＞解非直角三角形的相关计

＞特殊角三角函数值的混合运算＞解直角三角形的实际应用

＞根据特殊角的三角函数值求角的度数＞三角函数综合

＞等角代换法求锐角三角函数值＞12345模型

＞求证同角三角函数关系式＞胡不归模型

驳型大通关

一.利用锐角三角函数的概念求三角函数值（共4小题）

1.（23-24九年级上•江西,期末）如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，。是边4B的中点，BE1CD,垂足

、r4

为E,BC=8,cos/-ABC-

⑴求CD的长.

⑵求NDBE的正弦值.

【答案】⑴5

⑵工

'’25

【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念

是解题关键.

(1)先根据余弦的定义可得AB=10,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得;

(2)先求出COSNBCE=cosNZBC=£利用余弦可求出CE的长，从而可得DE的长，再在RtABDE中，利

用正弦的定义求解即可得.

【详解】⑴解：回在RtMBC中，N4cB=90。，BC=8,cos^ABC=

0「cosz.iA4CBC=—BC=8—=-4

ABAB5

EL4B=8X-=10,

4

BD是边力B的中点,

团CD="B=5,

所以CD的长为5.

(2)解：回。是斜边4B的中点,

1

团CO=BD=-AB=5,

2

⑦乙BCE=Z.ABC,

4

国cos乙BCE=cosZ-ABC=

团BE1CD,

P..—CE4priCE4

团COS4BCE=—=即一=

BC585

解得CE=y,

7

国DE=CE-CD=-

59

回sin/DBE=—DE=—7

BD25

所以ND8E的正弦值为《.

2.(22-23九年级上•海南储州・期末)如图，在正方形4BCD中，尸是BC边上的一点，且BC=4PC,。是

CD的中点.

⑴求证：xQCPsxADQ；

⑵求sin/PAQ的值.

【答案】⑴见解析

(2)sinzP4Q=y

【分析】⑴根据正方形的性质得到4D=BC=CD,NC=ND=90。，进而推出会=半=；,即可证得结

DQAL)Z

论；

(2)设CP=x,则CQ=DQ=2x,4D=8C=4B=4x,勾股定理求出PQ,4Q,根据相似三角形的性质证

得乙4QP=90°,勾股定理求出4P即可.

【详解】(1)回四边形4BCD是正方形，

EL4O=BC=CD.Z.C=Z.D=90°,

0BC=4PC,。是CD的中点.

11

⑦PC=：BC,CQ=DQ=：CD,

0AQCP~bADQ；

(2)设CP=%,贝!JCQ=DQ=2xfAD=BC=AB=4x,

团PQ=y)CQ2+CP2=V4x2+x2=V5x»AQ=y/AD2+DQ2=V16x2+4x2=2亚x,

!?]△QCP~AADQ,

^AQD=乙CPQ,

国乙CPQ+乙CQP=90°,

回乙AQD+乙CQP=90°,

团N/QP=90°,

团/尸=JPQ2+AQ2=V5x2+20x2=5%,

r-1.门4CPQVS%VS

团sin^PAQ=—=—=

xAP5x5

【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值，正确掌握各知

识点并熟练应用是解题的关键.

3.(22-23九年级上•北京通州・期末)如图，在RtA4BC中，41CB=90。，。是边48的中点，BE1CD,垂

足为点E.已知力C=6,cosX=|.

A

⑴求线段CO的长；

⑵求cos/DBE的值.

【答案】⑴CD=5；

24

(2)coszZ)BF=余

【分析】(])根据三角函数求出42的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出C。的长

即可；

(2)先运用勾股定理求出BC,再由于。为上的中点可得DC=08=5,推出4DCB="1BC,利用正

弦函数求出BE,据此即可解答.

【详解】(1)解：妫C=6,cos4=|,

rn463

团cosA=——=一,

AB5

24B=10,

回△ABC为直角三角形，。是边的中点，

团CO=5；

(2)解：^\AB=10,AC=6,

BBC=V102-62=8,sinZTlBC=coszX=

团△力BC为直角三角形，。是边2B的中点，

回。C=DB=5,

团NDCB=Z.ABC,

3

^IsinZ.DCB=sinZ-ABC=

团BE1CD,

回乙BEC=90°,

UP

团sin40cB=—,

24

ME=y

RF24

Scos/.DBE=—=—.

BD25

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题.

4.（22-23九年级上•河南南阳•期末）如图，在△力BC中，AB=AC=5,BC=4,BD1AC于点。.

⑴求tan/ABC的值；

⑵求BD的长.

【答案】⑴tan/ABC=手

（2）BD=等

【分析】（1）过点A作4E18C交于点E,由等腰三角形的性质得到BE=EC==2,由勾股定理

得到力E=VH,由锐角三角函数的定义即可得到答案；

（2）过点A作4E1BC交BC于点E,由xBCxxACxBD,进一步即可得到BD的长.

【详解】（1）解：如图，过点A作4E1BC交BC于点E,

EL4B=AC,AE1BC,

1

团BE=EC=-BC,Z-AEB=90°,

2

BBC=4,

国BE=EC=-BC=2,

2

在RS/EB中,

国匕AEB=90°,

^AE2=AB2-BE2,

BAB=AC=5,BE=2,

团值=52-22=21,

^\AE=V21..

在RtAZEB中，

^AEB=90%AE=V21,BE=2,

^tanZ-ABC=—=底工.

BE2

（2）解：如图，同（1）,过点A作交BC于点£,

团4E1BC,

^AABC=2XBCXAE,

又团BDlACf

1

^AABC=2XACXBD，

11

团S//RC=2xBCxAE=-xACxBD,

团4c=5,BC=4,

又回由（1）求得/E=VH,

而。=处”="

AC5

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的

性质和勾股定理是解题的关键.

二.网格中求锐角三角函数值（共4小题）

5.（2023•广东湛江•三模）△ABC在正方形网格中的位置如图所示，贝IsinB的值为.

【分析】过点A作2D1BC于点。，设小正方形的边长为a,首先根据勾股定理求出4B=2岔a,然后根

据正弦的概念求解即可.

【详解】解：过点A作AD1BC于点。，如图所示,

设小正方形的边长为a,

贝U2B=J(2a)2+(4a)2=2后,

EL4D=4a,AD1BC,

门.nAD4a2V5

团.sinB=—=-p-=——,

AB2y/5a5

故答案为：言.

【点睛】本题在网格中考查求锐角的正弦值，掌握正弦的定义以及勾股定理是解题的关键.

6.(22-23九年级上•山西忻州・期末)如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin/BAC=

【答案】黑

【分析】根据勾股定理求出的长度，过点2作BO14C于点根据面积法求出8D,再根据公式求

出答案.

【详解】解：根据勾股定理得，AC=V32+32=3V2,AB=V32+22=V13,

过点8作BD于点。，

EISAABC=|BC-AE=jxC-BD,

「ncBCAE3V2

团BD=------=—^=—

AC3V22

V2

V26

=—

26

故答案为：喀.

26

【点睛】此题考查了求角度的正弦值，勾股定理求线段长度，正确掌握计算公式是解题的关键.

7.（22-23九年级上•山西太原•期末）如图.在每个小正方形的边长均为1的方格图中.点A,C,M,N均

在格点（网格线的交点）上，4N与CM相交于点P,贝UtanNCPN的值为.

【答案】1

【分析】利用等角转化得到"PN=4BAN=45。，即可求解.

【详解】解:如图，平移MC至4B,

贝此CPN=乙BAN,

连接BN,

S\BD=NC,AD=BC,Z.ADB=4BCN=90°,

0AABD=△BNC(SAS),

^DAB=ACBN,AB=BN,

EINDBA+乙CBN="BA+ADAB=90°,

EINABN=90°,

EINBAN=乙BNA=45°,

团4CPN=4BAN=45°,

回tanz_CPN=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的求值问题，涉及到了平移、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的

性质等知识，解题关键是利用平移进行等角转化，得到等腰直角三角形，求出角.

8.（21-22九年级上•江苏扬州•期末）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则tanB

【答案】|

【分析】先利用格点和勾股定理计算AB、AC、BC,再判断0A8C的形状，最后求出切法.

【详解】解：连接4、C,

贝l|AB=yj22+22=2V2,

AC=V12+I2=V2,

BC=V12+32=V10,

^AB2+AC2=BC2,

MA2C是直角三角形.

mACV21

—="产

AB2\[22’

故答案为：

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理和勾股定理的逆定理是

解决本题的关键.

三.特殊角三角函数值的混合运算（共3小题）

9.(22-23九年级上•山东泰安•期末)计算下列各题：

(l)sin245°-V27+|(V3-2006)0+6tan30°

(2)sin230°—cos45°-tan60°+——tan45°.

【答案】⑴1-百

⑵…

'，42

【分析】(1)分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数累等运算，然后合并；

(2)将特殊角的三角函数值代入求解.

【详解】(1)解：原式=(彳)2—3百+T+6X.

=1—V3；

(2)解：原式=；一日*百+1-1

_1_V6

-42,

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数暴等知

识，掌握运算法则是解答本题的关键.

10.(22-23九年级下,安徽安庆,期末)已知a是锐角，且sina=孝.求3cos2戊+sin(a—15o)tan(a+

15°)-V3cos(a-15。)的值.

【答案】f

【分析】先根据sina='且a是锐角求出a的度数，再将特殊角的三角函数值代入求解.

【详解】解：Esina='且a是锐角，

0a=45°,

团3cos2a+sin(a—15°)tan(a+15°)—V3cos(a—15°)

=3cos245°+sin30°tan60°—V5cos30°

7

ZV2\1g

=3x[—\+-xV3-V3x-y-

3V33

-——I—--------

222

=立

-2.

【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，根据a的正弦值求出a的度数是解题的关键.

11.(23-24九年级上•山西临汾•阶段练习)⑴&sin30o+tan6(r-cos45o+tan30。；

(2)(01+|1-V3|-2sin60°+(兀―2023)°-V8；

2

⑶已知N44B,NC是锐角三角形4BC的三个内角，且满足(2sin4—百)+VtanS-1=0,求NC的度

数；

⑷已知tana的值是方程/—x—2=0的一个根，求式子等竺*的值.

2cosa+sma

【答案】(D#

(2)3-272

(3)75°

(4)；

【分析】(1)先求出特殊角的三角函数值，然后进行运算即可；

(2)先分别计算负整数指数幕，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数哥，算术平方根，然后进行加减

运算即可；

(3)由题意得，2sinA-V^=0,tanF-1=0,计算求解，确定乙4,乙B,然后根据三角形内角和定理

求解即可；

3sina-cosa

(4)解方程得正切值，然后根据;sina-cos'=瞟=学产二,计算求解即可.

2cosa+sina"0\"十、皿2+tana

cosa

【详解】(1)(1)解：V2sin30°+tan60°-cos45°4-tan30°

/_1z-V2V3

=V2X-+V3--+—

=-4V-3-

3，

(2)解：(1)+|1-V3|-2sin60°+(?r-2023)°-V8

LWL

=3+V3-l-2x—+1-2V2

=3-2V2；

(3)解：回(2sin/—A/5)+VtanB-1=0,

团2sin4—V3=0,tanB-1=0,

解得sim4=当，tanB=1,

团乙/=60°,乙B=45°,

团乙。=180°一4A—=75°,

团乙。的度数为75。；

(4)解：0%2—x—2=0,

(%+1)(%—2)=0,

角军得%

1=-1,x2=2,

回tana=2,

3sina-cosa

...Ssina-cosacosa__3tana-1__2x3-1__5

2cosa+sina=na=2+2=”

啜。sa+sina2+ta

cosa

回式子3sina-cosa的值足.

2cosa+sinct

【点睛】本题考查了特殊的三角函数值，负整数指数幕，绝对值，零指数累，算术平方根，三角形内角和

定理，同角三角函数的关系，解一元二次方程.熟练掌握特殊的三角函数值，一元二次方程的根等知识是

解题的关键.

四.根据特殊角的三角函数值求角的度数（共5小题）

12.（2023•浙江杭州•一模）如图，在AaBC中，。是力B上一点，41=NB,N2=N4.

（2）若衿型求乙4的度数.

【答案】⑴见解析

(2)44=30°

【分析】（1）根据三角形内角和定理表示出N4DC,NBDC,根据平角的定义可得NADC=NBDC=90。,

即可得证;

（2）根据⑴的结论证明乙4cB=90。，根据已知证明△力DCS^CDB,根据相似三角形的性质得出笠=

y,根据特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】（1）证明：在AAOC中，42DC=180。—（41+44）

在△BOC中，/-BDC=180°-（Z2+Z.B）

团乙1=乙B,Z2=4A.

^Z.ADC=乙BDC,

又团4ZDC+NBDC=180°,

^ADC=（BDC=90°,

团COLAB；

（2）回41=乙B,Z2=4/,AADC=（BDC=90°

田41+=乙2+乙8=90°

团乙1+乙2=90°一乙4+90°一=乙4+乙B,

团41+42=+乙8=90°,

^ACB=90°,

团乙1=Z.B,42=乙4,

0AADCCDB,

/跑=（些）2=工，

S^ACD14c73

笔=包

AC3

~ABC6

团tan/=—=——,

AC3

团=30°.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理的意义，相似三角形的性质与判定，根据特殊角的正切值求角度，

熟练掌握以上知识是解题的关键.

13.（23-24九年级上•全国•课后作业）在AABC中，乙4、NB满足（sin4-《丫+,anB-8|=0,试判断△

4BC的形状，并说明理由.

【答案】直角三角形，理由见解析.

【分析】本题考查了非负数的性质，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质求出

sin力、tanB的值，再根据乙4、NB均为锐角及特殊角的三角函数值、三角形内角和定理即可求出三角形各

角的度数，进而判断出其形状，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：A/IBC为直角三角形，理由如下：

由题意，得sin力一1=0,tanB-V3=0,

ElsinTl=tanB=V3,

2

0ZX=30°,乙B=60°,

0ZC=180°-30°-60°=90°,

团△ABC为直角三角形.

14.(22-23九年级下•辽宁沈阳•开学考试)如图，4B是。。的直径，点C在48的延长线上，点。、E为。

。上两点，连接CD、BD、ED,/.CDB=连接BC.

⑴求证：CD是O。的切线；

(2)若BC=4,CD=4V3,求BD的长.

【答案】⑴见解析

(2)BD=4

【分析】(1)连接£M、0D,可得NCDB=4E=乙4=/.ADO,40DB+/.ADO=90°,即可得到4ODC=

90。，可证明CD是。。的切线；

(2)在RtAODC中，利用勾股定理求出半径为4,即可利用特殊三角函数得到NB。。=60。，得到△BOD

为等边三角形，可得BD=4.

【详解】(1)连接D4、0D,

EL4B是O。的直径，

0ZXPB=90°,

EIZOOB+/.ADO=90°,

004=OD,

回乙4=Z.ADO,

SZ.CDB-Z.E,Z.E-/.A

国乙CDB=Z.E=Z.A=/-ADO,

国乙ODB+乙CDB=90°,

即乙。。。=90°,

I3CC是。。的切线；

(2)设半径为R,则。。=OB=R,OC=OB+BC=R+4

在RtAODC中，。。2+亦=。。2,

2

0/?2+(4V3)=(R+4)2,解得R=4,

团。0=OB=4,OC=8

HcoszDOC

OC2

ON。。。=60°,

团△B。。为等边三角形，

EIBD=4

【点睛】本题考查切线的判定，特殊角度三角函数，解题的关键是根据特殊角度三角函数得到4。。。=

60°.

15.(2023•广东河源•一模)如图，在矩形48CD中，4B=5,BC=10,点E是边8c上一点(点£不与

B,C重合)，过点E作EFIDE交力B于点F,连接OF.

(1)当BE=2时，求tan/ED尸的值；

(2)当月F=EF时，求N4DF的度数；

⑶若点厂为4B的中点，求BE的长.

【答案】(l)tanzEDF=|

(2)乙40尸=15°

⑶BE的长为U磬或胃

【分析】(1)利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得丝，再利用直角三角形的边角关系定理解答

即可;

(2)利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质和平行线的性质解答即可；

(3)利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质列出关于BE的比例式解答即可.

【详解】(1)解:0EF1DE,

0ZFED=90°,

HZBEF+乙DEC=90°.

回四边形4BCD为矩形，

回ZM=BC=10,AB=CD=5,zS=ZC=90°,

国乙BFE+Z.BEF=Z.BEF+乙DEC=90°,

^BFE=乙DEC,

BEFCDE,

「FEBE2

团--=--=~.

DECD5

国乙FED=90°,

pp?

0tanzEDF=-=-；

DE5

(2)解：回四边形/BCD为矩形，

团乙4=90°,

团EF1DE,

国乙FED=90°,

在Rt△AFD和Rt△EFD中,

(AF=EF

IDF=DF'

团Rt△AFD=RtAEFD(HL),

^DA=DE=10,Z.ADF=乙EDF.

在RtAEC。中，sinZ.CED=-=

DE2

0ZCED=30°,

团4。IIBC,

^Z.ADE=乙DEC=30°,

^Z.ADF=-/-ADE=15°；

2

(3)解:回点尸为4B的中点,

WF=-AB=-,

22

BEF1DE,

^FED=90°,

^Z-BEF+/.DEC=90°,

团四边形4BC0为矩形,

团4B=ZC=90°,

^BFE+^BEF=90°,

国乙BFE=乙DEC,

IHABEFCDE,

回^B--F==-C-E

BECD

5

「310-BE

[?]—=------------

BE5

解得：BE=

如E的长为若在或修I

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性

质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的

关键.

16.（2023•江西•模拟预测）课本再现

ABAC

(1)如图1,在RtzX/BC和中，4c=90。，/C'=90。,

A'B'A'C'

求证：RIAABC-Rt^A,BrC,.我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证Rt△〜Rt△

A'B'C,可设法证会7=AB备，若设券=备=七则只需证怒

BCA'B'

请你根据以上分析，完成证明.

知识应用

(2)如图2,在四边形PMQN中，ZM=/-PQN=90°,PQ2=PM-PN,翳=当，求NN的度数.

【答案】(1)见解析

(2)60°

【分析】(1)设黑=今7=匕再利用勾股定理证券=k,即可得券=券=痣，从而得出结论;

ADA(>DLJ(>ADAO

(2)证明RtAPMQsRt△PQN,得出瑞=黑=/，再利用正弦定义sinN=^=*即可求解.

【详解】解：(1)设券=关7=鼠贝必8=卜4夕，AC^kA'C,

在Rt△ABC,由勾股定理，得

BC=yjAB2-AC2=ky/A'B'2-A'C'2,

在RtAA'B'C',由勾股定理，得

B'C=JA'B'2-A'C'2,

年一命环萨

BC_AB_AC

回FF7=而=拓7'

0Rt△ABC〜Rt"8'C'；

(2)国PQ?=PM,PN

「回-PQ-=-P-M-

PNPQ

团NM=Z.PQN=90°

回由(1)知：Rt△PMQ-Rt△PQN

型="=如

NQPN2

在RtAPQN中，sinN=轻=与

ElzN=60°.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，正弦定义，特殊角三角函数值，熟练掌握相似三

角形的判定与性质是解题的关键.

五.等角代换法求锐角三角函数值(共2小题)

17.(2024九年级下•浙江•专题练习)如图，4B为。。的直径，点C是弧力B的中点，点。在圆。上，点E

在的延长线上，且EF=ED.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)连接8C,若tanNBCD=/DE=6,求4B的长.

【答案】⑴见解析

(2)9

【分析】(1)连接。D,OC,利用等弧所对圆心角相等以及平角定义求出44OC=NBOC=90。，进而求出

乙OCF+乙OFC=90°,利用等边对等角可得出NOCD=乙ODC,乙EDF=4DFE,结合对顶角的性质可求出

乙CDO=90°,利用切线的判定即可得证；

(2)过。作于利用同角的三角函数性质求出了=三，设=AH=2x,半径为r,在

AH2

RtAODH中，利用勾股定理求出r=-x,进而求出。"=三x,在RtADOH中，利用正切定义求出

44

tanzDOH=在RtZkDOE中，利用正切定义求出00,即可求解.

C

团点C是弧的中点,

如=宽,

^Z.AOB=乙BOC,

5LZ,A0C+L.BOC=180°,

^AOC=乙BOC=90°,

团乙OCF+乙OFC=90°,

BOC=OD,DE=FE,

也上OCD=Z.ODC,乙EDF=乙DFE,

又乙OFC=乙DFE,

⑦乙ODC+乙CDF=90°,即NCO。=90°,

团。。1DE,

又00是。。的半径，

回DE是。。的切线；

(2)解：过。作J.4B于

国匕A=乙BCD,

1

团tan/=tanZ,BCD=

2

「DH八八1

0—=tanZ=

AH2

设0"=%,AH=2x,半径为r,

则OH=2x-r,

在&△OOH中，OD2=DUMH?,

0r2=%2+(2x—r)2,

解得v-fx,

4

3

IEOH=-%,

4

DHx4

回tanN。。"=-=^=-,

0H也3

0—=tanzDOH=即9=

OD3OD3

9

0O£>=

2

SAB=9.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数等知

识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键.

18.(2023•浙江温州•二模)如图，在RtAZBC中,AACB=90°,。是4B上一点，CD=BC,过点。作

DF1力。于点F,过点C作CEII4B交DF的延长线于点E.

⑴求证：四边形D8CE是平行四边形.

,.-1

(2)右BZ)=6,sinX=求DE的长.

【答案】⑴见解析

⑵9

【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性

质是关键.

(1)根据垂直的定义得到/。凡4=90。，根据平行线的判定定理得到BCIIDF即可证明结论.

(2)根据平行线的性质得到乙4=乙4CE根据平行四边形的性质得到CE=8。=6,根据三角函数的定义

得到EF=2,设8C=x,DF=x-2,根据勾股定理即可得到答案.

【详解】(1)证明：・••DF1AC,

•••Z.DFA=90°,

•••Z.BCA=90°,

/-DFA=Z.C,

：.BCWDF,

VCEWAB,

・・.四边形DBCE是平行四边形；

(2)解:•・•CEWAB,

•••Z.A=Z.ACE,

•••四边形D8CE是平行四边形，

CE=BD=6,

.41

,**sinA=—,

3

.­./.ACE=-=

CE3

EF=2,

设CD=DE=BC=x,则DF=x-2,

•••CD2-DF2=CE2-EF2,

x2—(x—2)2=32,

解得x=9.

.­.DE=9.

19.(2023•江苏无锡・二模)如图，AB是。。的直径，点C在。。上，NC4B的平分线与BC相交于点。，与

O。过点B的切线相交于点E.

⑴判断ABDE的形状，并证明你的结论；

（2）若4B=4,BD=2,求4D的长.

【答案】⑴ABDE是等腰三角形，腰为BE与证明见解析；

{2}AD=2

【分析】（］）利用圆周角及切线的性质得到直角，再利用角平分线得到的等角进行计算和转化，得到△

BDE中两个等角，根据等角对等边得到三角形为等腰三角形；

（2）利用已知边求出角平分的两个等角的正切值，再设边长为未知数，利用RtAACB列出勾股定理方

程，求出CD,最后用勾股定理求出目标边.

【详解】(1)・・,48是。。的直径，

・•・Z.ACB=90°,

・•.ACAD+^CDA=90°,

・•・BE是。。的切线，

••・(ABE=90°,

・••乙EAB+4E=90°,

•・•4。平分”皿

Z.CAD=Z.DAB,

Z.CDA=Z-E,

•••Z.CDA=(EDB,

•••乙EDB=Z.E,

BD=BE,

△BDE是等腰三角形，腰为BE与BD；

(2)BD=2=BE,AB=4,

tanZ-CAD=—AC=tAaBnZ-D2AB=—=

设CD=a,贝SC=2a,

RtZkACB中：AB2=AC2+CB2,

得42=(2a)2+(2+a)2,

解得a[=[,a2——2<0(舍去)，

•••Rt△ACD中：AD=yjAC2+CD2=V5a,

AD=^V5.

【点睛】本题考查圆中边长关系的证明和边长计算，通过条件中的边角关系计算角度证明等角等边及计算

长度是常考题，计算复杂时可设未知数简化计算.

20.(2024,广东广州•一模)如图，RtAAB。中，AABO=90°,AB=2,反比例函数y=-《的图象经过点

A.

⑴求点A的坐标.

(2)直线CD垂直平分20,交4。于点C,交y轴于点D,交x轴于点E,求线段0E的长.

【答案】⑴4(—2,4)

⑵0E=5

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等角的三角函数值相等，熟练掌握知识点是解题

的关键.

(1)点2的横坐标为—2直接代入y=-押可；

(2)先求力。=V22+42=26,证明出N1=N2,则由正弦值相等得：第=会即可求解.

OEOA

【详解】(1)解：vAB=2,

・•・点”的横坐标为-2,

4点在反比例函数y=的图象上，

v=----8-=44,

17-2

**•4(—2,4).

(2)解：•・•/(-2,4)

团48=2,B0=4,

团40=V224-42=2A/5,

团CD垂直平分4。，

WC=-A0=V5,CD14。，

2

团NDOE=90°,

SZ1+Z3=9O°=Z2+Z3,

=z2,

Elsinzl=sinz2,

喔=蔡即：言=嘉

21.(24-25九年级上•北京•阶段练习)如图，在A04B中，。4=OB,E是4B的中点，过点E作EC1。4于

点C,过点B作BD10B,交CE的延长线于点D.

(2)若4B=12,BD=5,求04的长.

【答案】⑴证明见详解

⑵。4=y

【分析】(1)根据等边对等角得出NtMB=N0B4再根据余角和对顶角的性质可得ADEB=NDBE,即可

证明DB=DE.

(2)连接0E,过点。作的垂线，垂足为F,根据等腰三角形的性质可得N0E4=N0EB=ADFE=

90°,根据E是48的中点，AB=12,BD=5,得出4E=BE=6,EF=8F=3,ED=BD=S,勾股定

理可得DF='BD2一BF?=4,gPsinz£)£F=-=再根据余角和对顶角可得乙DEF=Z.CR4=乙4。£\

DE5

得sin〃OE=sin/DEF=第=(即可求出04=率

【详解】(1)证明：回。4=OB,

团乙OAB=/-OBA,

又回EC1OA,BD1OB,

B/LOAB+Z.CEA=Z.OBA+乙DBE,

⑦乙CEA=乙DBE,

又回Z_CEZ=Z-DEB,

团乙DEB=(DBE,

WB=DE.

(2)解：连接OE,过点。作AB的垂线，垂足为尸，如图:

00^4=OB,E是48的中点，DB=DE,

^Z.OEA=乙OEB=4DFE=90°,

EIE是的中点，AB=12,80=5,

EL4F=BE=6,EF=BF=3,ED=BD=5,

0BZ)=5,4DFB=90°,

0DF='BD2-BF2=V52-32=4,

r)p4

团sin4OEF

DE5

国乙CEA=乙DEB,/.CEA+/LOAE=Z.OAE+Z.AOE=90°,

国kDEF=Z-CEA=Z-AOE,

Ap4

团sinZJlOE=sinZ-DEF=—=

AO5

BAE=6,

「64

0----=一,

AO5

解得:。4=孩.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，余角和对顶角，熟练掌握以上知识

是解题的关键.

六.求证同角三角函数关系式（共2小题）

22.（24-25九年级上•山东淄博,阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题:

①②

（1）在图①，sin4=,cosX=,sin2X+cos2X=；

2

在图②中，sinA]=，cosXt=,siMA]+cos?!!=；

通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；

（2）在图①中，tanH=,鬻=；

在图②中，tanAi=,氏?=；

通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明.

【答案】⑴1塔，高1;sin2a+cos2cr=1；证明见解析

⑵某兰寿；tana=陋；证明见解析

3355cosa

【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出sinZ,cos4sin2i4+cos2/1,

sin/1，cos^i，siM^i+cos2&以及tan/和tan4i的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长

分别为。、b、c的直角三角形中，sinA=coSi4=计算siM/+cos2z的结果证明结论；

CC

（2）在边长分别为a、b、c的直角三角形中计算tana,四丝，看结论是否相同即可.

cosa

本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角4的对边a与斜边c的比叫做乙4的正弦，记作sin4锐角力的邻

边b与斜边c的比叫做乙4的余弦，记作cos/,锐角/的对边a与邻边b的比叫做乙4的正切，记作tan/是解题

的关键.

【详解】（1）解：sin4=gcosA=|,sin?/+cos224=1,

12577

sin/i=—,cosA1=sin14]+cos//i=1,

规律：对于任意锐角a有sin2a+cos2a=1,

故答案为：I，I，1,苗,1；

证明：如图所示，在RtZk/BC中，Z.C=90°,

coscr=c2=a2+h2,

c

a2+b2C2

sin2a+cos2a=—=1

c2

4

_xhjj,„4sinA74

(z2)解：tanA=——-=f=-,

3cos/-3

5

tan&=£舞=摹/

13

sina

规律：对于任意锐角a有tana

cosa

证明：如图,

a

sina___a

b'cosa-b

sina

tana=-----

cosa

故答案为：£:1212

55

23.（2023•河北保定•二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果:

sin270+sin283°«0.122+0.992=0,9945,

sin222°+sin268°«0.372+0.932=1.0018,

sin290+sin261°~0.482+0.872=0.9873,

sin370+sin253°~0.602+0.802=1.0000,

22

sin245°+sin245=（/）+（当=1.

据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角a,若a+6=90。，均有siMa+sin2s=1.

⑴当a=30°,B=60。时,验证sin2a+sin2/?=1是否成立?

⑵嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示ABC给予证明，其中乙4所对的边为a,48所对的边

为从斜边为c；若不成立，请举出一个反例；

B

⑶利用上面的证明方法，直接写出tana与sina,cosa之间的关系.

【答案】⑴成立，见解析

⑵成立，见解析

sina

⑶tana

costz

【分析】(1)直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可;

(2)根据正弦函数的定义列出sina=%sin/?=$,结合勾股定理整理化简即可证得结论；

(3)根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt△力BC中，sina=巴，cosa=2,再变形代入整理即可

CC

得出结论.

【详解】(1)解：0sin3O°=sin60°=y,

团sin2a+sin2j6=(1)+(/)=1,结论成立；

(2)解：成立.理由如下：

在Rt/kZBC中，sina=，，sin£=g且小+庐=。2,

回siMa+siM/?=(?)+(g)=。=3=1，故结论成立；

(3)解：tana二列吧，理由如下：

cosa

在中，

Rt/kZBCsina=ccosa=ctana=b

a

〜7sina

团tana=备=--,

-ccosa

isina

团tana=----.

cosa

【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定

义，灵活变形构造是解题关键.

七.解直角三角形的相关计算(共5小题)

24.(23-24九年级上,安徽合肥•期末)如图是以△ABC的边力B为直径的半圆。，点C恰好在半圆上，过C

作CD14B交48于点。，已知COSN4CD=|,BC=4,求4C的长.

【答案】y.

【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理，由是直径，可得

Z.ACB=Z.ACD+Z.DCB=90°,由NB+=90°,可得UCD=4B,则cosB=cos/ACD=三，—

5AB

±=3求力B,然后由勾股定理得，AC=7AB2—BC2,计算求解即可.

AB5

【详解】解：刻8是直径，

国乙ACB=90°,

^ACD+Z.DCB=90°,

0CD1AB,

回乙B+乙DCB=90°,

^ACD=乙B,

3

田cosB=cosZ-ACD=

又团4ZCB=90。，BC=4,

解得28=g,

由勾股定理得，AC=slAB^-BC2=y,

EL4c的长为g.

25.（23-24九年级上•安徽合肥•期末）如图，己知在aaBC中，P是BC上一点，连接4P使得NC4P=

/.ABC.

⑴求证：AC2=PCBC；

(2)若4B=AC=5,sinZTlBC=1,求tan/ZPC.

【答案】⑴见详解

(2咛

【分析】(I)证明△ABCSAPAC,根据相似三角形的性质即可证明；

(2)根据△ABC八PAC^WAB=AC=5得出NAPC=/.BAC,过点C作CH1AB,根据sin/ABC=

AB=AC=5,在RtAZCH中，结合勾股定理求出CH,4H,根据tan乙4PC=tan/BAC即可求解.

【详解】(1)证明：EIZCXP=/.ABC,NC=NC,

0AXBC“△PAC,

团4。2=pc.BC.

(2)解：由(1)知△ABCsAPZC,

团乙4PC=Z.BAC,

过点C作CH14B,

4

团sinZJlBC=AB—AC—5,

ri44

^sin^ABC

BC5

设CH=^x,BC=5x,

则=VBC2-CH2=3%,AH=AB-BH=5-3%,

222222

在RtZkAC”中，AC=AH+CH9BP5=(4%)+(5-3%),

解得：%=：或0(舍去)，

247

^\CH=—,AH=",

55

24

团tanZJlPC=tanZ,BAC=—=.

AH-7

【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识

点，解题的关键是证明三角形相似.

26.(2022•上海虹口•二模)如图所示，在△ABC中，ZB=45°,CD是4B边上的中线，过点。作DE1

BC,垂足为E,若CD=5,sinzBCD