北师大版八年级数学常见题型专练：一次函数全章复习与测试（原卷版）

第4章一次函数全章复习与测试

一*【知识梳理】

一.常量与变量

(1)变量和常量的定义：

在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量.

(2)方法：

①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在

一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；

②常量和变量是相对于变化过程而言的.可以互相转化；

③不要认为字母就是变量，例如7T是常量.

二.函数的概念

函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量尤与》对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，

那么就说y是龙的函数，x是自变量.

说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；

③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应.

三.函数关系式

用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式.

注意：

①函数解析式是等式.

②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数.

③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是尤的函数，若写成x=-y+9就表示x是y的

函数.

四.函数自变量的取值范围

自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.

①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数.例如y=2x+13中的尤.

②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2x-1.

③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.

④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义.

五.函数值

函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值.

注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的

自变量的值就是解方程；

②当自变量确定时，函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个.

六.函数的图象

函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组

成的图形就是这个函数的图象.

注意：①函数图形上的任意点（尤，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对％、y的值，所对

应的点一定在函数图象上；③判断点尸（x,y）是否在函数图象上的方法是：将点尸（x,y）的x、y的值代

入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就

不在函数的图象上..

七.动点问题的函数图象

函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还

可以提高分析问题、解决问题的能力.

用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

八.函数的表示方法

函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法.

其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法

准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图

象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律.

注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化.

九.一次函数的定义

（1）一次函数的定义：

一般地，形如k、6是常数）的函数，叫做一次函数.

（2）注意：

①又一次函数的定义可知：函数为一次函数=其解析式为y=fcc+b�,k、6是常数）的形式.

②一次函数解析式的结构特征：左W0；自变量的次数为1；常数项6可以为任意实数.

③一般情况下自变量的取值范围是任意实数.

④若％=0,则y=6（6为常数），此时它不是一次函数.

十.正比例函数的定义

（1）正比例函数的定义：

一般地，形如y=Ax（左是常数，左W0）的函数叫做正比例函数，其中左叫做比例系数.

注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：/是常数，上W0,左是

正数也可以是负数.

（2）正比例函数图象的性质

正比例函数y=Ax（%是常数，左#0）,我们通常称之为直线

当%>0时，直线y=依依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当上<0时，直线y

=日依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小.

（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1,k）的直线是y=&（左是常数，k¥0）的图象.

十一.一次函数的图象

（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0,b）、（-（，0）或（1,k+b）作直线

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、

纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原

点的直线），但直线不一定是一次函数的图象.如》=访y=b分别是与y轴，无轴平行的直线，就不是一次

函数的图象.

（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=fcc+b,可以看做由直线丫=日平移依个单位而得到.

当匕>0时，向上平移；b<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

十二.一次函数的性质

一次函数的性质：

k>0,y随尤的增大而增大，函数从左到右上升；Z<0,y随x的增大而减小，函数从左到右下降.

由于与y轴交于（0,b）,当b>0时，（0,6）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当

0时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

十三.一次函数图象与系数的关系

由于y=^+b与y轴交于（0,b）,当6>0时，（0,6）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当

。时，（0,b~）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

①人>0,b>0oy=kx+b的图象在一、二、三象限；

②左>0,6<0oy=丘+b的图象在一、三、四象限；

③左<0,b>00y=fct+b的图象在一、二、四象限；

@k<0,6cooy=fcv+b的图象在二、三、四象限.

十四.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数〉=入+6,（左W0,且近方为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-电，0）；与y

k

轴的交点坐标是（0,6）.

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=fcc+b.

十五.一次函数图象与几何变换

直线y=fct+b,1W0,且匕b为常数）

①关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b,即y=-依-6；

（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）

②关于y轴对称，就是y不变，尤变成-x：y—k（-x）+b,即y=-人•+%；

（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）

③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：-y=k（-x）+b,即尸丘-b.

（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）

十六.待定系数法求一次函数解析式

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=fcc+b；

（2）将自变量尤的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

注意：求正比例函数，只要一对x,y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数>=依+6,则需

要两组x,y的值.

十七.一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=br+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y=fcv+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

（2）用画函数图象的方法解不等式fcv+6>0（或<0）

对应一次函数y=fcc+b,它与x轴交点为（-电，0）.

k

当%>0时，不等式依+b>0的解为：上，不等式fcc+b<0的解为：x<上；

kk

当左<0,不等式fcv+b>0的解为：x<卫，不等式fcc+b<0的解为：x>卫.

kk

十八.两条直线相交或平行问题

直线y=fcc+%,1W0,且左,。为常数），当上相同，且。不相等，图象平行；当上不同，且b相等，图象相

交；当左，6都相同时，两条线段重合.

（1）两条直线的交点问题

两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.

（2）两条直线的平行问题

若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即左值相同.

例如：若直线yi=Aix+6i与直线"=左"+历平行，那么七=心.

十九.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符

合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻

求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

二十.一次函数与二元一次方程（组）

（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=OQ,。为常数，40）

的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上

看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系

二元一次方程一次图数

gC

表达式:ax+/）y+c=0衣.达K：y二-二x---(b，、3Q

____________bb________

图象上的坐标点（m・n，•4

方f?的解:x=m,y=n

Um为横坐标.n为总坐标

m,仆兴六实找cm.n）表示平面内一个点

（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组）,

注意自变量取值范围要符合实际意义.

二十一.一次函数综合题

（1）一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

（2）一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前

提下求出最值.

（3）用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.

D【考点剖析】

一.常量与变量（共1小题）

1.（2023春•香洲区校级期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为厂，圆周长C=2nr.下列判

断正确的是（）

A.2是变量B.n是变量C.厂是变量D.C是常量

二.函数的概念（共1小题）

2.（2023春•江津区期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（）

三.函数关系式（共1小题）

3.（2022秋•高新区校级期末）西安市出租车起步价8.5元（路程小于或等于3公里），超过3公里每增加1

公里加收2元，出租车费y（元）与行程x（公里）（尤>3）之间的函数关系.

四.函数自变量的取值范围（共1小题）

4.（2023春•晋江市期末）函数y/■中自变量x的取值范围是（）

X

A.SOB.x>0C.x<0D.xWO

五.函数值（共2小题）

5.（2022秋•宣州区期末）若〃o+mx+azP+gxS=（1+x）3,则m+〃2+〃3=.

6.（2022秋•徐汇区期末）己知函数/（%）=三2,那么/（I）=.

2x

六.函数的图象（共2小题）

7.（2023•耿马县模拟）碳酸钠的溶解度y（g）与温度r（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确

B.碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大

C.当温度为40°。时，碳酸钠的溶解度最大

D.要使碳酸钠的溶解度大于43.6g,温度只能控制在40℃〜80℃

8.（2022秋•金东区期末）A,8两地相距640加1,甲、乙两辆汽车从A地出发到8地，均匀速行驶，甲出

发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距5（切Z）,甲行驶的时间为/（/7）,S与f的关系

如图所示，下列说法：

①甲车行驶的速度是6Qkmlh,乙车行驶的速度是8Qkm/h；

②甲出发4/z后被乙追上；

③甲比乙晚到8〃；

3

④甲车行驶8人或9工/?,甲，乙两车相距80切1；

4

其中错误的（)

D.序号④

七.函数的表示方法（共1小题）

9.（2022秋•温州期末）某种气体的体积y（L）与气体的温度尤（℃）对应值如表，若要使气体的体积至少

为106升，则气体的温度不低于℃.

X(℃),,,・0123・・­10

y(L),,,•100100.3100.6100.9・・•103

八.一次函数的定义（共1小题）

10.（2022秋•宁明县期末）下列函数中，是一次函数的是（）

A.y=2x-1B.y=kx+bC.y=—D.y=-2x2+l

x

九.正比例函数的定义（共2小题）

11.（2023春•永春县期末）若y=x+6是正比例函数，则b的值是（）

A.0B.-1C.1D.任意实数

12.（2023春•江津区期末）已知函数yM总+lIx1^是正比例函数，则根的值是.

一十.一次函数的图象（共1小题）

13.（2022秋•高碑店市期末）已知函数l,y随x的增大而增大，则它的图象可能是下图中的（）

一十一.正比例函数的图象（共1小题）

14.（2022秋•鸡泽县期末）在同一坐标系中,函数与y=尤-左的图象大致是（

一十二.一次函数的性质（共2小题）

15.（2023春•平桥区期末）已知点（-2,m）,（3,力都在直线y=-3x+b上，则m与n的大小关系是

A.m<nB.m>nC.m^nD.无法确定

16.（2023•吴兴区一模）一次函数y=2x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

一十三.正比例函数的性质（共2小题）

17.（2023•碑林区校级二模）已知正比例函数>=近中，y随尤的增大而增大，则一次函数y=-日+左的图

象所经过的象限是（）

A.一、二、三B.一、二、四C.一、三、四D.二、三、四

18.（2023•丹徒区二模）正比例函数尸乙（左<0）,当1WXW3时，函数y的最大值和最小值之差为4,则

k=.

一十四.一次函数图象与系数的关系（共2小题）

19.（2023春•和平区校级期末）已知一次函数y=fcv+（2-4）的图象经过第一、二、三象限，则上的取值

范围是（）

A.-2<k<0B.0<k<2C.k>QD.k<2

20.（2023春•重庆期末）一次函数y=x-s（机为常数），当y>0时，在x的取值范围内有且仅有三个负整

数，则m的取值范围是.

一十五.一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）

21.（2022秋•义乌市校级期末）若一次函数y=Cm-3）x-4的图象经过点A（xi,yi）和点2（尤2,y2）,

当xi>x2时，y\>yi,则根的取值范围是（）

A.m<3B.m>3C.%W3D.

22.（2022秋•龙泉驿区期末）函数y=2x+l的图象过点（）

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,1)D.(1,1)

一十六.一次函数图象与几何变换（共2小题）

23.（2023春•邕宁区期末）把函数y=无向上平移2个单位，下列在该平移后的直线上的点是（）

A.（2,2）B.（2,3）C.（2,4）D.（2,5）

24.（2023•淮阳区三模）写出一个可以由直线y=-3x+4平移得到的直线的解析式.

一十七.待定系数法求一次函数解析式（共2小题）

25.（2023•合肥模拟）已知某直线经过点A（0,2）,且与两坐标轴围成的三角形面积为2.则该直线的一次

函数表达式是.

26.（2022秋•金牛区校级期末）已知y和x-2成正比例，当x=3时，>=-4,则y与x的函数关系式

为.

一十八.待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）

27.（2022秋•宁波期末）已知正比例函数>=依经过点（-2,1）,则左的值是.

28.（2022秋•城关区期末）已知点（/，1）在函数y=（3m-l）x的图象上，

（1）求相的值，

（2）求这个函数的解析式.

一十九.一次函数与一元一次方程（共3小题）

29.（2022秋•城关区校级期末）如图，直线y=2x与y=Ax+b相交于点尸（相，2）,则关于尤的方程日+6

30.（2023春•武汉期末）一次函数y=czx+6与两坐标轴的交点为（2,0）、（0,3）,则关于x的方程ax+b=

0的确昆是尤=.

31.（2022秋•平遥县期末）如图，已知一次函数y=fcc+b和正比例函数y=:wc的图象交于点P（1,3）,则

关于x的一元一次方程kx+b=mx的解是.

二十.根据实际问题列一次函数关系式（共2小题）

32.（2022秋•徐汇区校级期末）某产品原价每件价格为尤元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，

均为30%,现在每件售价为y元，那么y与x之间的函数关系式为.

33.（2022秋•阳曲县校级期末）一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度/i（单位：

cm）与燃烧时间t（单位：h）

（0W/W4）之间的关系是.

二十一.一次函数的应用（共2小题）

34.（2022秋•佛山校级期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,

先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发

的时间f（分）之间的关系如图所示，下列结论：

①甲步行的速度为60米/分；

②乙走完全程用了36分钟；

③乙用16分钟追上甲；

④乙到达终点时，甲离终点还有300米.

35.（2023春•东港区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数

收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费.设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关

系如图所示.根据图中信息，解答下列问题.

（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；

（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？

二十二.一次函数综合题（共2小题）

36.（2023春•渝北区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4交x轴于点A,交y轴于点8,点

C为BO中点.

（1）求线段AC的长；

（2）点。在x轴负半轴上，直线与A8交于点E,若△C。。也△AOB,求点E的坐标及ABEC的面

积；

（3）若点歹在直线CD上，点G在y轴上，当以点A,C,F,G为顶点的四边形是平行四边形时，求

出点尸坐标.

37.（2022秋•南海区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=Wl分别交无轴，y轴于点A、B.另一条

直线C。与直线AB交于点C(a,6),与x轴交于点。(3,0),点尸是直线CO上一点(不与点C重

合).

(1)求a的值.

(2)当△APC的面积为18时，求点尸的坐标.

(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且MN始终与平行，直线交直线CD于点M,交y

轴于点N,当/BMN=90°时，求△2MN的面积.

【过关检测】

一、单选题

1.已知，点（-2,山）和点（-3,>2）在直线y=-3x+4图象上，则”和的大小关系是（）

A.yi<y2B.yi>y2C.yi=y2D.不能确定

2.下列各图像中，y不是次的函数的是（）.

-i0。

y

tyt

22

c..0

3.某学生早上为赶时间匀速小跑赶往学校；到校后，便在教室里上课；放学后因时间充足，便以相对较

慢的速度匀速走回家，下列图象能大致反映这一过程的是（）

A所走路程A离家距离

时间时间

A离学校距离A速度

时间时间

4.函数y=VT不中自变量X的取值范围是

A.x2—5B.x<-5C.犬25D.x<5

5.在同一坐标系中，函数y=6与y=2龙-%的大致图象是（）

6.若正比例函数、=辰的图象经过点（2,-3）,则此图象也必定经过点（）

A.（-2,3）B.（2,3）C.（3,—2）D.（—3,—2）

7.如图是良马与弩马从甲地出发行走路程y（单位：里）关于行走时间x（单位：日）的函数图象，其中

良马日行二百四十里，弩马日行一百五十里，则良马行走了4日时距弩马（）里.

A.360B.570C.660D.670

8.下列函数中，y是x的一次函数的是（）

x,1

A.尸一B.y=-N+3C.y=一D.y—2(1-x)+2x

-2'x

9.关于正比例函数y=-2x,下列结论中正确的是（）

A.函数图象不经过原点B.y随x的增大而减小

C.函数图象经过第一、三象限D.不论x取何值，总有y<0

10.一次函数％=笈+6与％=x+a的图象如图,则下列结论：①左<0；②。>0；③当x<3时,

%<%，其中正确的结论有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题

11.一次函数>=依+/?与y=2x+l平行，且经过点（-3,4）,则表达式为：

12.若函数y=-2xm+2是正比例函数，则m的值是

13.若将直线旷=履（上片0）的图象向下平移1个单位长度后经过点（1,5）,则平移后直线的解析式为

14.如图，长方形A8CD中，AB=5,AD=3,点P从点A出发，沿长方形48CZ）的边逆时针运动，设点尸

运动的距离为x；0Ape的面积为y,如果5<x<8,那么y关于x的函数关系式为.

15.如图，已知直线y=3x+6与y=ax-2的交点的横坐标为-2,则关于x的方程3x+6=or-2的解为

16.一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是

17.某影剧院观众席的座位数按下列方式设置：

排数（X）1234..

座位数（y）30333639..

根据表