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文档简介
第02讲勾股定理逆定理与勾股数(4种题
型)
◎【知识梳理】
一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+。2=°2,那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释:
(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形。是通过计算来判定一个三角形是否为直
角三角形.
二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
(1)首先确定最大边(如c).
(2)验证C?与/是否具有相等关系.若=片+加,则4ABC是NC=90°的
直角三角形;若62#/+/,则△ABC不是直角三角形.
要点诠释:
当CT+b2<C2时,此三角形为钝角三角形;当a2+b2>时,此三角形为锐角三角形,
其中c为三
角形的最大边.
三、勾股数
满足不定方程必+/=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),
显然,以X、y、Z为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数,对解题会很有帮助:
①3、4、5;②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤9、40、41...
如果(a、b、c)是勾股数,当/为正整数时,以〃、初、4为三角形的三边长,此三角
形必为直角三角形.
要点诠释:
(1)n2-l,2n,n2+l是自然数)是直角三角形的三条边长;
(2)2n2+2n,2n+l,2n2+2n+l(〃是自然数)是直角三角形的三条边长;
(3)m2-n2,+r^,2mn〃是自然数)是直角三角形的三条边长;
'j【考点剖析】
题型一、勾股定理的逆定理
例1、判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=7,b=24,c=25;
4,3
(2)a=—,b=1,c=一;
34
(3)a=m2—n2,b=nr+rr,c=2mn(m>n>0);
【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边:(1)8,15,17;(2)5,12,13;(3)12,
15,20;(4)7,24,25.其中能作为直角三角形的三边长的有()
A.1组B.2组C.3组D.4组
题型二.勾股数
例2.(2022春•铜梁区校级期中)下列四组数中,是勾股数的是()
A.6,8,10B.0.3,0.4,0.5
C.―,―,—D.32,42,52
345
例3.古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,-1,c=
m2+l,那么a,b,c为勾股数,你认为正确吗?如果正确,请说明理由,并利用这个结
论得出一组勾股数.
【变式1】观察下列勾股数3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…;a、b、c.根
据你发现的规律,回答下列问题:
(1)a=17时,求b、c的值;
(2)。=2〃+1时,求b、c的值.
【变式2]已知m>0,若3m+2,4m+8,5m+8是一组勾股数,求m的值.
题型三、勾股定理逆定理的应用
例4.(2022春•汉阴县月考)如图,在四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,
且AB_LBC.求证AC_LCD.
例5.古埃及人曾用下面的方法得到直角:如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长
的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和
第8个结,拉紧绳子,就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.
图1图2
(1)你能说说其中的道理吗?
(2)仿照上面的方法,你能否只用绳子,设计一种不同于(1)的直角三角形(在图2
中,只需画出示意图.)
【变式】如图,在火,中,ZACB=90°,>48=13,4C=12,点。为△ABC外一点,连
接B。,CD,测得C0=4,BD=3,求四边形/WDC的面积.
例6.如图所示,在AABC中,已知/ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB
=1,PC=CD=2,CD±CP,求NBPC的度数.
AB
【变式1】如果AABC的三边长a、b、c满足关系式
(«+2Z?-60)2+|Z?-18|+|c-30|=0,则AABC的形状是.
【变式2】如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作
ZPBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
题型四、勾股定理逆定理的实际应用
例7.(2022春•蚌山区校级期中)龙梅和玉荣是草原上的好朋友,可是有一次经过一场争吵
之后,两人不欢而散,龙梅的速度是工米/秒,4分钟后她停了下来,觉得有点后悔了,
2
玉荣走的方向好像是和龙梅成直角,她的速度是2米/秒,如果她和龙梅同时停下来,而
3
这时候她俩正好相距200米,那么她走的方向是否成直角?如果她们现在想讲和,那么
原来的速度相向而行,多长时间后能相遇?
例8、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行“远航”号每小时
航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里,如
果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
例9.如图所示,在AABC中,AB:BC:CA=3:4:5,且周长为36cm,点P从点A开始
沿边向B点以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移
动,如果同时出发,问过3秒时,ABPQ的面积为多少?
【过关检测】
一.选择题
1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()
A.三内角之比为3:4:5
B.三边长的平方之比为1:2:3
C.三边长之比为7:24:25
D.三内角之比为1:2:3
2.下列条件中,能判断6c是直角三角形的有()
①ZA+N3=NC;②ZA—/B=NC;③ZA:ZB:NC=2:5:3;
@ZA=2ZB=3ZC;⑤⑥AB:AC:6c=3:4:5.
23
A.5个B.4个C.3个D.2个
3.如图,根据下列条件,不能判断△A3D是直角三角形的是(
A
A.2=20。,ZB=70°B,AB=5,AD=12,=13
C.AC=BC^DCD./B=3ND,NBAD=8/D
填空题
4.己知三角形三边长分别是6,8,10,则此三角形的面积为.
5.勾股数为一组连续自然数的是.
6.若一个三角形的三边之比为5:12:13,且周长为60cm,则它的面积为cm2.
7.(2022春•泗水县期中)观察下列几组勾股数,并填空:①6,8,10,②8,15,17,③
10,24,26,④12,35,37,则第⑥组勾股数为.
8.已知△ABC中,AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,则△ABC的面积是cm2.
9.(2022春•孝南区月考)探索勾股数的规律:观察下列各组数:(3,4,5),
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