北师大版八年级数学常见题型专练：勾股定理逆定理与勾股数（4种题型）（原卷版）

第02讲勾股定理逆定理与勾股数(4种题

型)

◎【知识梳理】

一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+。2=°2,那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：

(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形。是通过计算来判定一个三角形是否为直

角三角形.

二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

(1)首先确定最大边(如c).

(2)验证C?与/是否具有相等关系.若=片+加，则4ABC是NC=90°的

直角三角形；若62#/+/,则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：

当CT+b2<C2时，此三角形为钝角三角形；当a2+b2>时，此三角形为锐角三角形,

其中c为三

角形的最大边.

三、勾股数

满足不定方程必+/=z2的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，

显然，以X、y、Z为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果(a、b、c)是勾股数，当/为正整数时，以〃、初、4为三角形的三边长，此三角

形必为直角三角形.

要点诠释：

(1)n2-l,2n,n2+l是自然数)是直角三角形的三条边长；

(2)2n2+2n,2n+l,2n2+2n+l(〃是自然数)是直角三角形的三条边长；

(3)m2-n2,+r^,2mn〃是自然数)是直角三角形的三条边长；

'j【考点剖析】

题型一、勾股定理的逆定理

例1、判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.

(1)a=7,b=24,c=25；

4,3

(2)a=—,b=1,c=一；

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(3)a=m2—n2,b=nr+rr,c=2mn(m>n>0)；

【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边：(1)8,15,17；(2)5,12,13；(3)12,

15,20；(4)7,24,25.其中能作为直角三角形的三边长的有()

A.1组B.2组C.3组D.4组

题型二.勾股数

例2.(2022春•铜梁区校级期中)下列四组数中，是勾股数的是()

A.6,8,10B.0.3,0.4,0.5

C.―,―,—D.32,42,52

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例3.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m,-1,c=

m2+l,那么a,b,c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结

论得出一组勾股数.

【变式1】观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；a、b、c.根

据你发现的规律，回答下列问题：

(1)a=17时，求b、c的值；

(2)。=2〃+1时，求b、c的值.

【变式2］已知m>0,若3m+2,4m+8,5m+8是一组勾股数，求m的值.

题型三、勾股定理逆定理的应用

例4.（2022春•汉阴县月考）如图，在四边形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,

且AB_LBC.求证AC_LCD.

例5.古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长

的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和

第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.

图1图2

（1）你能说说其中的道理吗？

（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2

中，只需画出示意图.）

【变式】如图，在火，中，ZACB=90°,>48=13,4C=12,点。为△ABC外一点，连

接B。，CD,测得C0=4,BD=3,求四边形/WDC的面积.

例6.如图所示，在AABC中，已知/ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点，且PA=3,PB

=1,PC=CD=2,CD±CP,求NBPC的度数.

AB

【变式1】如果AABC的三边长a、b、c满足关系式

(«+2Z?-60)2+|Z?-18|+|c-30|=0,则AABC的形状是.

【变式2】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA,PB,PC,以BP为边作

ZPBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；

(2)若PA：PB：PC=3：4：5,连接PQ,试判断△PQC的形状，并说明理由.

题型四、勾股定理逆定理的实际应用

例7.(2022春•蚌山区校级期中)龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵

之后，两人不欢而散，龙梅的速度是工米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，

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玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是2米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而

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这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么

原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？

例8、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时

航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如

果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

例9.如图所示，在AABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周长为36cm,点P从点A开始

沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移

动,如果同时出发，问过3秒时，ABPQ的面积为多少？

【过关检测】

一.选择题

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为3：4：5

B.三边长的平方之比为1：2：3

C.三边长之比为7：24：25

D.三内角之比为1：2：3

2.下列条件中，能判断6c是直角三角形的有（）

①ZA+N3=NC；②ZA—/B=NC；③ZA:ZB:NC=2:5:3；

@ZA=2ZB=3ZC；⑤⑥AB:AC:6c=3:4:5.

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A.5个B.4个C.3个D.2个

3.如图，根据下列条件，不能判断△A3D是直角三角形的是（

A

A.2=20。，ZB=70°B,AB=5,AD=12,=13

C.AC=BC^DCD./B=3ND,NBAD=8/D

填空题

4.己知三角形三边长分别是6,8,10,则此三角形的面积为.

5.勾股数为一组连续自然数的是.

6.若一个三角形的三边之比为5：12：13,且周长为60cm,则它的面积为cm2.

7.(2022春•泗水县期中)观察下列几组勾股数，并填空：①6,8,10,②8,15,17,③

10,24,26,④12,35,37,则第⑥组勾股数为.

8.已知△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,则△ABC的面积是cm2.

9.(2022春•孝南区月考)探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3,4,5),