2025中考数学专项复习：最值问题之费马点模型（含答案）

2025中考数学专项复习最值问题之费马点模

型--初中数学含答案

最值问题之费马点模型

【模型展示】

费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

如图，点河为锐角△ABC内任意一点，连接AM.BM、CM,当河与三个顶点连线的夹角为120°时

MA+MB+MC的值最小

B

【证明】

以为一边向外作等边三角形△ABE,

将BM绕点、口逆时针旋转60°得到BN,连接EN.

•：△ABE为等边三角形，

AAB=BE,乙4BE=60°.

而/MBN=60°,

：.4ABM=NEBN.

在AAMB与AENB中,

'AB=BE

•：＜ZABM=ZEBN,

、BM=BN

：.△AMB空LENB(SAS).

连接AW.由4AMBm4ENB知，AM=EN.

•：NMBN=60°,BM=BN,

.•.△BAIN为等边三角形.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

：.当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM■的值最小.

止匕时，ZBMC=180°-ANMB=120°；

NAMB=AENB=180°-ABNM=120°；

ZAMC=360°-ABMC-ZAMB=120°.

结论:三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

【模型证明】•••

1.如图,在锐角△ABC外侧作等边连接8日.

求证:过△ABC的费马点P,且=R4+PB+PC.

【证明】

在BB,上取点P,使ABPC=120°,连接AP,在PB'上截取PE=PC,连接CE.

ZBFC=120°,NEPC=60°,

.•.△尸作为等边三角形，

PC=CE,ZPCE=60°,ZCEB'=120°.

•・•△AC9为等边三角形，

/.AC=B'C,^ACB'=&0°,

：.APCA+NACE=NACE+AECB'=60°,

/.APCA=AECB',：./\ACPnAB'CE,

：.NAPC=AB'EC=120°,B4=EB',针----------气

：.AAPB=ZAPC=ABPC=120°,

.•.P为△ABC的费马点，

BB'过△ABC的费马点P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

2.如图，在△ABC中，以它的边AB,AC为边,分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,CD.

求证：8E=_DC.

【证明】

由已知可得AB=AD,AC=AE,ABAD=ACAE=60°,

/.ABAD+ABAC=ACAE+ABAC,即ZDAC=/.BAE.

在△BAE和△DAC中，

/XBAEnADAC,/.BE=DC.•••

【题型演练】

一、单选题

1.数学很多的知识都是以发明者的名字命名的，如韦达定理、杨辉三角、费马点等，你知道平面直角坐标系

是哪一位法国的数学家创立的，并以他的名字命名的吗？()

A.迪卡尔B.欧几里得C.欧拉D.丢番图

2.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则尸点叫△ABC的费马点

(Fermatpoint).已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当N4P8=NAPC=ZBPC=120°

时，P就是AABC的费马点.若点P是腰长为方的等腰直角三角形DEF的费马点，则PO+PE+PF

=()

A.2V3B.1+V3C.6D.3V3

3.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点

(Fermatpoint).已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当乙4P8=/APC=120°

时，P就是4ABC的费马点.若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF

=()

A.6B.3(V2+V6)C.6V3D.9

4.已知点P是△4BC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点

(Fermatpoint).已经证明：在三个内角均小于120°的AABC中,当AAPB=AAPC=ZBPC=120°

时，P就是AABC的费马点.若点P是腰长为V6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF

=()

A.6B.V3+3C.6V3D.9

二、填空题

5.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点

(Fermatpoint),已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当AAPB=AAPC=ABPC=120°

时，P就是的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为方的等腰直角三角形LEF的

费马点，则PD+PE+PF=.

6.若P为△ABC所在平面上一点，且NAPB=ZBFC=NCPA=120°,则点P叫做AABC的费马点.若

点P为锐角AABC的费马点，且/ABC=60°,弘=3,PC=4,则的值为.

7.法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小.人们称这个点为费

马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离.经研究发现：在锐角AABC中，费马点P满足AAPB=

NBPC=ACPA=120°，如图，点P为锐角△48。的费马点，且上4=3,PC=4,60°,则费马距

离为.•••

B.

8.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC是锐角（或直角）三角

形，则其费马点P是三角形内一点,且满足/4PB=N8PC=/Ca4=120°.（例如:等边三角形的费马

点是其三条高的交点）.若4B==P为△ABC的费马点，则出+可+9。=

；若AB=2g,=2,AC=4,P为△4BC的费马点，则。A++PC=.

三、解答题

9.如图（1）,P为△ABC所在平面上一点,且NAPB=ABPC=ACPA=120°,则点P叫做AABC的费马

点.

（1）若点尸是等边三角形三条中线的交点，点尸（填是或不是）该三角形的费马点.

（2）如果点P为锐角AABC的费马点，且AABC=60°.求证：AABP〜ABCP；

（3）已知锐角△4BC,分别以48、人。为边向外作正448后和正乙4（3©,CE和BD相交于P点.如图

（2）

①求/CPO的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点.

•••

10.背景资料：

在已知△ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马

点”.

如图①，当ZVIBC三个内角均小于120°时，费马点P在AABC内部,此时AAPB=/.CPA=

120°，此时，R4+尸6+PC的值最小.

解决问题：

⑴如图②，等边△ABC内有一点P,若点P到顶点48、C的距离分别为3,4,5,求乙4PB的度数.

为了解决本题，我们可以将AAHP绕顶点人旋转到XACP处，此时△ACP笃A4BP,这样就可以利用

旋转变换，将三条线段E4,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出AAPB=；

基本运用：

(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：

如图③，ZVIBC中，ZCAB=90°,AB=AC,E,尸为8C上的点，且/艮4尸=45°,判断BE,EF,FC之

间的数量关系并证明；

能力提升：

⑶如图④，在中，NC=90°,AC=1,NABC=30°,点P为Rt/\ABC的费马点，

连接AP,BP,CP,求上4+PB+PC的值.

三zk

BCBEFC

CB

图②图③图④

•••

11.若P为△4BC所在平面上一点，且ZAPS=ABPC=ZCR4=120°,则点P叫做△ABC的费马点.

(1)若点P为锐角的费马点,且NABC=60°,A4=3,PC=4,则尸口的值为；

⑵如图,在锐角ZVIB。外侧作等边AACB，连结BB'.求证：BB'过△4BC的费马点P,且BB'=PA

+PB+PC.

12.若一个三角形的最大内角小于120°,则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°,此时该点叫做

这个三角形的费马点.如图1,当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在4ABC内部，此时AAPB

=NBPC=NCR4=120°,R4++PC的值最小.

(1)如图2,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求NAPB的度

数.为了解决本题，小林利用“转化”思想,将AAB尸绕顶点A旋转到△ACP处,连接PP',此时

△ACP空/\ABP,这样就可以通过旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出

NAP8=.

⑵如图3,在图1的基础上延长BP,在射线8P上取点。，E,连接AE,AD.使AD=AP,NDAE=

/四。,求证：8E=弘+PR+PC.

(3)如图4,在直角三角形ABC中,ZABC=90°,乙4cB=30°,48=1,点P为直角三角形ABC的费

马点，连接AP,BP,CP,请直接写出上4+PB+PC的值.

•••

13.【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶•德・费马，提出一个问题:求作三角形内

的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”.

如图，点P是A4BC内的一点，将AAPC绕点A逆时针旋转60°到AAP，。,则可以构造出等边

△APPI得AP=PP,CP=CP，,所以M+P8+PC的值转化为PP+PB+P。的值，当

。四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”.

(1)【拓展应用】

如图1,点P是等边△48。内的一点,连接上4,尸B,PC,将XPAC绕点A逆时针旋转60°得到

/\AP'C.

①若上4=3,则点P与点P之间的距离是；

②当上4=3,PB=5,PC=4时，求乙4PC的大小；

⑵如图2,点P是△4BC内的一点，且NR4C=90°,4B=6,4。=2，^,求弘+。8+。。的最小值.

BC

图2

•••

14.如图1,点M为锐角三角形力内任意一点，连接AM,BM,CM.以AB为一边向外作等边三角形

△4BE,将W绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.

⑴求证：AAMB空；

(2)若AM+BM+CN的值最小,则称点M为△ABC的费马点.若点M为ZV1BC的费马点，求此时

AAMB,ABMC,ACMA的度数；

(3)受以上启发,你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及

理由.

9

15.如图，在△ABC中，NACB=30°,_BC=6,力。=5,在△ABC内部有一点P,连接？A、PB、PC.（加权

费马点）求：

⑴24+PB+PC的最小值：

（2）R4+PB+V2PC的最小值

⑶上4+PB+V3PC的最小值；

（4）2B4+PB+四。。的最小值

⑸寺24+9口+乎PC的最小值;

（6）2B4+4PB+2，^PC的最小值

（7）4B4+2PB+2V3FC的最小值；

（8）3B4+4PB+5PC的最小值

16.阅读材料:平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提

出的一个著名的几何问题.1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马

提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答:给定不在一条直线上的三个

点C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置.托里拆利成功地解决了费马的问题.

后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A,B,。距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里拆

利点，也简称为费马点或托里拆利点.问题解决：

（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将绕点口顺时针

旋转60°得到ABDE,连接PD,可得ABPD为等边三角形，故PD=,由旋转可得=PC,因M+

P8+PC=P4+PD+,由可知，9+P8+PC的最小值与线段的长度相等；

（2）如图2,在直角三角形4BC内部有一动点P,ABAC=90°,乙4cB=30°,连接24,PB,PC,若AB

=2,求3+可+。。的最小值；

（3）如图3,菱形的边长为4,60°,平面内有一动点E,在点E运动过程中,始终有

/BEC=90°，连接AE、OE,在LADE内部是否存在一点尸，使得_B4+尸。+PE最小,若存在,请直接

写出上4++PE的最小值;若不存在,请说明理由.

•••

17.综合与实践

材料一:''转化思想”是几何变换中常用的思想，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置的“转化”，把一

般情形转化为特殊情形，使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的

思想.

材料二:皮埃尔・德・费马(如图)，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”.1638年

勒・笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此推出费马点的相关结论.

定义:若一个三角形的最大内角小于120°,则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°,此时该

点叫做这个三角形的费马点.如图1,当LABC三个内角均小于120°时,费马点P在4ABC内部，此时

NAPB=4BPC=ACPA=120°,B4+PB+PC的值最小.

(1)如图2,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点的距离分别为3,4,5,求乙4PB的度数.

为了解决本题，小林利用“转化”思想,将△ABP绕顶点A旋转到AACP，处,连接PP,此时A4CP，

4ABP,这样就可以通过旋转变换，将三条线段PC转化到一个三角形中，从而求出AAPB=

⑵如图3,在图1的基础上延长BP,在射线BP上取点D,E,连接AE,AD.使AD=AP,ADAE=

APAC,求证：BE=弘+P8+PC；

⑶如图4,在Rt/\ABC中，4ABe=90°,ZACB=30°,AB=1,点P为Rt/\ABC的费马点,连接AP,

BP,CP,请直接写出24+PB+PC的值.•••

18.若点P为△ABC所在平面上一点，且ZAPB=ABPC=ACPA=120°，则点P叫做△4BC的费马点.

当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”.即

E4+PB+PC最小.

⑴如图1,向△ABC外作等边三角形△4BD,△ABC.连接BE,OC相交于点P,连接4P.

①证明：点P就是△ABC费马点；

②证明：B4+PB+PC=BE=_DC；

(2)如图2,在△AWG中，上^=4方，/7=75°,同3=3.点0是/XMNG内一点，则点O到LMNG三

个顶点的距离和的最小值是.

19.如图①，点河为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM.BM.CM.以AB为一边向外作等边三角形

△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.

⑴求证：g△EA®；

(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费马点.若点M为△ABC的费马点,试求此时

NAMB、/BMC、NCMA的度数；

(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费马点的简便方法:如图②,分别以4ABC的AB、AC为一

边向外作等边4ABE和等边AACF，连接CE、,设交点为M,则点M即为AABC的费马点.试说

明这种作法的依据.

•••

20.（1）知识储备

①如图1,已知点尸为等边△4BC外接圆的弧上任意一点.求证：尸B+PA.

②定义:在△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点P为AABC

的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离.

（2）知识迁移

①我们有如下探寻△ABC（其中乙4,Z.B,ZC均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

如图2,在△ABC的外部以BC为边长作等边ABCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段

的长度即为△ABC的费马距离.

②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P（要求尺规作图）.

（3）知识应用

①判断题（正确的打V,错误的打X）：

i.任意三角形的费马点有且只有一个（）；

ii.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（）.

②已知正方形是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为，^+方,求正方形

ABCD的边长.

•••

21.如图（1）,P为△ABC所在平面上一点，且/4?5=/族。=/。24=120°,则点P叫做△ABC的费

马点.

（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且乙4BC=60°.

①求证：l\ABP〜/XBCP；

②若B4=3,PC=4,则PB=.

（2）已知锐角△ABC,分别以AB.AC为边向外作正△4BE和正△ACO,CE和8。相交于P点.

如图⑵

①求NCP。的度数；

②求证：尸点为△ABC的费马点.

最值问题之费马点模型

【模型展示】

费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

如图，点及为锐角AABC内任意一点，连接AM.BM、CM,当M与三个顶点连线的夹角为120°时,

MA+MB+MC的值最小

【证明】

以AB为一边向外作等边三角形AABE,

将绕点B逆时针旋转60°得到8N,连接EN.

•.•△ABE为等边三角形，

AB=BE,/ABE=60°.

而NMBN=60°,

ZABM=4EBN.

在AAMB与AENB中,

'AB=BE

•：-ZABM=/EBN,

、BM=BN

：./\AMBn/\ENB(SAS).

连接MN.由△AMB笃△ENB知，AM=EN.

•/AMBN=60°,BM=BN,

.•.△8MN为等边三角形.•M

：.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

：.当E、N、M、。四点共线时，AM+BM+CAI的值最小.

此时，ABMC=180°-ZTVAffi=120°；

AAMB=AENB=180°-ABNM=120°；

ZAMC=360°一/BMC—ZAMB=120°.

结论:三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

【模型证明】

1.如图,在锐角△4BC外侧作等边△ACB1连接

求证:过△4BC的费马点P,且=9+PH+PC.

【证明】

在BB'上取点P,使NBPC=120°,连接AP,在PB'上截取PE=PC,连接CE.

ABPC=120°,/./EPC=60°,

.•.△PCE为等边三角形，

PC=CEZPCE=60°,NCEB，=120°.

•.•△AC®，为等边三角形，

AC=B'C,AACB'=60°,

/.PCA+AACE=AACE+NECB'=60°,

APCA=ZECB',：./XACP^^B'CE,

：.AAPC=AB'EC=120°,B4=EB\

：.AAPB=AAPC=2BPC=120°,

.•.P为△4BC的费马点，

BB'过ZVIBC的费马点P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

2.如图，在△ABC中，以它的边为边,分别在形外作等边三角形ABDACE,连接BE,CD.

求证:BE=DC.

【证明】

由已知可得AB=AD,AC=AE,ABAD=ACAE=60°,

ABAD+ABAC=ZCAE+ABAC,即ZDAC=/BAE.

在△BAE和△D4C中，

ABAE空ARAC,BE=DC.

【典型演练】

一、单选题

1.数学很多的知识都是以发明者的名字命名的，如韦达定理、杨辉三角、费马点等,你知道平面直角坐标

系是哪一位法国的数学家创立的，并以他的名字命名的吗？()

A.迪卡尔B.欧几里得C.欧拉D.丢番图

【答案】A

【分析】根据实际选择对应科学家--迪卡尔.

【详解】平面直角坐标系是法国的数学家迪卡尔创立的，并以他的名字命名.

故选A

【点睛】本题考核知识点：数学常识.解题关键点：了解数学家的成就.

2.已知点P是4ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫4ABC的费马点

(Fermatpoint).已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当N4PB=N4PC==

120°时，P就是AABC的费马点.若点P是腰长为2的等腰直角三角形DEF的费马点，则+

PE+PF=()

A.2V3B.1+V3C.6D.3V3

【答案】B

【详解】解:如图:等腰RtADEF中，DE=DF=H,过点D作DM±EF于点M,过E、F分别作AMEP

EM，解得：==当£,则。“=乎，故DP=

ZMFP=30°,贝IEM=DM=1,故cos30°=

EP

点睛：此题主要考查了解直角三角形，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键.

3.已知点P是AABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点

(Fermatpoint).已经证明：在三个内角均小于120°的△4BC中，当/APB=/_BPC=

120°时，P就是AABC的费马点.若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE

+PF=()

A.6B.3(V2+V6)C.6V3D.9

【答案】B

【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF,由过点。作DM_LEF于点河，过E、F分别作ZMEP

=NMFP=30°就可以得到满足条件的点P,易得EM=DM=MF=3A/2,根据勾股定理列方程求出PM,

PE、PF,继而求出PD的长即可求解.

【详解】解:如图：等腰RtADEF中，DE=6,

EF=y/DE2+DF2=V62+62=672,

过点。作DM_LEF于点河，过E、F分别作ZMEP=ZMFP=30°,则ZEPF=4FPD=NDPE=120°,

点P就是马费点,

：.EM=DM=MF=3V^,

设PM=x,PE=PF=lx,

在Rt/^EMP中，由勾股定理可得：

PM2+EM2=PE2，即①2+18=(2x)2,

解得tXr=V6,x2=—VG(负数舍去)，

即PM=娓,

:.PE=PF=2前

故DP=DM-PM=3V2-V6,

则PD+PE+PF^3V2-V6+4V6=3A/2+3V6=3(V2+V6).

故选R

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确画出做辅助线构造直角三角形进而

求出PA1的长是解题关键.

4.已知点P是4ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫4ABC的费马点

(Fermatpoint).已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当N4PB=N4PC=NBPC=

120°时，P就是4ABC的费马点.若点P是腰长为V6的等腰直角三角形DEF的费马点，则+

PE+PF=()

A.6B.V3+3C.6V3D.9

【答案】B

［分析］根据题意首先画出图形，过点。作DM±EF于点M,在ABDE内部过E、尸分别作4MEP=

/.MFP=30°，则AEPF=AFPD=ZEPD=120°,点P就是费马点，求出PE,PR,DP的长即可解决问

题.

【详解】解:如图：过点。作DM_LEF于点、M,在^BDE内部过E、F分别作AMEP=ZMFP=30°,

则ZEPF=Z.FPD=NEPD=120°,点P就是费马点，

在等腰Rt^DEF中，。E=。尸=几，DM±EF,

:.EF=6DE=2展,

:.EM=DM二衣,

,：4PEM=30°,NPME=90°,

:.EP=2PM,

解得：PM=1,则PE=2,

故DP=同一1,同法可得PF=2,

则PD+PE+PF=，^—l+2+2=3+四.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键.

二、填空题

5.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点

(Fermatpoint),已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当4APB=NAPC=ZBPC=120°

时，P就是4ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为V2的等腰直角三角形。E尸

的费马点，则+PE+尸F=

【答案】通+1.

【详解】如图：等腰Rt^DEF中，=DF=四，过点。作DMA,EF于点M■，过E、F分别作ZMEP=

Z.MFP=30°,则EM=DM=1,故cos30°=，解得：PE=PF=^=则。”=乎，故。p=

EPV33O

1-4O,则PD+PE+PF=2xO+1-^O-=73+1.故答案为V3+1.

•••

6.若P为4ABC所在平面上一点，且AAPB=Z.BPC=ZCR4=120°,则点P叫做AABC的费马点.

若点P为锐角AABC的费马点，且AABC=60°,上4=3,PC=4,则的值为.

【答案】2/

【详解】如图，根据三角形的内角和定理可得NPAB+NPBA=180°-AAPB=60°,再由ZPBC+/PBA

=ZABC=60°，即可得ZPAB=4PBC,又因AAPB=ABPC=120°,即可判定△ABP〜4BCP,根据相

似三角形的性质可得梨=需,即P32=Q4.pc,再由R4=3,PC=4,即可求得PB=2四.

PBPC

7.法国数学家费马提出:在△ABC内存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小.人们称这个点为

费马点，此时24+P8+PC的值为费马距离.经研究发现：在锐角LABC中，费马点P满足AAPB

=/8尸。=/。巴4=120°,如图，点。为锐角448。的费马点,且^4=3,。。=4,乙48。=60°,则费

马距离为.

【答案】7+2声

【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解.

【详解】解:如图：

,/AAPB=NBPC=^CPA=120,ZABC=60°,

/.Zl+Z3=60°,Zl+Z2=60°,/2+/4=60°,

/l=/4,/2=/3,

△BPC〜/\APB

•PC_PB

"TB~^Ad

即932=12

:.PB=2聪

：.PA+PB+PC=7+2V3

故答案为：7+2/3•M

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质.

8.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC是锐角（或直角）三

角形，则其费马点P是三角形内一点,且满足AAPB=/.BPC=ACPA=120°.（例如:等边三角形的

费马点是其三条高的交点）.若48=人。=，7,8。=2《，？为448。的费马点，则9+尸8+。。

=；=2,AC=4,P为△4BC的费马点，则上4++PC=.

【答案】52a

【分析】①作出图形，过B,。分别作NDBP=NDCP=30°,勾股定理解直角三角形即可

②作出图形，将△4PC绕点A逆时针旋转60°,P为/\ABC的费马点则B,P,P',C四点共线，即A4+PB

+PC=B。，再用勾股定理求得即可

【详解】①如图，过A作AD_LBC,垂足为。，

过B,。分别作ZDBP=NDCP=30°,则PB=PC,P为△ABC的费马点

,:AB=AC=Ji,BC=241>

:.BD=DC=^BC="

..tan30=-=—

：.PD=1

PD

：.PB==2

sin30

AD=dAB—Biy==2

：.PA+PB+PC^5

②如图：

■/AB=2^3,BC=2,AC=4：.

：.AB2+BC2=16,BC2=16

AAB2+BC2=AC2

/ABC=90°

1/sin/_BAC==《=sin30°

AC2

/./BAG=30°

将4APC绕点A逆时针旋转60°

由旋转可得:△APC空/XAP'C

：.AP=AP,PC^P'C',AC^ACACAC=/.PAP'60'

△APP，是等边三角形，

AABAC=90°

­.•P为△ABC的费马点

即B,P,P,C'四点共线时候，弘+PB+PC=BC

PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'=BC

=^/AB2+AC'2=V（2A/3）2+42=2V7

故答案为：①5,②2/7

【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关

键.本题旋转△B4B,/XPBC也可，但必须绕顶点旋转.

三、解答题

9.如图（1）,P为△ABC所在平面上一点，且NAPB=NBPC=NCPA=120°,则点P叫做AABC的费

马点.

（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点尸（填是或不是）该三角形的费马点.

（2）如果点P为锐角4ABC的费马点,且ZABC=60°.求证：AABP〜ABCP；

（3）已知锐角△4BC,分别以为边向外作正△ABE和正△AC。，CE和相交于P点.如

图⑵

①求NCPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点.

【答案】⑴是；⑵见解析;（3）①60°,②见解析

【分析】（1）由等边三角形的性质证明ZABP=ZFAB=30°,可得乙4PB=120°,同法可得：ZAPC=

ZBPC=120°,从而可得结论；

（2）由P为锐角△ABC的费马点，且AABC=60°,证明ZPAB=NPBC,ZAPB=ZBPC=120°,从而可

得&ABP〜&BCP;

（3）①如图2所示：由AABE与AACD都为等边三角形，证明XACE空△ADB（SAS），利用全等三角形的性

质可得/CFD=/6=/5=60°;②先证明△4DF〜△PCF,可得萼=缥，再证明△AFP〜△DFC.

rrGr

可得/APC=ACPD+NAPF=120°,再证明4BPC=120°,从而可得结论.

【详解】解：（1）如图1所示：

:.MB平分4ABe.

同理：AN平分ABAC,PC平分ABCA.

•.•△ABC为等边三角形，

AABP=30°,ABAP=30°.

/.乙4PB=120°.•M

同理：ZAFC=120°,ZBFC=120°.

・・.P是△ABC的费马点.

故答案为：是.

(2)・・・P为锐角△4BC的费马点，且NABC=60°.

・・.ZAPS=ZBFC=120°,

・・.Z.PAB+/.PBA=180°-AAPB=60°,APBC+APBA=AABC=60°,

・・."AB=/PBC,

：.△ABP〜ABCP.

(3)如图2所示:

①•・・/\ABE与丛ACD都为等边三角形，

・・・ABAE=ACAD=6Q°,AE=AB9AC=AD,

：.ABAE+/BAC=ACAD-YABAC,即4EAC=/BAD,

(AC^AD

在/\ACE和△ABD中，(4EAC=ABAD

[AE=AB

：./XACE空△ADB(SAS),

・・.Z1=Z2,

・・•Z3=Z4,

・・.NCPD=N6=N5=60°;

②证明：・・・N1=N2,N3=N4,

・・・4ADF〜/\PCF,

.AF=DF

**PF-CF?,

・・,/AFP=/CFD,

•••△AFP〜ADFC.

・・.ZAFF=ZACD=60°,

・・.ZAPC=/CPD+/APF=120°,

•・・Z6=60°,

・・."PC=120°,

・・.ZAPS=360°-ABPC-ZAPC=120°,

・・.P点、为△ABC的费马点.

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，确定图中

隐含的全等三角形与相似三角形是解题的关键.

10.背景资料：

在已知△ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.•••

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为

“费马点”.

如图①，当ZVIBC三个内角均小于120°时,费马点P在ZVIBC内部,此时AAPB=ABPC=ACPA

=120°,此时，上4+PB+PC的值最小.

解决问题：

⑴如图②，等边4ABC内有一点P,若点P到顶点A、8、C的距离分别为3,4,5,求AAPB的度数.

为了解决本题，我们可以将△4BP绕顶点A旋转到△ACP处,此时△ACP经这样就可以利

用旋转变换，将三条线段E4,尸C转化到一个三角形中，从而求出AAPB=；

基本运用：

（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

如图③，△ABC中，/CAB=90°,AB=AC,E,尸为上的点，且2及4尸=45°,判断BE,EF,FC

之间的数量关系并证明；

能力提升：

⑶如图④，在RtAABC中，NC=90°,AC=1,AABC=30°,点P为Rt/\ABC的费马点，

连接AP,BP,CP,求Rl+PB+PC的值.

图②图③

图④

【答案】（1）150°;（2）©F2=CE，2+FC2,理由见解析；（3）/7.•M

【详解】试题分析：⑴

⑵首先把△ACE绕点人顺时针旋转90°,得到4ACEI连接0F,由旋转的性质得，AE'^AE,0a=

BE,NCAE，=NBAE,ZAC8=4B,/EAE'=90°,然后再证明AEAF笃小田/尸可得/尸=防，，再利

用勾股定理可得结论；

(3)将AAOB绕点B顺时针旋转60°至AAOB处,连接00,根据已知证明C、。、4、O四点共线,在

Rt^A'BC中，利用勾股定理求得A'C的长,根据新定义即可得OA+OB+OC=V7.

试题解析：(1)：ZVLBC为等边三角形，

：.AB^AC,ABAC=60°,

将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°得至IAACP,如图，连结PP',

：.AP=AP=3,APAP'=60°,PC=PB=4,AAPB=/AP'C,

/.Z\APP为等边三角形，

APP'A=60°,PP=AP=3,

在△PPC中，•.•PP=3,PC=4,PC=5,

：.PP'2+P'C2^PC2,

：.4Ppe为直角三角形，APP'C=90°,

/APC=APP'A+ZPP，C=60°+90°=150°,

/./APB=150°,

故答案为150°;

(i)E'F2=CE'2+FC2，理由如下：

如图2,把4ABE绕点A逆时针旋转90°得到AACE，,

由旋转的性质得，AE'=AE,CE'=BE,ACAE'=ABAE,NACE'=ZB,AEAE'=90°,

•//区4F=45°,

/.ZE'AF=ACAE'+ACAF=ZBAE+ZCAF=ABAC-NEAF=90°-45°=45°,

/.NEAF="AF,

(AE=AE'

在AEAF和^E'AF中,{NEAF=AE'AF,

[AF=AF

：.AEAF^^E'AF(SAS),

：.E'F=EF,

•：