2025中考数学专项复习：相似三角形的热考几何模型（考点清单12种题型解读+8种方法解读）原卷版

考点清单6.2相似三角形的热考几何模型

（12种题型解读+8种方法解读）

半角模型利用"A型''或"X型〃模型求线段的长

对角互补模型"A"字相似模型

三平行模型“8〃字相似模型

相似三角形的热考几何模型

角平分线分线段成比例模型一线三等角相似模型

飞鱼模型三角形内接矩形模型

手拉手模型射影定理

强型陆单

解题方法：当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线L

段的比例式，把线段的长代人比例式，通过解方程求出线段的长

1.（24-25九年级上•安徽六安•期中）如图，在AaBC中，点。为AC上一点，且黑=g过点。作DEIIBC交

AB于点E,连接CE,过点。作DF||CE交4B于点尸.若4B=15,求EF的长.

2.（24-25九年级上•陕西咸阳•期中）如图，直线川Bllb，分别交直线小，n于点4B,C,D,E,F,若

AB=6,BC=10,DF=24,求DE的长.

3.(24-25九年级上•海南•阶段练习)阅读材料，并解决问题.

角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分NB4C,则簧=黑，下面是这个定理的部分证

明过程.

证明：如图②，过点C作CEIID4交的延长线于点E.

E

CDBBDEC

③④

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)填空：如图③，已知Rt△力BC中，AB=3,BC=4,/.ABC=90°,4。平分乙B4C,则8。的长是一；

(3)如图④，在△ABC中，E是BC的中点，力。是NBAC的平分线，EFIRD交4C于点F,AB=7,AC=15,

求4尸长.

【考点题型二】“A"字相似模型

类型-基础-变形一

A字模型」反A字模型-注边反A字模型-剪刀反A字模型♦

条件-DE〃BC-Z1=Z2PZ1=Z2P

.4

图示-/

A

BD

BCA

BAC4BCp

结论-AADEsAABCdAADEsAABC.AACDSAABCUAADEc^AABCu

,4C，=AD・AB99

4.(23-24九年级上.北京昌平.期中)如图，在ATIBC中，NC=90。，点。在AC上，DE12B于点E.

A

(1)求证：AADE-AABC；

(2)XC=4,48=5且4。=3,求力E的长.

5.(24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习)如图，。是ANBC的边4B上一点，连接CD,若乙4CD=AB,

(1)求证：△ACDsAABC

(2)若4。=2,BD=4,求AC的长.

6.(23-24八年级下•江苏无锡・期末)［基础学习］

(1)如图1,在AABC中，D,E,F分别为力B,AC,BC上的点，DE||BC,4F交DE于点G,求证：岭=

BF

CF

图1

［尝试应用］

(2)如图2,已知D、E为△4BC的边BC上的两点，且满足3BD=3DE=CE,一条平行于4C的直线分别

交48、4。和4E于点P、Q和M,求”的值.

A

图2

［拓展提高］

（3）如图3,矩形4BCD中力B=3a,4D=2a（a为常数），点E是矩形力B边上的一个动点，延长至点

F,使4F=22E,连接DE,CF,DE与CF相交于点G,连接BG,求BG的最小值（用a的代数式表示）.

7.（24-25九年级上•四川内江•期中）（1）如图1,在AABC中，E是4B上一点，过点£作BC的平行线交

AC于点F.点。是BC上任意一点.连结力。交EF于点G,求证：笑=哭；

（2）如图2,在⑴的条件下，连结BF,DF,若得=点且FE、FB恰好将Z4FD三等分.求黄的值;

（3）如图3,在等边AaBC中，DC-.DB=1:4,连结4D,点G在4。上，若NBGC=120。，求出的值.

【考点题型三】“8"字相似模型

类型e基础Q变形4

正8字模型-反8字模型」剪刀反8字模型-

条件」AB〃CDQZA=2D或乙2B=zlC或d

B=Z.CQZBAO=ZODC^

图示ABXB

A

DC

结论VAAOBsAcOgAAOBSADOC/ABDESACAE>

AAOBSADOB

8.（2021.山东聊城•一模）如图，在平行四边形4BCD中，点E是4。上一点，AE=2ED,连接BE交4C于

点G,延长BE交CD的延长线于点R则失的值为（）

9.（23-24九年级下•江苏南京・自主招生）如图，过点P作两条直线分别与圆交于A,B和C,。两点，分

别求证：PA-PB=PCPD.

10.（24-25九年级上•福建泉州•阶段练习）如图，BD,4C相交于点P,连接AB,BC,CD,DA,ADAP=

乙CBP.

DC

(1)求证：4ADPFBCP,并判断AADP与ABCP是不是位似图形？(不必说明理由)

(2)若AB=8,CD=4,DP=3,求力P的长.

IL(辽宁省锦州市第四中学教育集团2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试卷)如图，在梯形

4BCD中，AD||BC,AC与BD相交于点。，点E在线段OB上，4E的延长线与BC相交于点F,OD2=OB-

OE.

(1)求证：四边形4FCD是平行四边形；

(2)如果AE-AF=AD-BE,求证：AE-DC=AD-BE.

【考点题型四】一线三等角相似模型

12.(24-25九年级上•山西•期中)如图，已知矩形纸片ABC。，AD=2CD-10,点E在CD上，把纸片沿

4E折叠，点。的对应点。'恰好落在BC上，则DE的长度为()

A.3B.20-10V3C.10-5V3D.2.5

13.（24-25九年级上•江苏无锡・期中）如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且2E1EF.

⑴求证：AABEECF；

(2)若BE=3,EC=7,求CF的长.

14.（22-23九年级上•广东深圳•期中）【基础巩固】（1）如图1,在A4BC中,乙4cB=90°,4?=BC,。是

4B边上一点，F是BC边上一点，ACDF=45°.求证：AC-BF=AD-BD-,

【尝试应用】（2）如图2,在四边形4BFC中，点。是4B边的中点，乙4=AB=/CDF=45。，若AC=9,

BF=8,求线段CF的长.

【拓展提高】（3）在AABC中，48=4&28=45。，以4为直角顶点作等腰直角三角形ADE（其中

AD-.DE=1:V2）,点。在BC上，点E在2C上.若CE=2底求CD的长.

15.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，在平面直角坐标系久Oy中，点2,点8在x轴上（点4在点

B的左侧），且点4、B的横坐标是方程/+2%-3=0的解，点C（0,3叫为y轴正半轴上一动点，连接2C,

（1）求点M的坐标；（用含皿的代数式表示）

⑵点N是点M关于x轴的对称点，连接AN,CN,是否存在这样的小值，使ACAN与△力。C相似？若存在,

请求出租的值；若不存在，请说明理由.

【考点题型五】三角形内接矩形模型

【提示】大招结论切勿死记硬背，解题时首先根据已知条件得到AAGFSAABC,从而得到G空F=芸，再将相关数

BCAN

值代入求解.*

16.（2023九年级上•全国・专题练习）如图，在AABC中，BC=12,高4。=6,正方形EFGH一边在8C

上，点E,F分别在4B,4C上，AD交EF于点、N,求4N的长.

17.（24-25九年级上•辽宁营口•期中）如图所示，有一块三角形余料ABC,它的边长=120,高2。=

80.要把它加工为矩形零件.

（1）如果使矩形的长为宽的两倍，且长边在BC上，其余两个顶点分别在48、AC上，则加工成矩形零件的长

和宽分别是多少？

（2）如果要使加工的矩形零件面积最大，求矩形零件面积达到最大时的两边长.

18.（21-22九年级上•全国•课后作业）一块直角三角形木板的面积为1.5m2,一条直角边4B为1.5m,怎样

才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说

明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.

19.(24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习)如图，锐角A4BC中，BC=12,BC边上的高AD=8,矩形

EFG”的边GH在BC上，其余两点E、F分另U在AB、AC上，且EF交AD于点K.

(1)求篙的值;

(2)设4K=x,矩形EFGH的面积为S.

①求S与比的函数关系式;

②请直接写出S的最大值为

【考点题型六】射影定理

21.(24-25九年级上•四川眉山•期中)如图，在AABC中，乙4cB=90。，CD14B于。,

B

(1)求证：CD2=AD•BD；

(2)若AC=4,AB=5,求CD的长.

22.(2024•江苏徐州•中考真题)在AABC中，点。在边4B上，若CD?=AD-DB,则称点。是点C的“关联

点

⑴如图(1),在AABC中，若乙4c8=90。，CD于点D.试说明：点。是点C的“关联点”.

(2)如图(2),已知点D在线段4B上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC,使其同时满足下列条件：①点

。为点C的“关联点”；②N2CB是钝角(保留作图痕迹，不写作法).

(3)若A/IBC为锐角三角形，且点。为点C的“关联点”.设=DB=n,用含m、n的代数式表示4c的

取值范围(直接写出结果).

23.(2024・山东济南・中考真题)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了

深入研究.

(一)拓展探究

如图1,在A4BC中，/-ACB=90°,CD1AB,垂足为D.

(1)兴趣小组的同学得出AC?=4。理由如下:

•••乙ACB=90°・.・+=90°

•・,Z.A=乙4ABCACD

••・CD1AB

.・・-=@______

AC

・•.^ADC=90°

・•.AC2=AD-AB

.•・乙4+AACD=90°

•••Z-B=®______

请完成填空：①;②;

(2)如图2,尸为线段CD上一点，连接4F并延长至点E,连接CE,当"CE="FC时，请判断A4EB的

形状，并说明理由.

(二)学以致用

(3)如图3,△力8c是直角三角形，乙ACB=90°,AC=2,BC=2正,平面内一点D,满足连接

CD并延长至点E,且NCEB=NCBD,当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长.

【考点题型七】手拉手模型

模型详解(一般三角形手拉手模型)：，

ID4c

条件：在AABC和ADE中，ZBAC=ZDAE,--=

,4DAE

解题策略：连接BD,CE,根据已知条件可证明AAB2AACE4

结论：AABDC^AACE,AADECOAABC1

24.(山西省临汾市202—2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题)综合与探究

问题情境

小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构

成.在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模

型”.小丽进行了如下操作：

图1图2备用图

(1)问题发现

如图1,在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,^AOB=/.COD=40°,连接AC,BD交于点M.小

丽发现这就是手拉手模型，易证AAOC三△B。。，进而可以得知：

①黑的值为;

DU

②乙4MB的度数为.

⑵类比探究

如图2,在ACMB和△OCD中，若乙4OB=NC。。=90。，—=—=V3,连接4C交BD的延长线于点

DOBO

4。与BM交于点尸.小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型.请你求出此时装的值及N4MB的度

数，并说明理由；

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将△OCD绕点。在平面内任意旋转，AC,BD所在直线交于点若。。=1,OB=

V7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

25.(23-24八年级下.江苏苏州•阶段练习)(1)【问题发现】如图①，正方形ABC。，DEFG,将正方形

DEFG绕点。旋转，直线AE、CG交于点P,请直接写出线段力E与CG之间的数量关系是，位置关系

是;

(2)【拓展探究】如图2,矩形ABC。，DEFG,AD=2DE,AB=2DG,AD=DG,将矩形DEFG绕£)旋

转；直线4E,CG交于点P,(1)中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线

段之间的关系；

(3)【解决问题】若2D=2DE=4,AB=2DG=8,矩形DEFG绕。旋转过程中当点P与点G重合时，

26.(23-24九年级上•辽宁沈阳•阶段练习)1.问题发现

图(1),在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,AAOB=/.COD=35°,连接AC,BD交于点

①咚的值为;②乙4MB的度数为.

(2)类比探究

图(2),在小。43和4OCD中，NAOB=乙COD=90°,AOAB=乙OCD=30°,连接力C,交BD的延长线于

点请计算片的值及乙4MB的度数；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，若。。=2,AB=8,将仆。。。绕点。在平面内旋转一周.

①当直线DC经过点B且点C在线段80上时，求4C的长；

②请直接写出运动过程中〃点到直线。B距离的最大值.

27.(2022・山东烟台・中考真题)

(1)【问题呈现】如图1,△A8C和△AOE都是等边三角形，连接BQ,CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC^ZADE^90°.连接B。，CE.请

直接写出的值.

CE

(3)【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形，ZABC^ZADE^90°,且黑=解=1连接

BCDE4

BD,CE.

①求的值；

CE

②延长CE交于点尸，交AB于点G.求sin/BFC的值.

【考点题型八】飞鱼模型

28.(24-25九年级上•四川乐山•期中)如图，AABC中，4。是BC边上的中线，尸是4。上一点，有4尸:尸。=

2:3,连接CF,并延长交力B于E,贝|2E:EB等于()

£

A.2:3B.1:4C.1:3D.1:2

29.（23-24九年级上•江苏南京•阶段练习）已知：如图，AABC中，AE=CE,BC=CD,求证：ED=

3EF.

30.（24-25九年级上•福建泉州•期中）如图，BD是AABC的中线，点E是8D的中点，延长4E交BC于点

F,若8c=6,则BF的长为.

31.（24-25九年级上•安徽滁州•期中）如图，4。是△力BC的中线，点F是力。上一点，且DF=24F,连接

CF并延长交48于点E.

（1）若4E=1,求4B的长;

（2）求答的值.

Cr

32.（24-25九年级上•安徽亳州•阶段练习）如图，AD是AABC的中线，点M在4。上，连接并延长交4C

于点N.

【填空】

(1)若AM=DM,贝IjAN=_CN；

(2)若AM=2DM,贝iMN=_CN；

(3)若AM=3DM,则AN=_CN；

【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论；

【猜想】若4M=九。“，贝必N=_CN（用含〃的代数式表示，不用说明理由）.

【考点题型九】角平分线分线段成比例模型

33.（2024•吉林长春.三模）如图①，4。是A4BC的角平分线.数学兴趣小组发现结论：黑=装.经过讨

论得到如下3种证明思路：

思路1：过点。向NB4C两边作垂线段，利用三角形的面积比证出结论；

思路2：过点C作的平行线，与4D的延长线相交，利用三角形相似证出结论；

思路3：过点C作的平行线，与B4的延长线相交，利用平行线分线段成比例证出结论.

图①图②

（1）请参考以上3种证明思路，选择其中一种证出结论；

（2）在图①中，4。是AABC的角平分线.若4B=6,AC=4,BC=7,贝加。的长度为；

（3）如图②，在ATIBC中，Z.BAC=60°,ATlBC的角平分线B。、CE相交于点F,若黄=点则詈的值为

34.（23-24九年级上.江苏淮安•阶段练习）聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充：

角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，于是他就

和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，△ABC中，AD平分NB4C交BC于点

求证：.=组

CDAC

可是他们依然找不到证明的方法，经过老师的提示：过点8作BEII4C交AD延长线于点E,于是得到4

BDECDA,从而打开思路.

【问题初探】（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明；

A

【现学现用】利用角平分线定理解决如下问题：

(2)已知，△ABC中，4D是角平分线，AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm,贝UBD的长为_cm；

(3)如图②，AABC中，AB=3cm,AC=5cm,点。是8c边上一点，将△ABD沿着4。翻折，使得点B

与4C边上的点E重合，若ACDE是直角三角形，求BC的长度.

图②

【问题解决】

(4)如图③，已知反比例函数丫=2，点A是该图象第一象限上的动点，连接4。并延长交另一支于点

B,以4B为斜边作等腰直角△ABC,顶点C在第四象限，4C与无轴交于点尸，连接BP,点A在运动过程

中，是否存在/力PB=NA8P+4NP8C的情况？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

35.(23-24九年级上•山西大同•期末)阅读以下材料，并完成相应的任务：

角平分线分线段成比例定理的认识

定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，即：如图①，在A4BC

中，AD平分NB4C,贝=M

综合与实践课上，“奋斗”小组利用不同的方法验证出该定理的正确性.

方法一：证明：如图②，过点D作。E||C4交线段4B于点E

(1)填空：方法1中的依据1指的是,依据2指的是

(2)“方法二”给出了这个定理的部分证明过程，请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(3)如图④，已知在RtAABC中，AB=3,BC=4,Z.ABC=90°,4。平分乙B4C,请你直接写出线段4。的

长.

36.(23-24八年级下.江苏淮安•阶段练习)【结论提出工三角形的角平分线分对边所成的两条线段段比等

于夹这个角的两条边的比.

【思路说明】⑴已知：如图1,zkABC中，4D平分NBAC交BC于。.试说明：居=震.

理由：过点C作CEII4D,交54延长线于点E,易得患=，

由CEIMD,AD平分NB4C,可得4E=,代入上式得生=

【直接应用】

(2)如图2,RtAABC中，ZC=90°,4D平分NBAC交BC于。，若BD=15,CD=9,在不添加辅助线

的情况下直接写出AB=_.

(3)如图3,若四边形4BCD为矩形，AB=10,AD=8,将△4DE沿力E翻折得至!]△4FE,延长EF、AF

分别交4B,BC于〃、H两点，当=时.

①求的长；

②直接写出翳=_.

【拓展延伸】

(4)如图4,若平行四边形2BCD中4B=6,BC=5,4ABe=60°,当点E为力B边的三等分点时，将小

BCE沿CE翻折得到ACFE,直线EF与BC所在直线交于点P、与AD所在直线交于点0,请直接写出4Q的

长一.

【考点题型十】三平行模型

条件=AB//EF〃Cg

37.(23-24九年级上.山东聊城.阶段练习)如图：ADWEGWBC,EG分别交力B、DB、AC于点E、F、G,已

知力。=6,BC=9,AE=9,4B=12,则FG=

38.（21-22九年级上•安徽安庆・期中）图，ABWGHWCD,点”在BC上，AC与8。交于点G,AB=2,CD

=3,求G8的长.

39.（24-25九年级上•广西百色•期中）如图，平行四边形4BCD的对角线AC、BD交于点。，CE平分ABCD交

AB于点E,交BD于点F,S.^ABC=60°,AB=2BC,连接。£下歹!J结论：®EO1AC；@S^A0D=

4SAOCF；③4C:BD=旧:7；④FB2=OF-DF.其中正确的结论有（）

--------------

A.①②③B.①③④C.②③④D.④

40.（2024•江苏盐城•模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：

有这样一个题目：设有两只电阻，分别为名和&，问并联后的电阻值氏是多少？

我们可以利用公式3=《+《，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果

如图①，在直线/上任取两点A、B,分别过点A、8作直线/的垂线1，BD=R2,且点C、。位于直线/

的同侧，连接2。、BC,交于点E,则线段EF的长度就是并联后的电阻值R.

证明：•:EF1I,CA1I,

:.乙EFB=/.CAB=90°,

又,：乙EBF=ACBA,

：.AEBF八CBA（依据1）,

隐盗(依据2).

同理可得：£=£

.BF_^AF_EFEF

**ABAB-AC丁B。'

,dEFEF

••1=------t1-------，

ACBD

J_=J_.J_

EFAC丁BD

11,1

n即n：a=瓦+瓦.

任务:

(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:

依据1：;

依据2：；

(2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知％=3千欧，氏2=6千欧，请在图③中(1个单位长度代表

1千欧)画出表示该电路图中总阻值R的线段长；

(3)受以上作图法的启发，小明提出了已知％和R,求的一种作图方法，如图④，作AaBC,NC=

90°MC=BC=Rlt过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R,使点。与点A在直线BC的同一侧，作

射线2D,交C8的延长线于点£,则BE即为你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明

理由.

41.(23-24九年级上•浙江杭州.阶段练习)某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，发现

自己在两路灯下的影长与自身的站定位置具有一定关系，小明从有关部门查得左侧甲路灯Q4B)的高度为

4.8米，右侧乙路灯(CD)的高度为6.4米，两路灯之间的距离(BD)为12米，已知小明的身高(EF)为1.6

米，小明在两路灯之间行走(如图所示)，并测量相关数据.

⑴当小明站在人行横道的中央时(即点F是BD的中点)，则小明在两路灯下的影长之和PQ=米;

(2)当小明移动到某一点时，ACQP=45°,求影长FP的长度；

(3)当小明移动到某一点时，两路灯产生的影长相等(FP=FQ),此时小明距离甲路灯多远？

【考点题型十一】对角互补模型

42.(21-22九年级上•黑龙江鸡西•期末)如图，在RfANBC中，乙4BC=90。，AB=6,BC=8,在

MPN中，乙MPN=90°,点P在力C上，PM交力B于点E,PN交BC于点尸，当PE=2PF时，4P的长为

()

43.(2024•江苏扬州•二模)如图,已知△力BC中，NACB=90。,乙4=45。,48=6&,点。在边4B上，

AD=2V2.数学老师让同组的几位同学用一块含30。的三角板。EF,开展如下的数学探究活动：将△0第

绕着点。按顺时针方向旋转，旋转过程中ADEF边DE、DF始终分别与A4BC的边AC、BC相交于点〃、

N.

(1)【特殊化感知】在三角板。EF的旋转过程中，若。E14C,DF1BC,贝UAM+|BN=_

(2)【一般化研究】在三角板DEF的旋转过程中，AM+：BN的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不

是，说明理由；

(3)【拓展延伸】

①如图1,在三角板DEF的旋转过程中，求4ATBN的最大值；

②如图2,连接MN,取MN的中点P,在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点尸运动的

路径为

44.（2024・湖北随州•模拟预测）点尸在四边形力BCD的对角线4C上，直角三角板PEF的直角边PE,PF分别

交力B,BC边于点M,N.

图1

【特例探究】（1）如图1,若。是边长为2的正方形A8CD对角线AC,8。的交点，当点P在点。处时，无

论三角板PEF绕点。怎样转动，我们发现，三角板与正方形重叠部分的面积总等于

【类比探究】（2）如图2,在（1）的条件下，改变点P的位置（尸在对角线AC上），若胎=匕则有

PM=kPN.

下面是该结论的证明过程：

证明：过点尸作PGL4B于点G,作PH1BC于点孙

请按以上证明思路完成剩余的证明过程；

【迁移探究】（3）如图3,在（2）的条件下，将“正方形力BCD”改为“矩形力BCD"，且4B=3,BC=4,

其他条件不变.若卜=|，且PE过点8