2025中考数学专项复习：二次函数与实际问题 （考点清单）原卷版

专题5-2二次函数与实际问题

（1个考点梳理+10种题型解读+3种方法解读）

考曼伟单

1.用二次函数解决实际问题的一般步骤：

1）审：仔细审题，理清题意；

2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当

的未知数；

3）歹！J：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；

4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；

5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.

【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果

顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论.

2.利用二次函数解决实际问题的常见类型

常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线

的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关

键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.

利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品

的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函

数解析式，从而解决问题.

利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑

物的底（顶）部所在的水平线为X轴，对称轴为y轴，或直接选取最高（低）点为坐标原点建立直角坐标系来

解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.

利用二次函数解决面积最值的方法：求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答,也就是把

图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.

利用二次函数解决动点问题的方法：首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合

直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条

件进行计算.

利用二次函数解决运动型几何问题的方法：对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运

动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动

过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找

出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形（或某一事物）在运动的过程中某一量取到最大值

或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律.

题型循单

【考点题型一】销售问题

解题思路：利用二次函数解决实际生活中的利润问题，要认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使

用，同时考虑问题要全面，此类问题一般是先运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品所获利

润*销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式，再求出这个函数的最大值即求得最大利润.

解题步骤：1）设未知数X,y；

2）根据题目条件找到x、y的关系式；

3）利用配方法求二次函数的最值及取得最值的x的取值.

［例1］（23-24九年级上•江苏淮安•期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某旅

游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件.从7月

份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20

件.

（1）设降价尤元，日销售量为y件.试用含x的式子表示y,y=；

（2）请你测算一下，当售价为多少元时，可使日销售利润最大？最大利润是多少？

【变式1-11（23-24九年级上•江苏无锡•期末）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了

合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每

降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价无（元）（50<%<100）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制

在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本x每天的销售量）

【变式1-2］（23-24九年级上.江苏徐州.期中）某商店经销一种手提包，已知这种手提包的成本价为50元/

个.市场调查发现，这种手提包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=-x+

80（50<x<80）.设这种手提包每天的销售利润为w元.

（1）当这种手提包销售单价定为多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（2）如果物价部门规定这种手提包的销售单价不得高于68元，该商店销售这种手提包每天要获得200元的销

售利润，销售单价应定为多少元？

【变式1-3］（23-24九年级上•浙江杭州•期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，

销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“双十一”促销活动，商店决定采取适当的降价措施，以扩

大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.

（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该童装每天销售获利为1200元，每件童装应降价多少元？

（2）该童装每天的销售获利能达到2000元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由.

【考点题型二】行程问题

【例2】（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）物理实验课小明做一个实验：

在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的

滚动速度％（单位：cm/s）随滚动时间/（单位：s）变化的数据，整理得下表.

运动时间ts0123

运动速度ucm/s109.598.5

黑球

Q________________________________

A

（1）小明探究发现，黑球的滚动速度以与滚动时间r之间成一次函数关系，直接写出％关于t的函数解析式（不

要求写出自变量的取值范围）.

（2）求出滚动的距离s关于滚动的时间/的函数解析式，并求出黑球滚动的最远距离.［提示：本题中，距离

S=v-t,v=|（v0+vt）,其中为是开始时的速度，%是1秒时的速度］

【变式2-1］（23-24九年级上.山东滨州•期中）如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增

加1.5m/s.

（1）写出滚动的距离S（单位：m）关于滚动的时间单位：s）的函数解析式.（提示：本题中，距离=平均

速度5X时间3方=等，其中，为是开始时的速度，%是1秒时的速度.）

（2）如果斜面的长是3m,钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？

【变式2-2］（2023•江苏无锡•模拟预测）有两条相邻的平行滑道（不光滑）.甲木块在一条滑道内自动滑行,

直到停止.甲木块与起点线机的距离S甲（厘米）与滑行时间秒）之间满足5甲=-严+12±+25.甲木

块滑行2秒后，乙木块在另一滑道从起点线m以某一初速，持续受力运动，乙木块与起点线m的距离S乙（厘

米）与受力时间r（秒）是二次函数关系，变化规律如下表：

t（秒）012

S乙（厘米）01636

m一

乙

（1）求S乙与f之间的函数关系式；

（2）求乙木块追上甲木块用时多长；

（3）求甲木块停止时，乙木块与甲木块的水平距离.

【变式2-3］（23-24九年级上•湖北武汉.阶段练习）如图是城市平直道路，道路限速60km/h,A路口停车

线人和8路口停车线"之间相距S=400m,A、8两路口各有一个红绿灯.在停车线人后面停着一辆汽车，

该汽车的车头恰好与停车线4平齐，已知汽车启动后开始加速，速度每秒增加2m/s.某时刻A路口绿灯亮

起，该汽车立即启动.（车身长忽略不计）

（1）求该汽车从停车线。出发加速到限速所需的时间.

（2）写出汽车加速后行驶的路程S（单位："Z）关于时间单位：S）的函数解析式.（提示：本题中，路程=平

均速度方x时间f,方=空其中又是开始时的速度，%是/秒时的速度），并求该汽车最快需要多少时间可

以通过停车线G

（3）在（2）条件下，若A路口绿灯亮起29s后B路口绿灯亮起，且B路口绿灯的持续时间为23s.该汽车先加

速行驶，然后一直匀速行驶.若该汽车在B路口绿灯期间能顺利通过停车线4，请直接写出该汽车匀速行驶

过程中速度的取值范围.

【考点题型三】拱桥问题

解题步骤：

1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中；

2）从已知和图像中获得求二次函数图像所需条件；

3）利用待定系数法求二次函数的解析式；

4）运用已求二次函数的解析式解决问题.

【例3】（2023•河南平顶山•二模）隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的

横截面形状近似抛物线，测得它的跨度2B为37.4m,拱高（抛物线的最高点C至！J4B中点。的距离），CO为

7.2m,以4B所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为丫=

a（x—h）2+k.

（1）结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式.（a值精确到0.01）

（2）当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度EF不大于21m时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测

得点C到水面EF的距离CD只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由.

【变式3-1］（21-22九年级上•江苏连云港•期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底

部宽度为12米，现以。点为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若要搭建一个由AD-DC-组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多

少米？

【变式3-2］（2023•陕西•中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的

拱门的跨度与拱高之积为48m3,还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设

计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，点N在%轴上，PE1ON,0E=EN.

方案二，抛物线型拱门的跨度。M=8m,拱高P9=6m其中，点N，在x轴上，P'E'1O'N',O'E'=E'N'.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架4BCD

的面积记为S］,点4。在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架ABO的面积记为52,点4,»在

2

抛物线上，边B'C'在ON'上,现知，小华已正确求出方案二中，当AB，=3m时，S2-12>/2m,请你根据

以上提供的相关信息，解答下列问题:

（1）求方案一中抛物线的函数表达式;

（2）在方案一中，当月B=3m时，求矩形框架ZBCD的面积Si并比较Si，S2的大小.

【变式3-3］（23-24九年级上•浙江温州.阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动

的必要装备.其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用.

图1图2图3

【建立模型】如图2,4款帐篷搭建时张开的宽度AB=3m,顶部高度九=1.8m.请在图2中建立合适的平

面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式.

【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入4款帐篷后的

简易视图，椅子高度EC=1m,宽度CD=0.6m,若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放

的椅子数量.

【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为1m和0.6m

的椅子.设其抛物线型支架的形状值为a（a<。），请写出a的最小值.

【考点题型四】喷水问题

【例4】（23-24九年级上.江苏淮安.期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示.升降杆

OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头”能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷

射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米.将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时

喷射的水柱落地点与。的距离为多少米.

米

Si图2

【变式4-1］（23-24九年级上.吉林・期中）圆形喷水池中心。处有一雕塑04从4点向四周喷水，喷出的水

柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点。为原点建立平面直角坐标系，点4在y轴上，x轴

上的点C、。为水柱的落水点.已知雕塑。力高斗米，与。4水平距离5米处为水柱最高点，落水点C、。之间的

距离为22米，求喷出水柱的最大高度是多少米？

【变式4-2］（23-24九年级上•河北石家庄•期中）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头

（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看

成抛物线.当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米.以点。为原点，自动喷

水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

（1）求抛物线的解析式；

（2）斜坡上距离。水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树垂直水平地面，且M点到水平地

面的距离为2米，

①通过计算说明：水流能不能刚好喷射到小树的顶部；

②绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N,直接写出自动喷水装置向左水平平

移（即抛物线向左）了多少米？

【变式4-3］（23-24九年级上•北京东城•期中）如图1,一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口”离地竖直高度

为九=1.4米.建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的

部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=2米，竖直高度EF=0.9米，下边缘抛物线

是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点4离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口().4米，

灌溉车到绿化带的距离。。为d米.

(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；

(2)求下边缘抛物线与方轴交点B的坐标；

(3)若d=3.2米，灌溉车行驶时喷出的水(填“能”或“不能”)浇灌到整个绿化带.

【考点题型五】增长率问题

【例5】(23-24九年级上.河南周口.阶段练习)共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投

放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的

月平均增长率为x,则x的值为()

A.1.2B.12%C.20%D.-22%

【变式5-1](23-24九年级上•安徽合肥•阶段练习)某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵

魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录.如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后的

价格y(元)与每次降价的百分率尤之间的函数关系式是()

A.y=300(1-x)B.y=300(1-x)2C.y=300(1+x)D.y=

300(1+x)2

【变式5-2](23-24九年级上.全国.单元测试)某厂加工一种产品，现在的年产量是40万件，计划今后两年

增加产量.如果每年的增长率都为万,那么两年后这种产品的年产量y(万件)与比之间的函数表达式为—

(要求化成一般式).

【变式5-3](23-24九年级上•河北廊坊•阶段练习)某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增

长率为x,预计今年比去年的年增长率为2x,设今年的总产值为y万元.

(1)求y与x的关系式；

(2)当尤=20%时，求今年的总产值为多少万元？

【考点题型六】投球问题

【例6】（23-24九年级上.江苏盐城•期中）掷实心球是南宁市中考体育考试的项目.如图是一名女生掷实心

球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度ym与水平距离比m之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处

高度为|m,当水平距离为3m时，实心球行进至最高点，此时距离地面3m.

图1

（1）求y关于久的函数表达式；

（2）南宁市体育中考评分标准（女生）如下表所示:

成绩（分）12345678910

距离（米）4.705.105.505.906.306.707.107.507.908.30

该女生在此项考试中获得多少分，请说明理由.

【变式6-1］（2024•河南信阳.模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门

的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高。8为2.4m,

现以O为原点建立如图所示直角坐标系.

（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）.

（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少

米射门，才能让足球经过点。正上方2.25m处？

【变式6-2］（23-24九年级上•江苏连云港•阶段练习）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次

举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛.如图，一名中

国运动员在距离篮球框中心A点4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线

为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度2点处，且最大高度为3.5m,以地面水平线

为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心4距离地面3.05m.

(1)求该篮球的运行路线(抛物线)的表达式；

(2)求出篮球在该运动员出手时的高度.

【变式6-3](2023•江苏盐城•一模)比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上

做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外

不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同.

已知：某建筑。4的高度为44.1m,将一个小铁球P(看成一个点)从A处向右水平抛出，在水平方向小铁

球移动的距离d(m)与运动时间t(s)之间的函数表达式是：d=7t,在竖直方向物体的下落距离h(m)与下落

时间t(s)之间的函数表达式为％=4.9户.以点O为坐标原点，水平向右为x轴，。4所在直线为y轴，取1m

为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线.

图1图2

(1)求小铁球从抛出到落地所需的时间；

(2)当t=1时，求小铁球尸此时的坐标；

(3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

【考点题型七】隧道问题

【例7】(23-24九年级上.安徽滁州•阶段练习)如图1,某高速路有一段隧道，隧道的横截面如图2,横截

面的上边缘是一段抛物线，以抛物线的对称轴作为y轴，以水平地面作为x轴建立平面直角坐标系.已知该

抛物线的顶点坐标为C(0,6),抛物线与x轴的交点分别为点4和点8,抛物线的表达式为y=-；/+c.(长

6

度单位：m)

⑴求4B的长；

(2)若每个隧道都是双向车道，中间是实线(车辆不能压实线，实线的宽度忽略不计)，现有一辆高4m,宽3m

的货车次通过此隧道，请你判断该货车能否通过该隧道，并说明理由.

【变式7-1](21-22九年级上•江西宜春•阶段练习)如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形A8CD构成，

矩形的长为8〃z,宽AB为2加，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标

系(如图1),y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点。的距离为6〃八

(1)求抛物线的解析式；

(2)现有一辆货运卡车，高44小宽24",它能通过该隧道吗？

(3)如果该隧道内设双向道(如图2),为了安全起见，在隧道正中间设有04〃的隔离带，则该辆货运卡车还

能通过隧道吗？

【变式7-2](23-24九年级上.贵州安顺•期末)按要求解答

(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比

原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？

(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线.已知两个车道宽度。C=。。=4米，

人行道地基AC,BD宽均为2米，拱高。M=10.8米.建立如图所示的直角坐标系.①求此抛物线的函数表

达式(函数表达式用一般式表示)

②已知人行道台阶CE,DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽

度设计是否达标？请说明理由.（参考值：V35«5.92）.

【变式7-3］（22-23九年级下•河南驻马店•阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面.经测

量，两侧墙力B和CD与路面4C垂直，隧道内侧宽4C=8米.工程人员在路面4C上取点E,测量点E到墙面力B

的距离4E,点E到隧道顶面的距离EF.设4E=x米，EF=y米.通过取点、测量，工程人员得到了x与y

的几组值，如表：

（1）若以点A为坐标原点，4C所在直线为x轴，2B所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在

抛物线的解析式；

（2）如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且到

隧道顶面的距离不小于0.33米.按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？

【考点题型八】图形问题

解题思路：求几何图形的最大面积，应在分析图形的基上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出

与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根

据函数关系式求出最值及取得最值时相应的自变量的值.

一般方法解题步骤：1）设未知数（一般面积为S,边长为x,题目已设出未知数则省掉）；

2）根据题目条件列出面积S和边长x之间的关系式；

3）利用配方法求二次函数的最值.

【注意】在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量

的取值范围,一般有以下几种情况：边长,周长,面积大于0,三角形中任意两边之和大于第三边.

【例8】（23-24九年级上•宁夏石嘴山•期中）如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养羊圈,

其中羊圈一边靠墙MN,另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），的长度为15m.

(1)为了让围成的羊圈(矩形4BCD)面积达到112m2,请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少？

(2)请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少时，羊圈的面积达到最大？最大面积是多少？

MN

D-

BC

【变式8-1](23-24九年级上.全国・单元测试)某小区业主委员会决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建

成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形)，空白区域为活动区，且

四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m,且不大于26m,设每块绿化区的较长边为xm,活动区的面

积为yrM.

(1)写出y与x之间的函数关系式及无的取值范围；

(2)求活动区的面积y的最大值；

(3)预计活动区造价为50元/n?,绿化区造价为40元/n?,如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造,

则当x为整数时，共有几种建造方案？

【变式8-2](23-24九年级上.广西防城港•期中)综合与实践：

如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体.

【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体.如图，某数学兴趣小

组把周长为36cm的矩形力BCD绕它的一条边4B旋转可以形成一个圆柱体.

请完成下列方案设计中的任务

【方案设计】目标：设计一个侧面积最大的圆柱体.

任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EP剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长.

(1)圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？

(2)如图，设BC的长度为xcm,请用含有无的代数式分别表示AB、GJ、GH的长度；

任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为ycm2.

(3)在(2)的条件下，求y与尤的函数表达式，并写出自变量尤的取值范围；

(4)在(3)的条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？

【变式8-3](23-24九年级上•浙江嘉兴.期中)某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某

小组研究如下：

【提出驱动性问题】如何设计纸盒？

【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动.

请你尝试帮助他们解决相关问题.

素材

利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒

1

素材如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，

2将剩余部分折成一个无盖纸盒.一：「一N--------

【尝试解决问题】

任务1.初步探究：折一个底面积为484cm2无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？

任务2.折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长;

如果没有，说明理由.

【考点题型九】动点问题

【例9】(2022•江苏苏州.二模)图1,在RtAABC中，Z.B=90°,BC=4cm.点P以lcm/s的速度从点4出

发沿力B匀速运动到B；同时，点Q以ucm/s(v>1)的速度从点B出发沿BC匀速运动到C.两点同时开始运

动，到达各自终点后停止，设运动时间为t(s),AP8Q的面积为S(cm2).当点Q在上运动时，S与t的函数

图象如图2所示.

4S(cm2)

「；、

图1图2

(1)4B=.cm,v=.cm/s,补全函数图象;

(2)求出当时间t在什么范围内变化时，△PBQ的面积为S(cm2)的值不小于9；

4

(3)连接CP,4Q交于点D,求CP平分4Q时t的值.

【变式9-1](23-24九年级上•广西南宁•期中)如图，在AABC中，ZB=90°,AB=12cm,BC=24cm,

动点尸从点A开始沿边48向点3以2cm/s的速度移动，动点0从点2开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移

动.设运动时间为九

(1)则PA=_,PB=_,BQ=_；(用含t的式子表示)

(2)求出△BPQ的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围；

(3)结合(2)所得的函数，描述ABPQ的面积S随移动时间f增大如何变化.

【变式9-2](23-24七年级上•辽宁葫芦岛•阶段练习)如图，在长方形4BCD中，AB=9cm,SC=6cm,动

点P从点4出发，以每秒1cm的速度沿折线4-C运动，到点C停止；同时动点Q从点8出发，以每秒2cm

的速度在间做往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动.设点P运动的时间是久(秒)，AAPQ

的面积是S(cm2)(S>0).

(1)点Q共运动秒；

(2)当点P沿折线4-B-C运动时，用含x的代数式表示线段BP(8P>0)的长；

(3)当0<久W9且x46时，用含x的代数式表示S；

⑷当P,Q两点相遇时，直接写出式的值.

【变式9-3](23-24九年级上•山东烟台・期末)如图，抛物线y=ax2+bx+3(a中0)与x轴的交点分别为

4(—3,0)和与y轴交于点C,连接AC、8C,点M是线段。4上，不与点。、4重合的一个动点，过点M作

DM1x轴，交抛物线于点。，交2C于点E,其对称轴与x轴交于点

(1)求抛物线的表达式；

(2)在点M的运动过程中，能否使线段。E=CE?若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APHC是等腰三角形?若存在，请直接写出点P