2025中考数学复习：三角形中的重要模型之面积模型（解析版）

三角雅中的重要模型之面积模型

三角形面积问题在中考数学几何领域中占据举足轻重的地位，而等积变形作为中学几何的一个核

心理念，其重要性不言而喻。它衍生出的五大模型——蝴蝶（或风筝）模型、燕尾模型、鸟头模型、沙漏模

型以及金字塔模型，不仅体现了等积变形的精髓,也是学生们必须精通的关键知识点。

本专题将深入剖析这些等积模型，通过系统的梳理和详尽的试题分析，旨在帮助学生全面掌握这一

重要内容。无论是蝴蝶模型中优雅的对称之美，燕尾模型中巧妙的面积分割，鸟头模型中复杂的结构转

换，沙漏模型中面积的流转变化,还是金字塔模型中立体与平面的巧妙结合，我们都将——揭开它们的

神秘面纱。

通过本专题的学习，学生们不仅能够加深对等积变形思想的理解，还能提高解决复杂几何问题的能

力，为中考数学几何模块打下坚实的基础。

LZE1

例题讲模型...............................................................................1

模型1.等积变模型..................................................................1

模型2.蝴蝶（风筝）模型....................................................................6

模型3.燕尾（定理）模型...................................................................10

模型4.鸟头定理（共角定理）模型..........................................................15

模型5.金字塔与沙漏模型.................................................................20

习题练模型..............................................................................22

例题讲模型

模型1.等积变换基础模型

模型解读

模型1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1,当AB〃CD,则=SABCD；反之,如果隈6=SABCD，则可知直线AB〃CD。

模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是BC边上的动点时,则SMBD：S3=BD：DC.

如图3,当点。是BC边上的动点，BE，AD,CF，AD时，则S.:S^c=BE：CF。

模型证明

证明:模型1）如图1，过点A作AELCD、过点8作BFLCD。,:AB"CD,：.AE=BF。

•S^ACD=豆CD•AE-,——CD-BF；S—CD=SABCD。反之同理可证。

模型2）如图2,过点A作AH±BC。

•・.SMBD=JBD-AH；S"=^CD-AH；：.S^ABD：S△皿=BD：DC。

如图3,过点。作CF，AD、过点B作跳;，ADO

,**SMBD~£AD,BE；SMCD=-AD,CF；SD•S^ADC~BEIOF。

模型运用

1.（24-25八年级上•山东德州•阶段练习）如图，若点。是边8c上的点，且BD-.CD=3:2，则△4BD与

△ACD的面积之比为（）

A.3:2B.9:4C.2:3D.4:9

【答案】A

【分析】此题考查了三角形面积问题，解题的关键是掌握三角形面积的表示方法.设点4到的距离为机

首先表示出隈「5皿八,隈6制小",结合即5=3：2,得到宗=仁=岩=微

【详解】解:设点人到石。的距离为伍・・・S△.=^BD・h,SMCD=/CD•伉

:BD:CD=3:2,：.率吗='=综=《.故选：4

S&ACD^CD-hCD2

2.（23-24八年级下•河北沧州•期中）如图，以斤分别是HABCD的边AB,CD上的点，4万与。E相交

于点P,BF与CE相交于点Q,若△APD的面积为2,△BQC的面积为4,tBCD的面积为26,则阴

影部是的面积为.

【答案】7

【分析】本题考查了平行四边形的性质，连接E、F两点，过点E作EW，于点河.根据平行四边形的性

质得出S/\DMC=x26=13,SAEFC=S帖CF进而减去公共的/\EQB的面积可得S人同胸。—S2yBeQ,同理S^ABFO

MS

—S^J）F"外出S"FP—S/^j）p，进而即可求解.

【详解】解:如图，连接石、F两点，过点E作。于点河.

•*SN)EC~~^DC•EM,SnABCD=DC*EM=26,S2)EC=]x26=13.

・・,四边形是48co平行四边形，・・・AB〃CD,

・・.△EFC的FC边上的高与/\BCF的FC边上的高相等，

S^EFC~S^BCF，S^EFQ~S^BCQ，同理SgFD~S^ADF，:、S4EFP~S^ADP，

,•*S^APD—2，SABQC=4,S四边彩EPFQ=2+4=6,故阴影部分的面积=SADEC—S四边形EPFQ=13—6=/.

3.（2024.上海浦东新.一模）如图，在△ABC中，48=4,AC=6,E为8c中点，AD为△4BC的角平分

线，△4BC的面积记为&，4ADE的面积记为S2,则S*S\=.

【答案】1:10

【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答.根

据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可.

【详解】解:过点。作DM±AB,DN±AC,

•：AD为A4BC的角平分线，DM=DN,

S&ABDAB,DM42

-：48=4,4。=6,6为中点AEC=~SAAB。,

SAADC^AC-DN63

弓So3®--1-rc-I

设S*=2,,S皿=3°,则S^c=5x,=S^c=-x,则—=5广=而，故答案为：1：10.

4.（23-24七年级下•江苏镇江・期中）【探究】

如图1,4D是△48。中边上的中线，4ABD与/XACD的面积相等吗？请说明理由，

【应用】如图2,点4及C分别是8。、CE、［斤的中点，且$&诋=4,则图2中阴影部分的面积为

【拓展】（1）如图3,/\ABC中，延长CA至点尸，使得AF=CA,延长AB至点使得BD=2AB,延长

至点E,使得CE=3CB,连接EF、FD、DE,如果SAABC=3,那么S^EF为.

MS

（2）如图4,△ABC中，AB=U,AC=16,点D、E是BC、AC边上的中点，40、BE交于点、F.若

△ABC的面积为S,则四边形DCE尸面积为（用含S的代数式表示）；四边形DCEF的面积存在

最大值，这个值为.

图4

【答案】探究：理由见解析；应用：24;拓展：（1）54;⑵弓S,32

O

［分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论；

应用：连接AB,BF,CD,运用探究结论可知S^c=SA®1s=S®=4,则S^DE=2sA=8,同理可得

S^BDE=SWEF—SADF=8,即可求得阴影部分的面积；

拓展：⑴如图，连接AB,CD,=3,利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得结论；⑵

连接CF并延长交于G,可知CG是AB边上的中点，记6个小三角形的面积分别为S、，S2,S3,S&,S§,

Se,可得$1=$2=$3=S4=S5=$6,进而可得$1=$2=$3=$4=S5=$6=4$枷。=4$,可知四边形

00

DCEF面积=$4+$5=!$,要使得四边形。。西面积95最大，只需要使得448。的面积$最大，则只

OO

需要AB_LA。,可得△ABC的面积最大值为S=qAB•AC=96,即可求得四边形DCEF面积最大值.

本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质.

•/AD是△ABC中BC边上的中线，则BD=CD=yBC,

SAAB。=~BD-AH=—CD-AH=SAAGD=—S^ABC,即：S^BD=^AACV；

应用：连接AE,BF,CD,

•.•点A、B、C分别是BD、CE、AF的中点，二AD=AB,BC=BE,CA=CF,

•e•~74sE=S4AED=4,贝US^BDE—2s2.c~8,

同理可得5"年=5.即=54^=8,・・.阴影部分的面积为=3x8=24,故答案为：24;•••

拓展：⑴如图，连接AE,CD,SMBC=3.

B

**BD—2AB,则AD—SAB,S八—2sMsc~6，S^(jD—3s—9,

,**EC—3BC,S/\EA0—3sA45c=9,Sgen—3s—18,

•,人。=AF，••SMDF=S^ACD=9,SMEF~SMCE=9

**•ADEF的面积=S^MC+SARCD+S△£℃+SMCE++^^ADF~3+6+18+9+9+9=54.故答案

为：54;

⑵连接CF并延长交AB于G,・・,点O、E是BC、4C边上的中点，・・・CG是AB边上的中线,

记6个小三角形的面积分别为Si,S2,S3,S4,S5,S6,

则S1=S2,S3=S4,S5=S6,S1+S2+S3=S4+S5+S6,

・・・S1+S2=S5+S6,即：2S1=2S6,・・.S1=S6,即：S1=S2=S5=S6,

==

同理可知，Si=S2S3=S4S5=SGf/.Si=S2=S3=S4=S5=S6==-^-S,

00

四边形DCEF面积=$4+S5=9S,要使得四边形DCEF面积9S最大，只需要使得△ABC的面积S最

OO

大，

4ABC中，AB=12,AC=16,二要使得4ABC的面积S最大，则只需要AB_L4。,

.•.△ABC的面积最大值为$=/人历4。=96,

则四边形。CEF面积最大值为=9X96=32,故答案为：得S,32.

OOO

5.（23-24八年级下•浙江宁波・期中）规律:如图1,直线小〃八，B,C为直线打上的点，A,P为直线m上

的点.如果A,B,。为三个定点，点P在直线山上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABC与

△PBC的面积始终相等，其理由是.

应用：

（1）如图2,8、。三点在同一条直线上，△48。与△ECD都是等边三角形,连结BE,AE.若CD=

2,BC=2CD,求4ABE的面积.（2）如图3,已知E,尸，G,H是矩形ABCD边上的点，且EF〃AD,

GH〃AB,连结交所于点M,连结MC交GH于点N,连结。N交EF于点尸，连结GP,若四边形

AEOG的面积等于5,求四边形GMNP的面积.

MS

【答案】规律：同底等高的两个三角形的面积相等；（1）4，S（2）~1

【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理，等边三角形的性质，平行线之间的距离等知识点；

规律：利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答；

⑴利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”求S^BC即可解答；

⑵利用''平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”，将四边形AEOG的面积拆成4个小三

角形，将四个小三角形转化为矩形AEOG的一半，即可求解.

【详解】解:规律：•.•直线小〃九，.•.点A和点P到直线九的距离相等.

又­/在△ABC和△PBC中，BC=BC,/.SAASC=SAPBC（同底等高的两个三角形的面积相等）.

故答案为：同底等高的两个三角形的面积相等.

（1）如图所示，过点A作BC于点F,

AABC与/\ECD都是等边三角形，二乙氏4。=ZCED=60°AB//CE,：.SAABE=S*

AF±BC,AB=AC,ABAC=60°二ABAF=30°；CD=2,=2CDAB=8。=4/.BF=2

BF?=2底Si1ABE=S故的=:xBCxAF=3x4x2遍=4岳

（2）如图所示，连接OA,OB,OC,OD,

•.•四边形ABCD是矩形，.•.AB〃CD,AD〃BC

■：EF//AD,GH//AB,：.ADHEF//BC,AB〃GH//DC,

••SAGOP~S^OPD，^AOPN+~^^OND~S^ONC，^^GOP+^^ONP=S^ONC，

又S^ONC+S^OMN=S^OMC，**,EF〃BC,S^OMC=^/\OMB,•e•^/\OMC+S^MOG=^^OGB,

15

**AB〃GH,S4OGB~S^OGA~3S四边形/EOG=1，

SAOPG+S^OPN+S^MON+S^MOG~SAOMA，••S四边形GMNP~

模型2.蝴蝶（风筝）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

•••

nD

1)任意四边形的蝴蝶定理：

如图1,结论:①S1：$2=&：$3或S1X$3=52X$4；②AO-.OC=⑸+S2)：(S4+S3)=

证明:由基础模型2)知：Si.Si=DO-.BO；S463=DO-.BO；即故S1：S2=S463;即SixS3=S2xSm

ABDABCD

由基础模型2)知：S4：S=OAOC；即AO-.OC^(S1+S2)-.(Si+S3)。

2)梯形蝴蝶定理：

2222

如图2,结论:①Si：S3=a:6；②Si：S3：S］：S4:SABCD=a:b:ab:ab:(a+6)，

证明：：四边形ABCD为梯形，.IAD〃BC,I易证△AOD〜△COB,，Si：S3=a2：凡

同理可证得:SS3：S*SS4Ren=a2：b~:ab:ab:(a+b)。

6.(23—24八年级上•浙江•阶段练习)如图，任意四边形ABCD中，AC和相交于点O,把△/OB、

△400、△COD、△80。的面积分别记作Si、S2、S3、S4,则下列各式成立的是()

A.S+S3=S2+S4B.S3—S2=SLSIC.S1-S4=S2-S3D.S1-S3=S2-S4

【答案】。

【分析】作BE±4。于点E,从而可分别表示出S2和S3然后可得出兽，同理可得出兽,这样即可证得8•

5O4

83-82*S*

【详解】解:如图，过点。作。E，4。于点E,

•••

B

则$3=.•.等=务，同理可证:兽=需，.•■=年，.•.$吗=$2区.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形面积的求法.解答该题时，主要是抓住不同底等高三角形面积间的数量关系.

7.（23-24九年级上•上海松江•期中）如图，已知在梯形ABCD中，AB〃CD,24B=3CD,如果对角线

4?与相交于点O,△/O。、ABOA、△COB、△DOC的面积分别记作S、、S2>S3、S”那么下列结论

中，不正确的是（）

A.2s2=3SIB.2s2=3$4C.$=$3D.S『S3=S2$

【答案】B

［分析】证ADOC-ABOA,可得器=*=铐=巳再利用相似三角形的性质以及三角形的面积公

130A.OA.133

式逐一分析判断各选项即可得出结论.

【详解】解：•.•AB〃CD,〜ABOA,.•.段=*=综，

r）OAC?Ab

••・2人8=300,.-.%=端=端=看,：.等=（14=卷,.・.4$2=9$4,故3符合题意；

••.警•=，，萼=I■，即2s2=3S,故人不符合题意；

602o

AB〃CD,S△谢=Sz^c,即$+$2=S3+S2,•..8=S3,故。不符合题意；

:葛=器'.=需''瑞=空・缶=1'‘&63=$264,故°不符合题意；故选3

【点睛】本题考查的是梯形的性质，相似三角形的判定与性质，等底或等高的两个三角形的面积之间的关系，

证明袈=¥§■=铐=蒋是解本题的关键.

JDOA.OA.JD3

8.（2024•四川成都•校考一模）如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为

/、小,则梯形的面积为.

MS

Dp_________C

;

【答案】（p+q）2

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据梯形，得到AB〃CD,过O作OE_LCD于E,延长EO交

4B于F,则EF，AB,证明△ABO〜AGDO,得到第=祟=A厚五=q:p,设梯形上下底分别为

ABOrVb^ABO

mq,mp,两个三角形对应的高分别为7iq,rzp,根据三角形的面积公式，得到mn—2,再根据梯形的面积公式

进行求解即可.掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应边上的高线比等于相似比，是解题的关

键.

【详解】解：四边形43CD是梯形，.•.ABIICD,

如图，过。作OE_LCD于E,延长EO交AB于凡则EF_LAB,

DEC

m

AFB

•：ABHCD,：.AABO〜/\CDO,：.第=始=序五=q：p,

ABOFV

设梯形上下底分别为mq,mp,两个三角形对应的高分别为nq,np,/.7n0；71。=/,=2

mn

...3*3=迫丁=仿+小；故答案为：⑺+炉.

9.（2024.山西.校考一模）阅读与探究

请阅读下列材料,完成相应的任务：

凸四边形的性质研究

如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做

凸四边形.凸四边形是我们数学学习中常见的图形,它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角

线分成的两对对顶三角形的面积之积相等.

例如，在图1中，凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC，BD,△AOB,ABOC,

ciOB-OA

△COD,△AOO的面积分别为SiS,S3，S4,则有S/S3=S2・S4,证明过程如下：：--------=

S&^OD-OA

OB

~OD

任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2,任意凸四边形ABC©的对角线相交于

点O,分别记△AOB,ABOC,/\COD,△40。的面积为S1,S2,S3,S4,求证S/S3=S2・S4；

⑶如图3,在四边形ABCD中,对角线AC,8。相交于点。O,SMOD=4,S^oc=6,S^OB-S^COD=1：

3,则四边形ABCD的面积为

MS

【答案】（1）见解析；⑵见解析；（3）10+8V2

【分析】⑴根据三角形的高相同，面积比等于底的比求解即可；⑵分别过点A,C作AB_LBD于点区CF

_L于点F,再根据三角形的高相同，面积比等于底的比计算即可；（3）设S^OB=工,S48D=3a;,根据''任

意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等”求解即可.

ciOB-CFQBS._}OB-OA

【详解】解：⑴•.•普--------OBM:.SvSa=S4;

^^OD-CFOD'S4^OD-OAOD

⑵如答图，分别过点4。作AE_LBD于点ECFLBD于点F.

...g_1°岳%_OB.S=±°B'CF_QB....S、_S：：,sf.

SA^OD-OAOD'S3^OD-CFOD、S&Sj1_4，

X

（3）由SAAOB：S48D—1:3,S/^AOJJ—4,S^BUC=6,设S^AOB=,^ACOD=3’,

根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，

可得：3/=4x6=24,贝Iaj=2/，=3x272=6A/2,

四边形ABCD的面积=SAAOD+SZRCC+S&AOB+S^COD—4+6+2A/2+6V2=10+8。V2.

【点睛】本题考查了面积及等积变换，掌握三角形的高相同，面积比等于底的比、任意凸四边形被对角线分成

的两对对顶三角形的面积之积相等是解题的关键.

模型3.燕尾（定理）模型

模型解读

模型证明

条件:如图，在△力中，E分别是上的点，G在力E上一点。

MS

结论:S1：S2=S3：S4=(Si+S3MS2+SJ=BE,EC.

证明：由基础模型2)知：S/S尸BE:EC；Si1AB盘人谢:BE:EC；故S/S2=BE:EC；

即S1：S2=S3：S4=(Si+S3)：(S2+S4)=BE-.EC.

10.（23-24七年级下.江苏宿迁.期末）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.

（经验发展）（1）面积比和线段比的联系:如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的

比，如图1,/XABC的边上有一点河,请证明：»竺=镖:

（结论应用）（2）如图2,△CDE的面积为1,卷=）,桀=[,求△ABC的面积;

AC4UJDO

（拓展延伸）（3）如图3,A4BC的边上有一点“，。为CM•上任意一点，请利用上述结论,证明：

S^ADCy1711.

S^BDCBM

（迁移应用）⑷如图4,△ABC中，河是AB的三等分点（4W=1AB）,N是的中点，若AABC的

面积是1,请直接写出四边形BMDN的面积:.

【答案】（1）见解析;（2）12；（3）见解析；⑷需

【分析】本题主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用：

【经验发展】过。作SLAB于H,依据三角形面积计算公式，即可得到结论；

【结论应用】连接AE,依据“如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得到

△ABC与△CC®面积之间的关系；

【拓展延伸】依据如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，即可得到△ADC与/\BDC

面积之间的关系；

【迁移应用】连接设△ADC,即可得出S①乂=2a,SMCD=3a、S^CDN=S^BDN=-^S^BCD=3a,进而得

至S四边形BM0N=S2ABC*

【详解】（经验发展）如图1,过。作CH,AB于

•••

11Su*^AMxCH

••CH,Sw/BMXCH,.-.■AM即SMCM_AM

J-

~BMS^CMW

=

（结论应用）如图2,连接AE,=^,.*.S^CDE~^S^CE,

q••CE_].Q_]Q.Q_]丫]Q_]Q

人•CB-至QAABC，.・Q^CDE_Z入Q^ABC~Q^ABC，

又•••△CC石的面积为1,••.△ABC的面积为12.

（拓展延伸）如图3,是AB上任意一点，.•.誉也=踞

^ABCMBM

c

•••D是CM上任意一点，・・.S丛ACDXS^ACM，SwcD~XS^CM,

CD*q

.S^ACD_CM△.须_S^ACM即S^ADC_AM

S也D漆xSgSABCM，SgDcBM

.S^ACD_AA/1

（迁移应用）如图4,连接60,・・・M是48的三等分点

S^BCDBM2

；N是BC的中黑，：.冬也=祭=\,

^AABDBN

设SAADM=a，贝US/^BDM—2a,S^ACD=3a,SACDTV=SABDN=]S/\BCT>—3a,

=

•''S四边彩BJWDN=5a,S^ABC=12a,.'.Sq亚^BMDN=^/\ABCX1=-py.故答案为-jy.

11.（23—24七年级下•宁夏银川・期末）【问题情境】如图1,是△ABC的中线，A4BC与△46。的面积

有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边RC上的高AE,根据中线的定义可知皿=CD.因为高

相同所以口=S^ACD于是S=

AEI,Si1AB1AABC2s4ABD,

图3

据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积.

（1）【深入探究】如图2,点。在4ABC的边BC上，点P在AD上.

①若AD是4ABC的中线,请判断SAAPB与S^pc的大小关系,并说明理由.

②若BD=3。。,则SAAPB：SAAPC

（2）【拓展延伸】如图3,分别延长四边形4BCD的各边，使得A,B,C,D分别为DH,AE,BF,CG的

中点，依次连接E,F,G,H得四边形ERGH.直接写出SM»G，S中BE与S四边形的①之间的等量关系;

【答案】（1）①1:1,理由见解析;②3：1（2）S△J/°G+S"BE~2s四边形/Be。

【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关

键.（1）①根据中线的性质可得50山=54^°,点。为石。的中点，推得PO是△PBC的中线，SAPOB=

Swe，得到S^PBUS^PC，即可得出结果;②设△ABC边B。上的高为九,根据三角形的面积公式可得

S410B=£义BDXh,S丛ADC=]XDCX九，即可推得SAADB=3sA，同理推得S^PDB=3sMDC，即可求得

S/^APB=3sAAPC，即可证明S&APB：S^APC=3:1；

（2）连接AG,AC,CE,根据中线的判定和性质可得SAG.~S^GAD~工S^GHD，S^CBA=^ACBE=1^ACAE，

S^ECF~^AECB~了S.FB，S^ADC~S^ADG~5^^ACG，推得—S"OG=S^GHD，S^CBA~S^CBE

—S^EFB,即可求得S四边形ABC。=（S^GHD+S^FB），即可证明S4HDG+S^FBE~2s四边形ABCD*

【详解】（1）解:①证明：:AD是4ABe的中线，，点。为的中点，SMDB=S*,

：,PD是APBC的中线，S"DB~S"DC，•二SMDB-^^PDB~S4ADC—^^PDC，

艮（3S^APB~S^XPC，S^PB'S^APC=1:1

②设△ABC边BC上的高为拉，则S3——xBDxh,S3*xDCxh,

BD—3DC,—3s△xpo，同理^^PDB~3sApDC,

贝“SMDB-S^DB~3s—3S"DC，艮!7S^APB~3sMpc，•#•^^APB:^/^APC=3:1.

（2）①证明：连接4G,47,CE,如图：

・・•点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，

・•.AG,BC,CE,DA分别为△GHD,/XCAE,^EFB,/XACG的中线，

••S^GAH~S^GAD~qS4GHD，S^CBA~S^CBE~S^CAE，SgcF~SgcB~/S^EFB,S^ADC=0G=/^/^ACG，

S^ADC~^/^ADG~工S^GHD，SMBA~S^CBE~S^EFB

3四边形/瓦加.

**S四边形ABCD=SMDC+SRCBA=S^GHD+/^/^EFB=/（S4GHD+S^EFB）,用S^DG+S^FBE—2s

S'ABD

12.（23-24七年级下•浙江杭州•期中）已知D是^ABC的边上一点，连结AD,此时有结论

SbACD

隽，请解答下列问题：（1）当。是边上的中点时，AABD的面积△ACD的面积（填

Oxy

“V”或

⑵如图1,点。、E分别为AB,AC边上的点,连结CD,BE交于点O,若bBOD、kCOE、NBOC的面

积分别为5,8,10,则AADE的面积是（直接写出结论）.

（3）如图2,若点。，E分别是AABC的AB,AC边上的中点，且S^c=60,求四边形ADOE的面积.

可以用如下方法:连结AO,由4D=DB得S”DO=S^BDO，同理:S\cEO~S^AEO，设S^DO—X,S^CEO=

X

V，则S、ADO=，SAMO=g,由题意得S'^E—SAABC=30，S^ADC-SAABC=30,可列方程组为：

『匕"=黑，解得x+y=20,可得四边形ADOE的面积为20.解答下面问题：

[x+2y=30

如图3,。，尸是AB的三等分点，E,G是C4的三等分点，CD与班交于。，且S”BC=60，请计算四

边形ADOE的面积，并说明理由.

【答案】（1）=;（2）18;（3）午,见解析

【分析】⑴利用同高（或同底）的三角形面积比等于对应边（或高）的比即可得.

（2）连接40,利用同高的三角形面积比等于对应边的比，结合已知条件联立方程可得.

（3）连接AO,利用同高的三角形面积比等于对应边的比，结合已知条件联立方程可得.

【详解】⑴.・・言迪=黑，。是BC边上的中点BD=CD,含胆=需=1,则S^D=S^CD

^^ACD'bACDJU

⑵如图，连结AO

,:ABOD、bCOE、ABO。的面积分别为5,8,10,

•SNBDO_DO^_XSRDEO_DO^_X•c_4谈q—-h

Q^BCOUL/QZJEOUL/

则S^ADE=a+b—S^DEO=10+12—4=18.

⑶连结AO,设S、AOD~x，S〉coE~y9**•S型OD~2力，S〉AOE~2y,•••

22

**S^ABC~60,S^ABE~QS^ABC=可x60=403x+2y-40

oo

•*S^ABC~60,S^ACD~；S^ABC=[X60=20x+3g=20

oo

篇鬼:,加减消元法解得'

则可列方程组

四边形ADOE的面积为：a+2夕=爷

【点睛】本题考查同高的三角形面积比等于对应边的比这一知识点推论，掌握从中理解此推论是解题关键.

模型4.鸟头定理（共角定理）模型

共角三角形s两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角定理:共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

（等角型）条件:如图1，在三角形ABC中，。、E分别是AB,AC上的点，结论：答里=丝•丝

,△ABC.40

（互补型）箝;如图2,已知ABAC+4DAE=180°,结论：=丝•丝

SAAB。AID*AG

证明：（等角型）如图1,分别过点E,。作EG，于点G,CZU于点F,

NAGE=ZAFC,又；ZA=ZA,&GAE〜/\FAC,：.孕=萼

CFAC

又：[ADEG,=AD-EG=叁.江即:叁.江

SAABC-^-AB-CFS^ABCAB-CFABACS^ABCABAC

C

HB••

（互补型）如图2,过点。作CG，AB于G,过点E作石DA交DA延长线于尸，

NEFA=ACGA=90°，:ZBAC+ADAE=180°,ADAE+NEAF=180°,

:.NCAG=NEAF,4CAG〜MAF,0AB=5DA•EF,SAABC=士AB•CG,

AEAC22

.S^DAE.=^DA-EF=DA-EF=DA-AE

；

"SAABC~±AB-CG~AB-CG~AB-AC

13.如图，在三角形ABC中，L»、E是48,AC上的点，且AD：AB=2:5,AE：AC=4：7,三角形4DE的面

积是16平方厘米，则ABC的面积为0

【答案】70平方厘米

【解析】①观察：图中存在鸟头模型。假设:设三角形ABC的面积为a

转化：由鸟头模型比例关系有：16:a=(4x2):(5x7),得a=70。

即三角形ABC的面积是70平方厘米。

14.(2023•山西晋中•九年级统考阶段练习)阅读理解

如果两个三角形中有一组对应角相等或互补,那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积

比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，

例:在图1中，点。，E分别在人口和AC上，△A0E和△ABC是共角三角形，则黑胆=妾丝

S^ABCAB-AC

证明:分别过点E,。作区2，人8于点3,。歹，48于点9,得到图2,

AAGE=AAFC,又NA=N4/\GAE〜/\FAC,：.架=笑

CFAC

又..SAADE=工AD・EG.$但=AD-EG=AD_AE_即S&ADE=ADAE_

'S”一^AB-CF••S^ABC~AB-CF~AB'ACS4ABe~AB'AC

图2图3

任务：（1）如图3,已知ABAC+NDAE=180°,请你参照材料的证明方法,求证：要变=AD-AE

SAAB。~AB-AC

⑵在⑴的条件下'若含"，裕/加=9,则人--

【答案】（1）见解析；（2）6

【分析】⑴过点。作CG，于G,过点E作EF±DA^DA延长线于F,可得NEFA=A.CGA