2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1第1课时不等关系与不等式课时作业含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE1课时作业13不等关系与不等式时间：45分钟分值：100分eq\a\vs4\al(一、选择题每小题6分，共计36分)1．下列命题成立的个数是(C)①当x＝2时，x≥2肯定成立；②当x≥2时，x＝2肯定成立；③若x≥2且x≤2成立，则必有x＝2.A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：①③正确，②错误．2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(A)A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关解析：M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N.3．某高速马路对行驶的各种车辆的最大限速v为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为(B)A．v≤120km/h或d≥10mB.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v≤120km/h,d≥10m))C．v≤120km/hD．d≥10m解析：因为两个限制条件都要满意，应同时成立．4．某校对高一美术生划定录用分数线，专业成果x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成果z超过45分，用不等式表示就是(D)A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95,y≥380,z>45)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95,y>380,z≥45))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>95,y>380,z>45)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95,y>380,z>45))解析：x不低于95分，即x≥95，y高于380分，即y>380，z超过45分，即z>45，应选D.5．已知c>1，且x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，则x，y之间的大小关系是(C)A．x>y B．x＝yC．x<y D．x，y的关系随c而定解析：用作商法比较，由题意x，y>0，∵eq\f(x,y)＝eq\f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝eq\f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))<1，∴x<y.6．若m<n，p<q，且(p－m)(p－n)<0，(q－m)(q－n)<0，则m，n，p，q的大小关系是(A)A．m<p<q<n B．p<m<q<nC．m<p<n<q D．p<m<n<q解析：由m<n，(p－m)(p－n)<0，得m<p<n，同理，m<q<n.又∵p<q，∴m<p<q<n.eq\a\vs4\al(二、填空题每小题8分，共计24分)7．在以下各题的横线处填上适当的不等号．(1)(eq\r(3)＋eq\r(2))2<6＋2eq\r(6)；(2)(eq\r(3)－eq\r(2))2<(eq\r(6)－1)2；(3)eq\f(1,\r(5)－2)<eq\f(1,\r(6)－\r(5)).8．已知x>2，M＝x2＋2x，N＝3x＋2，则M与N的大小关系是M>N.解析：M－N＝(x－2)(x＋1)，∵x>2，∴(x－2)(x＋1)>0，即M>N.9．一辆汽车原来每天行驶xkm，假如该汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程将超过2200km，用不等式表示为8(x＋19)>2_200.三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)已知a、b为正实数，试比较eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))与eq\r(a)＋eq\r(b)的大小．解：方法一：干脆作差：(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝(eq\f(a,\r(b))－eq\r(b))＋(eq\f(b,\r(a))－eq\r(a))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq\f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab)).∵a、b为正实数，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>0，eq\r(ab)>0，(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴eq\f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥0.当且仅当a＝b时等号成立．∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(当且仅当a＝b时取等号)．方法二：平方作差：(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＋2eq\r(ab)，(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，∴(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＋2eq\r(ab)－(a＋b＋2eq\r(ab))＝eq\f(a3＋b3－aba＋b,ab)＝eq\f(a＋ba2－ab＋b2－aba＋b,ab)＝eq\f(a＋ba－b2,ab).∵a、b为正实数，∴eq\f(a＋ba－b2,ab)≥0，于是(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2≥(eq\r(a)＋eq\r(b))2.又eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(当且仅当a＝b时取等号)．方法三：作商比较：eq\f(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a)),\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\r(a)3＋\r(b)3,\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\r(a)＋\r(b)a＋b－\r(ab),\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq\f(a＋b－\r(ab),\r(ab))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋eq\f(\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥1，当且仅当a＝b时取等号．∵eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(当且仅当a＝b时取等号)．11．(15分)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．依据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应削减2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？解：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20.12．(15分)比较大小：(1)x6＋1与x4＋x2(其中x∈R)；(2)3x3与3x2－x＋1(x≤1)．解：(1)x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.所以当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；当x≠±1时，