中考数学总复习提升专项知识分式(练习)含答案及解析

第一章数与式第03讲分式TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01分式有、无意义的条件👉题型02分式值为0的条件👉题型03求使分式值为整数时未知数的值👉题型04分式基本性质的运用👉题型05约分👉题型06分式运算👉题型07判断分式运算的错误步骤👉题型08分式化简求值👉题型09分式运算的应用👉题型10分式的规律探究问题👉题型11与分式运算有关的新定义问题👉题型01分式有、无意义的条件1．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数y=x+3x−2的自变量的取值范围是（A．x≤−3 B．x≥−3且x≠2C．x≤−3且x≠2 D．x≥−32．（2024·全国·模拟预测）在函数y=−3x−2−x+13．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式2x+ax−b（a，b为常数）当x=2时，分式无意义，当x=0.5时分式的值为0，则ba4．（2024·河北邢台·模拟预测）已知分式3x−5x+m（m为常数）满足如下表格中的信息，则m=，p=x的取值3p分式无意义值为75．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：a2+4a+4a2−4👉题型02分式值为0的条件1．（2024·广西·模拟预测）如果分式x2−2xxA．0或2 B．2 C．0 D．不存在2．（2024·江苏泰州·一模）对于分式1−m21−mA．不可能为0 B．比1大 C．可能为2 D．比m大3．（2024·贵州黔东南·一模）若分式x−2x+2值为0，则x的取值范围是（A．x=−2 B．x=2 C．x≠−2 D．x=±24（2024·湖南·模拟预测）当x=3时，分式x−ax+4的值为0，则a的值为5．（2024·辽宁铁岭·二模）（1）−2−（2）先化简，再求值：3−x2x2−4x÷5x−2👉题型03求使分式值为整数时未知数的值1．（2024·江苏扬州·三模）能使分式6x+212x−3值为整数的整数x有2．（2023·河北石家庄·模拟预测）代数式x−2x2−4x+4÷1x+6的值为A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个3．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）已知A=6a+6a2−2a+1，B=2a−1，计算A÷1+B=4．（2023·重庆·模拟预测）已知两个多项式A=x2+3x+3，B=x2①若A+B=14，则x=±2；②若A−B−8+A−B+4=12③若A×B=0，则关于x的方程无实数根；④若x为整数x≠1，且A−7B−1的值为整数，则xA．4 B．3 C．2 D．15（2023·山西大同·三模）阅读与思考下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．“真分式”与“假分式”我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如x+1x−1，x例如：将分式x−2x+3x−2x+3将分式x2方法1：x2+4x−5x+3方法2：由于分母为x+3，可设x2+4x−5=(x+3)(x+a)+b（a，∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b∴x∴a+3=43a+b=−5∴x∴x2+4x−5这样，分式x2任务：(1)分式2x+3是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式2x+3(2)请将x2(3)若分式x2+2x−14x−3👉题型04分式基本性质的运用1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．代数式x+4π是分式B．分式xyx−y中x，C．分式x+1x2+1是最简分式2．（2024·重庆·模拟预测）将分式x2y2x+y中x，A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍3．（2023·河北石家庄·二模）下列各式的计算结果与baA．ba+b⋅ab−a B．ab−4．（2023·河北衡水·二模）已知a>b>c>0，M=ba，N=bΔcA．若“Δ”代表的是“＋”，则M<N B．若“Δ”代表的是“－”，则M<NC．若“Δ”代表的是“×”，则M<N D．若“Δ”代表的是“÷”，则M<N👉题型05约分1．（2024·河南商丘·模拟预测）化简：2x2−2xyA．6xy B．3y C．3x D．3xy2．（2023·山西阳泉·一模）如图是徐同学的答卷，他的得分应是（）

A．25分 B．50分 C．75分 D．100分3．（2024·宁夏银川·三模）若ab=3，则分式24．（2024·广东·二模）已知a=0.3，b=0.1，则6ab+9a25．（2024·浙江宁波·一模）代数式4ab+6ac+12bca2+4👉题型06分式运算1．（2024·河北邢台·模拟预测）化简(−y2xA．−y4x2 B．y4x2．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算32m−n−2m−n3．（2024·四川广安·模拟预测）已知a2−3a+1=0，则4a4．（2024·河北保定·三模）图1中阴影部分的面积为S1（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为S2（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），a>b>0，设k=S1S5．（2024·福建泉州·模拟预测）根据如图所示的程序，求输出D的化简结果．👉题型07判断分式运算的错误步骤1．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式2x−1解：原式=2=2−x−1=1−x=1−x上面的运算过程中第步出现错误，请你写出正确的解答过程．2．（2024·宁夏银川·一模）先化简2a−4a2−1小陈同学在进行分式化简时，过程如下：解：原式＝2a−2＝2a−2＝2a−2……(1)上述过程中，从第步开始出现错误，错误的原因是．(2)请完成正确的完整解题过程．3．（2024·吉林·二模）请你阅读下列解题过程，并回答所提出的问题．计算：x+1x解：原式=x+1=x+1=x+1−4x+1=−3x−3第四步(1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误______；(2)从第二步到第三步是否正确？______，同分母分式相加减，分母______，分子______；(3)正确的结果是______．4．（2024·宁夏·一模）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”．规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”回答问题：接力游戏老师：化简：1−甲同学：原式=乙同学：原式=丙同学：原式=丁同学：原式=−4x(1)：①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的．A.等式的基本性质

B.不等式的基本性质

C.分式的基本性质

D.乘法分配律②在“接力游戏”中，从_______同学开始出现错误，错误的原因是______．(2)：请你写出该分式化简的正确结果______．5．（2024·山东·模拟预测）小明的作业如下：解：a=a−a−b=−a−b．（第二步）(1)指出小明的作业是从哪一步开始出现错误的，请更正过来，并计算出正确结果；(2)若a，b是不等式组2x>0x−3<0的整数解（a<b👉题型08分式化简求值1．（2024·河北·模拟预测）如图，若a=6b，则1a−ba−2ab−A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知x2−x−1=0，计算A．2 B．−2 C．1 D．−13．（2024·山东聊城·二模）若1+1x−1÷2xxA．x为自然数 B．x为大于1的奇数C．x为大于0的偶数 D．x为正整数4．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）化简m−1m2−6m+95．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）当x=y+2023时，代数式1x−y⋅6．（2024·山东滨州·模拟预测）先化简，再求值：x2−2x+1x7．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值1−1x−1÷x2👉题型09分式运算的应用1．（2023·河北廊坊·二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是ab(1)再往杯中加入mm>0(2)请证明（1）中的数学关系式．2．（2023·福建福州·一模）福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为ama>1的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为a−13．（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？4．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知p=k方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．解：p−q=k因为k>0，所以p−q>0，即p一定大于q．你觉得方方说法正确吗？为什么？👉题型10分式的规律探究问题1．（2022·广西贺州·一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f3=32．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：a1=12，a2(1)尝试：a2−a1=(2)归纳：an+1(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．3．（2024·四川内江·二模）已知，若a，b为非零实数，则b−aab(1)观察下列各式并补充完整：11×212×313×4…1nn+1=11×2+1(2)计算：11×3(3)设an=n+1n24．（2022·安徽合肥·二模）观察以下等式：第1个等式：73×(2−3第3个等式：1911×(2−3按照以上规律，解答下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．👉题型11与分式运算有关的新定义问题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于实数a、b，定义运算：①m⊕n=1m+n例如①3⊕5=13+5=182．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数x，y，x⊗y=x2a−y2b3．（2024·四川广元·二模）定义一种新运算：n∗n+1=1nn+1，如1∗2=11×2，4．（2024·云南·模拟预测）定义：不大于实数x的最大整数部分，记作x．例如：2=1，−2.6=−3，按此规定，若a=336，b=−A．13 B．19 C．1365．（2022·河北·二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：abcd=aA．x2 B．x+1x C．x+11．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u+1vv≠f表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知A．fvf−v B．f−vfv C．fvv−f2．（2024·四川眉山·中考真题）已知a1=x+1（x≠0且x≠−1），a2=13．（2023·广东广州·中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．4．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较x2+1与小华：∵x2∴x2老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“一、单选题1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（

）A．3−1 B．−32 C．−2．（2024·广东广州·中考真题）若a≠0，则下列运算正确的是（

）A．a2+aC．2a⋅33．（2024·上海·中考真题）函数f(x)=2−xx−3的定义域是（A．x=2 B．x≠2 C．x=3 D．x≠34．（2023·浙江湖州·中考真题）若分式x−13x+1的值为0，则x的值是（

A．1 B．0 C．−1 D．−35．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4−3x有意义的整数xA．5个 B．4个 C．3个 D．2个6．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简4x+2+x−2的结果是（A．1 B．x2x2−4 C．7．（2023·山东聊城·中考真题）−20230的值为（

A．0 B．1 C．−1 D．−8．（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（

）．①|2023|=2023；②20230=1；③2023−1=A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题9．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式6x−19有意义，则x需满足的条件是10．（2023·上海·中考真题）化简：21−x−2x11．（2024·广东·中考真题）计算：aa−3−12．（2024·绥化市·中考真题）计算：x−yx÷三、解答题13．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：1+a+7a+1÷14．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：aa−b÷a2−b215．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：1x+1+116．（2023·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．例

先化简，再求值：Ma+1−1解：原式=……

第一章数与式第03讲分式TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01分式有、无意义的条件👉题型02分式值为0的条件👉题型03求使分式值为整数时未知数的值👉题型04分式基本性质的运用👉题型05约分👉题型06分式运算👉题型07判断分式运算的错误步骤👉题型08分式化简求值👉题型09分式运算的应用👉题型10分式的规律探究问题👉题型11与分式运算有关的新定义问题👉题型01分式有、无意义的条件1．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数y=x+3x−2的自变量的取值范围是（A．x≤−3 B．x≥−3且x≠2C．x≤−3且x≠2 D．x≥−3【答案】B【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．【详解】解：由题意得：x+3≥0且x−2≠0，解得：x≥−3且x≠2，故选：B．2．（2024·全国·模拟预测）在函数y=−3x−2−x+1【答案】x≥−1且x≠2【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数为非负数求解可得答案．【解答】解：根据题意，得：x−2≠0且x+1⩾0，解得x⩾−1且x≠2，故答案为：x⩾−1且x≠2．3．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式2x+ax−b（a，b为常数）当x=2时，分式无意义，当x=0.5时分式的值为0，则ba【答案】12【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当x=2时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当x=0.5时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键．【详解】解：由题意知：当x=2时，分式无意义，∴2−b=0，∴b=2，当x=0.5时，分式的值为0，∴2x+a解得：a=−1，∴b故答案为：124．（2024·河北邢台·模拟预测）已知分式3x−5x+m（m为常数）满足如下表格中的信息，则m=，p=x的取值3p分式无意义值为7【答案】−34【分析】本题考查了分式无意义的条件和解分式方程，由x=3时，分式无意义，可得3+m=0，即可求出m=−3，进而得出分式，再把x=p代入分式，得到分式方程3p−5p−3【详解】解：由表格可知，当x=3时，分式无意义，∴3+m=0，∴m=−3，∴分式为3x−5x−3又由表格知，当x=p时，3p−5p−3即3p−5=7p−3解得p=4，经检验，p=4是原方程的解，∴p=4，故答案为：−3，4．5．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：a2+4a+4a2−4【答案】1a+1，当a=1时，原式【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件得出a=1，代入计算即可得解．【详解】解：a====1∵a2−4≠0，a2∴a≠0，−2，2，−1，∴a=1，∴当a=1时，原式=1👉题型02分式值为0的条件1．（2024·广西·模拟预测）如果分式x2−2xxA．0或2 B．2 C．0 D．不存在【答案】B【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握当分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式值为零的条件进行解答即可．【详解】解：∵分式x2∴x2−2x=0且∴x=2．故选：B．2．（2024·江苏泰州·一模）对于分式1−m21−mA．不可能为0 B．比1大 C．可能为2 D．比m大【答案】D【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质．【详解】A、当1−m21−m=1+mB、1−m21−mC、当1−m21−mD、1−m21−m故选：D．3．（2024·贵州黔东南·一模）若分式x−2x+2值为0，则x的取值范围是（A．x=−2 B．x=2 C．x≠−2 D．x=±2【答案】B【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案．【详解】解：由分式x−2|x|−2=0且x+2≠0．解得x=2，故选：B．4（2024·湖南·模拟预测）当x=3时，分式x−ax+4的值为0，则a的值为【答案】3【分析】本题主要考查了分式值为零的知识，熟练掌握分式为零的特征是解题关键．若分式值为0，则有分母不为0，分子为0，据此即可获得答案．【详解】解：当x=3时，若分式x−ax+4则有x+4=3+4=7≠0，x−a=3−a=0，解得a=3．故答案为：3．5．（2024·辽宁铁岭·二模）（1）−2−（2）先化简，再求值：3−x2x2−4x÷5x−2【答案】（1）4+3；（2）12x(3+x)【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算、分式的化简求值、分式的值等于零等．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算进行计算即可；（2）相加分式的混合运算化简原式，再求出使分式x2−4x−2值为0【详解】解：−2=2−1+4−2×=2−1+4−=4+3（2）3−x====1∵分式x2−4x−2即x2−4=0且解得：x=−2；当x=−2时，原式=1👉题型03求使分式值为整数时未知数的值1．（2024·江苏扬州·三模）能使分式6x+212x−3值为整数的整数x有【答案】8【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将6x+212x−3转化为3+【详解】解：6x+212x−3∵分式的值为整数，∴302x−3∴2x−3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30，∵x也是整数，∴2x−3=±1,±3,±5,±15，解得：x=2,x=1,x=3,x=0,x=4,x=−1,x=9,x=−6；∴能使分式6x+212x−3值为整数的整数x有8故答案为：8．2．（2023·河北石家庄·模拟预测）代数式x−2x2−4x+4÷1x+6的值为A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个【答案】B【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定F为整数的x的值，即可确定F的值的个数．【详解】解：x−2====1+8∵代数式x−2x2−4x+4÷1∴8x−2为整数，且∴x−2的值为：1,8,4,−1,−8,−2,−4∴对应的F值有7个，故选：B．【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值及分式有意义的条件是解题关键．3．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）已知A=6a+6a2−2a+1，B=2a−1，计算A÷1+B=【答案】6a−1【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值为整数，根据分式的混合运算法则求得A÷1+B=6a−1，再根据【详解】解：由题意可得：A÷===6∵A÷1+B的值为正整数，a∴a−1=1或2或3或6，∴符合题意的a=2，3，4，7，∴满足条件的所有整数a的和为2+3+4+7=16，故答案为：6a−14．（2023·重庆·模拟预测）已知两个多项式A=x2+3x+3，B=x2①若A+B=14，则x=±2；②若A−B−8+A−B+4=12③若A×B=0，则关于x的方程无实数根；④若x为整数x≠1，且A−7B−1的值为整数，则xA．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解，③由A×B=0，可得x2+3x+3=0或【详解】解：①∵A+B=12，∴x2解得：x=±3∴①不正确；②∵A−B−8+∴x2∴6x−8+当x<−23时，解得x=当−23≤x≤当x>43时，解得x=4∴②正确；③∵A×B=0，∴x2∴x2+3x+3=0或当x2+3x+3=0时，当x2−3x+3=0时，∴若A×B=0，关于x的方程无实数根，∴③正确；④∵A−7====1+6∵x为整数，且A−7B−1∴x−2=±1，±2，±3，±6又∵x≠1∴x的取值个数为7个，∴④不正确．正确的个数是2故选：C．5（2023·山西大同·三模）阅读与思考下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．“真分式”与“假分式”我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如x+1x−1，x例如：将分式x−2x+3x−2x+3将分式x2方法1：x2+4x−5x+3方法2：由于分母为x+3，可设x2+4x−5=(x+3)(x+a)+b（a，∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b∴x∴a+3=43a+b=−5∴x∴x2+4x−5这样，分式x2任务：(1)分式2x+3是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式2x+3(2)请将x2(3)若分式x2+2x−14x−3【答案】(1)真；2+(2)x+5+(3)x=2或x=4【分析】（1）根据定义，例题，化为一个整式与一个真分式的和的形式；（2）根据方法一、化为一个整式与一个真分式的和的形式；（3）根据题意可得1x−3【详解】（1）解：根据定义，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，∴2x+32x+3x故答案为：真；2+3（2）解：∵x====x+5+（3）解：由（2）可得x2+2x−14∵x2∴1x−3∴x−3=±1∴x=2或x=4．【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．👉题型04分式基本性质的运用1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．代数式x+4π是分式B．分式xyx−y中x，C．分式x+1x2+1是最简分式【答案】C【分析】此题主要考查分式的定义、性质、最简分式以及分式有意义的条件．根据分式的定义及性质依次判断即可求解．【详解】解：A、代数式x+4πB、分式xyx−y中x，y都扩大3倍后为3x⋅3yC、分式x+1xD、当x≠1时，分式x+1x−1故选：C．2．（2024·重庆·模拟预测）将分式x2y2x+y中x，A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍【答案】D【分析】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把子母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．将原式中的x,y分别用10x,10y代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案．【详解】解：将分式x2y2则原式变为10x2∴分式的值扩大1000倍，故选：D．3．（2023·河北石家庄·二模）下列各式的计算结果与baA．ba+b⋅ab−a B．ab−【答案】A【分析】根据分式混合运算化简后，结合倒数定义验证即可得到答案．【详解】解：b===a+b∴ba−aA、ba+bB、abC、1aD、ab−a故选：A．【点睛】本题考查分式混合运算，熟记分式运算法则是解决问题的关键．4．（2023·河北衡水·二模）已知a>b>c>0，M=ba，N=bΔcA．若“Δ”代表的是“＋”，则M<N B．若“Δ”代表的是“－”，则M<NC．若“Δ”代表的是“×”，则M<N D．若“Δ”代表的是“÷”，则M<N【答案】A【分析】当“Δ”代表的是“＋”时，得出N=b+ca+c，计算M−N的值的符号，即可得出M与N的大小关系，可判断A；当“Δ”代表的是“－”，得出N=b−ca−c，与A同理，可判断B；当“【详解】解：若“Δ”代表的是“＋”，则N=b∴M−N=b∵a>b>c>0，∴b−a<0，a+c>0，∴M−N=c∴M<N，故A正确，符合题意；若“Δ”代表的是“－”，则N=b∴M−N=b∵a>b>c>0，∴a−b>0，a−c>0，∴M−N=c∴M>N，故B错误，不符合题意；若“Δ”代表的是“×”，则N=b∵a>b>c>0，∴N=b若“Δ”代表的是“÷”，则N=b∵a>b>c>0，∴N=b故选A．【点睛】本题考查分式的基本性质和分式的混合运算．掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变和分式的混合运算法则是解题关键．👉题型05约分1．（2024·河南商丘·模拟预测）化简：2x2−2xyA．6xy B．3y C．3x D．3xy【答案】D【分析】本题考查了分式的约分，把分子分解因式，然后约分即可．【详解】解：∵2x∴括号内应填3xy．故选D．2．（2023·山西阳泉·一模）如图是徐同学的答卷，他的得分应是（）

A．25分 B．50分 C．75分 D．100分【答案】C【分析】根据分式有意义的条件，分式的化简，逐一判断即可解答．【详解】解：若1x−1则x−1≠0，即x≠1，故1正确，徐同学回答正确；若x+1x−2的值为0则x+1=0，即x=−1，故2错误，徐同学回答错误；n2故3正确，徐同学回答正确；3xy故4正确，徐同学回答正确；那么最后得分为：25×3=75(分)，故选：C．【点睛】本题考查分式的运算及性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．（2024·宁夏银川·三模）若ab=3，则分式2【答案】2【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子分母因式分解，再约分化简，然后整体代值即可得出答案．【详解】解：∵ab∴2==2a故答案为：234．（2024·广东·二模）已知a=0.3，b=0.1，则6ab+9a2【答案】1【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解．【详解】解：6ab+9==3a+b；当a=0.3，b=0.1时，原式=3×0.3+0.1=0.9+0.1=1．故答案为：1．5．（2024·浙江宁波·一模）代数式4ab+6ac+12bca2+4【答案】2【分析】该题主要考查了分式的化简以及完全平方公式的运用，解题的关键是运用完全平方公式进行变形；先运用完全平方公式确定a2+4b2≥4ab【详解】解：∵a−2b2=a∴a2+4b∴4ab+6ac+12bc≤a∴4ab+6ac+12bc故答案为：2．👉题型06分式运算1．（2024·河北邢台·模拟预测）化简(−y2xA．−y4x2 B．y4x【答案】D【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果．【详解】(−==y故选：D．2．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算32m−n−2m−n【答案】22m−n/【分析】本题主要考查了分式的加减运算．先把两个分式通分，然后按照同分母的分式相减，再把分子分解因式，进行约分即可．【详解】解：3=====2故答案为：22m−n3．（2024·四川广安·模拟预测）已知a2−3a+1=0，则4a【答案】3【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由a2−3a+1=0变形得【详解】解：∵a∴a∴4=4(=−4+3a−2+=3a−6+====3．故答案为：3.4．（2024·河北保定·三模）图1中阴影部分的面积为S1（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为S2（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），a>b>0，设k=S1S【答案】1<k<2【分析】本题主要考查了列代数式、因式分解的应用等知识点，根据题意得到k=1+ba是解答本题的关键．根据题意可得S1=a2−b2，S2=【详解】解：由题意得，S1=a∵a>b>0，∴a−b≠0，∴k=S∵a>b>0，∴0<b∴1<1+b即1<k<2，故答案为：1<k<2．5．（2024·福建泉州·模拟预测）根据如图所示的程序，求输出D的化简结果．【答案】x【分析】根据题意列式[(x+2【详解】解：依题意：[(=[=[=[==x(x−2)=x∴输出D的化简结果为x👉题型07判断分式运算的错误步骤1．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式2x−1解：原式=2=2−x−1=1−x=1−x上面的运算过程中第步出现错误，请你写出正确的解答过程．【答案】二，解答过程见解析【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键．逐一检查每一步，发现错误，根据分式混合运算的法则计算即可．【详解】第二步出现错误，原因是分子相减时未变号，2====12．（2024·宁夏银川·一模）先化简2a−4a2−1小陈同学在进行分式化简时，过程如下：解：原式＝2a−2＝2a−2＝2a−2……(1)上述过程中，从第步开始出现错误，错误的原因是．(2)请完成正确的完整解题过程．【答案】(1)②，除法没有分配律；(2)解题过程见解析，当a=0时，原式=2．【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．（1）根据分式的除法法则判断；（2）根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案．【详解】（1）解：上述过程中，从第②步开始出现错误，因为除法没有分配律，故答案为：②，除法没有分配律；（2）（2）原式====2由题意得：a≠2、±1，当a=0时，原式=23．（2024·吉林·二模）请你阅读下列解题过程，并回答所提出的问题．计算：x+1x解：原式=x+1=x+1=x+1−4x+1=−3x−3第四步(1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误______；(2)从第二步到第三步是否正确？______，同分母分式相加减，分母______，分子______；(3)正确的结果是______．【答案】(1)第一步(2)不正确，不变，相加减(3)5【分析】本题考查了分式的混合运算，先算分式的除法，再算减法，即可解答．（1）根据题意可得出第一步出现错误；（2）根据分式的性质即可得出结论；（3）根据分式的混合运算即可得出结论【详解】（1）第一步（2）不正确，不变，相加减（3）解：原式=x+1=1=4．（2024·宁夏·一模）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”．规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”回答问题：接力游戏老师：化简：1−甲同学：原式=乙同学：原式=丙同学：原式=丁同学：原式=−4x(1)：①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的．A.等式的基本性质

B.不等式的基本性质

C.分式的基本性质

D.乘法分配律②在“接力游戏”中，从_______同学开始出现错误，错误的原因是______．(2)：请你写出该分式化简的正确结果______．【答案】(1)①C②乙，去括号时，没有改变符号(2)4【分析】（1）：①根据分式的基本性质解答即可．②从乙同学开始出现错误，错误的原因是去括号时，没有变号．（2）根据分式的化简，正确计算即可，本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．【详解】（1）①根据分式的基本性质得故选C，故答案为：C．②从乙同学开始出现错误，错误的原因是去括号时，没有变号，故答案为：乙，去括号时，没有变号．（2）：1−原式====4故答案为：42−x5．（2024·山东·模拟预测）小明的作业如下：解：a=a−a−b=−a−b．（第二步）(1)指出小明的作业是从哪一步开始出现错误的，请更正过来，并计算出正确结果；(2)若a，b是不等式组2x>0x−3<0的整数解（a<b【答案】(1)小明的作业是从第一步开始出现错误的，正确结果为a+b；(2)3．【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则可判断正误及结果；（2）先求出不等式组解集0<x<3，再根据题意得出a、b的值，然后代入计算即可；本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）小明的作业是从第一步开始出现错误的，正确过程如下：a====a+b；（2）由2x>0得x>0，由x−3<0得x<3，∴不等式组的解集为0<x<3，∴x整数解为1，2，∵a<b，∴a=1，b=2，∴原式=a+b=1+2=3．👉题型08分式化简求值1．（2024·河北·模拟预测）如图，若a=6b，则1a−ba−2ab−A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段【答案】D【分析】本题考查了分式的值．把a=6b代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．【详解】解：1===a−b∵a=6b，∴原式=6b−b∵34∴1a−ba−2ab−故选：D．2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知x2−x−1=0，计算A．2 B．−2 C．1 D．−1【答案】B【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算括号内的减法，再计算除法，得到化简结果，把已知等式变形后整体代入即可.【详解】解：2===−∵x∴x2∴原式=−=−=−2故选：B3．（2024·山东聊城·二模）若1+1x−1÷2xxA．x为自然数 B．x为大于1的奇数C．x为大于0的偶数 D．x为正整数【答案】B【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后再根据结果为正整数即可解答．【详解】解：1+1=x−1==x−1∵结果为正整数，∴x为大于1的奇数．故选B．4．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）化简m−1m2−6m+9【答案】1【分析】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式分解因式等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．按照分式的运算法则进行计算即可．【详解】解：m−1====1故答案为：1m−35．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）当x=y+2023时，代数式1x−y⋅【答案】2023【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，整体代入x=y+2023计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：∵x=y+2023，∴1===−=x−y=y+2023−y=2023，故答案为：2023．6．（2024·山东滨州·模拟预测）先化简，再求值：x2−2x+1x【答案】x2【分析】本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，0指数幂等知识．先将分式进行计算，再把x化简，代入即可求解．【详解】x====x∵x==2−1+3=4∴原式=x7．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值1−1x−1÷x2【答案】xx−2【分析】本题考查了分式的化简计算：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=xx−2，然后根据分式有意义的条件在4个数中确定x只能取3，最后把【详解】解：原式===x∵x−1≠0且x≠0且x−2≠0，∴x可以取3，当x=3时，原式=3👉题型09分式运算的应用1．（2023·河北廊坊·二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是ab(1)再往杯中加入mm>0(2)请证明（1）中的数学关系式．【答案】(1)m+a(2)见解析【分析】（1）先表示出入mm>0克糖后，糖水的浓度为：m+am+b，根据糖水变甜，浓度变大，得出（2）理由作差法进行证明即可．【详解】（1）解：再往杯中加入mm>0克糖后，糖水的浓度为：m+a∵糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，∴m+am+b故答案为：m+am+b（2）证明：m+a===m∵b>a>0，m>0，∴mb−a>0，∴mb−a∴m+am+b【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．2．（2023·福建福州·一模）福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为ama>1的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为a−1【答案】“飘香2号”小麦的单位面积产量高，理由见解析【分析】根据题意分别表示出飘香1号和2号的单位面积产量，比较即可．【详解】解：“飘香1号”小麦的试验田面积是a2−1m“飘香2号”小麦的试验田面积是a−12m2∵a>1，即a−1>0，∴a−12∴a−12又由a>1可得a−12>0，∴500a∴“飘香2号”小麦的单位面积产量高．【点睛】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．3．（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？【答案】小李两次加油的平均单价更低【分析】本题考查列代数式、分式的加减，正确列出代数式是解答的关键．先求解小李两次加油每次300元的平均单价，再求得小王两次加油30升的平均单价，然后作差比较大小即可得出结论．【详解】解：根据题意，小李两次加油每次300元的平均单价为300+300300小王两次加油30升的平均单价为30m+30n30+30∴m+n==m−n∵m≠n，∴m−n22m+n故小李两次加油的平均单价更低．4．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知p=k方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．解：p−q=k因为k>0，所以p−q>0，即p一定大于q．你觉得方方说法正确吗？为什么？【答案】不正确，理由见解析【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据分式加减运算法则求出p−q=k【详解】解：方方说法不正确，理由：∵p−q===k而方方在解答过程中将分母去掉了，∴方方说法不正确．正确的解法为：∵p−q===k∵k>0，当m>0时，mm+1∴p−q>0，∴p大于q；∵k>0，当m<−1时，mm+1∴p−q>0，∴p大于q；∵k>0，当−1<m<0时，mm+1∴p−q<0，∴p小于q．综上，p不一定大于q．👉题型10分式的规律探究问题1．（2022·广西贺州·一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f3=3【答案】2021.5【分析】由题意可得：f1x=【详解】解：由题意得：f1∴fx∴f12022+f2022=1f1∵x为正数，∴原式=f=1×2021+1故答案为：2021.5．【点睛】本题考查了分式的规律，分式的化简求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键．2．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：a1=12，a2(1)尝试：a2−a1=(2)归纳：an+1(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．【答案】(1)12；(2)1(3)见解析【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）根据题意代数求解即可；（2）根据（1）的规律求解即可．（3）首先根据分式的加减运算求出an+1=n+12，【详解】（1）a3a4（2）an+1（3）a===a===∴an+13．（2024·四川内江·二模）已知，若a，b为非零实数，则b−aab(1)观察下列各式并补充完整：11×212×313×4…1nn+1=11×2+1(2)计算：11×3(3)设an=n+1n2【答案】(1)1n−(2)49(3)见解析【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的规律探究．熟练掌握运算法则并推导一般性规律是解题的关键．（1）由题意知，1nn+1=1n（2）根据11×3+1（3）由题意得an=n+1n2【详解】（1）解：由题意知，1n∴1=1−=1−=n故答案为：1n−1（2）解：由题意知，11×3====49∴11×3+1（3）证明：∵an∴a==1∵n为正整数，∴1n+1∴−1∴14∴a14．（2022·安徽合肥·二模）观察以下等式：第1个等式：73×(2−3第3个等式：1911×(2−3按照以上规律，解答下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)31(2)7+6(n−1)3+4(n−1)【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【详解】（1）第五个等式为：3119故答案为：3119（2）根据（1）所得到的规律，猜想：7+6(n−1)3+4(n−1)证明：7+6(n−1)===3−23−即：右边=左边，故猜想成立，故答案为：7+6(n−1)【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．👉题型11与分式运算有关的新定义问题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于实数a、b，定义运算：①m⊕n=1m+n例如①3⊕5=13+5=18【答案】x=3【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0．【详解】解：由题意得，2xx2x−x−2xx−3x+2解得：x=3或x=−2，当x=−2时，2+x=0，不符合题意，∴原方程的解为：x=3，故答案为：x=3．2．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数x，y，x⊗y=x2a−y2b【答案】−3【分析】本题考查了求分式的值；根据新定义以及已知条件，可得1a【详解】解：∵x⊗y=x2∴4a即1∴1⊗2=故答案为：−3．3．（2024·四川广元·二模）定义一种新运算：n∗n+1=1nn+1，如1∗2=11×2，【答案】2023【分析】本题考查新定义运算，分式的简便运算，利用新定义将等式左边变形为11×2+1【详解】解：1∗2+2∗3+3∗4+⋯+m∗==1−=1−=m∴mm+1解得m=2023．故答案为：2023．4．（2024·云南·模拟预测）定义：不大于实数x的最大整数部分，记作x．例如：2=1，−2.6=−3，按此规定，若a=336，b=−A．13 B．19 C．136【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，负整数指数幂的计算，先根据新定义以及无理数的估算得出a，b的值，然后再计算负整数指数幂的计算．【详解】解：∵3∴3<∴a=3∵−4∴−2<−∴b=−∴a故选B．5．（2022·河北·二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：abcd=aA．x2 B．x+1x C．x+1【答案】D【分析】根据题目规定的运算法则来进行计算，然后化简即可．【详解】解：∵∴故选：D．【点睛】本题考查了新定义运算，充分理解题目规定的运算法则来进行计算是解此题的关键．1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u+1vv≠f表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知A．fvf−v B．f−vfv C．fvv−f【答案】C【分析】利用分式的基本性质，把等式1f=1u+1v【详解】解：∵1f∴1∴1u∴u=fν故选：C．【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．2．（2024·四川眉山·中考真题）已知a1=x+1（x≠0且x≠−1），a2=1【答案】−【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为x+1，−1x，xx+1【详解】解：∵a∴aa3∴a∴aa6……，由上可得，每三个为一个循环，∵2024÷3=674×3+2，∴a故答案为：−13．（2023·广东广州·中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】(1)2(2)见解析【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．【详解】（1）解：A=2a（2）解：①当选择A、B时：BAAB②当选择A、C时：CAAC③当选择B、C时：CBBC【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．4．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较x2+1与小华：∵x2∴x2老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“【答案】(1)M(2)<【分析】（1）根据作差法求M−N的值即可得出答案；（2）根据作差法求2368【详解】（1）解：M−N=a∵3a>b>0，∴3a−b∴M>（2）解：∵23∴23故答案为：<．【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．一、单选题1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（

）A．3−1 B．−32 C．−【答案】A【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可．【详解】解：A、3−1B、−3C、−−3D、−3故选：A．2．（2024·广东广州·中考真题）若a≠0，则下列运算正确的是（

）A．a2+aC．2a⋅3【答案】B【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D选项．【详解】解：A、a2B、a3C、2aD、a3故选：B．3．（2024·上海·中考真题）函数f(