中考数学总复习提升专项知识二次函数的图像与性质(练习)含答案及解析

第三章函数第13讲二次函数的图像与性质TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01根据二次函数解析式判断其性质👉题型02根据二次函数的图像与性质求解👉题型03求二次函数解析式👉题型04画二次函数的图像👉题型05以开放性试题的形式考查二次函数的解析式👉题型06二次函数的平移变换问题👉题型07二次函数的对称变换问题👉题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围👉题型09二次函数的最值问题👉题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围👉题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范围👉题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围👉题型13二次函数的图像与各项系数符号👉题型14根据二次函数的图像判断式子符号👉题型15函数图像综合👉题型16已知一元二次方程根的分布情况求参数👉题型17二次函数与坐标系交点问题👉题型18二次函数与方程、不等式👉题型19二次函数与三角形相结合的应用方法👉题型01根据二次函数解析式判断其性质1．（2024·云南昆明·一模）关于二次函数y=−2x+22−3A．对称轴是直线x=2，最小值是−3B．对称轴是直线x=2，最大值是−3C．对称轴是直线x=−2，最小值是−3D．对称轴是直线x=−2，最大值是−32．（2024·四川乐山·二模）如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于AA．抛物线的对称轴为直线x=−12 C．A，B两点之间的距离为5 D．当x>−12时，3．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，下列说法A．二次函数图象关于直线x=1对称B．−1和3是方程axC．当x<1时，y随x的增大而增大D．二次函数图象与y轴交点的纵坐标是−34．（2020·上海奉贤·一模）已知二次函数y=ax2+bx+x…01345…y…−5−−−5−…关于它的图象，下列判断正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线x=1C．一定经过点−1,−152👉题型02根据二次函数的图像与性质求解5．（2024·安徽宣城·模拟预测）下列函数中，y随x增大而减小的是（

）A．y=5x B．y=−C．y=5x(x<0)6．（2024·云南昆明·一模）二次函数y=x−m2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx−nA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2024·浙江·模拟预测）已知点Ax1,y1和点Bx2,y2均在函数A．x2>−x1 B．x2<8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=4，与二次函数y=x2和y=ax2分别交于A、B和C、D四个点，此时，CD=2AB，把直线y=4向上平移bb>0个单位，则CDA．CD=2AB B．随着直线y=4向上平移，CD>2ABC．随着直线y=4向上平移，CD<2AB D．无法判断9．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数y=ax²−6ax+c（a>0）的图象过A−1,y1，B310．（2024·广东广州·一模）已知A=m+4m+4m÷m+2m2．化简A👉题型03求二次函数解析式11．（2024·山东泰安·三模）将抛物线y=2x2先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点1,5，则新抛物线与y轴交点的坐标12．（2024·广东·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A−3,0，B5,0两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当13．（23-24九年级上·吉林·期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=−2x2+9x相同，且它的顶点坐标为−1,6👉题型04画二次函数的图像14．（2022·江西赣州·模拟预测）已知抛物线L1：y=(1)当k=2时，抛物线的对称轴是；顶点M坐标是；当函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为；(2)若抛物线L1：y=x2+2kx+k−2关于直线①当k=−1时，请在图中画出相应的L1，L②求顶点M'的纵坐标y与横坐标x③直接写出当k为何值时，顶点M'恰好落在x15．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线y=−x(1)在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y=−x(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是；②方程x−1x=−2③当x<m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是；④当−2≤x≤n时，函数值3≤y≤4，直接写出n的取值范围．16．（2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数y=1（1）当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0113253⋯y01171957⋯综合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点(0，m)（m>0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2👉题型05以开放性试题的形式考查二次函数的解析式17．（2024·上海·模拟预测）请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半轴18．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点1，1、2，4；②当x<0时，y随19．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点1,4、−2,−2，写出一个符合此条件的函数表达式：．20．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点1，0，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：👉题型06二次函数的平移变换问题21．（2024·四川遂宁·模拟预测）将解析式为y=x+22+5的抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，则平移后的新抛物线的解析式为22．（2024·贵州贵阳·一模）二次函数y=x2−6x+523．（2024·山西大同·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标xx…−10123…y…30−1m3…若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（

）A．y=−x+22 C．y=x+22 24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线W1：y=ax2+bx+3与x轴分别交于A−3,0、B1,0两点，与y轴交于点(1)求抛物线W1(2)将抛物线W1向右平移mm>0个单位得到抛物线W2，两条抛物线相交于点P，分别连接PA、PB，若S👉题型07二次函数的对称变换问题25．（2024·安徽·二模）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=−1，x2A．x=1 B．x=−1 C．x=2 D．26．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线y=ax+12+2与x轴的一个交点坐标是−3，0A．12，0 B．1，0 27．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=(x−a)(x+2a−1)的对称轴是直线x=−2，则a的值为．28．（2024·浙江宁波·模拟预测）设函数y=ax+m2+n（a≠0，m，n是实数），当x=1时，y=1，x=6A．若m=−3，则a<0 B．若m=−4，则a>0C．若m=−5，则a<0 D．若m=−6，则a>029．（2024·江西景德镇·二模）二次函数y=ax2+bx+3与y轴交于点C，在点C右侧作CD∥x轴，交抛物线于点D👉题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围30．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2a<0，点Ak,y131．（2024·福建三明·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(m,y1)，B(3,y2)，C(4,y3)32．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A3,m，点B5,n在抛物线y=ax(1)若m=n，求t的值；(2)点Cx0,p在该抛物线上，若对于0<x033．（2024·广西钦州·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c(1)当t=2时，①写出b与a满足的等量关系；②当函数图象经过点1,3，x1,y1，(2)已知点A−1,m，B3,n，Cx0,p在该抛物线上，若对于3<👉题型09二次函数的最值问题34．（2024·四川眉山·二模）若函数y=x+1（x<−5）xA．3 B．4 C．7 D．5235．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数y=2x2−2mx+m2−2m（m为常数）的图象经过点A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值636．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2ax−a2+2（a为常数，且a≠0），当A．－6 B．4 C．−6或0 D．0或−2👉题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围37．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）函数y=x2−2ax−2在−1≤x≤4有最小值−5，则实数a38．（2023·江苏南京·一模）已知函数y=2x2−m+2x+m（m为常数），当－2≤x≤2时，y的最小值记为a．a的值随m39．（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数y=−x²−4x+m的图象经过点0,−1．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当−1≤x<0时，求二次函数的最大值；(3)当m≤x≤0时，二次函数的最大值与最小值的和为2m，求m的值．40．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(−1,0)(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当−2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．41．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数y=ax2−4ax+3aa<0的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点(1)求二次函数的解析式．(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为m,m2+2m≥0，若当−1≤x≤2👉题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范围42．（2024·福建福州·二模）已知点Am,n、Bm+1,n，是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随xA．−4 B．−1 C．1 D．243．（2024·江苏泰州·二模）已知二次函数y=−2x2+bx，当x<2时，y随x的增大而增大，则b44．（17-18九年级上·四川成都·期末）已知二次函数y=−x2+2mx+1，当x>4时，函数值y随x的增大而减小，则45．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线y=x2−2m−4x+m2−3的对称轴在y轴右侧，当x≥1时，y👉题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围46．（2024·广西·一模）在二次函数y=−x2+2x−3的图象中，若y随x的增大而减小，则xA．x<1 B．x>1 C．x<−1 D．x>−147．（2024·上海闵行·三模）如果二次函数y=x2−4x+1的图象的一部分是下降的，那么x48．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数y=−2x−tx+t−5+7(t为常数)，点P(x1，y1)49．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知二次函数y=x+12−4，当0≤x≤2时，函数值50．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点0,5，对称轴为直线x=−2，若y≥5，则👉题型13二次函数的图像与各项系数符号👉51．（2024·河南信阳·模拟预测）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则直线y=ax−bA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限52．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程xA．只有一个实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根53．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，这是一次函数y=kx+b的图象，则二次函数y=x2−2kx−bA．B．C．D．54．（2024·贵州六盘水·二模）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则点Pc,b在第题型14根据二次函数的图像判断式子符号55．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A1，0和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc>0；56．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−1,0)，B(m,0)，其中m>0，a<0．下列四个结论：①abc>0；②bc=1−1m；③57．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点(3，0)，对称轴为直线x=1，下列五个结论：①abc>0；②b2>4ac；③(a+c)2−b258．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c①abc>②2a+b=0；③a−b+c=0；④当−1<x<⑤4a+c>其中正确的有．（填序号）59．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①bc>0；②4ac−b2<−4a；③13<a<2

👉题型15函数图像综合60．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=12ax+12A． B．C． D．61．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数y=ax+bx2（a、b为常数，且a>0，b<0A．B．C．D．62．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线y=ax2与反比例函数y=kx的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式A．x>2 B．0≤x<2C．0<x<2 D．x<0或x>263．（2024·湖北武汉·二模）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=yA．B．C．D．👉题型16已知一元二次方程根的分布情况求参数64．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax(1)若a为整数，二次函数图象过点n,0（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．(2)若Mx1,①当x1+x2=4②若对于x1>x2≥265．（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线y=ax2+(a−3)x−3(a>0)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C(1)求这条抛物线的解析式；(2)若点M(x1,b)与点N(x2,b)在（1）中的抛物线上，且66．（2024·河南·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bxa≠0的图像经过点(1)求二次函数的表达式；(2)若点Mx1,y1，Nx2,y(3)点P的坐标为n,−3，点Q的坐标为n+3,−3，若线段PQ与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．67．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，当x=−2和x=4时，二次函数y=ax2+bx−2（a，b(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线y2，当－2≤x≤m时，抛物线y2👉题型17二次函数与坐标系交点问题68．（2024·河北邯郸·模拟预测）二次函数y=cx2−4x+2c的图象的最高点在xA．2 B．−2 C．±2 69．（2024·广东广州·二模）已知二次函数y=x2+a−4x+a−5（a为常数）的图象经过−m，nA．0,1 B．0,−1 C．0,−5 D．0,470．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线y=ax2−4ax+c与x轴的一个交点的坐标为1,0，则此抛物线与xA．3,0 B．−1,0 C．2,0 D．4,071．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2−2ax+7（a≠0(1)若a<0，求证：该二次函数图象与x轴有两个公共点；(2)该函数一定经过两个定点，分别是，；(3)若该二次函数的图象与函数y=x+7有不少于两个交点，直接写出👉题型18二次函数与方程、不等式72．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=−1对称，与A．abc<0 C．4a−2b+c>0 D．a−b≤mam+b（m73．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于1,0，3,0A．抛物线的对称轴是直线x=2B．当x>2时，y随x的增大而减小C．一元二次方程axD．当y<0时，x<174．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+32的图象与x轴交于点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C，若直线BCA．x<0或x≥3 B．x≤0或x>3 C．0<x<3 D．x≤0或75．（2023·陕西渭南·一模）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点−1,0，2,0，则关于xA．x1=−1，x2=2 C．x1=1，x2=2 76．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数y=ax2+bx+c的图象，那么无论x为何值，函数值yA．a>0，b2−4ac>0 B．a>0C．a<0，b2−4ac>0 D．👉题型19二次函数与三角形相结合的应用方法77．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当S△PCB=78．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数y=−14x2+32x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，连接AB、AC．若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合）．过点N作NM∥AC，交AB于点79．（2023·吉林长春·二模）如图，抛物线y=−x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在B的左边），与y轴交于点C，点D为此抛物线上的一动点（点D在第一象限），连接BD

80．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A−4,0，B2,0，交y轴于点C0,6，在(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值及此时D点的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为以AE为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由．1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知y是x的函数，若存在实数m，nm<n，当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tnt>0．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y=2x，存在m=1，n=2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t=2，所以①1≤x≤3是函数y=−x+4的“1级关联范围”；②0≤x≤2不是函数y=x③函数y=k④函数y=−x其中正确的为（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④2．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数y=−12x2+bx与y=12x2−bx的图像均过点A4,0和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图像如图所示，P①b=2；②PB=PC；③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+13其中，所有正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0<x<12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y，下列图像能反映y与xA．B．C．D．4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线x=ii=1,2,3,⋯与x轴相交于点Ai，与抛物线y=14x2相交于点Bi，连接AiBi+1，BiA5．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．【操作发现】小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：【实践探究】连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB=310．BC=6时，CF【问题解决】在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始终相等．请予以证明．1．（2024·山东德州·中考真题）已知Px1,y1，Qx2A．y=−2x B．y=C．y=x2−x−12．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线y=x2+2x−1A．−4,−1 B．−4,23．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以3cm/s的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为xs，△BMN的面积为ycm2，y

A．22cm B．42cm C．4．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点C0,−2与x轴交点的横坐标分别为x1，x①a−b+c<②方程ax③a+b>0；④a>2⑤b2−4ac>4aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，CA．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D．m6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量xx…−4−2035…y…−24−80−3−15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=192．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−1≤x≤t−1，当x=−1A．0<t≤2 B．0<t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥27．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过−1,1，①b>0；②若0<x<1，则ax−1③若a=−1，则关于x的一元二次方程ax④点Ax1,y1，Bx2,y其中正确的是（填写序号）．8．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线y=12x2−4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3．当AD+BC

9．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二次函数y=−x2+4x−1图象上三点．若0<x1<1，x10．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=−49(x−1)2+4的图像与x轴交于A、B两点（点A(1)求A、B、C三点的坐标；(2)一个二次函数的图像经过B、C、M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．①若D点的坐标为(3,0)，则t=_________；②求t的取值范围：③求OD⋅DB的最大值．11．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−32x+3与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线y=−14(x−2)2(1)求抛物线表示的函数解析式；(2)若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP．求四边形ACPD的面积．12．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(−2,5)(1)求二次函数的表达式；(2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移m（m>0）个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c(3)当−2≤x≤n时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为913．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出a=−4，求二次函数y=x①请你写出对应的函数解析式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：a…−4−2024…x…*20−2−4…y的最小值…*−9−3−5−15…注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值．”乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式y=x（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．

第三章函数第13讲二次函数的图像与性质TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01根据二次函数解析式判断其性质👉题型02根据二次函数的图像与性质求解👉题型03求二次函数解析式👉题型04画二次函数的图像👉题型05以开放性试题的形式考查二次函数的解析式👉题型06二次函数的平移变换问题👉题型07二次函数的对称变换问题👉题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围👉题型09二次函数的最值问题👉题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围👉题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范围👉题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围👉题型13二次函数的图像与各项系数符号👉题型14根据二次函数的图像判断式子符号👉题型15函数图像综合👉题型16已知一元二次方程根的分布情况求参数👉题型17二次函数与坐标系交点问题👉题型18二次函数与方程、不等式👉题型19二次函数与三角形相结合的应用方法👉题型01根据二次函数解析式判断其性质1．（2024·云南昆明·一模）关于二次函数y=−2x+22−3A．对称轴是直线x=2，最小值是−3B．对称轴是直线x=2，最大值是−3C．对称轴是直线x=−2，最小值是−3D．对称轴是直线x=−2，最大值是−3【答案】D【分析】此题考查了二次函数y=a(x−ℎ)【详解】解：二次函数y=−(x+2)对称轴为直线x=−2，开口向下，最大值为−3，故选：D．2．（2024·四川乐山·二模）如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于AA．抛物线的对称轴为直线x=−12 C．A，B两点之间的距离为5 D．当x>−12时，【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把A−3,0代入函数解析式可得y=x2+x−6=x+122−254，据此可得抛物线开口向上，对称轴为直线x=−【详解】解：∵二次函数y=ax2+x−6的图象与x∴9a−3−6=0，∴a=1，∴y=x∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−12，顶点坐标为∴当x>−12时，y的值随故A、D正确，令y=0，则x2解得x1=−3，∴B2,0∴A，B两点之间的距离为故C正确，不合题意；故选：B．3．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，下列说法A．二次函数图象关于直线x=1对称B．−1和3是方程axC．当x<1时，y随x的增大而增大D．二次函数图象与y轴交点的纵坐标是−3【答案】C【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象逐一进行判断即可．【详解】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线x=1，开口向上，故A选项正确，不符合题意；观察图象得：二次函数图象与x轴交于点−1,0，∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，∴二次函数图象与x轴的另一个交点为3,0，∴−1和3是方程ax观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线x=1，开口向上，∴当x<1时，y随x的增大而减小，故C选项错误，符合题意；∵抛物线经过点−1,0∴a−b+c=09a+3b+c=0解得，a=1b=−2∴y=x当x=0时，y=−3，∴二次函数图象与y轴交点的纵坐标是−3，故D选项正确，不符合题意；故选：C．4．（2020·上海奉贤·一模）已知二次函数y=ax2+bx+x…01345…y…−5−−−5−…关于它的图象，下列判断正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线x=1C．一定经过点−1,−152【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点0,−5，4,−5，可知抛物线的对称轴为直线x=2．设抛物线的解析式为y=ax−22+k，将0,−5，【详解】解：∵点0,−5，4,−5在抛物线上，∴抛物线的对称轴为直线x=2．设抛物线的解析式为y=ax−22+k，将4a+k=−5a+k=−可解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−1∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的．将x=−1代入，得y=−15故选C．👉题型02根据二次函数的图像与性质求解5．（2024·安徽宣城·模拟预测）下列函数中，y随x增大而减小的是（

）A．y=5x B．y=−C．y=5x(x<0)【答案】C【分析】本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键．根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质逐项判断即可．【详解】解：A、∵5>0，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；B、∵−1<0，对称轴为y轴，∴当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；C、∵5>0，∴当x<0时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；D、∵2>0，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；故选：C．6．（2024·云南昆明·一模）二次函数y=x−m2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx−nA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为m,n，且在第四象限，∴m>0，∴−n>0，则一次函数y=mx−n经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．7．（2024·浙江·模拟预测）已知点Ax1,y1和点Bx2,y2均在函数A．x2>−x1 B．x2<【答案】D【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，首先得出函数y=m2−3m+4x2+n的图像开口向上，再分为点B在点A的左侧或点【详解】解：∵m∴函数y=m∵若x1<0且满足∴点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且x2当点B在点A的左侧时，x2<−x1，当点B在点A的右侧且x2>x1时，x2综上所述，选项D不正确，故选：D8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=4，与二次函数y=x2和y=ax2分别交于A、B和C、D四个点，此时，CD=2AB，把直线y=4向上平移bb>0个单位，则CDA．CD=2AB B．随着直线y=4向上平移，CD>2ABC．随着直线y=4向上平移，CD<2AB D．无法判断【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键．将y=4分别代入y=x2和y=ax2，即可得出求出AB，CD长度，根据CD=2AB得出4aa=2×4，从而得出a的值，然后得到y=a【详解】解：把y=4代入y=x2中得，∴x=±2∴A的横坐标为−2，B横坐标为2∴AB=2−把y=4代入y=ax2得，∴x=±∴C的横坐标为−2aa，∴CD=∵CD=2AB，∴4∴a=1∴y=ax2表达式为∵把直线y=4向上平移bb>0个单位，得到直线∴把y=4+b代入y=x2中得，∴x=±∴AB=把y=4+b代入y=14x∴x=±2∴CD=2∴CD=2AB．故选：A．9．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数y=ax²−6ax+c（a>0）的图象过A−1,y1，B3【答案】y【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先求函数y=ax²−6ax+c对称轴x=3，则A、B、C、D的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1【详解】解∵二次函数y=ax∴二次函数开口向上，对称轴为直线x=3，∴各个点到对称轴的距离越近越小，∵A−1,y1，∴y1故答案为：y110．（2024·广东广州·一模）已知A=m+4m+4m÷m+2m2．化简A【答案】m2+2m【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键．先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A；再把点m,0代入得到m2+2m−3=0，则m2【详解】解：A=====m=m∵点m,0是抛物线y=x∴m∴m∴A=m👉题型03求二次函数解析式11．（2024·山东泰安·三模）将抛物线y=2x2先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点1,5，则新抛物线与y轴交点的坐标【答案】0,−1或0,15【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键．设平移后新抛物线的表达式为y=2x−m2−3，把点1,5【详解】设平移后新抛物线的表达式为y=2x−m∵新抛物线经过点1,5，∴21−m解得：m1=−1，∴新抛物线的表达式为：y=2x+12−3将x=0代入y=2x+1得：y=−1；将x=0代入y=2x−3得：y=15，∴与y轴的交点坐标为0,−1，或0,15．故答案为：0,−1或0,15．12．（2024·广东·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A−3,0，B5,0两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当【答案】−【分析】根据A−3,0，B5,0两点可求出抛物线解析式y=ax2−2ax−15a，进而求得点C、点D的坐标，过点D作DM⊥y轴交有y轴于点M，过点D作DN⊥x轴交有x【详解】解：过点D作DM⊥y轴交y轴于点M，过点D作DN⊥x轴交x轴于点N，如图∵抛物线y=ax2+bx+c过A∴9a−3b+c=0解得b=−2a∴y=a∴C−15a,0，又∵∠DCO+∠DBO=180°，∠DCO+∠DCM=180°∴∠DCM=∠DBO∵DM⊥y轴，DN⊥x轴∴∠DMC=∠DNB=90°∴△DMC∽△DNB∴DM∴1解得a=±∵抛物线图象开口向下∴a=−故答案为：−1【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．13．（23-24九年级上·吉林·期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=−2x2+9x相同，且它的顶点坐标为−1,6【答案】y=−2【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，先设顶点式y=ax+12+6【详解】∵抛物线的顶点坐标为−1,6，∴抛物线解析式可设为y=ax+1∵抛物线y=ax+12+6∴a=−2，∴所求抛物线的解析式为y=−2x+1故答案为：y=−2x+1👉题型04画二次函数的图像14．（2022·江西赣州·模拟预测）已知抛物线L1：y=(1)当k=2时，抛物线的对称轴是；顶点M坐标是；当函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为；(2)若抛物线L1：y=x2+2kx+k−2关于直线①当k=−1时，请在图中画出相应的L1，L②求顶点M'的纵坐标y与横坐标x③直接写出当k为何值时，顶点M'恰好落在x【答案】(1)直线x=−2；−2，−4(2)①见解析；②y=x2+3x+2；③【分析】（1）把k=2代入y=x2+2kx+k−2，得出y=x2+4x=x+2（2）①当k=−1时，得出抛物线的解析式为L1：y=x2+2x−1=x+12−2，顶点坐标为M−1,−2，此时对称轴为直线②先求出抛物线L1的顶点坐标M−k,−k③根据x轴上的点，纵坐标为0，列出关于k的方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵k=2，∴y===x+2∴抛物线的对称轴为直线x=−2，顶点为−2，∵此时a=1>0，∴在抛物线的左侧函数值y随x的增大而减小，∴当x≤−2时，函数值y随x的增大而减小，故答案为：直线x=−2；−2，−4；（2）解：①当k=−1时，抛物线L1∴抛物线的顶点M−1,−2∵M点关于直线y=1的对称点为M'∴抛物线L2列表为：x…−3−2−101…y=…2−1−2−12…y=−…03430…抛物线L1，L②∵抛物线L1∴的顶点为M−k,−∴M点关于直线y=−k对称的点M'∴顶点M'的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为y=③当顶点M′恰好落在x轴上时，k2解得k=1或k=2．【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，对称轴，画抛物线的图像，解题的关键是根据对称性求出抛物线L2的顶点坐标M15．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线y=−x(1)在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y=−x(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是；②方程x−1x=−2③当x<m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是；④当−2≤x≤n时，函数值3≤y≤4，直接写出n的取值范围．【答案】(1)见解析(2)①−3≤x≤1；②x1≈2.4或x2≈−0.4；③【分析】（1）利用画函数图象的步骤即可求解；（2）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可；此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）列表：x⋯−3−2−101⋯y⋯03430⋯描点，连线，如图，（2）①根据图象可知，当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是−3≤x≤1，故答案为：−3≤x≤1；②由x−1x=−2方程x−1x=−2的根可以看作是函数y=−通过图象可知函数y=−x2−2x+1与x∴x1≈2.4故答案为：x1≈2.4或③根据图象可知，当x<−1时，y随x的增大而增大，当x<m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≤−1，故答案为：m≤−1；④根据图象可知，则n的取值范围是−1≤n≤0．16．（2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数y=1（1）当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0113253⋯y01171957⋯综合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点(0，m)（m>0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）7【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当x=−2时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，在函数y1∵k=−1<0,∴函数y1=−x在−2≤x<0中，y1∵y2∴对称轴为：x=1，∴y2=x2−x+1在−2≤x<0综合上述，y=16|x|(x2−x+1)在故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）可知，当x≥0时，y随x的增大而增大，无最大值；由（1）可知y=16|x|(x2−x+1)在∴在−2≤x<0中，有当x=−2时，y=7∴m的最大值为73故答案为：73【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．👉题型05以开放性试题的形式考查二次函数的解析式17．（2024·上海·模拟预测）请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半轴【答案】y=−x【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．【详解】解：二次函数为y=−(x+1)故答案为：y=−x18．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点1，1、2，4；②当x<0时，y随【答案】y=【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式．设此函数的解析式为y=ax2+b(a>0)，再把点(1,1)，(2,4)代入求出k【详解】解：设此函数的解析式为y=ax∵图象过点1，1、∴a+b=14a+b=4解得a=1b=0∴这个函数表达式可以是y=x故答案为：y=x19．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点1,4、−2,−2，写出一个符合此条件的函数表达式：．【答案】y=4【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，利用待定系数法求解即可．【详解】解：当y是x的一次函数时，设函数解析式为y=kx+bk≠0得，k+b=4−2k+b=−2解得k=2b=2∴该函数解析式为y=2x+2，当y是x的反比例函数时，设函数解析式为y=k得，k=1×4=−2×−2∴该函数解析式为y=4当y是x的二次函数，且顶点为1,4时，设二次函数解析式为y=ax−1把−2,−2代入得，a−2−1解得a=−2∴该函数解析式为y=−2故答案为：y=4x或y=2x+2或20．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点1，0，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：【答案】y=2x【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为y=2x2+bx+c，结合抛物线经过点1，0，得到2+b+c=0本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可．【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为y=2x∵抛物线经过点1，∴2+b+c=0，∴b=−2,c=0，∴解析式为y=2x故答案为：y=2x👉题型06二次函数的平移变换问题21．（2024·四川遂宁·模拟预测）将解析式为y=x+22+5的抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，则平移后的新抛物线的解析式为【答案】y=【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将解析式为y=x+22+5故答案为：y=x−222．（2024·贵州贵阳·一模）二次函数y=x2−6x+5【答案】5【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及勾股定理，先把y=x2−6x+5的顶点坐标找出来，即3【详解】∵y=x∴二次函数y=x2∵平移后图象的顶点恰好为坐标原点，∴平移的最短距离为3−0故答案为：523．（2024·山西大同·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标xx…−10123…y…30−1m3…若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（

）A．y=−x+22 C．y=x+22 【答案】D【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移规律，根据二次函数经过原点得c=0，以及二次函数的对称性得出−b2a=−1+32，再把1【详解】解：∵表格的x=0，对应的∴y=ax2∵表格的y=3，对应的∴对称轴−∴b=−2a把1，−1∴−1=a+b∴−1=a+∴a=1∴y=∵将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度∴y=故选：D24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线W1：y=ax2+bx+3与x轴分别交于A−3,0、B1,0两点，与y轴交于点(1)求抛物线W1(2)将抛物线W1向右平移mm>0个单位得到抛物线W2，两条抛物线相交于点P，分别连接PA、PB，若S【答案】(1)y=−x²−2x+3(2)3或23【分析】本题考查二次函数的图象，掌握待定系数法和平移的性质是解题的关键．（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）先计算出S△ABC=6，然后根据面积S△ABP=12AB⋅|yP【详解】（1）解：∵抛物线y=ax²+bx+3经过A−30和∴9a−3b+3=0a+b+3=0，解得：∴抛物线的表达式为y=−x²−2x+3；（2）解：当x=0时，y=3，∴点C的坐标为(0,3∴S△ABC又∵S△PAB∴S△ABP∴|y当yP=74时，−x²−2x+3=7∴平移距离为12当yP=−74时，−x²−2x+3=−7平移距离为232故平移距离为3或23．👉题型07二次函数的对称变换问题25．（2024·安徽·二模）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=−1，x2A．x=1 B．x=−1 C．x=2 D．【答案】A【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴，根据题意，得到抛物线与x轴的两个交点坐标为−1,0,3,0，对称性得到对称轴为【详解】解：∵x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1∴抛物线y=x2+bx+c与x∴对称轴为x=−1+3故选A．26．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线y=ax+12+2与x轴的一个交点坐标是−3，0A．12，0 B．1，0 【答案】B【分析】本题主要考查了抛物线的性质，先求出抛物线对称轴为．直线x=−1，再根据抛物线的对称轴进行求解即可．【详解】解：∵抛物线解析式为y=ax+1∴抛物线对称轴为直线x=−1，∵抛物线y=ax+12+2与x∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是1，故选B．27．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=(x−a)(x+2a−1)的对称轴是直线x=−2，则a的值为．【答案】5【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得．【详解】解：令y=(x−a)(x+2a−1)=0，解得：x1即抛物线与x轴的两个交点坐标为(a,0)，由于抛物线的对称轴是直线x=−2，即a+1−2a2解得：a=5故答案为：5．28．（2024·浙江宁波·模拟预测）设函数y=ax+m2+n（a≠0，m，n是实数），当x=1时，y=1，x=6A．若m=−3，则a<0 B．若m=−4，则a>0C．若m=−5，则a<0 D．若m=−6，则a>0【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方向是解题的关键．根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线x=−m，再根据选项中所给出的m的值都a的正负依次进行判断即可．【详解】解：由所给函数解析式可知，抛物线的对称轴为直线x=−m．当m=−3时，抛物线的对称轴为直线x=3，因为1,1和6,6在抛物线上，则点1,1关于直线x=3的对称点为5,1，因为6>5，6>1，所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大，则抛物线的开口向上，即a>0．故A不符合题意．当m=−4时，抛物线的对称轴为直线x=4，所以点1,1关于直线x=4的对称点为7,1，因为6<7,6>1，所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，则抛物线的开口向下，即a<0．故B选项不符合题意．当m=−5时，抛物线的对称轴为直线x=5，所以点1,1关于直线x=5的对称点为9,1，因为6<9,6>1，所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，则抛物线的开口向下，即a<0．故C选项符合题意．当m=−6时，抛物线的对称轴为直线x=6，因为6>1，所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，则抛物线的开口向下，即a<0．故D选项不符合题意．故选：C．29．（2024·江西景德镇·二模）二次函数y=ax2+bx+3与y轴交于点C，在点C右侧作CD∥x轴，交抛物线于点D【答案】x=4【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，二次函数的性质，根据抛物线的对称性找出线段之间的等量关系是解题的关键所在．由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，根据CD=8，即可得出结果．【详解】解：由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，∵二次函数y=ax2+bx+3与y则当x=0时，y=3，∴C0,3，在点C右侧作CD∥x∴D8,3∴抛物线的对称轴为：x=0+8故答案为：x=4．👉题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围30．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2a<0，点Ak,y1【答案】1<k<2或k>6【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点Ak,y1，Ck+4,y1，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点B【详解】解：∵点Ak,∴二次函数图象的对称轴为直线k+k+42∴点B6,y2当x=0时，y=2，∴二次函数的图象与y轴的交点为0,2，∵2<y当点B6,y2当点B6,y2在对称轴的右侧时，k+4<6解得：1<k<2；综上所述，k的取值范围为1<k<2或k>6．故答案为：1<k<2或k>6．31．（2024·福建三明·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(m,y1)，B(3,y2)，C(4,y3)【答案】1<m<3【分析】根据C，D两点坐标可得出抛物线的对称轴，再根据y1【详解】解：∵C，D两点坐标为(n+2,y4)∴抛物线的对称轴为直线x=n+2+2−n又∵B(3,y2)，C(4,y3∴抛物线对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小，∴抛物线的开口向下．又∵y1>∴点A在抛物线上的(1,y2)∴1<m<3．故答案为：1<m<3．32．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A3,m，点B5,n在抛物线y=ax(1)若m=n，求t的值；(2)点Cx0,p在该抛物线上，若对于0<x0【答案】(1)t=4(2)3【分析】本题考查了二次函数y=ax（1）由题意得5−t=t−3，据此即可求解；（2）分类讨论①当m<n时，②当n<p时，两种情况即可求解；【详解】（1）解：∵点A(3,m)，点B(5,n)在抛物线y=ax且m=n，抛物线的对称轴为x=t，∴5−t=t−3，∴t=4．（2）解：∵点A(3,m)，点B(5,n)，点C(x0,p)∴m=9a+3b+c，n=25a+5b+c，p=ax∵m<n<p∴m<n且n<p．①当m<n时，有9a+3b+c<25a+5b+c，∴9a+3b<25a+5b∴8a+b>0∴b>−8a∵a>0∴−a<0.∴∵−∴t<4②当n<p时，有25a+5b+c<ax∴5b−bx∴b(5−x∵0<∴b<−a(x∴−∴t≥3．综上：3≤t<433．（2024·广西钦州·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c(1)当t=2时，①写出b与a满足的等量关系；②当函数图象经过点1,3，x1,y1，(2)已知点A−1,m，B3,n，Cx0,p在该抛物线上，若对于3<【答案】(1)①b=−4a；②6(2)3【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．（1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；（2）由题意可知点A−1,m在对称轴的左侧，点B3,n，Cx0,p【详解】（1）解：①当t=2时，对称轴为直线x=2．∴x=−b∴b=−4a；②由二次函数的性质可知，当x1,y1，∵对称轴为直线x=2，点1,3关于对称轴的对称点为3,3，∴x1,y1与点1,3重合，x1最小值为：3+3=6．（2）解：∵y=ax∴抛物线开口下上，∵−1<3<x0，∴点A−1,m在对称轴的左侧，点B3,n在对称轴上或对称轴的右侧，Cx0,p∴t≤3t−(−1)>解得x0∵3<x∴1<x∴32👉题型09二次函数的最值问题34．（2024·四川眉山·二模）若函数y=x+1（x<−5）xA．3 B．4 C．7 D．52【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，根据函数的取值范围确定函数最小值出现在哪个函数上，然后再根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．【详解】解：∵函数y=x+1∴当0≤x≤3时，函数的最小值在函数y=x∴当x=2时，该函数的最小值是3，故选：A．35．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数y=2x2−2mx+m2−2m（m为常数）的图象经过点A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到m>0且m2−2m=8，进而求得【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值，∵图象经过点(0,8)，其对称轴在∴−−2m∴m>0且m2∴m=4或m=−2（舍去），∴y=2x∴该二次函数有最小值0，故选：B．36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2ax−a2+2（a为常数，且a≠0），当A．－6 B．4 C．−6或0 D．0或−2【答案】D【分析】根据题意可知二次函数y=−x2+2ax−a2本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当−3≤x≤1时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键．【详解】解：二次函数y=−∴该函数的对称轴为直线x=a，函数的最大值为2，当a>1时，x=1时，函数有最大值y=−1−ax=−3时，函数有最小值y=−−3−a∵当−3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，∴−1−a解得：a=1当a<−3时，x=−3时，函数有最大值y=−−3−ax=1时，函数有最小值y=−1−a∵当−3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，∴−−3−a解得：a=−17当−3≤a≤1时，x=−3时，函数有最小值y=−−3−a2+2∴2−−解得：a=0或−6(舍去)，当−3≤a≤1时，x=1时，函数有最小值y=−1−a2+2∴2−−解得a=−2或4(舍去)，∴a=0或−2，故选：D．👉题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围37．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）函数y=x2−2ax−2在−1≤x≤4有最小值−5，则实数a【答案】−2或3【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先求出对称轴为直线x=a，再根据函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，讨论对称轴的位置进行求解即可．【详解】解：∵y=x∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−2a当a≤−1时，则x=−1时，函数有最小值−5，∴此时y=1+2a−2=−5，解得a=−2；当a≥4时，则x=4时，函数有最小值−5，∴此时y=16−8a−2=−5，解得a=198（当−1<a<4时，则x=a时，函数有最小值−5，∴此时y=a2−2a2综上，实数a的值是−2或3，故答案为：−2或3．38．（2023·江苏南京·一模）已知函数y=2x2−m+2x+m（m为常数），当－2≤x≤2时，y的最小值记为a．a的值随m【答案】2【分析】先求出顶点坐标，再根据2≤m+24，−2<m+24<2【详解】解：∵函数y=2x2−①当2≤m+24，即m≥6时，y在即a=8−2m+2∴a≤−2，②当−2<m+24<2，即−10<m<6时，y即a=−m−2∵当−10<m<6时，0≤m−2∴−18<−m−228③当m+24≤−2，即m≤−10时，y在即a=8+2m+2∴a≤−18，综上所述，a的最大值为0，此时m=2，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．39．（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数y=−x²−4x+m的图象经过点0,−1．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当−1≤x<0时，求二次函数的最大值；(3)当m≤x≤0时，二次函数的最大值与最小值的和为2m，求m的值．【答案】(1)y=−(2)2(3)−3+7或1或【分析】本题主要考查二次函数的性质和解一元二次方程，1利用待定系数法求解即可；2根据二次函数求得的对称轴为x=−2，结合a=−1<0，当x>−2时，y随x的增大而减小，依据取值范围即可求得其最大值；3根据对称轴将m分为三种情况求解：①当m≥−2时，y随x的增大而减小，则当x=m时，二次函数有最大值，当x=0时，二次函数有最小值，结合题意求解即可；②当−4≤m<−2时，分别求得最大值和最小值即可；③当m<−4时，当x=−2时，二次函数有最大值，当x=m时，二次函数有最小值求解．【详解】（1）解：∵y=−x2−4x+m∴m=−1，∴这个二次函数的表达式为：y=−x（2）解：∵二次函数y=−x2−4x−1又∵a=−1<0，∴当x>−2时，y随x的增大而减小，∴−1≤x<0，当x=−1时，二次函数的最大值为：y最大（3）解：①当m≥−2时，y随x的增大而减小．当x=m时，二次函数有最大值为：y最大当x=0时，二次函数有最小值为：y最小由y最大+y解得：m1=−3−7②当−4≤m<−2时．当x=−2时，二次函数有最大值为：y最大当x=0时，二次函数有最小值为：y最小由y最大+y解得：m=1．③当m<−4时．当x=−2时，二次函数有最大值为：y最大当x=m时，二次函数有最小值为：y最小由y最大+y解得：m1=−3+11综上，m的值为：−3+7或1或−3−40．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(−1,0)(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当−2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．【答案】(1)y=(2)9【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数的图象和性质．（1）将(−1,0)、(3,0)代入y=x（2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得x=1时，y取最小值，x=−2时y取最大值，进而求解．【详解】（1）解：将(−1,0)、(3,0)代入y=x2+bx+c∴b=−2c=−3∴y=x（2）解：∵y=x∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1,−4)，∴x=1时，y最小值为−4，∵1−(−2)>2−1，∴x=−2时，y=4+4−3=5为最大值，∴当−2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5−(−4)=9．41．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数y=ax2−4ax+3aa<0的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点(1)求二次函数的解析式．(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为m,m2+2m≥0，若当−1≤x≤2【答案】(1)y(2)9【详解】（1）解∶当y=ax即x2−4x+3=0，解得x1∴点A的坐标为1,0，点B的坐标为3,0．当x=0时，y=3a．∵OB=OC，∴−3a=3，解得a=−1，∴二次函数的解析式为y=−x（2）由题意可知，y=−x∵将函数图象平移后，顶点坐标为m,m∴平移后的函数解析式为y=−x−m∴平移后的函数的对称轴为直线x=m．当0≤m<2，x=m时函数取得最大值，即m2+2=7，解得m=−5当m≥2，x=2时函数取得最大值，即−2−m2+m综上所述，m的值为94👉题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范围42．（2024·福建福州·二模）已知点Am,n、Bm+1,n，是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随xA．−4 B．−1 C．1 D．2【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线x=2或在其右侧是解决本题的关键．首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线x=2m+12，再根据开口向上，x≤2时，y随x的增大而减小，可得x=2m+1【详解】解：∵点Am,n、Bm+1,n，是二次函数∴对称轴为直线x=2m+1∵当x≤2时，y随x的增大而减小，∴该二次函数图象的对称轴为直线x=2或在其右侧，∴2m+1解得：m≥3只有2符合题意，故选：D．43．（2024·江苏泰州·二模）已知二次函数y=−2x2+bx，当x<2时，y随x的增大而增大，则b【答案】b≥8【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=b4，则当x<b4时，y的值随x值的增大而增大，由于x<2时，y的值随【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=−b因为a=−2<0，所以抛物线开口向下，所以当x<b4时，y的值随而x<2时，y的值随x值的增大而增大，所以b4解得b≥8．故答案为：b≥8．44．（17-18九年级上·四川成都·期末）已知二次函数y=−x2+2mx+1，当x>4时，函数值y随x的增大而减小，则【答案】m≤4

【详解】∵二次函数y=x2﹣mx﹣1中，a=﹣1＜0，∴此函数开口向下，∵当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x=−b2a≥4，即m≤4，故答案为45．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线y=x2−2m−4x+m2−3的对称轴在y轴右侧，当x≥1时，y【答案】9【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出0<m−2≤1，顶点坐标为(m−2,4m−7)，最小值为4m−7，确定2<m≤3，再由t≥2，得出【详解】解：∵y====[x−∴对称轴为x=m−2，∵对称轴在y轴右侧，当x≥1时，y随x增大而增大，开口向上，∴0<m−2≤1，顶点坐标为(m−2,4m−7)，最小值为∴2<m≤3，∵t≥2，∴4m−7≥2，∴m≥9∴94故答案为：94👉题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围46．（2024·广西·一模）在二次函数y=−x2+2x−3的图象中，若y随x的增大而减小，则xA．x<1 B．x>1 C．x<−1 D．x>−1【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而增大，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y=−x∴当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而增大，故选：B．47．（2024·上海闵行·三模）如果二次函数y=x2−4x+1的图象的一部分是下降的，那么x【答案】x≤2【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当x在对称轴左侧时，函数图象下降，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解：∵y=x∴当x≤2时，y随x的增大而减小，图像下降；当x≥2时，y随x的增大而增大，图像上升；∵二次函数y=x∴x≤2，故答案为：x≤2．48．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数y=−2x−tx+t−5+7(t为常数)，点P(x1，y1)【答案】x【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可．【详解】解：∵y=−2x−t∴y=−2x∴yy2∴y∴y1∵x1<x∴x1∴x故答案为：x149．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知二次函数y=x+12−4，当0≤x≤2时，函数值【答案】−3≤y≤5/5≥x≥−3【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当x>−1时，y随x的增大而增大，求得当x=0时，y=−3；x=2时，y=5，即可求解．【详解】解：由题意得，a=1>0，对称轴x=−1，∴当x>−1时，y随x的增大而增大，∵当x=0时，y=−3；x=2时，y=5，∴当0≤x≤2时，函数值y的取值范围为−3≤y≤5，故答案为：−3≤y≤5．50．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点0,5，对称轴为直线x=−2，若y≥5，则【答案】−4≤x≤0【分析】本题