浙江省之江教育评价联盟2020-2021学年高三上学期8月返校联考数学试题

浙江省之江教育评价联盟2020-2021学年高三上学期8月返校联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合，集合，则（）A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．3．若实数、满足，则的最小值是（）A． B． C． D．4．函数（为自然对数的底数）的图象可能是（）A． B．C． D．5．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（）A． B． C． D．6．设、是实数，则“，”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本.现从中随机拿出2本，记拿出数学书的本数为，则（）A．， B．，C．， D．，8．为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位9．已知，若函数有个零点，则方程的实数根个数为（）A． B． C． D．与的取值有关10．设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（）A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列C．恒成立 D．恒成立二、双空题11．已知，（是虚数单位），则______，______.12．二项展开式，则______，______.13．已知为第二象限角，，则______，______.14．已知圆：和圆：相交于，两点，则直线的方程是______，线段的长度是______.三、填空题15．已知单位向量，若向量满足，则______.16．已知椭圆的左右焦点分别为、.直线过椭圆的左顶点且与椭圆相切，为直线上任意一点，若的最大值为，则椭圆的离心率是______.17．若函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______.四、解答题18．已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值.19．如图，在三棱台中，平面平面，，，，，点是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20．等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和为，证明.21．如图，已知抛物线：与圆：有四个不同的公共点，，，.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求四边形面积的最大值.22．已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数存在极大值点与极小值点，当时，有恒成立，求实数的取值范围.参考答案1．C【分析】解不等式确定集合，再由交集的定义求解．【详解】由题意，∴．故选：C．【点睛】本题考查求集合的交集运算，属于简单题．2．D【分析】由双曲线标准方程对应的渐近线方程即可知的渐近线方程【详解】根据双曲线的渐近线方程：，知：的渐近线方程为故选：D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，根据双曲线标准方程对应渐近线方程求题设给定双曲线的渐近线方程3．A【分析】令，作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】令，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故选：A.【点睛】本题考查线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．A【详解】试题解析：函数为偶函数，图象关于轴对称，排除B、D，时，舍去C，选A.考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象.5．B【分析】由三视图，还原出原几何体，然后根据组合体的性质求得表面积．【详解】由三视图知原几何体是下方一个长方体，上面两个半圆柱组合而成，图，尺寸见三视图，其表面积为．故选：B．

【点睛】本题考查三视图，考查由三视图求组合体的表面积，解题关键是由三视图还原出原几何体．6．A【分析】由可推导出，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由可得，，则，则“，”“”，但“”“，”.所以，“，”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于中等题.7．C【分析】由题意知的取值有，根据古典概率可求各X取值的概率，再根据期望即可求【详解】由题意知：拿出数学书的本数的取值有∴，，即故选：C【点睛】本题考查了应用古典概率求离散型随机事件的发生概率，并根据所得概率求期望值，注意离散型随机事件概率的求法及数学期望的应用8．B【分析】利用诱导公式可得，再将图像向左平移个单位，即可得到答案；【详解】，图象向左平移个单位，可得的图象.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式、平移变换，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于基础题.9．C【分析】由可得出，将问题转化为曲线与曲线有个交点，数形结合可求得实数的取值范围，进而结合判别式可判断出方程的实数根个数.【详解】由可得出，作出函数与函数的图象如下图所示：，若使得函数有个零点，则直线与均与函数的图象有两个交点，联立可得，，解得，联立可得，，解得，当时，则，令，可得或，此时，函数只有个零点，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.对于二次方程，，因此，关于的二次方程有两个实根.故选：C.【点睛】本题考查二次方程根的个数的判断，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．D【分析】求出，根据数列的性质可判断A、B；举例可判断C；利用数学归纳法判断D.【详解】由当时，，当时，则，由，无穷数列，对任意实数不等式恒成立，可得，对于A，若为单调递增的等差数列，设，递增，则，故A不正确；对于B，若为单调递增的等比数列，设，递增，则，故B不正确；对于C，由，不妨设，取，则，，显然不成立，对于D，当时，由，显然恒成立，假设当时，成立，则当时，则，故恒成立.故选：D【点睛】本题考查了数列的性质以及数学归纳法证明数列问题，考查了考生的分析能力、计算能力，此题综合性比较强，属于难题.11．【分析】利用复数的乘法运算即可求解.【详解】，所以，.故答案为：；【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本运算能力，属于基础题.12．80243【分析】根据二项式通项知第三项为，即可求；由于，结合二项式即可求【详解】由二项式通项，知：，故∵∴故答案为：80；243.【点睛】本题考查了二项式定理，根据二项式通项求某一项的系数，并结合二项式求展开式系数的和.13．【分析】由平方关系求得，然后由余弦的二倍角公式和两角差的正弦公式求值．【详解】∵为第二象限角，，∴，∴，．故答案为：；．【点睛】本题考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，属于基础题．14．【分析】两个方程相减即可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用即可.【详解】①，②，两式相减得：，即，由：得：则圆心，，圆心到直线的距离所以故答案为：，【点睛】本题主要考查了求两圆公共弦所在的直线的方程，以及弦长，属于中档题.15．【分析】利用，结合求得，进而求的值即可【详解】由题意知：，又由，有，可得∴，即故答案为：【点睛】本题考查了已知线性组合向量的模求向量的模，利用求出中间量，应用待定系数法求目标向量的模16．【分析】作出图形，设点为第二象限的点，可设点，则，设直线、的倾斜角分别为、，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式结合已知条件可得出关于、的关系式，进而可求得该椭圆离心率的值.【详解】易知点、，如下图所示：由题意可知，直线的方程为，设直线、的倾斜角分别为、，设点为第二象限的点，可设点，则，则，，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最大值为，，即，整理得.因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了斜率公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】分别讨论、、，三种情况的单调区间，由题意知在区间内必存在的极小值点，即可得出不等式，解不等式即可求解.【详解】当时，，当时，，，单调递减，当时，单调递增，函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，则，即，解得：当时，对于区间恒成立，则，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增；若区间上存在最小值，则，解得:，当时，，在区间上单调递增，无最小值，不符合题意.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用降幂公式及辅助角公式将解析式化简，然后利用整体法求解单调递增区间；（Ⅱ）先利用解出角，再结合余弦定理及基本不等式求解的最值，从而得到的面积最值.【详解】解：（Ⅰ）.令，则，所以函数的单调递增区间为.（Ⅱ）或或（不符），则得，则当且仅当“”时取等号，所以.【点睛】本题考查降幂公式、辅助角公式等在分析三角函数性质问题中的运用，考查三角形的面积公式及面积最值的求解，难度一般.19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理可证得平面；（Ⅱ）以点为坐标原点，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）在三棱台中，，又，，，为的中点，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）以点为坐标原点，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴，平面内垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，在梯形中，，，则，所以，四边形为菱形，且，为等边三角形，所以，，则，，，，设是平面的一个法向量，则，取，则，，设与平面所成角为，则.因此，与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．（Ⅰ）；；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）由等比数列的性质求得公差可得通项公式，利用累加法可求得通项公式；（Ⅱ）用裂项相消法求得和后可证得不等式成立．【详解】（Ⅰ）由题意得（不符）或，所以.则当时.当时符合，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查累加法求通项公式及等比数列的性质，裂项相消法求和．本题属于中档题．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）联立抛物线与圆的方程，由题意可得在上有两个不同的解，即，解不等式组可得答案.（Ⅱ）用半径表示出四边形的面积为，令，此时，构造函数，求导判单调性，由单调性即可得到最值.【详解】（Ⅰ）联立得.由题可知，在上有两个不同的解，所以，得，所以.（Ⅱ）设，，，，由韦达定理可知，，.又.，所以.令，则，此时.记，..当时，，当时，.所以在上单调递增，在单调递减.所以，得四边形的最大值为.【点睛】本题考查圆与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求出导函数，由确定减区间；（Ⅱ）求出，由确定与的关系（用韦达定理确定），同时判别式，同时利用已知条件可得的取值范围，计算并变形后化为的函数，求出此关于的函数的最大值