高中数学讲义（人教B版2019必修四）第20讲1114棱锥与棱台

11.1.4棱锥与棱台TOC\o"13"\h\u题型1棱锥概念辨析 ⑶特征：侧面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等.注意：底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥，正四棱锥……….知识点二.棱台1.定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.2.图形及表示：可记作：棱台A’B’C’D’ABCD3.相关概念（1）底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;（2）侧面：其他各面叫做棱台的侧面;（3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱;（4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.（5）棱台的高:过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）.（6）棱台的侧面积:棱台所有侧面的面积之和．4.棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……5.正棱台（1）定义：由正棱锥截得的棱台.（2）高：上下两底面中心的连线.（3）斜高：侧面等腰梯形的高.（4）特征：侧面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等.题型1棱锥概念辨析【方法总结】棱锥的图形1.底面：如图中的多边形ABCD2.侧面：如图中的三角形SAB，SBC，SCD，SAD等3.侧棱：如图中的线段SA，SB，SC，SD等4.顶点：如图中的点S.【例题1】（2023·全国·高一专题练习）有两个面平行的多面体不可能是A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．以上都错【答案】B【分析】由棱柱、棱台、棱锥的定义判断即可.【详解】棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．故选B．【点睛】本题考查棱柱、棱台、棱锥的定义，属基础题.【变式11】（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）下列说法中，正确的个数为（

）（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱（2）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（3）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；（4）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】根据棱柱的概念可判断（1）；根据棱台的概念可判断（2）；根据正三棱锥的概念可判断（3）；根据正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长可判断（4）.【详解】(1)中,有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体一定是棱柱.故（1）不正确；（2）中，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台.故（2）不正确；（3）中，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥.故（3）不正确；（4）中，因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故（4）不正确.故选：A题型2棱锥的结构特征【方法总结】棱锥的结构特征：1.仅有一个底面且是多边形（三角形、四边形……）2.侧面都是三角形3.各侧面有且只有一个公共顶点。【例题2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E,F【答案】几何体A1EF−ABC是三棱台.面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面【解析】根据题意以及三棱台的结构特征，可以猜想几何体A1【详解】∵E,F分别是A1B1,∴A∴△A1EF又面A1B1∴几何体A1其中面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面ABEA1，面【点睛】本题主要考查三棱台的结构特征，以及利用三棱台定义判断几何体的形状，属于基础题．【变式21】1．（多选）（2022·全国·高一假期作业）在正棱锥中，侧面可为正三角形的是（

）A．正四棱锥 B．正五棱锥 C．正六棱锥 D．正八棱锥【答案】AB【分析】根据正棱锥底面多边形的特点，假设侧面都是正三角形，分别求出底面外接圆的半径，再求出相应的棱锥的高，即可判断是否成立.【详解】对于A正四棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a,则底面外接圆半径为22a，高为满足要求，所以A正确；对于B正五棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a，底面正五边形每个内角为108o则底面外接圆半径为r=高为ℎ2对于C正六棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a，底面正六边形每个内角为120o高为ℎ=对于D正八棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a，底面正八边形每个内角为135o，则底面外接圆半径为r高为ℎ不满足条件，所以D不正确故选：AB【变式21】2．（2021春·高一课时练习）下列说法正确的有()个.①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；②正棱锥的侧面是等边三角形；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.【答案】0【解析】根据棱锥的结构特征逐一判断：①根据棱锥的定义，“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的；②正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误；③由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥，故错误.【详解】①错误，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的；②错误，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误；③错误，由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=满足底面△BCD三个侧面△ABD，ΔABC，ΔACD但AC长度不一定，三个侧面不一定全等，故错误.故答案为：0.【点睛】本题考查棱锥的结构特征，考查对棱锥的特征的熟练掌握与应用，属于基础题.【变式21】3．（2020·高一课时练习）如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，P是对角线AC与BD的交点，若P为四棱锥的顶点，四棱锥的底面为长方体的一个面，则这样的四棱锥有()A．3个 B．4个C．5个 D．6个【答案】C【分析】表示出四棱锥，推出结果即可．【详解】由题意可知四棱锥分别为：PABB′A′；PBB′C′C；PABCD；PCC′D′D；PDD′A′A；共5个；故选C．【点睛】本题考查棱锥的结构特征，排列组合的应用，是基础题．【变式21】4．（2021春·河北·高一校联考期中）《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.若阳马以如图所示的正六棱柱的顶点为顶点，以正六棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则阳马的个数为（

）A．16 B．24 C．12 D．4【答案】B【分析】根据阳马的定义，分别找出以上底面的顶点为四棱锥底面的个数和以下底面的顶点为四棱锥底面的个数，即可求得.【详解】根据正六边形的性质，以正六棱柱下底面的顶点为顶点的内接矩形共3个，而每个矩形可以形成4个不同的阳马，所以阳马的个数是12.同理，以上底面中的矩形为底面的情况下也有12个阳马，因此共有24个不同的阳马.故选：B【变式21】5．（2023春·全国·高一专题练习）将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（

）①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体A．3种 B．4种 C．5种 D．以上均不正确【答案】B【分析】可能出现①③⑤⑦这四种情况．【详解】如图，平面A1EF截正方体，可得到四面体如图，平面EFGH截正方体，可得到四棱柱ADHE−如图，平面EFGH截正方体，可得到五棱柱ABB故选：B.个，故选A.【变式21】6．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥【答案】B【分析】对于A：举反例：有一条侧棱和底面垂直的棱锥，否定结论；对于B：直接证明即可；对于C：举反例：把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台，否定结论；对于D：由棱锥的定义，直接判断.【详解】对于A：底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心,比如：有一条侧棱和底面垂直的棱锥.故A错误；对于B：当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时,各侧面构成平面图形,构不成棱锥,由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥,故B正确；对于C：把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台,故C错误；对于D：由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,才是棱锥.故D错误.故选：B【变式21】7．（2022春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）以下说法错误的是（

）A．平行六面体是四棱柱； B．底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥； D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.【答案】C【分析】根据平行六面体的定义，即可判断A,B;根据正棱锥的定义以及结构特征可判断C,D.【详解】对于A，因为底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，故平行六面体是四棱柱，A正确；对于B,底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体,符合平行六面体的定义，故B正确；对于C，底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；对于D,正棱锥的侧面是全等的等腰三角形,符合正棱锥的结构特征，D正确；故选：C题型3正棱锥的有关计算【例题3】（2022春·内蒙古赤峰·高一统考期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与其侧面三角形底边上的高的比值为（

）A．5+1 B．5−1 C．5+1【答案】B【分析】由已知，画出正四棱锥的图像，根据题意条件，找到正四棱锥的高ℎ，侧面三角形的斜高ℎ'，底面边长a之间的等量关系，然后带入Rt△POH【详解】由已知，可画出正四棱锥的图像，底面ABCD是边长为a的正方形，顶点P在底面的投影为O，OP=ℎ，H为BC中点，PH为侧面△PBCℎ2=12·则1−a24aℎ'=故选：B.【变式31】1．（2023·全国·高一专题练习）华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为______米．【答案】20【分析】做PO⊥底面ABCD于点O，取AB的中点E，可得OE⊥AB、PE⊥AB【详解】如图，做PO⊥正四棱锥底面ABCD于点O，则O为底面ABCD的中心，取AB的中点E连接PE、OE，则OE⊥AB，因为PA=PB，所以因为四个玻璃侧面的面积约1500平方米，所以S△由12×AB所以PO=则塔高约为20米，故答案为：20.【变式31】2．（2023春·全国·高一专题练习）益阳市“一园两中心”项目是益阳市委市政府推进“大益阳城市圈”建设、实现益阳“东接东进”战略作出的重大决策.“两中心”是指益阳市文化中心、益阳市政务中心.其中图书馆是益阳市文化中心的重要场馆之一，市政府决定在图书馆顶上安装太阳能板发电，要测量顶部的面积，将图书馆看成一个长方体ABCD−A1B1C1D1与一个等底的正四棱锥PA．576m2 B．624m2 C．688m2【答案】B【分析】根据给定条件求出正四棱锥P−【详解】依题意，正四棱锥P−A1B1因OO1//CC1，且OO而AB=24，即有O1C1=122，又取B1C1中点E，连接PE,O1E正四棱锥P−A1所以图书馆顶部的面积为624m故选：B题型4棱台概念辨析【方法总结】棱台的图形1.底面：如图中的多边形ABCD，多边形A'B'C'D'2.侧面：如图中的梯形A'B'BA，B'C'CB，C'D'DC等3.侧棱：如图中的线段A'A，B'B，C'C，D'D4顶点：如图中的点A’，B’，C’，D’，A，B，C，D【例题4】（2020·高一课时练习）下列命题中正确的是A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．正方形的直观图是正方形【答案】B【详解】分析：根据棱台与棱柱定义可判断A,C真假，根据直观图的画法可得B,C真假.详解：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；平行四边形的直观图是平行四边形；有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体不一定是棱柱；正方形的直观图是平行四边形，所以正确的是B.点睛：本题考查学生对棱台与棱柱定义，以及直观图的画法的理解，考查学生识别知识能力.【变式41】1．（2022·高一课时练习）下面四个几何体中，是棱台的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据台体、锥体概念逐一分析，即可得结果.【详解】A是圆台，D是棱锥，C侧棱延长没有交于一点，故不是四棱台，B是三棱台．故选：B【变式41】2．（2022·高一课时练习）下面两个空间图形是棱台吗？简述理由.【答案】详见解析.【分析】利用棱台的概念即得.【详解】两个空间图形都不是棱台，因为左侧图形虽然两底面平行，但侧棱延长后不能相交于一点；右侧图形虽然侧棱延长后相交于一点，但两底面不平行，所以两个图形都不是棱台.【变式41】3．（2022·全国·高一专题练习）如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（

）A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1【答案】C【分析】本题主要考查棱台的定义，根据棱台的上下底面互相平行，故两个底面对应边之间的比值是相等的，此条件是构成棱台的必要条件，逐个分析可得答案.【详解】解：棱台是由棱锥截成的，上下两个底面互相平行，且对应边之间的比值相等.A：A1B：B1C：A1D：满足这个条件的是一个三棱柱，不是棱台，D不正确；故选：C【变式41】4．（多选）（2022春·河北衡水·高一校考期中）下列命题中正确的是（

）A．两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台B．正三棱柱的侧面为矩形C．棱台的各侧棱延长后一定交于一点D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形【答案】BCD【分析】对于AC，利用棱台的定义判断即可，对于B，由正棱柱的定义判断，对于D，举例判断即可【详解】对于A，两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体，其侧棱的延长不一定交于一点，所以此多面体不一定是棱台，所以A错误，对于B，由正棱柱的定义可知正三棱柱的侧面为矩形，所以B正确，对于C，由棱台的定义可知，棱台的各侧棱延长后一定交于一点，所以C正确，对于D，三棱锥的侧面和底面都是三角形，所以D正确，故选：BCD【变式41】5．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的有（

）①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】A【分析】利用棱锥的定义和性质，结合图形即可得到答案.【详解】解析①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．②如图1，不正确，侧棱延长线可能不交于一点.③错误．不一定是正三棱锥,如图2所示：三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定等于AD，即三条侧棱不一定全部相等．④不正确，不存在这样的正六棱锥.极限考虑，如图3的正六边形ABCDEF分割成了6个全等的小正三角形，三角形所有边长相等，从而不存在答案所说的正六棱锥.故选：A.题型5棱台的结构特征【方法总结】棱台的结构特征1.上下底面是互相平行且相似的多边形2.侧面都是梯形3.各侧棱的延长线交于一点【例题5】（2020·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）A．棱台的侧面可以是平行四边形B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点【答案】D【分析】用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台,结合选项逐一验证得出正确选项.【详解】对于A,棱台的侧面是梯形,错误;对于B,两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，若侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台,错误;对于C,棱台的底面是两个相似的多边形,错误;对于D,由棱台的性质得棱台的侧棱延长后必交于一点,正确;故选:D.【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意棱台的定义及性质的合理运用．【变式51】1．（2023·高一课时练习）对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是(

)A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．一定不是棱柱、棱锥【答案】D【分析】由棱柱、棱锥、棱台的定义判断【详解】根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．故选：D【变式51】2．（2021春·高一课时练习）①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．【答案】2【详解】①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．故填：2.点睛：多面体的学习中，一定要把握住棱柱、棱锥、棱台的特征，特别是棱柱，要有两个面平行，其余面的交线互相平行，否则就不是棱柱，棱台一定要联系棱锥，因为棱台是棱锥截取出来的，所以应该能还原为棱锥,侧棱的延长线交于一点.【变式51】3．（2022·高一课时练习）下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)【答案】③【分析】根据棱台的定义和性质判定.【详解】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和图②都不是棱台.图③符合棱台的定义与结构特征.故答案为：③【变式51】4．（2021·高一课时练习）如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状.【答案】（1）不对；（2）不对；（3）答案见解析【分析】根据绕着棱旋转和绕着点旋转的特点，将问题转化为长方体被相应平面所截形成的截面形状.【详解】（1）不对，水面的形状就是用一个与棱（倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形.（2）不对，水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，不可能是棱台或棱锥.（3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台.【变式51】5．（2023·高一课时练习）下列说法中，正确的个数为（

）（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥A．3个 B．2个 C．1个 D．0【答案】C【分析】利用棱台的定义判断（1），利用多面体的定义判断（2），利用正六棱锥的定义判断（3），利用正三棱锥的定义判断（4）【详解】（1）如图，侧棱延长线可能不交于一点，故（1）错误（2）正确，符合多面体的定义（3）不正确，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，构成了6个全等的小正三角，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等，故（3）错误.（4）错误.不一定是正三棱锥,如图所示:三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD.满足底面△BCD为等边三角形.三个侧面△故选：C题型6正棱台的有关计算【例题6】（2023春·全国·高一专题练习）如图，ABC−A．63 B．332 C．6【答案】C【分析】首先还原为三棱锥，再计算小棱锥的高，再根据相似关系，即可计算三棱台的高.【详解】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥P−A1B1C1的棱长都是3，如图2，点P故选：C【变式61】1．（2022春·河南开封·高一校考期中）一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为62A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据原正四棱锥的几何关系求得其高，再结合正四棱台的侧棱长即可求得其高.【详解】根据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底面平面的平面截得的，如下所示：对原正四棱锥，BD=2BC又△PO1B1~△POB故选：B.【变式61】2．（2021·高一课时练习）已知正四棱台侧棱长为5，上底面边长和下底面边长分别为2和5，求该四楼台的高和斜高．【答案】高是552，斜高是91【分析】取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1，过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，过F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱台的斜高B1K，正四棱台的高OO1＝FN，由此能求出正四棱台的高和斜高．【详解】解：取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1，过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，过F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱台的斜高B1K＝EF＝BB12−(则正四棱台的高OO1＝FN＝EF2−(OE∴正四棱台的高是552，斜高是91【变式61】3．（2022·高一课时练习）如图所示，在正三棱台ABC−A1B1C1中，已知AB=10，棱台一个侧面的面积为2033，【答案】2【分析】根据正三棱台的结构特征，用上下底面边长表示出正三棱台的斜高，进而得侧面积表达式即可得解.【详解】依题意，AB=10，则AD设上底面的边长为x(x>0)如图所示，连接O1O，过D1作D1H于是得DH=OD−OH=因四边形B1C1CB的面积为12B1所以上底面的边长为215【变式61】4．（2021春·高一课时练习）若正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高.【答案】棱台的侧棱长为933，斜高为【解析】正棱台两底面中心分别为O和O1，AB和A1B1的中点分别是E，E1【详解】如图，正三棱台ABC−A1B1C1中，两底面中心分别为O和O1，AB和A1B1的中点分别是E，E1，连接在等边ΔABC中，AB=4，则OA=4在等边ΔA1B1C1中，在直角梯形OAA1O所以AA即棱台的侧棱长为933在直角梯形OEEEE即棱台的斜高为221【点睛】本题考查求正棱台的斜高，解题关键是掌握正棱台中的两个直角梯形：两底面中心与一条侧棱的两个顶点构成直角梯形，两底面中心与在同一侧面的上下底两边的中点构成直角梯形．【变式61】5．（2022春·广东珠海·高一统考期末）正四棱台的上､下底面边长分别为2cm,3cm，侧棱长为2cmA．4cm2 B．57cm2 【答案】B【分析】先求棱台的斜高，然后利用侧面积公式进行求解.【详解】由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上､下底